3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆及其标准方程 主讲人： 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆. 用一个不垂直于 圆锥轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的曲线， 它们分别是椭圆、双曲线、抛物线，统称为圆锥曲线. 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 椭圆是圆锥曲线的 一种，具有丰富的几何 性质，在科研、生产和 人类生活中具有广泛的应用. 那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆几何性质奠定基础？ 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点处, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处（如图）, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中, 你能说出移动的笔尖 (动 点)满足的几何条件吗? 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 ***讲授新课*** 1. 椭圆定义： 　　平面内与两个定点F1F2的距离和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 若常数不大于|F1F2|, 那么点的轨迹又是什么？ 　　（1）若与两个定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|, 则点的轨迹为线段F1F2； 　　（2）若与两个定点F1、F2的距离之和小于| F1F2 |, 则平面内不存在这样的点. 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单? 2. 椭圆的标准方程: 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 O x P F2 F1 y 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 O x P F2 F1 y 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 这样，我们把方程（2）叫做椭圆的标准方程，它的焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c, 0), F2(c, 0), 这里c2=a2-b2. 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 y M F2 F1 x O 容易知道，此时椭圆的方程是 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 定 义 |MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) 图 形 方 程 焦 点 a,b,c之间的关系 y M F2 F1 x O O x M F2 F1 y F(c, 0) F(0, c) c2=a2－b2(a>c>0,a>b>0) 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 ***小结*** 求椭圆标准方程的步骤： ① 定位：确定焦点所在的坐标轴; ② 定量：求a，b的值. 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 作业布置 《课后作业》作业24 郡学教育 录制 2023年下学期 制作 21 长沙市长郡中学 沈清臣 例[1] (多选)下列说法正确的是（ ） A. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C. 平面内到点，两点的距离之和等于点M（5,3），到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 D. 平面内到点，的距离相等的点的轨迹是椭圆 例[2] 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0），（2,0）, 并且经过点()，求它的标准方程. $$