6.1 平行四边形的性质 第2课时 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

第六章 平行四边形 6.1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形的对角线的性质 　　什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是怎样的？ 两组对边分别平行 复习导入 2 平行四边形的性质有哪些？ ①具有一般四边形的性质（内角和是360°）． ②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 　边：平行四边形的对边相等． B D A C 3 　　1．动手实验 　　在纸上画两个全等的□ABCD和□ EFGH，并连接对角线AC，BD和EG ，HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形摞在一起，在点O处钉一个图钉，将□ ABCD绕点O旋转180°，观察它还和□EFGH重合吗？ 探究新知 4 你能从图中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？ 进一步，你还能发现平行四边形的什么性质？ 1．动手实验 F H E G O B D A C O 探究新知 5 A C D B O 2．猜想结论：平行四边形的对角线互相平分． 3．证明猜想． 已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O． 求证：OA=OC，OB=OD． 探究新知 师生活动：通过学生小组讨论，找学生讲解自己的证明思路，老师进行点拨，并强调在平行四边形中，通过证明三角形全等是解决线段相等的方法之一．找学生板演证明过程． 6 A C D B O 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD//BC． ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ △AOD≌△COB． ∴ OA=OC，OB=OD． 3 2 4 1 探究新知 7 我们可以得到平行四边形的又一个性质： 平行四边形的对角线互相平分． 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分） 或∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO． A C D B O 知识归纳 8 例1 已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O．△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？ 解：在□ABCD中， ∵AB=6，AO+BO+AB=15， ∴AO+BO＝9． ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴AC+BD=2 AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18． O D C B A 例 题 9 　　例2 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F．求证：OE＝OF． 　　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 　　∴AO＝CO，AB//CD． 　　∴∠EAO＝∠FCO． 　　又∠AOE＝∠COF， 　　∴△AOE≌△COF． 　　∴OE＝OF． E F O D C B A 例 题 例 10 　　例3　已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF． 4 3 2 1 F E O B A D C 例 题 11 证明：在□ABCD中，AB//CD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． 又∵OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分）， ∴△AOE≌△COF（ASA）． ∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）． ∵□ABCD， ∴AB=CD（平行四边形对边相等）． ∴AB-AE=CD-CF．即BE=FD． 4 3 2 1 F E O B A D C 12 1 .平行四边形的性质： ①具有一般四边形的性质（内角和是360°）． ②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 边：平行四边形的对边相等． 对角线：平行四边形的对角线互相平分． 2 ．在证明与平行四边形有关的问题时，我们往往转化为三角形全等来解决． 课堂小结 13 知识点　平行四边形的对角线的性质 1.（链接教材）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝ 10 cm，BD＝6 cm，则AO＝ ＝ ＝ cm；BO ＝ ＝ ＝ cm. 第1题图 CO　 AC　 5　 DO　 BD　 3　 随堂练习 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的 是（　C　） A. OA＝OB B. OA⊥OB C. OA＝OC D. ∠OBA＝∠OBC 第2题图 C 3.（教材P138做一做变式）如图，在平行四边形ABCD中，已知 ∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为（　A　） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 8 cm 第3题图 A 4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 若AC＝6，BD＝ 8，则AB的长可能是（　D　） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 第4题图 D [变式] 若平行四边形的一条边长为8，则它的两条对角线的长可以是 （　A　） A. 6和12 B. 6和10 C. 6和8 D. 6和6 A 5. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O. 若AD＝6，AC＋BD＝ 18，则△BOC的周长为 ⁠. 15　 6.（2024·西安期中）公园有一片平行四边形的绿地，绿地上要修几 条笔直的小路，如图，AB＝15 m，AD＝12 m，AC⊥BC，则OC的长 为 ⁠. 4.5 m　 7.如图，已知四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形.求证： BE＝DF. 证明：如图，连接AC，与BD交于点O. ∵四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形， ∴BO＝DO，EO＝FO， ∴BO－EO＝DO－FO，即BE＝DF. 8.（教材P138例2变式）如图，O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F. 求证：DE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC. ∵O为对角线AC的中点，∴AO＝CO， ∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF， ∴AD－AE＝BC－CF， ∴DE＝BF. 9.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE. 若△ABE的周长为6，则▱ABCD的周长为（　C　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 C [变式] 如图，在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点， △DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO， 则EO的长为 ⁠. 　 10.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O， 交AD于点E，交BC于点F. 若AB＝3，OA＝2，AD＝5，则图中阴影 部分的面积是（　C　） A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 4 C 11.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD， CF⊥BD. （1）求证：△AEO≌△CFO； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°. ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO. （2）若∠BAC＝90°，AB＝ ，BD＝4 ，求▱ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO＝ BD＝ ×4 ＝2 ，AO＝CO＝ AC. ∵∠BAC＝90°，∴△BAO是直角三角形. 在Rt△BAO中，由勾股定理，得AO＝ ， ∴AC＝2AO＝2 ， ∴▱ABCD的面积为AC·AB＝2 × ＝2 . 12.（教材P139习题T4变式）生物老师将一块平行四边形的试验 田分给甲、乙两个小组进行花卉栽培竞赛.如图1，O为试验田中的 灌溉井，生物老师决定把相对的两块三角形试验田（△AOB， △COD）分给甲组，剩下的部分分给乙组，两组共用灌溉井.方案公 布后，两个小组的同学议论纷纷，有的说这样不公平.刚刚学习过平 行四边形性质的你认为这种方案公平吗？如图2，你能否找到一个简 捷的方法，将这块试验田分成两块，使两个小组分得的田地的面积 一样大，而且能共用灌溉井？ 解：公平.理由如下： 如图1，过点O作GH⊥AD，交AD于点H，交BC于点G. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC. ∵GH⊥AD，∴GH⊥BC，∴S△OAD＋S△OBC＝ AD·OH＋ BC·OG＝ AD·GH＝ S▱ABCD， ∴△OAD和△OBC的面积之和等于▱ABCD面积的一半，故这种方案 公平. 如图2，作出▱ABCD的两条对角线，过对角线的交点和点O的直线 能将平行四边形平分. $$