小升初复习专题讲义：比例（七大考点，考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

小升初复习专题讲义：比例（七大考点，考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年六年级下册数学人教版 题型预览 考点一、比例的意义和基本性质 考点二、应用比例的基本性质解比例 考点三、正比例和反比例 考点四、应用比例尺求图上距离或实际距离 考点五、应用比例尺画平面图 考点六、图形的缩放 考点七、应用比例解决实际问题 考点梳理 考点一、比例的基本概念 1.比与比例的区别： （1）比：表示两个数的倍数关系（如 ）。 （2）比例：表示两个比相等的关系（如 ）。 （3）关键术语：比例的内项（）、外项（）。 2.比例的基本性质： （1）内项积 = 外项积：若 ，则 。 （2）应用：判断比例是否成立、解比例方程。 考点二、解比例 1.方法：利用比例基本性质，将比例式转化为方程求解未知数。 例： → → 。 2.常见题型： （1）求未知项（如 ）； （2）根据比例关系列式（如已知3个量求第4个量）。 考点三、正比例与反比例 类型 定义 关系式 图像特点 举例 正比例 两种量比值一定，同向变化 （为常数） 过原点的直线 速度固定时，路程与时间 反比例 两种量乘积一定，反向变化 （为常数） 双曲线（不与坐标轴相交） 路程固定时，速度与时间 口诀：同增同减正比例，一增一减反比例；比值乘积定关系，图像形状要牢记。 考点四、比例的应用 1.比例尺： （1）公式：比例尺 （单位需统一）。 （2）题型：求实际距离、图上距离或比例尺（注意单位换算，如1千米=100000厘米）。 2.按比例分配： （1）步骤： ①确定总份数（如3:2→共5份）； ②求每份量（总量÷总份数）； ③求各部分量（每份量×对应份数）。 例：按2:3:5分配60本书，三部分各有12本、18本、30本。 3.实际问题： （1）调配问题（如药水浓度）； （2）相似图形（对应边成比例）； （3）行程、工程问题中的比例关系。 考点五、易错点与解题技巧 1.易混淆概念： （1）正比例是“商一定”，反比例是“积一定”； （2）比例尺是“图上:实际”，不是“实际:图上”。 2.单位陷阱： （1）比例尺计算时单位必须统一（如千米→厘米）； （2）按比例分配时，总量与份数对应关系要明确。 3.特殊题型： （1）判断是否成比例：先确定是比值一定还是乘积一定； （2）反比例隐藏条件：如“一本书已读页数和未读页数”不成反比例（总和变化，积不一定）。 4.口诀速记：内项外项积相等，解比例方程好用；同向正比反向反，比例应用三步分。 例题讲解 例题：一、比例的意义和基本性质 【例题1】下面各比中， 能和0.2： 组成比例的是（　　）。 A．2：4 B．：10 C． D．1.6：2 【答案】D 【详解】【解答】解：0.2×2=0.4，1.6×=0.4，可以组成比例0.2：=1.6：2。 故答案为：D。 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个内项积等于两个外项积。据此判断。 【例题2】把6×25=10×15改写成比例，不正确的是（　　）。 A．6：25=10：15 B．6：10=15：25 C． D．25：10=15：6 【答案】A 【详解】【解答】解：A选项：10×25≠6×15，比例错误； B选项：6×25=10×15，比例正确； C选项：6×25=10×15，比例正确； D选项：6×25=10×15，比例正确； 故答案为：A。 【分析】比例的基本性质是：内项积等于外项积。据此验证每个选项中的比例即可。 【例题3】像15：3=A：6这样的式子叫　 　， 这里的A=　 　。 【答案】比例；30 【详解】【解答】解：15：3=A：6 3A=15×6 3A=90 A=30 故答案为：比例，30。 【分析】两个比值相等的比可以构成比例。根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积，将15：3=A：6化简为3A=15×6，然后根据等式的基本性质计算即可解出A的值。 例题：二、应用比例的基本性质解比例 【例题1】在A：30=B：60中，则3A÷2B=（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】【解答】解：A：30=B：60 30B=60A B=A B=2A 3A÷2B =3A÷（2×2A） =3A÷4A =。 故答案为：C。 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个内项积等于两个外项积；求出B后，代入3A÷2B计算即可。 【例题2】在比例 中，如果，那么 　 　；如果 那么 　 　。 【答案】85；3 【详解】【解答】解：当x=34时： 34×5=2y 2y=170 y=85 当y=7.5时： 5x=2×7.5 5x=15 x=3 故答案为：85，3。 【分析】首选根据比例的基本性质：内项积等于外项积，得到5x=2y，然后分别将x=34和y=7.5代入上式，根据等式的基本性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，计算得出另一个未知数的值。 【例题3】解比例。 x ：4.6= 0.5：0.23 【答案】x ：4.6= 0.5：0.23 解：0.23x=4.6×0.5 0.23x=2.3 x=10 解：9x=18×4 8x=72 x=9 【详解】【分析】 等式的基本性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立；比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积。 （1）根据比例的基本性质，得到0.23x=4.6×0.5，计算小数乘法后，再根据等式的基本性质2，将等式两边同时除以0.23，即可得到答案； （2）根据比例的基本性质，得到9x=18×4，计算整数乘法后，再根据等式的基本性质2，将等式两边同时除以9，即可得到答案。 例题：三、正比例和反比例 【例题1】下列各种关系中，成反比例关系的是（　　）。 A．在一定时间里，每分钟生产零件个数和生产零件的总个数 B．长方形的长不变，面积和宽 C．圆锥的体积一定，圆锥的高和圆锥的底面积 D．一捆10米长的彩带，用去的长度与剩下的长度 【答案】C 【详解】【解答】解：选项A：时间=总个数÷每分钟生产个数，时间一定也就是比值一定，那么这两种量成正比例关系； 选项B：长方形的长=长方形面积÷宽，长一定也就是比值一定，所以这两种量成正比例关系； 选项C：圆锥的体积=圆锥的底面积×高，体积一定也就是乘积一定，所以这两种量成反比例关系； 选项D：用去的长度+剩下的长度=10，两种量不成比例。 故答案为：C。 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量随之变化，它们的乘积不变，说明这两种量成反比例关系，据此解答。 【例题2】表示a和b成反比例的式子是（　　）。 A．a+b=4 B． C． D． 【答案】C 【详解】【解答】解：选项A，a+b=4，和一定，不成比例； 选项B，，b÷a=，比值一定，成正比例； 选项C，，a×b=7，积一定，成反比例； 选项D，，a÷b=，比值一定，成正比例。 故答案为：C。 【分析】如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用以下关系式表示：y：x=k（一定）；如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用下面关系式表示：xy=k（一定），据此判断。 【例题3】成正比例关系的图像是一条直线。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解：成正比例关系的图像是一条直线 故答案为：正确。 【分析】正比例是指两种相关联的量，一种量变化时，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的比值（或商）一定，那么它们的关系称为正比例关系‌‌。体现在图像中即y轴与x轴的比值一定，所以是一条直线。 【例题4】如果x÷y＝42÷3.5，那么x和y成　 　比例关系；如果m：1.2＝1.5：n，那么m和n成　 　比例关系。 【答案】正；反 【详解】【解答】x÷y＝42÷3.5，x和y的商一定，成正比例关系； m：1.2＝1.5：n，m×n=1.2×1.5，积一定，成反比例关系。 故答案为：正；反。 【分析】判断正比例的方法：相关联，能变化，商一定；判断反比例的方法：相关联，能变化，积一定。 例题：四、应用比例尺求图上距离或实际距离 【例题1】下面关于比例尺的说法正确的是(　　)。 A．比例尺是比例。 B．比例尺1：100表示实际距离是图上距离的 C．比例尺的前项总是1。 D．比例尺1：100表示图上1cm距离相当于实际1m距离。 【答案】D 【详解】【解答】解：A：比例尺不是比例 B：比例尺1：100表示图上距离是实际距离的 C：比例尺的前项不总是1 D：1÷=100（厘米）=1米 故答案为：D。 【分析】比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比；比例表示两个或多个比相等的式子；比例尺=图上距离：实际距离；据此解答即可。 【例题2】改写成数值比例尺是1：5。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：5米=500厘米，所以改写成数值比例尺是1：500。 故答案为：除外。 【分析】从图中可以看出，图上1厘米表示实际5米，也就是500厘米，然后写成数值比例尺即可。 【例题3】在一幅比例尺为1：3000000的中国地图上，从北京到上海的铁路长5厘米，北京到上海的铁路全长是　 　千米。 【答案】150 【详解】【解答】解：5÷=5×3000000=15000000（厘米）=150（千米） 故答案为：150。 【分析】图上距离÷比例尺=实际距离。 【例题4】甲乙两地的实际距离是1120千米，把它画在比例尺是1：4000000的地图上，应画多少厘米？ 【答案】解：1120千米=112000000厘米 112000000×=28（厘米） 答：应画28厘米。 【详解】【分析】根据比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比；图上距离=实际距离×比例尺，据此解答。 例题：五、应用比例尺画平面图 【例题1】以小明家为观测点，根据下面条件在平面上标出各地的位置。(比例尺1：100000) （1）学校在小明家北偏东70°的方向上，距离小明家2千米处。 （2）书店在小明家西偏南60°的方向上，距离小明家3千米处。 【答案】（1）解：2千米=200000厘米 200000×=2（厘米） （2）解：3千米=300000厘米 300000×=3（厘米） 【详解】【分析】图上距离=实际距离×比例尺，在地图上的方位是上北，下南，左西，右东；东和西相对，南和北相对；西南和东北相对，西北和东南相对。描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，画出目标的位置。 例题：六、图形的缩放 【例题1】把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，正确的说法是(　　)。 A．面积扩大原来的4倍 B．面积扩大到原来的2倍 C．面积缩小到原来的 D．周长扩大到原来的4倍 【答案】A 【详解】【解答】解：把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，周长是原来的2倍，面积扩大原来的4倍。 故答案为：A。 【分析】此题主要考查了图形的缩放，图形按比例变化时，面积的变化与比例的平方有关，周长则与比例成正比；若图形按k：1变化，则周长变为k倍，面积变为k2倍，据此解答。 【例题2】《清明上河图》为北宋画家张择端创作的风俗画，长约530cm，宽约25cm。把它按1：5的比缩小临摹出来后，长约　 　cm，宽约　 　cm。 【答案】106；5 【详解】【解答】解：530×=106（cm）， 25×=5（cm）； 故答案为：106；5。 【分析】根据缩放的原理，缩小后的尺寸是原尺寸的，据此分别计算长和宽的新数值。 【例题3】按要求画一画，并填空。（每小格的 边长表示 1cm） （1）按 1：3 画出三角形缩小后的图形。 （2）按 2：1 画出梯形放大后的图形。 【答案】（1）解： （2）解： 【详解】【分析】(1) 三角形的底为9格，高为3格，按1：3的比例缩小后的底为9÷3=3(格)，高为3÷3=1(格)，据此画出缩小后的图形。 (2)梯形的上底为2格，下底为3格，高为2格，按2：1的比例放大后的上底为2×2=4(格)，下底为3×2=6(格)；高为2×2=4(格)，据此画出放大后的图形。 例题：七、应用比例解决实际问题 【例题1】一间房子要用方砖铺地，用边长3分米的方砖，需要96块。如果改用边长是2分米的方砖，需要多少块？(用比例解) 【答案】解：设需要x块。 2×2×x=3×3×96 4x=9×96 4x=864 x=864÷4 x=216 答：需要216块。 【详解】【分析】根据题意，房子的地板总面积一定，因为方砖的面积×块数=总面积，所以方砖的面积与块数成反比例关系，据此设需要x块；列出比例，解比例即可。 【例题2】2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭成功发射。奇思在参观科技馆时看到一个长征五号遥八运载火箭模型（如图），长征五号遥八运载火箭实际高度约是多少米？（用比例知识解答） 模型与实物之比：1∶100 高度：57厘米 外漆：烤漆 【答案】解：设长征五号遥八运载火箭实际高度约是x厘米。 57∶x＝1∶100 x＝57×100 x＝5700 5700厘米＝57米 答：长征五号遥八运载火箭实际高度约是57米。 【详解】【分析】设长征五号遥八运载火箭实际高度约是x厘米。依据长征五号遥八运载火箭图上的高：实际的高=1：100，列比例，解比例。然后再单位换算。 考点练习 考点一、比例的意义和基本性质 1．在比例中，两个比的比值都是 ，第一个比的后项与第二个比的前项都是6，则这个比例是(　　)。 A． B．2：6=6：18 C．18：6=6：2 D．6：18=6：2 【答案】B 【详解】【解答】解：A：第一个比的后项是18，不符合题意 B：2：6=6：18=，符合题意 C：18：6=6：2=3≠，不符合题意 D：6：18=，6：3=3，不成比例 故答案为：B。 【分析】首先根据“ 第一个比的后项与第二个比的前项都是6 ”排除A选项，然后根据比值的求法：比值=比的前项÷后项，分别计算出剩下三个选项中的比值，再根据“ 两个比的比值都是 ”进行判断即可。 2．如下图，平行四边形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，下列式子成立的有（　　）个。 ①a∶c＝b∶d ②a∶c＝d∶b ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】【解答】解：ab=cd，所以a：c=d：b； ；；成立的有②③④，共3个； 故答案为：C。 【分析】平行四边形的面积=底×高，即底和高成反比例，据此可以得到，ab=cd；比例中，内项积等于外项积，据此解答。 3．在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，一个内项是6，另一个内项是　 　；若比例中的一个外项是 ，则这个比例可能是　 　。 【答案】；4 【详解】【解答】解：2÷6= 2÷=4 比例：4 故答案为：，4。 【分析】分析题干，已知最小的质数是2，故根据比例的基本性质：内项积等于外项积，计算得出另一个内项是2÷6=；已知两个外项的积和其中一个外项，通过除法可以计算出另一个外项，进而根据比例由两个比值相等的比构成，即可得出这个比例。 考点二、应用比例的基本性质解比例 1．解比例：3=x：16时，第一步写成×16=3x是根据（　　）。 A．分数的基本性质 B．比的基本性质 C．比例的基本性质 D．商不变的性质 【答案】C 【详解】【解答】解：第一步写成×16=3x是根据：比例的基本性质。 故答案为：C。 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个内项积等于两个外项积。 2．、2.4、6和x四个数组成比例， x最小是　 　， 最大是　 　。 【答案】0.2；28.8 【详解】【解答】解：最小： ：6=x：2.4 6x=×2.4 6x=1.2 6x÷6=1.2÷6 x=0.2 最大： ：6=2.4：x x=6×2.4 x=14.4 x÷=14.4÷ x=14.4×2 x=28.8 故答案为：0.2；28.8。 【分析】比例的基本性质是：内项积等于外项积。因此，x无论是内项还是外项，都等于两个数的乘积除以另外一个数。因此，要使x最小，就要将三个数中较小的两个数相乘，即较小的两个数同时作为外项或者内项；要使x最大，就要将三个数中较大的两个数相乘，即较大的两个数同时作为外项或者内项。 3．解比例。 x：25=1.2：75 【答案】x：25=1.2：75 解：75x=25×1.2 75x÷75=25×1.2÷75 x=30÷75 x=0.4 解：4.5x=9×0.8 4.5x÷4.5=9×0.8÷4.5 x=7.2÷4.5 x=1.6 解：0.12x=1.5×6.4 0.12x÷0.12=1.5×6.4÷0.12 x=9.6÷0.12 x=80 【详解】【分析】比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 x：25=1.2：75，根据比例的基本性质，将算式转化为75x=25×1.2，再根据等式性质2，方程两边同时除以75即可； ，根据比例的基本性质，将算式转化为4.5x=0.8×9，再根据等式性质2，方程两边同时除以4.5即可； ，根据比例的基本性质，将算式转化为0.12x=1.5×6.4，再根据等式性质2，方程两边同时除以0.12即可。 考点三、正比例和反比例 1．在出勤率、出勤人数、全班人数这三个量中，当(　　)一定时， 另外两个量成反比例。 A．全班人数 B．出勤人数 C．出勤率 D．以上都可以 【答案】B 【详解】【解答】解：全班人数×出勤率=出勤人数（一定），当出勤人数一定时， 另外两个量成反比例。 故答案为：B。 【分析】判断两个相关联的量成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 2．下列各式中， a与b成正比例关系的是(　　)。(a、b≠0) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】【解答】解：A：，则a÷b=4，a与b成正比例关系； B：，则ab=4，a与b成反比例关系； C：，a与b成反比例关系； D：，则ab=4，a与b成反比例关系。 故答案为：A。 【分析】把每个选项中的式子转化成a与b相乘或相除的形式，然后判断a与b的商一定还是乘积一定，如果商一定就成正比例关系，如果乘积一定就成反比例关系。 3．在一幅地图上，图上距离和实际距离成正比例。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解：图上距离÷实际距离=比例尺（一定），在一幅地图上，图上距离和实际距离成正比例。 故答案为：正确。 【分析】图上距离和实际距离的比值一定，在一幅地图上，图上距离和实际距离成正比例。 4．相关联的两个量不是成正比例就是成反比例。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解： 相关联的两个量可能成正比例、反比例，也可能不成比例。所以原题说法错误。 故答案为： 错误。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 5．下表中，如果a和b成正比例，“？”应该是　 　，如果a和b成反比例，“？”应该是　 　。 a 3 5 b 15 ？ 【答案】25；9 【详解】【解答】解：5÷（3：15） =5÷ =25 3×15÷5 =45÷5 =9 故答案为：25，9。 【分析】如果a和b成正比例，那么a和b的比值一定，为3：15=，根据比值=前项：后项，得出后项b=前项÷比值，代入数据计算即可；如果a和b成反比例，那么a和b的乘积一定，为3×15=45，再除以5即可得到b的值。 6．在同一时间，同一地点，测得不同的树的高度与影长如下表所示。 树高/m 4 5 6 7 影长/m 2.4 3 3.6 4.2 （1）从表中的数据可以发现　 　没有变。 （2）树高和影长成　 　比例。 （3）如果在同一时间， 同一地点， 经过测量，一座塔的影长是88.2米， 这座塔的高是　 　m。 【答案】（1）树高与影长的比值 （2）正 （3）147 【详解】【解答】解：（1）4÷2.4=，5÷3=，6÷3.6=，7÷4.2=， 树高与影长的比值不变； （2）树高与影长成正比例关系； （3）88.2×5÷3 =441÷3 =147（米）； 故答案为：（1）树高与影长的比值；（2）正；（3）147。 【分析】（1）计算树高与影长的比值，比值均为，说明树高与影长的比值不变； （2）两个变量的比值恒定，因此树高与影长成正比例关系； （3）根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，树高：影长=，知道影长，据此求解。 7．小明骑车上学的平均速度与所用的时间成　 　比例，分针走的圈数与时针走的圈数成　 　比例。 【答案】反；正 【详解】【解答】解：路程=速度×时间，路程一定，速度和时间成反比例，所以小明骑车上学的平均速度与所用时间成反比例； 分针每走12圈，时针走1圈，即分针走的圈数÷时针走的圈数=12，所以分针走的圈数与时针走的圈数成正比例。 故答案为：反；正。 【分析】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例，如果是乘积一定就成反比例，据此作答。 8．一种大樱桃销售数量与总价的关系如下： 数量（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 …… 总价（元） 0 25 50 75 100 125 150 175 …… （1）数量与总价这两种量成什么比例关系？为什么？ （2）在图中描出数量和总价相对应的点，然后将它们连起来。 【答案】（1）解：成正比例关系，因为它们的比值一定。 （2）解： 【详解】【分析】（1）当两个量的比值相等时，这两个量成正比例关系； （2）根据表格中的数据作图即可。 考点四、应用比例尺求图上距离或实际距离 1．亮亮学完《比例尺》这节课后在练习本上画出了教室里黑板(长4米，宽1.2米)的平面图，采用( )比例尺比较合适。 A．1：5 B．1：50 C．1：500 D．1：5000 【答案】B 【详解】【解答】解：A：4×=0.8（米），1.2×=0.24（米） B：4×=0.08（米），1.2×=0.024（米） C：4×=0.008（米），1.2×=0.0024（米） D：4×=0.0008（米），1.2×=0.00024（米） 故答案为：B。 【分析】已知比例尺=图上距离：实际距离，得到图上长（宽）=实际长（宽）×比例尺，分别计算出每个选项比例尺条件下的图上长和宽，A选项长为0.8米，太大，C和D选项长分别为0.008米和0.0008米，太小，只有B选项合适。 2．在一幅地图上，图上距离越大，实际距离就越大。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：图上距离与实际距离成正比例关系，因此，在一幅地图上，图上距离越大，实际距离就越大，该说法正确。 故答案为：正确。 【分析】比例尺=图上距离：实际距离，同一幅地图的比例尺一定，所以图上距离与实际距离成正比例关系，据此判断。 3．钟表制造厂制作的一种精密零件实际长0.3cm，画在图纸上的长9cm，这幅图纸的比例尺是　 　。在这幅图纸上，量得另一个零件长12cm，那么它实际的长是　 　cm。 【答案】30∶1；0.4 【详解】【解答】解：9：0.3=30：1 12÷30=0.4（cm） 故答案为：30：1，0.4。 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，把数代入公式即可求解；实际距离=图上距离÷比例尺，由此即可求出零件的实际长，要注意计算时统一单位。 4．“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”这是唐朝著名诗人李白的诗句，在比例尺为0 200 400km的地图上量得白帝城到江陵的距离是2.1厘米。王叔叔开车以75千米/时的速度从白帝城出发，行驶几时可以到达江陵? 【答案】解：1cm：200km =1cm：20000000cm =1：20000000 2.1÷=42000000（厘米）=420千米 420÷75=5.6（小时） 答：行驶5.6小时可以到达江陵。 【详解】【分析】分析题干，由线段比例尺得到图中1cm表示实际200km，根据比例尺=图上距离：实际距离，得到地图的比例尺（1km=100000cm），再根据实际距离=图上距离÷比例尺，计算得出两地的实际距离，最后根据路程=速度×时间，得到时间=路程÷速度，代入数据即可求出行驶几时可以到达江陵。 5．某校为了开展劳动教育，把一块三角形土地开辟成菜地，该三角形菜地底是75m，高是60m，把它画在比例尺是1：500的平面图上，这个三角形菜地的图上面积是多少平方厘米? 【答案】解：75米=7500厘米 60米=6000厘米 7500×=15（厘米） 6000×=12（厘米） 15×12÷2 =180÷2 =90（平方厘米） 答：这个三角形菜地的图上面积是90平方厘米。 【详解】【分析】这个三角形菜地的图上面积=图上的底×高÷2；其中，图上距离=实际距离×比例尺，关键是单位换算。 考点五、应用比例尺画平面图 1．一块周长是220m的长方形土地，长和宽的比是7：4，请按照1：2000的比例尺求出这块土地平面图的长和宽，然后再画出它的平面图。 【答案】解：220÷2=110（m） 110÷（7+4） =110÷11 =10（m） 长：10×7=70（m）=7000（cm） 宽：10×4=40（m）=4000（cm） 7000×=3.5（cm） 4000×=2（cm） 【详解】【分析】用周长除以2求出长与宽的和，然后把长与宽的和按照7：4的比分配后求出长和宽，把长和宽都换算成厘米，分别乘比例尺求出图上的长和宽，然后根据图上的长和宽画出平面图即可。 2．小明家在学校北偏西35°方向6km处，学校在小红家西偏北20°方向7km处。选择合适的比例尺在下图中画出他们两家和学校的位置平面图。 【答案】解：比例尺1厘米：2千米=1厘米：200000厘米=1：200000， 所以，6千米×=600000×=3（厘米）， 7千米×=700000×=3.5（厘米）， 【详解】【分析】图上距离=实际距离×比例尺；找一个地方在另一个地方的什么位置上，就以另一个地方为观测点，根据上北下南，左西右东和距离，角度来判断。 考点六、图形的缩放 1．把一个三角形按3：1放大，原来的面积为27cm2，放大后的面积为(　　)。 A．81cm2 B．243cm2 C．729cm2 D．9cm2 【答案】B 【详解】【解答】解：放大比例为3：1，因此面积比例为。 原面积27 cm2乘以9得到放大后的面积：27×9= 243cm2 故答案为：B。 【分析】已知原面积为27 cm2，需利用比例关系求解放大后的面积。面积变化与线性比例的平方成正比，因此需要先确定比例关系，再进行计算。 2．一个半径是4 cm的圆，半径按2： 1放大后，圆的周长是 　cm，圆的面积是　 　cm2；按　 　缩小后，圆的面积是3.14 cm2。 【答案】50.24；200.96；1：4 【详解】【解答】解：第一问：3.14×（4×2）×2=3.14×16=50.24（cm）； 第二问：3.14×（4×2）2=3.14×64=200.96（cm2）； 第三问：3.14÷3.14=1，所以半径是1，所以按1：4缩小后，圆的面积是3.14cm2。 故答案为：50.24；200.96；1：4。 【分析】第一问：按2：1放大后半径的长度是原来长度的2倍，由此计算出扩大后圆的半径，再计算周长； 第二问：根据圆面积公式计算扩大后圆的面积即可； 第三问：根据缩小后圆的面积判断出缩小后圆的半径，然后根据原来的半径判断缩小的比即可。 3．下图中的每小格表示边长为1厘米的正方形。 （1）按3∶1画出三角形放大后的图形。 （2）放大后三角形的面积是　 　平方厘米。 【答案】（1）解： （2）36 【详解】【解答】解：（2）12×6÷2 =72÷2 =36（平方厘米）。 故答案为：（2）36。 【分析】（1）放大后直角三角形两条直角边分别的格数=原来直角三角形两条直角边分别的格数×3，据此画图； （2）放大后三角形的面积=放大后三角形的底×高÷2。 考点七、应用比例解决实际问题 1．引力是指具有质量的物体之间加速靠近的趋势，其来源于物体自身质量对于时空的弯曲。由于月球与地球之间的质量差异，月球引力与地球引力的比约为1：6，理论上同一个人在月球上能跳到的高度与在地球上能跳到的高度的比约为6：1。小波在校运会上的跳高成绩是1.5m，如果是在月球上，那么小波的跳高成绩大约是多少米？ 【答案】解：设小波在月球上的跳高成绩大约是xm x ： 1.5=6： 1 x=1.5×6 x=9 答：小波在月球上的跳高成绩大约是9m。 【详解】【分析】根据题目信息，已知一个人在月球上能跳到的高度与在地球上能跳到的高度的比约为6：1，小波在校运会上的跳高成绩是1.5m，故可假设小波在月球上的跳高成绩大约是xm，进而建立方程x ： 1.5=6： 1，解方程得出x的值，即为小波在月球上的跳高成绩。 2．一个晒盐场用10千克海水可以晒出0.3千克盐。如果一块盐田有4000吨海水，可以晒出多少吨盐？（用比例知识解答） 【答案】解：设可以晒出x吨盐。 10：0.3=4000：x 10x=0.3×4000 10x=1200 x=1200÷10 x=120 答：可以晒出120吨盐。 【详解】【分析】因为海水的出盐率一定，所以一个晒盐场的海水质量：盐的质量=另一个晒盐场的海水质量：盐的质量，据此比例关系列比例，根据比例的基本性质解比例。 3．王老师调制蜂蜜水，所用蜂蜜与水的质量比是3：20，已知用了60克的水，用了多少克蜂蜜？ (用比例解) 【答案】解：设用了x克蜂蜜。 x：60=3：20 20x=60×3 20x÷20=180÷20 x=9 答：用了9克蜂蜜。 【详解】【分析】设用了x克蜂蜜，根据题意，可以得到比例关系是：蜂蜜的质量：水的质量=3：20，据此列比例解答。 4．赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。我国载人空间站“天宫”飞行 76.8km 仅需 10 秒，每天可绕地球约 16 圈，“天宫”内的航天员们大约每 1.5 小时就要经历一次日出与日落。“天宫”飞行 192 km 需要多久？（用比例解） 【答案】解：天宫”飞行 192 km 需要x秒。 76.8：10=192：x 76.8x=192×10 76.8x÷76.8=1920÷76.8 x=25 答：天宫”飞行 192 km 需要25秒。 【详解】【分析】由题意可知，路程：时间=速度(一定)，因此，路程和时间成正比例关系，可以设天宫”飞行 192 km 需要x秒，结合“天宫”飞行 76.8km 仅需 10 秒，列比例方程解答。 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 小升初复习专题讲义：比例（七大考点，考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年六年级下册数学人教版 题型预览 考点一、比例的意义和基本性质 考点二、应用比例的基本性质解比例 考点三、正比例和反比例 考点四、应用比例尺求图上距离或实际距离 考点五、应用比例尺画平面图 考点六、图形的缩放 考点七、应用比例解决实际问题 考点梳理 考点一、比例的基本概念 1.比与比例的区别： （1）比：表示两个数的倍数关系（如 ）。 （2）比例：表示两个比相等的关系（如 ）。 （3）关键术语：比例的内项（）、外项（）。 2.比例的基本性质： （1）内项积 = 外项积：若 ，则 。 （2）应用：判断比例是否成立、解比例方程。 考点二、解比例 1.方法：利用比例基本性质，将比例式转化为方程求解未知数。 例： → → 。 2.常见题型： （1）求未知项（如 ）； （2）根据比例关系列式（如已知3个量求第4个量）。 考点三、正比例与反比例 类型 定义 关系式 图像特点 举例 正比例 两种量比值一定，同向变化 （为常数） 过原点的直线 速度固定时，路程与时间 反比例 两种量乘积一定，反向变化 （为常数） 双曲线（不与坐标轴相交） 路程固定时，速度与时间 口诀：同增同减正比例，一增一减反比例；比值乘积定关系，图像形状要牢记。 考点四、比例的应用 1.比例尺： （1）公式：比例尺 （单位需统一）。 （2）题型：求实际距离、图上距离或比例尺（注意单位换算，如1千米=100000厘米）。 2.按比例分配： （1）步骤： ①确定总份数（如3:2→共5份）； ②求每份量（总量÷总份数）； ③求各部分量（每份量×对应份数）。 例：按2:3:5分配60本书，三部分各有12本、18本、30本。 3.实际问题： （1）调配问题（如药水浓度）； （2）相似图形（对应边成比例）； （3）行程、工程问题中的比例关系。 考点五、易错点与解题技巧 1.易混淆概念： （1）正比例是“商一定”，反比例是“积一定”； （2）比例尺是“图上:实际”，不是“实际:图上”。 2.单位陷阱： （1）比例尺计算时单位必须统一（如千米→厘米）； （2）按比例分配时，总量与份数对应关系要明确。 3.特殊题型： （1）判断是否成比例：先确定是比值一定还是乘积一定； （2）反比例隐藏条件：如“一本书已读页数和未读页数”不成反比例（总和变化，积不一定）。 4.口诀速记：内项外项积相等，解比例方程好用；同向正比反向反，比例应用三步分。 例题讲解 例题：一、比例的意义和基本性质 【例题1】下面各比中， 能和0.2： 组成比例的是（　　）。 A．2：4 B．：10 C． D．1.6：2 【答案】D 【详解】【解答】解：0.2×2=0.4，1.6×=0.4，可以组成比例0.2：=1.6：2。 故答案为：D。 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个内项积等于两个外项积。据此判断。 【例题2】把6×25=10×15改写成比例，不正确的是（　　）。 A．6：25=10：15 B．6：10=15：25 C． D．25：10=15：6 【答案】A 【详解】【解答】解：A选项：10×25≠6×15，比例错误； B选项：6×25=10×15，比例正确； C选项：6×25=10×15，比例正确； D选项：6×25=10×15，比例正确； 故答案为：A。 【分析】比例的基本性质是：内项积等于外项积。据此验证每个选项中的比例即可。 【例题3】像15：3=A：6这样的式子叫　 　， 这里的A=　 　。 【答案】比例；30 【详解】【解答】解：15：3=A：6 3A=15×6 3A=90 A=30 故答案为：比例，30。 【分析】两个比值相等的比可以构成比例。根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积，将15：3=A：6化简为3A=15×6，然后根据等式的基本性质计算即可解出A的值。 例题：二、应用比例的基本性质解比例 【例题1】在A：30=B：60中，则3A÷2B=（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】【解答】解：A：30=B：60 30B=60A B=A B=2A 3A÷2B =3A÷（2×2A） =3A÷4A =。 故答案为：C。 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个内项积等于两个外项积；求出B后，代入3A÷2B计算即可。 【例题2】在比例 中，如果，那么 　 　；如果 那么 　 　。 【答案】85；3 【详解】【解答】解：当x=34时： 34×5=2y 2y=170 y=85 当y=7.5时： 5x=2×7.5 5x=15 x=3 故答案为：85，3。 【分析】首选根据比例的基本性质：内项积等于外项积，得到5x=2y，然后分别将x=34和y=7.5代入上式，根据等式的基本性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，计算得出另一个未知数的值。 【例题3】解比例。 x ：4.6= 0.5：0.23 【答案】x ：4.6= 0.5：0.23 解：0.23x=4.6×0.5 0.23x=2.3 x=10 解：9x=18×4 8x=72 x=9 【详解】【分析】 等式的基本性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立；比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积。 （1）根据比例的基本性质，得到0.23x=4.6×0.5，计算小数乘法后，再根据等式的基本性质2，将等式两边同时除以0.23，即可得到答案； （2）根据比例的基本性质，得到9x=18×4，计算整数乘法后，再根据等式的基本性质2，将等式两边同时除以9，即可得到答案。 例题：三、正比例和反比例 【例题1】下列各种关系中，成反比例关系的是（　　）。 A．在一定时间里，每分钟生产零件个数和生产零件的总个数 B．长方形的长不变，面积和宽 C．圆锥的体积一定，圆锥的高和圆锥的底面积 D．一捆10米长的彩带，用去的长度与剩下的长度 【答案】C 【详解】【解答】解：选项A：时间=总个数÷每分钟生产个数，时间一定也就是比值一定，那么这两种量成正比例关系； 选项B：长方形的长=长方形面积÷宽，长一定也就是比值一定，所以这两种量成正比例关系； 选项C：圆锥的体积=圆锥的底面积×高，体积一定也就是乘积一定，所以这两种量成反比例关系； 选项D：用去的长度+剩下的长度=10，两种量不成比例。 故答案为：C。 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量随之变化，它们的乘积不变，说明这两种量成反比例关系，据此解答。 【例题2】表示a和b成反比例的式子是（　　）。 A．a+b=4 B． C． D． 【答案】C 【详解】【解答】解：选项A，a+b=4，和一定，不成比例； 选项B，，b÷a=，比值一定，成正比例； 选项C，，a×b=7，积一定，成反比例； 选项D，，a÷b=，比值一定，成正比例。 故答案为：C。 【分析】如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用以下关系式表示：y：x=k（一定）；如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用下面关系式表示：xy=k（一定），据此判断。 【例题3】成正比例关系的图像是一条直线。(　　) 【答案】正确 【详解】【解答】解：成正比例关系的图像是一条直线 故答案为：正确。 【分析】正比例是指两种相关联的量，一种量变化时，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的比值（或商）一定，那么它们的关系称为正比例关系‌‌。体现在图像中即y轴与x轴的比值一定，所以是一条直线。 【例题4】如果x÷y＝42÷3.5，那么x和y成　 　比例关系；如果m：1.2＝1.5：n，那么m和n成　 　比例关系。 【答案】正；反 【详解】【解答】x÷y＝42÷3.5，x和y的商一定，成正比例关系； m：1.2＝1.5：n，m×n=1.2×1.5，积一定，成反比例关系。 故答案为：正；反。 【分析】判断正比例的方法：相关联，能变化，商一定；判断反比例的方法：相关联，能变化，积一定。 例题：四、应用比例尺求图上距离或实际距离 【例题1】下面关于比例尺的说法正确的是(　　)。 A．比例尺是比例。 B．比例尺1：100表示实际距离是图上距离的 C．比例尺的前项总是1。 D．比例尺1：100表示图上1cm距离相当于实际1m距离。 【答案】D 【详解】【解答】解：A：比例尺不是比例 B：比例尺1：100表示图上距离是实际距离的 C：比例尺的前项不总是1 D：1÷=100（厘米）=1米 故答案为：D。 【分析】比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比；比例表示两个或多个比相等的式子；比例尺=图上距离：实际距离；据此解答即可。 【例题2】改写成数值比例尺是1：5。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：5米=500厘米，所以改写成数值比例尺是1：500。 故答案为：除外。 【分析】从图中可以看出，图上1厘米表示实际5米，也就是500厘米，然后写成数值比例尺即可。 【例题3】在一幅比例尺为1：3000000的中国地图上，从北京到上海的铁路长5厘米，北京到上海的铁路全长是　 　千米。 【答案】150 【详解】【解答】解：5÷=5×3000000=15000000（厘米）=150（千米） 故答案为：150。 【分析】图上距离÷比例尺=实际距离。 【例题4】甲乙两地的实际距离是1120千米，把它画在比例尺是1：4000000的地图上，应画多少厘米？ 【答案】解：1120千米=112000000厘米 112000000×=28（厘米） 答：应画28厘米。 【详解】【分析】根据比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比；图上距离=实际距离×比例尺，据此解答。 例题：五、应用比例尺画平面图 【例题1】以小明家为观测点，根据下面条件在平面上标出各地的位置。(比例尺1：100000) （1）学校在小明家北偏东70°的方向上，距离小明家2千米处。 （2）书店在小明家西偏南60°的方向上，距离小明家3千米处。 【答案】（1）解：2千米=200000厘米 200000×=2（厘米） （2）解：3千米=300000厘米 300000×=3（厘米） 【详解】【分析】图上距离=实际距离×比例尺，在地图上的方位是上北，下南，左西，右东；东和西相对，南和北相对；西南和东北相对，西北和东南相对。描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，画出目标的位置。 例题：六、图形的缩放 【例题1】把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，正确的说法是(　　)。 A．面积扩大原来的4倍 B．面积扩大到原来的2倍 C．面积缩小到原来的 D．周长扩大到原来的4倍 【答案】A 【详解】【解答】解：把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，周长是原来的2倍，面积扩大原来的4倍。 故答案为：A。 【分析】此题主要考查了图形的缩放，图形按比例变化时，面积的变化与比例的平方有关，周长则与比例成正比；若图形按k：1变化，则周长变为k倍，面积变为k2倍，据此解答。 【例题2】《清明上河图》为北宋画家张择端创作的风俗画，长约530cm，宽约25cm。把它按1：5的比缩小临摹出来后，长约　 　cm，宽约　 　cm。 【答案】106；5 【详解】【解答】解：530×=106（cm）， 25×=5（cm）； 故答案为：106；5。 【分析】根据缩放的原理，缩小后的尺寸是原尺寸的，据此分别计算长和宽的新数值。 【例题3】按要求画一画，并填空。（每小格的 边长表示 1cm） （1）按 1：3 画出三角形缩小后的图形。 （2）按 2：1 画出梯形放大后的图形。 【答案】（1）解： （2）解： 【详解】【分析】(1) 三角形的底为9格，高为3格，按1：3的比例缩小后的底为9÷3=3(格)，高为3÷3=1(格)，据此画出缩小后的图形。 (2)梯形的上底为2格，下底为3格，高为2格，按2：1的比例放大后的上底为2×2=4(格)，下底为3×2=6(格)；高为2×2=4(格)，据此画出放大后的图形。 例题：七、应用比例解决实际问题 【例题1】一间房子要用方砖铺地，用边长3分米的方砖，需要96块。如果改用边长是2分米的方砖，需要多少块？(用比例解) 【答案】解：设需要x块。 2×2×x=3×3×96 4x=9×96 4x=864 x=864÷4 x=216 答：需要216块。 【详解】【分析】根据题意，房子的地板总面积一定，因为方砖的面积×块数=总面积，所以方砖的面积与块数成反比例关系，据此设需要x块；列出比例，解比例即可。 【例题2】2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭成功发射。奇思在参观科技馆时看到一个长征五号遥八运载火箭模型（如图），长征五号遥八运载火箭实际高度约是多少米？（用比例知识解答） 模型与实物之比：1∶100 高度：57厘米 外漆：烤漆 【答案】解：设长征五号遥八运载火箭实际高度约是x厘米。 57∶x＝1∶100 x＝57×100 x＝5700 5700厘米＝57米 答：长征五号遥八运载火箭实际高度约是57米。 【详解】【分析】设长征五号遥八运载火箭实际高度约是x厘米。依据长征五号遥八运载火箭图上的高：实际的高=1：100，列比例，解比例。然后再单位换算。 考点练习 考点一、比例的意义和基本性质 1．在比例中，两个比的比值都是 ，第一个比的后项与第二个比的前项都是6，则这个比例是(　　)。 A． B．2：6=6：18 C．18：6=6：2 D．6：18=6：2 2．如下图，平行四边形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，下列式子成立的有（　　）个。 ①a∶c＝b∶d ②a∶c＝d∶b ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，一个内项是6，另一个内项是　 　；若比例中的一个外项是 ，则这个比例可能是　 　。 考点二、应用比例的基本性质解比例 1．解比例：3=x：16时，第一步写成×16=3x是根据（　　）。 A．分数的基本性质 B．比的基本性质 C．比例的基本性质 D．商不变的性质 2．、2.4、6和x四个数组成比例， x最小是　 　， 最大是　 　。 3．解比例。 x：25=1.2：75 考点三、正比例和反比例 1．在出勤率、出勤人数、全班人数这三个量中，当(　　)一定时， 另外两个量成反比例。 A．全班人数 B．出勤人数 C．出勤率 D．以上都可以 2．下列各式中， a与b成正比例关系的是(　　)。(a、b≠0) A． B． C． D． 3．在一幅地图上，图上距离和实际距离成正比例。(　　) 4．相关联的两个量不是成正比例就是成反比例。(　　) 5．下表中，如果a和b成正比例，“？”应该是　 　，如果a和b成反比例，“？”应该是　 　。 a 3 5 b 15 ？ 6．在同一时间，同一地点，测得不同的树的高度与影长如下表所示。 树高/m 4 5 6 7 影长/m 2.4 3 3.6 4.2 （1）从表中的数据可以发现　 　没有变。 （2）树高和影长成　 　比例。 （3）如果在同一时间， 同一地点， 经过测量，一座塔的影长是88.2米， 这座塔的高是　 　m。 7．小明骑车上学的平均速度与所用的时间成　 　比例，分针走的圈数与时针走的圈数成　 　比例。 8．一种大樱桃销售数量与总价的关系如下： 数量（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 …… 总价（元） 0 25 50 75 100 125 150 175 …… （1）数量与总价这两种量成什么比例关系？为什么？ （2）在图中描出数量和总价相对应的点，然后将它们连起来。 考点四、应用比例尺求图上距离或实际距离 1．亮亮学完《比例尺》这节课后在练习本上画出了教室里黑板(长4米，宽1.2米)的平面图，采用( )比例尺比较合适。 A．1：5 B．1：50 C．1：500 D．1：5000 2．在一幅地图上，图上距离越大，实际距离就越大。（　　） 3．钟表制造厂制作的一种精密零件实际长0.3cm，画在图纸上的长9cm，这幅图纸的比例尺是　 　。在这幅图纸上，量得另一个零件长12cm，那么它实际的长是　 　cm。 4．“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”这是唐朝著名诗人李白的诗句，在比例尺为0 200 400km的地图上量得白帝城到江陵的距离是2.1厘米。王叔叔开车以75千米/时的速度从白帝城出发，行驶几时可以到达江陵? 5．某校为了开展劳动教育，把一块三角形土地开辟成菜地，该三角形菜地底是75m，高是60m，把它画在比例尺是1：500的平面图上，这个三角形菜地的图上面积是多少平方厘米? 考点五、应用比例尺画平面图 1．一块周长是220m的长方形土地，长和宽的比是7：4，请按照1：2000的比例尺求出这块土地平面图的长和宽，然后再画出它的平面图。 2．小明家在学校北偏西35°方向6km处，学校在小红家西偏北20°方向7km处。选择合适的比例尺在下图中画出他们两家和学校的位置平面图。 考点六、图形的缩放 1．把一个三角形按3：1放大，原来的面积为27cm2，放大后的面积为(　　)。 A．81cm2 B．243cm2 C．729cm2 D．9cm2 2．一个半径是4 cm的圆，半径按2： 1放大后，圆的周长是 　cm，圆的面积是　 　cm2；按　 　缩小后，圆的面积是3.14 cm2。 3．下图中的每小格表示边长为1厘米的正方形。 （1）按3∶1画出三角形放大后的图形。 （2）放大后三角形的面积是　 　平方厘米。 考点七、应用比例解决实际问题 1．引力是指具有质量的物体之间加速靠近的趋势，其来源于物体自身质量对于时空的弯曲。由于月球与地球之间的质量差异，月球引力与地球引力的比约为1：6，理论上同一个人在月球上能跳到的高度与在地球上能跳到的高度的比约为6：1。小波在校运会上的跳高成绩是1.5m，如果是在月球上，那么小波的跳高成绩大约是多少米？ 2．一个晒盐场用10千克海水可以晒出0.3千克盐。如果一块盐田有4000吨海水，可以晒出多少吨盐？（用比例知识解答） 3．王老师调制蜂蜜水，所用蜂蜜与水的质量比是3：20，已知用了60克的水，用了多少克蜂蜜？ (用比例解) 4．赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。我国载人空间站“天宫”飞行 76.8km 仅需 10 秒，每天可绕地球约 16 圈，“天宫”内的航天员们大约每 1.5 小时就要经历一次日出与日落。“天宫”飞行 192 km 需要多久？（用比例解） 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$