精品解析：广东省深圳市福田某校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第二学期 高一年级期中考试数学学科试题 命题人：罗江云 答题注意事项： 1.本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2.本试卷分二卷，不按要求答卷不得分. 一、第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知m、n是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 如图，四边形为平行四边形，，为线段BE的中点，若以，为基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ） A. B. C. D. 7. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 实部是5 B. C D. 在复平面内对应点在第一象限 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底 B. 已知，，则在上的投影向量的坐标是 C. 若两非零向量，满足，则 D. 平面直角坐标系中，，，，则锐角三角形 11. 如图所示圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为______． 13. 如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________. 14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5大题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. （1）求cos∠CAD的值； （2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． 17. 已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证： （1）平面PBC； （2）． 18. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 19. 如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）． （1）证明：平面平面； （2）求直线DF与平面所成角的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期 高一年级期中考试数学学科试题 命题人：罗江云 答题注意事项： 1.本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2.本试卷分二卷，不按要求答卷不得分. 一、第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，即可求解. 【详解】由，得， 解得， 所以. 故选：B. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即得. 【详解】由向量，得. 故选：D 3. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 4. 已知m、n是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用长方体中线面的关系，逐一确定各选项. 【详解】 A选项：令平面为平面，为直线，为直线， 有：，，但，A错误； B选项：令平面为平面，令平面为平面， 令平面为平面，有：，，而，B错误； C选项：令平面为平面，令平面为平面，为直线， 有：，，则，而，C错误； D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确. 故选：D 5. 如图，四边形为平行四边形，，为线段BE的中点，若以，为基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算计算即可求解. 【详解】∵为的中点，∴， ∴， ∵，∴， 则． 故选：C. 6. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则进行判断. 【详解】由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变， 注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为， 经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半， 故原图的对角线长是，只有A符合题意. 故选：A 7. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积. 故选:B. 8. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD. 【详解】对于A，复数的实部是5，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误. 故选：ABC 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底 B. 已知，，则在上的投影向量的坐标是 C. 若两非零向量，满足，则 D. 平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可判断A错误；根据投影向量的概念可判断B正确；由，同时平方可得，故可判断C正确；由，，可得，，进而可得，即，故D错误. 【详解】对于A，因为，所以与不可以作为平面内所有向量的一个基底，故A错误； 对于B，在上的投影向量的坐标为，故B正确； 对于C，因为，所以，化简得，又，是非零向量，所以，故C正确； 对于D，因为，，，所以，， 所以，所以，所以不是锐角三角形，故D错误. 故选：BC. 11. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由纯虚数概念可得答案. 【详解】，因为纯虚数， 则. 故答案为： 13. 如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________. 【答案】5 【解析】 【分析】取AD的中点P，连接PM、PN，∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，解△MPN即可. 【详解】取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3， ∴MN＝5. 故答案为：5. 14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可. 【详解】 由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分， 以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，， 由任意角的三角函数的定义，设，， 则，，， ∴， ∴ 令，，则， 当时，， ， ， ∴存在，使，即， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5大题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值． 【小问1详解】 向量，，，且，， 可得且，解得，， 即，，则， 则； 【小问2详解】 因，， 所以，， 设向量与夹角为， 则， 即向量与夹角的余弦值为． 16. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. （1）求cos∠CAD的值； （2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】试题分析： (1)利用题意结合余弦定理可得； (2)利用题意结合正弦定理可得：. 试题解析： （I）在中，由余弦定理得 (II)设 在中，由正弦定理， 故 点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 17. 已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证： （1）平面PBC； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）连结，证明平面PDN，再根据线面垂直的性质即可得证. 【小问1详解】 如图，取的中点，连结， 因为M是PD的中点， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC； 【小问2详解】 连结， 因为，N是BC的中点， 所以， 在中，，，， 所以， 由条件，所以， 又N是BC的中点，所以， 因为DN，平面PDN，， 所以平面PDN， 因为平面PDN，所以． 18. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 19. 如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）． （1）证明：平面平面； （2）求直线DF与平面所成角的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，得平面，所以，再证平面，从而得证面面垂直； （2）直线DF与平面所成角为，记，设（），由，得，计算，利用基本不等式得最大值，从而得角的最大值． 【小问1详解】 因为，，，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 又因为，，平面，， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 连结FK，由（1）可知，直线DF与平面所成角为，记． 在图1中，因为，所以， 又因为，所以． 又因为，所以． 设（），由，得，解得． 在图2中，因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 又因为，所以的最大值为， 即直线DF与平面所成角的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$