广东省深圳市福田区红岭中学2024-2025学年高一下学期第一学段考试（期中）数学试卷

红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试 高一数学试卷 (说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分) 命题人： 张磊 审题人：蓝浚涵 一、单选题 (本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上) 1. 已知复数z满足 其中i为虚数单位，则z的虚部为 ( ) A. i B. - 1 C. - i D. 1 2.三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n不可能是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知向量 则在 上的投影向量为 ( ) 4. 已知， ，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是 ( ) A. //, //, 则// B. 若 且 则 则与同向 D.若，是非零向量且 则与同向 5.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容积约为( ) A. 100cm³ B. 200cm³ C. 300cm³ D. 400cm³ 6. 已知α，β表示两个不同的平面， a，b，c表示三条不同的直线，( ) A. 若b//a,a⊂α, 则b//α B. 若a⊂α,b⊂α,c⊥a,c⊥b, 则c⊥α C. 若a⊂α,b⊂α,a//β,b//β, 则α//β D. 若a⊥α,a∥b, 则b⊥α 7.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且 三棱锥O-ABC的体积为 则球O的表面积为( ) A. 36π B. 16π C. 12π 高一数学试卷第1页，共4页 8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则 的取值范围为 ( ) A. [-2,20] B. [0,16] C. (0,18] D. [0,24] 二、多选题 (本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上) 9. 已知复数z₁，z₂， 下列结论正确的有 ( ) A. 若 则 B. 若 则 C.若复数z₂满足 则z₂在复平面内对应的点的轨迹为圆 D. 若 是关于x的方程. 的一个根， 则p=8 10.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度d=1km.一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度v₁的大小为|v₁|=20km/h, 水流速度v₂的大小为 . 设v₁和v₂的夹角为θ(0°<θ<180°), 则 ( ) A. 当船的航行时间最短时， θ=90° B.当船的航行距离最短时， C. 当θ=30°时，船的航行时间为12分钟 D. 当θ=120°时，船的航行距离为 11.在直四棱柱 中,底面ABCD为菱形, ∠BAD=60°, AB=AD =AA₁=2,P为CC₁中点,点Q 满足 下列结论中正确的是 ( ) A. 若 则四面体A₁BPQ的体积为定值 B. 若△A₁BQ的外心为O, 则 为定值2 C. 若 则点 Q 的轨迹长度为 D.若 则存在点E∈A₁B,使AE+EQ量最小值 高一数学试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题 (本大题共3小题，每题5分，共15分) 12.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°, 且A,B两点间的距离为60m, 则树的高度为 m. 13.在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M, N, 设AB=mAM,AC=nAN , 则4m+n= . 14.在△ABC中， D是AB边上靠近B的三等分点，若 ①△ABC面积的最大值 ②BC的最小值 . 四、解答题 (本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15. (13分) 设x, y∈R, 向量=(x,1), =(1,y), =(2,-4),且⊥, ∥. (1)求 (2)求向量 与 夹角的余弦值. 16. (15分) 已知△ABC中, (1)求cosA的值; (2)D为边BC的中点, 若AD=AB, 求 17. (15分) 如图，在四棱台 中, 底面ABCD是正方形, D₁D⊥平面ABCD, (1)求证: A₁A∥平面C₁BD; (2)求直线A₁A到平面C₁BD的距离; 高一数学试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 18. (17分) 已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角. 的平分线,CB与AD相交于点 O,AC=5, (1)求sin∠ACO的值; (2)求CO的长; (3)若BC=BD, 求△ABD的面积. 19. (17分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点 P处的离散曲率为 其中 Q₁(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点 P相邻的顶点, 且平面Q₁PQ₂,平面Q₂PQ₃, …,平面Qₖ₋₁PQₖ和平面QₖPQ₁为多面体M的所有以P为公共点的面. (1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图, 已知在三棱锥P-ABC中, PA⊥平面ABC, AC⊥BC, AC=BC,三棱锥P-ABC在顶点C处的离散曲率为 ①求直线 PC 与直线AB 所成角的余弦值； ②若点Q在棱 PB上运动，求直线CQ 与平面ABC所成的角的最大值. 高一数学试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试 高一数学试卷 参考答案 一、单选题 1-8 BBADB DBB 二、多选题 9、BCD 10、AB 11、ACD 三、填空题 12、30+ 13、5 14、， 四、解答题 15、（1） 根据⊥,点积为0，即 根据 向量对应分量成比例，即 代入得： 将x = 2, y=-2代入 -1) 模长： （2） (3,4) 5 模长： 余弦值： 16、①由 sinC 可得 sinC 由正弦定理，可得 由余弦定理，可得 ②由D为边BC的中点，可得 则有 ， 又 所以有 整理可得 即 故 则 17、(1)证明: 如图, 连接AC交BD于点O, 连接 把四棱台 补成四棱锥 由棱台的性质，得 ， 分别为SA, SB, SC, SD的中点, 在 中， O分别为SC,A C的中点， 即 又A₁A⊄平面C₁BD, OC₁⊂平面C₁BD (2)由 (1) 知 故直线. 到平面 的距离即为点A到平面 的距离. 以D为坐标原点，以 的方向分别为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则D(0,0,0), B(6,6,0), C₁(0,3,2),A(6,0,0), 设 为平面 的一个法向量， 由 令 得 则点A到平面 的距离 故直线. 到平面 的距离为 18、(1) 因为 对角线CB为钝角 的平分线， 所以 解得 或 (舍) , 所以 (2)由题意, 在, 中， 由余弦定理可得： 即 整理可得 解得 或 (舍去), 因为 所以 又因为 所以 CO 所以 解得 (3)在 中，由正弦定理可得 即 所以 因为 为钝角，所以 因为 所以 所以 所以 在 中， 由余弦定理可得 解得 因为 所以 19、(1)由离散曲率的定义得： CPA) CAP) ABC) ACP) 四个式子相加得： (2)①如图,分别取AC, BC, AP的中点D, E, F, 连接AE, DE, DF, EF,显然有 所以 为异面直线AB与PC的夹角或其补角，设 因为 所以 因为PA⊥平面ABC, AB , AC, AE, BC ⊂平面 ABC, 所以. 因为 所以 又因为 所以 因为C点处的离散曲率为 且 ACP) 所以 解得 所以 而 在 中， 由余弦定理知， 故异面直线AB与PC的夹角的余弦值为 ②如图，过Q点作( 交AB与G,连接CG, 因为 所以 平面ABC, 则 为直线CQ与平面ABC所成的角， 设 在 中， 由余弦定理知， 因为 所以 所以 所以所以 当分母最小时， 最大， 即 最大，此时 即 (Q与P重合) ， 由 得 即 所以 的最大值为 故直线CQ与平面ABC所成的角的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$