14.3.2 角平分线的判定 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3.2角平分线的判定 人教版八年级上册 本节课的教学内容主要是探索并证明角平分线的判定定理，会用角平分线的判定定理解决问题．本节课是在已经学习了证明直角三角形全等和角平分线的性质基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段及角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律． 教学目标 1.理解角平分线的判定定理. 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 新知导入 性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 证明线段相等. 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 定理的作用： 新知讲解 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ S 角的平分线上的点到角的两边距离相等。那么，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？请你试着证明一下。 新知讲解 已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB , ∴∠PDO=∠PEO=90°, 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO ≌Rt△PEO (HL) , ∴∠POD=∠POE ,即点P在∠AOB的角平分线上. 归纳总结 角平分线的判定定理 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 判断点是否在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的角平分线上. 定理的作用： 新知讲解 　角的平分线的性质与判定定理的关系： (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备． (2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　 (3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等； 判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上． 解决问题 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？ 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ，D即为所求. 【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. D C 典例精析 D E F A B C P N M 例、 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P， 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° 2.若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC( )的交点． A．角平分线 B．高线 C．中线 D．边的垂线 A A 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上. 4.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°, 则∠PCA=______. 6 55° 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A、B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°. 求证：点P在∠MON的平分线上. C D 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 证明：过点P分别作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分别为C，D， 则∠ACP=∠BDP=90°. 在四边形OCPD中， ∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°， ∴∠APB=∠CPD. ∴∠APB-∠APD =∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD. 在△APC和△BPD中， ∴△APC≌△BPD（AAS）. ∴PC=PD，即点P在∠MON的平分线上. 课堂练习 【综合拓展类作业】 6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m、40m、50m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由. 解:点P即为所求，即△ABC分为△ABP、△ACP、△BCP三个小三角形，即可符合面积比为3:4:5. 课堂总结 结论 作用 三角形的角平分线相交于内部一点， 该点到三角形三边的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 角平分线的判定 判断一个点是否在角的平分线上 内容 板书设计 角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF. 关于点P有下列三种说法： ①点P在∠DBC的平分线上； ②点P在∠BCE的平分线上； ③点P在∠BAC的平分线上. 其中说法正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 D C A E B D F P ┐ ┐ 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处. 3.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______. 4 5 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF 的距离相等， ∴点D在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 作业布置 【综合拓展类作业】 5. 如图，电信部门要在 S 区修建一座发射塔 P. 按照设计要求，发射塔 P 到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应建在什么位置? 在图上标出它的位置. (尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程). B A O S P 解：如右图所示. $$