8.3.2 独立性检验（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.3.2 独立性检验 分层作业 题型研究 题组一　独立性检验的理解与辨析 【例题1】（1）下列实际问题不适合用独立性检验解决的是（    ） A．不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病 B．某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况 C．参加课外辅导能否提高学习成绩 D．男性和女性在职业选择偏好上是否有差异 （2）为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据120个有放回随机样本的数据，得到如下列联表： 药物 疗效 合计 未患疾病 患疾病 未服用 10 50 60 服用 18 42 60 合计 28 92 120 经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），结论为（   ） A．药物对预防疾病没有效果 B．药物对预防疾病没有效果，这种判断犯错误的概率不超过 C．药物对预防疾病有效果 D．药物对预防疾病有效果，这种判断犯错误的概率不超过 题组二　独立性检验 【例题2】体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ 附：， 题组三 独立性检验与其他知识的综合应用 【例题3】在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 1、 基础达标 1．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验（    ） A．提出统计假设：男性喜欢参加体育活动 B．提出统计假设：女性不喜欢参加体育活动 C．提出统计假设：喜欢参加体育活动与性别有关 D．提出统计假设：喜欢参加体育活动与性别无关 2．（多选）在利用统计量来判断两个变量X与Y之间是否有关系时，下列说法正确的是（    ）. A．越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B．越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D．越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小 3．利用独立性检验来考察两个分类变量和是否有关系时，通过查列联表计算得，那么认为与有关系，这个结论错误的可能性不超过（    ） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05 4．(多选)分类变量X和Y的列联表如下： 合计 a b c d 合计 则下列说法不正确的是（    ） A．越小，说明X与Y关系越弱 B．越大，说明X与Y关系越强 C．越大，说明X与Y关系越强 D．越接近于0，说明X与Y关系越强 5．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的是 （填序号）． ①若，则我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%； ③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误． 6．若两个分类变量X与Y的2×2列联表为： y1 y2 合计 x1 10 15 25 x2 40 16 56 合计 50 31 81 则有 的把握认为“X与Y之间有关系”. 附： 7．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 160 5 165 常规培养法 26 48 74 合计 186 53 239 (1)提出假设； (2)计算的观测值； (3)你有多大把握认为荧光抗体法在沙门氏菌检验中有效？ 2、 能力提升 1．（多选）某机构在研究性别与是否爱好拳击运动的关系中，通过收集数据得到如下2×2列联表 男 女 合计 爱好拳击 35 22 57 不爱好拳击 15 28 43 合计 50 50 100 经计算得.之后又对被研究者的身高进行了统计，得到男､女身高分别近似服从正态分布N(175，16)和N(164，9)，则下列选项中正确的是（    ） A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好拳击运动与性别有关” B．在100个男生中，至少有一个人爱好打拳击 C．男生身高的平均数为175，男生身高的标准差为16 D．女生身高的平均数为164，女生身高的标准差为3 2．某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，40岁以上调查了50人，不高于40岁调查了50人，所得数据制成如下列联表： 不喜欢西班牙队 喜欢西班牙队 总计 40岁以上 50 不高于40岁 15 35 50 总计 100 已知工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为，则有超过 的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关. 参考公式与临界值表： 3．为了解中学生喜爱踢足球是否与性别有关，对某中学随机抽取的50名学生进行了问卷调查得到了如下的列联表. 单位：人 性别 踢足球 合计 喜爱 不喜爱 男 4 女 9 合计 50 已知在参与调查的50名学生中随机抽取1人，抽到不喜爱踢足球的学生的概率为. （1）求表中，的值，并将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）. （2）依据的独立性检验，结合列联表中数据，能否据此推断喜爱踢足球与性别有关？说明你的理由. 4．某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜欢，白色代表不喜欢，单位：人）． (1)写出列联表； (2)依据的独立性检验，分析喜欢这项体育运动是否与性别有关； (3)在这次调查中，从喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率． 附表及公式： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中． 3、 直击高考 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（   ） A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确 C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳 2．（2024·福建南平·模拟预测）（多选）2023年10月全国多地医院出现较多的支原体肺炎感染患者，患者多以儿童为主．某研究所在某小学随机抽取了46名儿童，得到他们是否接种流感疫苗和是否感染支原体肺炎的情况的相关数据，如下表所示，则（    ） 感染情况接种情况 感染支原体肺炎 未感染支原体肺炎 合计 接种流感疫苗 未接种流感疫苗 合计 46 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A． B． C．认为是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，此推断犯错的概率不大于0.1 D．没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联 3．（2024·山西临汾·二模）人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈．腹有诗书气自华，读书有益于开拓眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．对某校高中学生的读书情况进行了调查，结果如下： 喜欢读书 不喜欢读书 合计 男生 260 60 320 女生 200 m 合计 460 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则的值可以为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 4．（2024·广西钦州·三模）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，. (1)求和. (2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关， 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 未建立 合计 参考公式及数据：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 5．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 6．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3.2 独立性检验 分层作业 题型研究 题组一　独立性检验的理解与辨析 【例题1】（1）下列实际问题不适合用独立性检验解决的是（    ） A．不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病 B．某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况 C．参加课外辅导能否提高学习成绩 D．男性和女性在职业选择偏好上是否有差异 【答案】B 【分析】根据独立性检验的基本思想，即可判断选项. 【详解】独立性检验是通过统计学方法来检验两个分类变量之间是否存在关联性， ACD满足独立性检验的基本思想，B选项只是公司的营业额这一个变量在过去5年的变化情况，不满足独立性检验的基本思想. 故选：B （2）为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据120个有放回随机样本的数据，得到如下列联表： 药物 疗效 合计 未患疾病 患疾病 未服用 10 50 60 服用 18 42 60 合计 28 92 120 经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），结论为（   ） A．药物对预防疾病没有效果 B．药物对预防疾病没有效果，这种判断犯错误的概率不超过 C．药物对预防疾病有效果 D．药物对预防疾病有效果，这种判断犯错误的概率不超过 【答案】A 【分析】根据独立性检验的判断方法，结合已知条件，即可判断和选择. 【详解】设零假设：药物对预防疾病没有效果；因为 ， 故零假设不成立，药物对预防疾病没有效果. 故选：A. 题组二　独立性检验 【例题2】体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ 附：， 【答案】(1) (2)没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关 【分析】（1）根据题干条件直接计算即可；（2）写出零假设，列联表，计算卡方对比即可得出结论； 【详解】（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为， 所以； （2）零假设：喜爱足球运动与性别无关． 作出列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 由题， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关． 题组三 独立性检验与其他知识的综合应用 【例题3】在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)表格见解析，与性别有关联 (2)分布列见解析，2 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算公式即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，由已知可得服从超几何分布，计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【详解】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人， 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人， 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 零假设为：学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于； （2）由题意，按分层随机抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为， 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数， 所以的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 1、 基础达标 1．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验（    ） A．提出统计假设：男性喜欢参加体育活动 B．提出统计假设：女性不喜欢参加体育活动 C．提出统计假设：喜欢参加体育活动与性别有关 D．提出统计假设：喜欢参加体育活动与性别无关 【答案】D 【分析】根据独立性检验的思想分析判断. 【详解】独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，在该假设下构造的随机变量应该很小，如果很小，则不能肯定或否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理，即认为两个变量在一定程度上有关， 所以想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验 提出统计假设：喜欢参加体育活动与性别无关， 故选：D 2．（多选）在利用统计量来判断两个变量X与Y之间是否有关系时，下列说法正确的是（    ）. A．越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B．越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D．越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小 【答案】BD 【分析】根据独立性检验，得到越大，说明与“X与Y有关系”成立的可信程度越大，即可求解. 【详解】根据独立性检验，可得当越大，说明与“X与Y有关系”成立的可信程度越大，反之越小.故选：BD. 3．利用独立性检验来考察两个分类变量和是否有关系时，通过查列联表计算得，那么认为与有关系，这个结论错误的可能性不超过（    ） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05 【答案】D 【分析】根据的观测值，与临界值表对照求解即可. 【详解】由，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为与有关系. 故选：D. 4．(多选)分类变量X和Y的列联表如下： 合计 a b c d 合计 则下列说法不正确的是（    ） A．越小，说明X与Y关系越弱 B．越大，说明X与Y关系越强 C．越大，说明X与Y关系越强 D．越接近于0，说明X与Y关系越强 【答案】ABD 【分析】根据卡方公式可知越小，X与Y关系越弱，越大，X与Y关系越强，得到答案. 【详解】越小，即越小，说明X与Y关系越弱，越大，即越大，说明X与Y关系越强， 故C正确，ABD错误. 故选：ABD 5．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的是 （填序号）． ①若，则我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%； ③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误． 【答案】③ 【分析】由独立性检验相关概念可得答案. 【详解】的观测值是支持确定有多大把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③． 故答案为：③ 6．若两个分类变量X与Y的2×2列联表为： y1 y2 合计 x1 10 15 25 x2 40 16 56 合计 50 31 81 则有 的把握认为“X与Y之间有关系”. 附： 【答案】 【分析】由已知数据求得，对照临界值表下结论. 【详解】由列联表数据，可求得， 所以有的把握认为“x与y之间有关系. 故答案为： 7．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 160 5 165 常规培养法 26 48 74 合计 186 53 239 (1)提出假设； (2)计算的观测值； (3)你有多大把握认为荧光抗体法在沙门氏菌检验中有效？ 【答案】(1)荧光抗体法在沙门氏菌检验中有效 (2) (3) 【分析】（1）观察表格，可提出假设荧光抗体法在沙门氏菌检验中有效 （2）根据的计算公式，代入数据计算即可 （3）将的计算值与临界值比较，下结论即可 【详解】（1）观察表格可知，可提出假设：荧光抗体法在沙门氏菌检验中有效 （2）根据表格可知： 故 （3）因为 故有的把握认为荧光抗体法在沙门氏菌检验中有效 2、 能力提升 1．（多选）某机构在研究性别与是否爱好拳击运动的关系中，通过收集数据得到如下2×2列联表 男 女 合计 爱好拳击 35 22 57 不爱好拳击 15 28 43 合计 50 50 100 经计算得.之后又对被研究者的身高进行了统计，得到男､女身高分别近似服从正态分布N(175，16)和N(164，9)，则下列选项中正确的是（    ） A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好拳击运动与性别有关” B．在100个男生中，至少有一个人爱好打拳击 C．男生身高的平均数为175，男生身高的标准差为16 D．女生身高的平均数为164，女生身高的标准差为3 【答案】AD 【分析】根据卡方的值，判断变量间的关系；由正态分布的方差求得标准差，对选项一一判断即可. 【详解】解：对于A，∵K2≈6.895>6.635，∴在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好拳击运动与性别有关”，正确； 对于B，题干中使用样本估计总体，若单独选一个100人的男生样本，可以没有一个人爱好打拳击，故B错， 对于C，男生身高服从正态分布N(175，16)，，标准差，C错； 对于D，女生身高服从正态分布N(164，9)，，标准差，D正确； 故选：AD. 2．某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，40岁以上调查了50人，不高于40岁调查了50人，所得数据制成如下列联表： 不喜欢西班牙队 喜欢西班牙队 总计 40岁以上 50 不高于40岁 15 35 50 总计 100 已知工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为，则有超过 的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关. 参考公式与临界值表： 【答案】 【分析】由题意可知，可得a、b、p、q的值，由公式可得的观测值，可得结论. 【详解】设“从所有人中任意抽取一个取到喜欢西班牙队的人”为事件， 由已知得， 所以，，，， ， 故有超过的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关. 故答案为：. 【点睛】本题考查独立性检验，考查学生的数据分析能力与计算能力，属于简单题. 3．为了解中学生喜爱踢足球是否与性别有关，对某中学随机抽取的50名学生进行了问卷调查得到了如下的列联表. 单位：人 性别 踢足球 合计 喜爱 不喜爱 男 4 女 9 合计 50 已知在参与调查的50名学生中随机抽取1人，抽到不喜爱踢足球的学生的概率为. （1）求表中，的值，并将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）. （2）依据的独立性检验，结合列联表中数据，能否据此推断喜爱踢足球与性别有关？说明你的理由. 【答案】（1），，表格见解析；（2）认为喜爱踢足球与性别有关，理由见解析. 【分析】（1）根据不喜爱踢足球的学生的概率为计算出不喜爱踢足球的学生人数，从而求出；然后再计算出喜爱踢足球的学生人数计算出的值，从而可以列出列联； （2）根据列联表结合公式计算的值，通过比较即可得出答案. 【详解】（1）由题意，得，解得. 则喜爱踢足球的学生人数为，所以. 完整的列联表如下： 单位：人 性别 踢足球 合计 喜爱 不喜爱 男 21 4 25 女 9 16 25 合计 30 20 50 （2）零假设为：喜爱踢足球与性别无关. 根据列联表数据，计算得到， 根据的独立性检验，可以推断不成立，即认为喜爱踢足球与性别有关， 此推断犯错误的概率不大于0.001. 4．某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜欢，白色代表不喜欢，单位：人）． (1)写出列联表； (2)依据的独立性检验，分析喜欢这项体育运动是否与性别有关； (3)在这次调查中，从喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率． 附表及公式： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中． 【答案】(1)列联表见解析； (2)认为喜欢这项体育运动与性别无关 (3) 【分析】（1）由题图数据列表 （2）由公式计算卡方后判断 （3）由古典概型求解 【详解】（1）观察题中二维条形图，可得 被调查的男生总共45人，其中喜欢这项运动的有15人，不喜欢的有30人； 被调查的女生总共45人，其中喜欢这项运动的有5人，不喜欢的有40人． 由此写出列联表如下： 单位：人 喜欢 不喜欢 合计 男 15 30 45 女 5 40 45 合计 20 70 90 （2）零假设为：喜欢这项体育运动与性别无关．计算可得 ， 所以依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为喜欢这项体育运动与性别无关． （3）设喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生分别为，，． 任选两人的情况有，，，选一名男生和一名女生的情况有，，所以恰是一男一女的概率． 3、 直击高考 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（   ） A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确 C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳 【答案】D 【分析】根据独立性检验的概念以及计算步骤，可得答案. 【详解】依题意，，因此有95%的把握反驳， 故选：D. 2．（2024·福建南平·模拟预测）（多选）2023年10月全国多地医院出现较多的支原体肺炎感染患者，患者多以儿童为主．某研究所在某小学随机抽取了46名儿童，得到他们是否接种流感疫苗和是否感染支原体肺炎的情况的相关数据，如下表所示，则（    ） 感染情况接种情况 感染支原体肺炎 未感染支原体肺炎 合计 接种流感疫苗 未接种流感疫苗 合计 46 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A． B． C．认为是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，此推断犯错的概率不大于0.1 D．没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联 【答案】AD 【分析】根据表格信息得出相应数值，通过计算和独立性检验判断各个选项； 【详解】由表中数据易得， 对于A,．故A正确； 对于B, ，故B错误； 对于C，D，依据的独立性检验，没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联，故C错误，D正确． 故选：AD． 3．（2024·山西临汾·二模）人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈．腹有诗书气自华，读书有益于开拓眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．对某校高中学生的读书情况进行了调查，结果如下： 喜欢读书 不喜欢读书 合计 男生 260 60 320 女生 200 m 合计 460 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则的值可以为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】利用题目中的数据和算式，结合表格，分别检验选项，可得答案. 【详解】根据列联表可知：，则， 由公式 ， 即根据小概率值独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关， 则根据可知只需即可， ，即即可. 当取时，则满足题意，故可取10； 当取时，则不满足题意； 当取时，则不满足题意； 当取时，则不满足题意； 故选：A. 4．（2024·广西钦州·三模）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，. (1)求和. (2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关， 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 未建立 合计 参考公式及数据：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)， (2)表格见解析，有关； 【分析】（1）根据条件概率计算出结果；（2）利用独立性检验步骤进行计算得出结果； 【详解】（1）因为，， 所以，， 由于，解得，所以. ，解得. （2） 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 20 4 24 未建立 4 8 12 合计 24 12 36 零假设为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关. 根据列联表中的数据，经计算得到. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关， 此推断犯错误的概率不大于0.005. 5．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为， (2)有 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论. 【详解】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次， 设A家公司长途客车准点事件为M， 则； B共有班次240次，准点班次有210次， 设B家公司长途客车准点事件为N， 则. A家公司长途客车准点的概率为； B家公司长途客车准点的概率为. （2）列联表 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 =， 根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断. 【详解】（1）根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得， 因为， 所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$