8.3.2 独立性检验（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.3.2 独立性检验 导学案 1、 学习目标 1. 理解分类变量与列联表的含义，能用等高堆积条形图、列联表探讨两个分类变量的关系； 2. 了解χ2的含义及其应用，理解独立性检验的基本思想及其解题步骤，并能应用其解决实际问题． 2、 学习重难点 重点：理解分类变量与列联表的含义，能用等高堆积条形图、列联表探讨两个分类变量的关系 难点：了解χ2的含义及其应用，理解独立性检验的基本思想及其解题步骤，并能应用其解决实际问题． 3、 学习过程 1．复习回顾，引入新知 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存. 我们将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. X 合计 合计 思考：你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？ 2．探究新知 设和为定义在上，取值于的成对分类变量．我们希望判断事件和之间是否有关联．注意到和，和都是互为对立事件，与前面的讨论类似，我们需要判断下面的假定关系 是否成立，通常称为 或 ． 这里，表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率，而表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率． 由条件概率的定义可知，零假设等价于 或 ① 注意到和为对立事件，于是，再由概率的性质，我们有 ． 由此推得①式等价于 ． 因此，零假设等价于与独立． 根据我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表8.3-3所示． 表8.3-3 合计 合计 思考：如何基于列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断. 思考：那么,究竟大到什么程度,可以推断H0不成立呢?或者说,怎样确定判断大小的标准呢? 统计学家建议，用随机变量取值的大小作为判断零假设是否成立的依据，当它比较大时推断不成立，否则认为成立．那么，究竟大到什么程度，可以推断不成立呢？或者说，怎样确定判断大小的标准呢？ 定义：基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立． 这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为 ，读作“ ”，简称独立性检验(test of independence)． 表8.3-4给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 表8.3-4 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 例如，对于小概率值，我们有如下的具体检验规则： （1）当时，我们推断 ，即认为和 ，该推断犯错误的概率不超过0.05； （2）当时，我们没有充分证据推断不成立，即认为和 ． 3．应用新知 例1依据小概率值的独立性检验，分析例1中的抽样数据，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y＝0) 优秀(Y＝1) 甲校(X＝0) 33 10 43 乙校(X＝1) 38 7 45 合计 71 17 88 思考：例1和例2都是基于同一组数据的分析，但却得出了不同的结论，你能说明其中的原因吗？ 例3某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好． 观察：在表8.3-5中，若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置，则表达式(1)中a，b，c，d的赋值都会相应地改变．这样做会影响取值的计算结果吗？ 对调前 对调后 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 ______________________________________ 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 乙 6 63 69 甲 15 52 67 合计 21 115 136 ______________________________________ 例4为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表8.3-6所示．依据小概率值的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险． 表8.3-6 单位：人 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 方法总结：解决独立性检验问题的基本步骤 思考：独立性检验的思想类似于我们常用的反证法，你能指出二者之间的相同和不同之处吗？ 3．能力提升 类型一： 独立性检验的理解与辨析 例题1 有关独立性检验的四个命题，其中不正确的是（    ）． A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大 B．对分类变量X与Y的随机变量来说，越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大 C．由独立性检验可知：在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95％的可能患有心脏病 D．依据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1％的前提下认为吸烟与患肺癌有关 题型二：独立性检验 例题2 某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. (1)根据以上数据建立一个列联表； (2)判断是否有的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 . 总结：解决独立性检验问题的基本步骤 题型三：独立性检验与其他知识的综合应用 例题3. 2024年6月5日《中国教育报》刊发了教育部的“呵护好孩子的眼睛，共创光明的未来”的文章，其中特别强调“幼儿单次使用电子产品的时间不宜超过15分钟，累计每天不超过1小时”等内容.为切实提升儿童青少年视力健康整体水平，某学校积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查以备有效进行预防.在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据： 电子产品 近视 未近视 非长时间使用电子产品 40 70 长时间使用电子产品 60 30 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品有关？ (2)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理+药物”治疗方案对该学生进行治疗.已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对非长时间使用电子产品的学生的治愈率为，对长时间使用电子产品的学生的治愈率为，求该近视学生被治愈的概率； (3)若按样本数据利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行近视矫正实验，记表示这3人中长时间使用电子产品的人数，求的分布列与数学期望. 4．课堂小结 5．随堂限时小练 1．对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下的列联表，则约为（    ） 单位：人 班级 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 合计 19 71 90 A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.014 2．由下表得出结论：依据的独立性检验，认为X与Y有关，则的值必须（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．大于等于10.828 B．大于等于3.841 C．小于6.635 D．大于等于2.706 3．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算的的观测值为，又已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有的把握认为“X和Y有关系” B．有的把握认为“X和Y没有关系” C．有的把握认为“X和Y有关系” D．有的把握认为“X和Y没有关系” 4．下列关于独立性检验的说法正确的是（    ） A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 5．世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成．为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视患病率的关系，对某中学200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： 每周累计户外暴露时间（单位：小时） 不少于28小时 近视人数 21 39 37 2 1 不近视人数 3 37 52 5 3 (1)在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有1名学生不近视的概率； (2)若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据列联表中的数据判断：能否认为不足够的户外暴露时间与患近视有关系？ 近视 不近视 合计 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 合计 6．课后作业布置 作业1：完成教材：第134页练习 第1,2,3,4题. 作业2：配套辅导资料对应的《独立性检验》.  7．课后作业答案 练习（第134页） 1．对于例3中的抽样数据，采用小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好． 2．根据同一抽查数据推断两个分类变量之间是否有关联，应用不同的小概率值，是否会得出不同的结论？为什么？ 3．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据105个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表： 单位：只 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 29 15 44 服用 47 14 61 合计 76 29 105 依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性． 4．从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下： 单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 212 61 273 优秀 54 73 127 合计 266 134 400 依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 习题8.3（第135页） 复习巩固 1．为什么必须基于成对样本数据推断两个分类变量之间是否有关联？ 2．为什么独立性检验方法不适用于普查数据？ 3．等高堆积条形图在两个分类变量之间关联性的研究中能够起到什么作用？ 4．对于已经获取的成对样本数据，检验结论“两个变量之间有关联”的实际含义是什么？检验结论“两个变量之间没有关联”的实际含义又是什么？ 5．为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 81 16 97 男 28 75 103 合计 109 91 200 请画出列联表的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联．如果结论是性别与身高有关联，请解释它们之间如何相互影响． 6．第5题中的身高变量是数值型变量还是分类变量？为什么？ 7．从第5题的高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表： 单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 （1）依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？解释所得结论的实际含义． （2）得到的结论与第5题的一致吗？如果不一致，你认为原因是什么． 8．调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表： 单位：人 性别 出生时间 合计 晚上 白天 女 24 31 55 男 8 26 34 合计 32 57 89 依据的独立性检验，能否认为性别与出生时间有关联？解释所得结论的实际含义． 9．对例1列联表8.3-2中的数据，依据的独立性检验，我们已经知道独立性检验的结论是学校和成绩无关．如果表8.3-2中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因． 复习参考题8（第138页） 1．变量x与y的观测数据的散点图如图所示，据此可以判断变量x与y之间（ ） A．很可能存在负相关 B．一定存在正相关 C．很可能存在正相关 D．一定不存在负相关 2．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（ ） A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的的假设 C．不满足一元线性回归模型的假设 D．不满足一元线性回归模型的和的假设 3．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到．依据的独立性检验，结论为（ ） A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 5．根据8.1.2节例3中的数据，建立臂展关于身高的经验回归模型，画出残差图，描述残差图的特点． 6．下表是1896~2016年男子三级跳远奥运会冠军的成绩，请分析这组数据，能用一元线性回归模型刻画这组数据吗？ 年份 成绩/m 年份 成绩/m 年份 成绩/m 年份 成绩/m 1896 13.71 1928 15.21 1964 16.85 1992 18.17 1900 14.47 1932 15.72 1968 17.39 1996 18.09 1904 14.35 1936 16.00 1972 17.35 2000 17.71 1908 14.92 1948 15.40 1976 17.29 2004 17.79 1912 14.64 1952 16.22 1980 17.35 2008 17.67 1920 14.50 1956 16.35 1984 17.25 2012 17.81 1924 15.53 1960 16.81 1988 17.61 2016 17.86 7．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损．某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，请根据数据建立车胎凹槽深度和汽车行驶里程的关系，并解释模型的含义． 行驶里程/万 km 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15 轮胎凹槽深度/mm 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82 8．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 75 66 141 服用 112 47 159 合计 187 113 300 依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？如何解释得到的结论？ 9．气象部门由每天的最高气温的数据，得到每月最高气温的平均数，简称平均高温．下表是2017年31个城市1月和7月的平均高温数据． 城市 1月平均高温 7月平均高温 城市 1月平均高温 月平均高温 北京 3 32 南京 9 35 成都 12 32 南宁 20 33 重庆 12 36 上海 10 36 福州 17 36 沈阳 -3 31 广州 21 33 石家庄 3 33 贵阳 9 28 太原 3 32 哈尔滨 -11 30 天津 3 33 海口 22 32 乌鲁木齐 -3 32 杭州 11 36 武汉 10 34 合肥 9 35 西安 8 36 呼和浩特 -3 30 西宁 4 27 济南 6 33 银川 2 32 昆明 17 24 长春 -8 29 拉萨 8 23 长沙 11 35 兰州 5 33 郑州 7 34 南昌 13 35 （1）画出并观察各城市1月与7月的平均高温的散点图，你认为1月与7月的平均高温有线性趋势吗？描述散点图的特点． （2）结合地理知识并用统计方法分析表中的数据，解释这两个月平均高温的关系． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3.2 独立性检验 导学案 1、 学习目标 1. 理解分类变量与列联表的含义，能用等高堆积条形图、列联表探讨两个分类变量的关系； 2. 了解χ2的含义及其应用，理解独立性检验的基本思想及其解题步骤，并能应用其解决实际问题． 2、 学习重难点 重点：理解分类变量与列联表的含义，能用等高堆积条形图、列联表探讨两个分类变量的关系 难点：了解χ2的含义及其应用，理解独立性检验的基本思想及其解题步骤，并能应用其解决实际问题． 3、 学习过程 1．复习回顾，引入新知 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存. 我们将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. X 合计 合计 思考：你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？ 教师：事实上，“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的．有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的．这就是说，样本的随机性导致了两个频率间出现较大差异．在这种情况下，我们推断出的结论就是错误的． 这一节课，我们将讨论犯这种错误的概率大小问题． 2．探究新知 设和为定义在上，取值于的成对分类变量．我们希望判断事件和之间是否有关联．注意到和，和都是互为对立事件，与前面的讨论类似，我们需要判断下面的假定关系 是否成立，通常称为零假设或原假设． 这里，表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率，而表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率． 由条件概率的定义可知，零假设等价于 或 ① 注意到和为对立事件，于是，再由概率的性质，我们有 ． 由此推得①式等价于 ． 因此，零假设等价于与独立． 根据我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表8.3-3所示． 表8.3-3 合计 合计 思考：如何基于列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断. 预设：在零假设成立的条件下，根据频率稳定于概率的原理，由②中的第一个等式，我们可以用概率和对应的频率的乘积 估计概率，而把 视为事件发生的频数的期望值（或预期值）．这样，该频数的观测值和应该比较接近． 综合②中的四个式子，如果零假设成立，下面四个量的取值都不应该太大： ，，，．③ 反之，当这些量的取值较大时，就可以推断不成立． 显然，分别考虑③中的四个差的绝对值很困难．我们需要找到一个既合理又能够计算分布的统计量，来推断是否成立．一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小． 为了合理地平衡这种影响，我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到如下的统计量： ． 该表达式可化简为 ． （1） 思考：那么,究竟大到什么程度,可以推断H0不成立呢?或者说,怎样确定判断大小的标准呢? 统计学家建议，用随机变量取值的大小作为判断零假设是否成立的依据，当它比较大时推断不成立，否则认为成立．那么，究竟大到什么程度，可以推断不成立呢？或者说，怎样确定判断大小的标准呢？ 预设：根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，上面的想法可以通过确定一个与相矛盾的小概率事件来实现． 在假定的条件下，对于有放回简单随机抽样，当样本容量充分大时，统计学家得到了的近似分布．忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得下面关系成立： ． 我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准．概率值越小，临界值越大．当总体很大时，抽样有、无放回对的分布影响较小． 由④式可知，只要把概率值取得充分小，在假设成立的情况下，事件是不大可能发生的．根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断不成立．不过这个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过． 依据在合理的假设前提下，小概率事件几乎不会发生.若小概率事件发生了，则认为原假设不成立. 定义：基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立． 这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验(test of independence)． 表8.3-4给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 表8.3-4 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 例如，对于小概率值，我们有如下的具体检验规则： （1）当时，我们推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05； （2）当时，我们没有充分证据推断不成立，即认为和独立． 3．应用新知 例1依据小概率值的独立性检验，分析例1中的抽样数据，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y＝0) 优秀(Y＝1) 甲校(X＝0) 33 10 43 乙校(X＝1) 38 7 45 合计 71 17 88 预设：零假设为：分类变量和相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异． 根据表8.3-2中的数据，计算得到 ． 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 思考：例1和例2都是基于同一组数据的分析，但却得出了不同的结论，你能说明其中的原因吗？ 预设：事实上，如前所述，例1只是根据一个样本的两个频率间存在差异得出两校学生数学成绩优秀率有差异的结论，并没有考虑由样本随机性可能导致的错误，所以那里的推断依据不太充分． 在例2中，我们用独立性检验对零假设进行了检验．通过计算，发现小于所对应的临界值2.706，因此认为没有充分证据推断不成立，所以接受，推断出两校学生的数学优秀率没有显著差异的结论．这个检验结果意味着，抽样数据中两个频率的差异很有可能是由样本随机性导致的．因此，只根据频率的差异得出两校学生的数学成绩优秀率有差异的结论是不可靠的． 由此可见，相对于简单比较两个频率的推断，用独立性检验得到的结果更理性、更全面，理论依据也更充分． 当我们接受零假设时，也可能犯错误．我们不知道犯错误这类错误的概率的大小，但是知道，若越大，则越小． 例3某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好． 预设：零假设为 ：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异． 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如表8.3-5所示． 表8.3-5 单位：人 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 根据列联表中的数据，经计算得到 ． 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异． 观察：在表8.3-5中，若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置，则表达式(1)中a，b，c，d的赋值都会相应地改变．这样做会影响取值的计算结果吗？ 对调前 对调后 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 乙 6 63 69 甲 15 52 67 合计 21 115 136 这说明，对调两种疗法的位置，不会影响χ2取值的计算结果，同理对调两种疗效的位置也不会影响结果. 例4为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表8.3-6所示．依据小概率值的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险． 表8.3-6 单位：人 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 预设：零假设为 ：吸烟与患肺癌之间无关联． 根据列联表中的数据，经计算得到 ． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 方法总结：解决独立性检验问题的基本步骤 1.假设：提出零假设H0:X、Y之间无关 2.列表：列出2×2列联表 3.计算：根据χ2公式计算出χ2的值，并与临界值进行比较 4.结论：由临界值比较给出相应结论 思考：独立性检验的思想类似于我们常用的反证法，你能指出二者之间的相同和不同之处吗？ 预设：简单地说，反证法是在某种假设之下，推出一个矛盾结论，从而证明不成立；而独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率．另外，在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误． 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值进行判断的．这是一种非常重要的推断方法，不仅有相当广泛的应用，也开启了人类认识世界的一种新的思维方式． 3．能力提升 类型一： 独立性检验的理解与辨析 例题1 有关独立性检验的四个命题，其中不正确的是（    ）． A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大 B．对分类变量X与Y的随机变量来说，越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大 C．由独立性检验可知：在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95％的可能患有心脏病 D．依据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1％的前提下认为吸烟与患肺癌有关 预设：A选项，根据列联表的知识可知，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大， 说明两个变量有关系成立的可能性就越大，A选项正确. B选项，根据的知识可知，越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大，B选项正确. C选项，由独立性检验可知，有的把握认为秃顶与患心脏病有关， 并不是秃顶的人患心脏病的概率，所以C选项错误. D选项，由独立性检验可知，的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关， 是指在犯错误的概率不超过1％的前提下认为吸烟与患肺癌有关，所以D选项正确. 故选：C 题型二：独立性检验 例题2 某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. (1)根据以上数据建立一个列联表； (2)判断是否有的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 . 预设：（1）列联表如下所示． 赞同 不赞同 合计 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 （2）零假设：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关. 由公式得， 故假设成立， 所以没有的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关. 总结：解决独立性检验问题的基本步骤 题型三：独立性检验与其他知识的综合应用 例题3. 2024年6月5日《中国教育报》刊发了教育部的“呵护好孩子的眼睛，共创光明的未来”的文章，其中特别强调“幼儿单次使用电子产品的时间不宜超过15分钟，累计每天不超过1小时”等内容.为切实提升儿童青少年视力健康整体水平，某学校积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查以备有效进行预防.在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据： 电子产品 近视 未近视 非长时间使用电子产品 40 70 长时间使用电子产品 60 30 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品有关？ (2)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理+药物”治疗方案对该学生进行治疗.已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对非长时间使用电子产品的学生的治愈率为，对长时间使用电子产品的学生的治愈率为，求该近视学生被治愈的概率； (3)若按样本数据利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行近视矫正实验，记表示这3人中长时间使用电子产品的人数，求的分布列与数学期望. 预设：（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关， ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生患近视与长时间使用电子产品有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）设事件表示使用“物理十药物”治疗方案并且治愈，事件表示非长时间使用电子产品的近视学生，事件表示长时间使用电子产品的近视学生， 由题意可得，且， 则， 所以该近视学生被治愈的概率为. （3）由样本数据可知近视学生中长时间使用电子产品与非长时间使用电子产品的人数比例为， 所以抽取的5人中有3人是长时间使用电子产品，有2人是非长时间使用电子产品， 所以的可能取值为， 且，；， 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望为. 4．课堂小结 5．随堂限时小练 1．对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下的列联表，则约为（    ） 单位：人 班级 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 合计 19 71 90 A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.014 【详解】，故选：A 2．由下表得出结论：依据的独立性检验，认为X与Y有关，则的值必须（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．大于等于10.828 B．大于等于3.841 C．小于6.635 D．大于等于2.706 【详解】查表可知，若依据的独立性检验，认为X与Y有关，则．故选：B． 3．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算的的观测值为，又已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有的把握认为“X和Y有关系” B．有的把握认为“X和Y没有关系” C．有的把握认为“X和Y有关系” D．有的把握认为“X和Y没有关系” 【详解】因为，所以，所以有以上的把握认为“X和Y有关系”，故选：A 4．下列关于独立性检验的说法正确的是（    ） A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 【详解】独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故A错误； 独立性检验并不能确定两个变量相关，故B错误； 是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性大小，并非抽烟人中患肺病的发病率，故C错误； 根据卡方计算的定义可知，在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，对于D正确. 故选:D. 5．世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成．为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视患病率的关系，对某中学200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： 每周累计户外暴露时间（单位：小时） 不少于28小时 近视人数 21 39 37 2 1 不近视人数 3 37 52 5 3 (1)在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有1名学生不近视的概率； (2)若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据列联表中的数据判断：能否认为不足够的户外暴露时间与患近视有关系？ 近视 不近视 合计 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 合计 【详解】（1）设“随机抽取2名，其中恰有1名学生不近视”为事件A， 则． （2）根据已知数据得到列联表： 近视 不近视 合计 足够的户外暴露时间 40 60 100 不足够的户外暴露时间 60 40 100 合计 100 100 200 零假设为：不足够的户外暴露时间与患近视独立， 所以， 根据本调查数据，有99%的把握认为不足够的户外暴露时间与患近视有关系． 6．课后作业布置 作业1：完成教材：第134页练习 第1,2,3,4题. 作业2：配套辅导资料对应的《独立性检验》.  7．课后作业答案 练习（第134页） 1．对于例3中的抽样数据，采用小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好． 1．【解析】根据题意，．依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即可以认为两种疗法的效果有差异，该推断犯错误的概率不超过0.05． 甲种疗法未治愈和治愈的频率分别是和，乙种疗法未治愈和治愈的频率分别是和，因此可以推断乙种疗法的效果比甲种疗法好． 2．根据同一抽查数据推断两个分类变量之间是否有关联，应用不同的小概率值，是否会得出不同的结论？为什么？ 2．【解析】可能会得出不同的结论．对同一抽样数据，计算出来的的值是确定的．在独立性检验中，基于不同的小概率值的检验规则，对应不同的临界值，其与的大小关系可能不同，相当于检验的标准发生变化，因此结论可能会不同． 3．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据105个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表： 单位：只 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 29 15 44 服用 47 14 61 合计 76 29 105 依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性． 3．【解析】零假设为：药物A与预防疾病B无关联，即药物A对预防疾病B没有效果．根据列联表中的数据，经计算得到．根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立．因此可以认为药物A对预防疾病B没有效果． 4．从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下： 单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 212 61 273 优秀 54 73 127 合计 266 134 400 依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 4．【解析】零假设为：数学成绩与语文成绩独立，即数学成绩与语文成绩没有关联．根据列联表中的数据，经计算得到．根据的独立性检验，我们可以推断不成立，即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05． 数学成绩不优秀的人中语文成绩不优秀和优秀的频率分别为和；数学成绩优秀的人中语文成绩不优秀和优秀的频率分别为和．由此可以看出，数学成绩优秀的人中语文成绩优秀的频率明显高于数学成绩不优秀的人中语文成绩优秀的频率．根据频率稳定于概率的原理，我们可以推断，数学成绩优秀的人其语文成绩优秀的概率较大． 习题8.3（第135页） 复习巩固 1．为什么必须基于成对样本数据推断两个分类变量之间是否有关联？ 1．【解析】我们要研究的问题是同一个总体的两个分类变量之间是否有关联，成对样本观测数据是来自于对同一个总体的两个分类变量的观测，只有成对样本数据才能反映两个分类变量之间是否有关联，以及关联的方式和程度． 2．为什么独立性检验方法不适用于普查数据？ 2．【解析】利用普查数据可以准确地判断两个变量之间是否有关联，不需要进行独立性检验． 3．等高堆积条形图在两个分类变量之间关联性的研究中能够起到什么作用？ 3．【解析】可以更加直观地反映两个分类变量之间是否具有关联性． 4．对于已经获取的成对样本数据，检验结论“两个变量之间有关联”的实际含义是什么？检验结论“两个变量之间没有关联”的实际含义又是什么？ 4．【解析】检验结论“两个变量之间有关联”是“两个变量不独立”的另一种说法，指在零假设“两个变量独立”之下，成对样本数据显示在一次试验中某个不利于这个假设的小概率事件发生了，由此推断零假设不成立，从而得出“两个变量不独立”的检验结论．检验结论“两个变量之间没有关联”是“两个变量独立”的另一种说法，指在零假设“两个变量独立”之下，成对样本数据显示在一次试验中某个不利于这个假设的小概率事件没有发生，因此不能推断零假设不成立，按照通常的习惯接受零假设，即得出“两个变量独立”的检验结论． 5．为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 81 16 97 男 28 75 103 合计 109 91 200 请画出列联表的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联．如果结论是性别与身高有关联，请解释它们之间如何相互影响． 5．【解析】根据列联表中的数据，女生中身高低于170 cm与不低于170 cm的比率分别为和，男生中身高低于170 cm与不低于170 cm的比率分别为和，等高堆积条形图如图所示．可以发现在男生和女生中，身高低于170 cm和不低于170 cm的比率存在明显差异，可以判断该中学高三年级学生的性别与身高有关联，而且男生高于女生． 6．第5题中的身高变量是数值型变量还是分类变量？为什么？ 6．【解析】分类变量．因为第5题中的身高变量只有两个不同的取值(低于170 cm和不低于170 cm)，用于区分两类不同的身高现象． 7．从第5题的高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表： 单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 （1）依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？解释所得结论的实际含义． （2）得到的结论与第5题的一致吗？如果不一致，你认为原因是什么． 7．【解析】（1）零假设为：性别与身高没有关联．根据列联表中的数据，经计算得到．根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即该中学高三年级学生的性别与身高没有关联． （2）不一致．原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的．而根据样本数据作推断，会因为随机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出和全面调查一致的结论． 8．调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表： 单位：人 性别 出生时间 合计 晚上 白天 女 24 31 55 男 8 26 34 合计 32 57 89 依据的独立性检验，能否认为性别与出生时间有关联？解释所得结论的实际含义． 8．【解析】零假设为：性别与出生时间没有关联．根据列联表中的数据，经计算得到．根据的独立性检验，我们可以推断不成立，即认为性别与出生时间有关联，该推断犯错误的概率不超过0.1． 女婴出生在晩上和白天的频率分别为和；男婴出生在晩上和白天的频率分别为和．由此可见男婴出生在白天的频率明显高于女婴出生在白天的频率．根据频率稳定于概率的原理，可以推断男婴出生在白天的概率比女婴出生在白天的概率大． 9．对例1列联表8.3-2中的数据，依据的独立性检验，我们已经知道独立性检验的结论是学校和成绩无关．如果表8.3-2中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因． 9．【解析】在例1中将表8.3-2中所有的数据都扩大为原来的10倍，根据列联表中的数据，经计算得．依据的独立性检验，可以推断两校学生的数学成绩优秀率之间存在差异． 与例2中的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化． 复习参考题8（第138页） 1．变量x与y的观测数据的散点图如图所示，据此可以判断变量x与y之间（ ） A．很可能存在负相关 B．一定存在正相关 C．很可能存在正相关 D．一定不存在负相关 1．【答案】C 【解析】由散点图知，以后的函数值，随着x的变大而变大，所以呈正相关性；而的函数值增加缓慢，或者数据不足以说明一定是增加的，故x与y的关系是很可能存在正相关．故选：C 2．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（ ） A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的的假设 C．不满足一元线性回归模型的假设 D．不满足一元线性回归模型的和的假设 【答案】C 【解析】用一元线性回归模型得到经验回归模型，根据对应的残差图，残差的均值可能成立，但明显残差的轴上方的数据更分散，不满足一元线性回归模型，正确的只有C．故选：C． 3．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到．依据的独立性检验，结论为（ ） A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 3．【答案】D 【解析】时，，所以在犯错概率不超过0.05时变量x与独立．故选：D 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．8.3节例4中推断吸烟与患肺癌是有关联的，能用一元线性回归模型建立它们之间的关系吗？为什么？ 4．【解析】不能．因为吸烟和患肺癌是分类变量，一元线性回归模型主要是刻画数值变量之间的关系．观察吸烟和患肺癌的散点图可以发现，无论有多少个观测，在图中最多只有4个点，没有线性趋势． 5．根据8.1.2节例3中的数据，建立臂展关于身高的经验回归模型，画出残差图，描述残差图的特点． 5．由例3知臂展与身高正线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画．用表示臂展，表示身高，利用统计软件计算，可得臂展关于身高的经验回归模型为．残差图如图所示． 身高/cm 臂展/cm 预测值/cm 残差/cm 身高/cm 臂展/cm 预测值/cm 残差/cm 173 169 167.83 1.17 166 161 160.80 0.20 179 170 173.86 -3.86 176 166 170.85 -4.85 175 172 169.84 2.16 176 165 170.85 -5.85 179 177 173.86 3.14 175 173 169.84 3.16 182 174 176.87 -2.87 169 162 163.81 -1.81 173 166 167.83 -1.83 184 189 178.88 10.12 180 174 174.87 -0.86 169 164 163.81 0.19 170 169 164.82 4.18 182 170 176.87 -6.87 169 166 163.81 2.19 171 164 165.82 -1.82 177 176 171.85 4.15 177 173 171.85 1.15 177 170 171.85 -1.85 173 165 167.83 -2.83 178 174 172.86 1.14 173 169 167.83 1.17 174 170 168.84 1.16 残差图中除身高为184 cm的观测（第19个观测)，其他点大致均匀分布在横轴两侧，说明模型拟合较好．第19个观测的残差比较大，建议检查一下该数据在测量和记录过程中是否有误． 6．下表是1896~2016年男子三级跳远奥运会冠军的成绩，请分析这组数据，能用一元线性回归模型刻画这组数据吗？ 年份 成绩/m 年份 成绩/m 年份 成绩/m 年份 成绩/m 1896 13.71 1928 15.21 1964 16.85 1992 18.17 1900 14.47 1932 15.72 1968 17.39 1996 18.09 1904 14.35 1936 16.00 1972 17.35 2000 17.71 1908 14.92 1948 15.40 1976 17.29 2004 17.79 1912 14.64 1952 16.22 1980 17.35 2008 17.67 1920 14.50 1956 16.35 1984 17.25 2012 17.81 1924 15.53 1960 16.81 1988 17.61 2016 17.86 6．【解析】先画三级跳远成绩与年份之间的散点图，如图(1)所示．观察散点图，可以看到随着年份的增大，成绩有增加的趋势，因此可以考虑用一元线性回归模型刻画．利用统计软件计算，可得成绩关于年份的经验回归模型为，拟合图见图(2)． 残差图如图(3)所示．残差图中的点大致均匀分布在轴两侧，且决定系数，说明模型拟合较好，因此能使用一元线性回归模型刻画这组数据． 年份 成绩/m 预测值/m 残差/m 年份 成绩/m 预测值/m 残差/m 1896 13.71 14.27 -0.56 1964 16.85 16.64 0.21 1900 14.47 14.41 0.06 1968 17.39 16.78 0.61 1904 14.35 14.55 -0.20 1972 17.35 16.92 0.43 1908 14.92 14.69 0.23 1976 17.29 17.06 0.23 1912 14.64 14.83 -0.19 1980 17.35 17.20 0.15 1920 14.5 15.11 -0.61 1984 17.25 17.34 -0.09 1924 15.53 15.25 0.28 1988 17.61 17.48 0.13 1928 15.21 15.39 -0.18 1992 18.17 17.62 0.55 1932 15.72 15.53 0.19 1996 18.09 17.76 0.33 1936 16 15.67 0.33 2000 17.71 17.90 -0.19 1948 15.4 16.09 -0.69 2004 17.79 18.04 -0.25 1952 16.22 16.22 0.00 2008 17.67 18.18 -0.51 1956 16.35 16.36 -0.01 2012 17.81 18.32 -0.51 1960 16.81 16.50 0.31 2016 17.86 18.46 -0.60 7．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损．某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，请根据数据建立车胎凹槽深度和汽车行驶里程的关系，并解释模型的含义． 行驶里程/万 km 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15 轮胎凹槽深度/mm 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82 7．先画轮胎凹槽深度与行驶里程之间的散点图，如图(1)所示．观察散点图，可以看到随着行驶里程的增加，轮胎凹橧深度有减小的趋势，因此可以考虑用一元线性回归模型建模．利用统计软件计算，可得轮胎凹槽深度关于行驶里程的经验回归模型为，拟合图如图(2)所示．该模型的决定系数为0.952，残差图如图(3)所示．从残差图可以看到，残差与行驶里程有非线性关系，因此考虑在模型中引入行驶里程的非线性变换． 考虑对行驶里程作对数变换，引入中间值m，令，可得轮胎凹槽深度和汽车行驶里程的关系为．该模型的决定系数为0.998，比一元线性回归模型有提高．对数回归模型说明行驶里程越多，轮胎凹模深度越小，但随着行驶里程的增加，轮胎凹檜深度减小的速率变慢． m=ln(x+1) 0.00 0.49 0.83 1.08 1.27 1.44 1.58 1.71 1.82 轮胎凹槽深度/mm 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.2 4.55 4.16 3.82 8．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 75 66 141 服用 112 47 159 合计 187 113 300 依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？如何解释得到的结论？ 8．【解析】零假设为：药物与患病独立，即药物对疾病没有效果．根据列联表中的数据，经计算 得到．根据的独立性检验，我们可以推断不成立，即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过0.05． 未服用药物中未患病和患病的频率分别是和，服用药物中未患病和患病的频率分别是和．根据频率稳定于概率的原理，可以推断服用药物不患病的概率更大． 9．气象部门由每天的最高气温的数据，得到每月最高气温的平均数，简称平均高温．下表是2017年31个城市1月和7月的平均高温数据． 城市 1月平均高温 7月平均高温 城市 1月平均高温 月平均高温 北京 3 32 南京 9 35 成都 12 32 南宁 20 33 重庆 12 36 上海 10 36 福州 17 36 沈阳 -3 31 广州 21 33 石家庄 3 33 贵阳 9 28 太原 3 32 哈尔滨 -11 30 天津 3 33 海口 22 32 乌鲁木齐 -3 32 杭州 11 36 武汉 10 34 合肥 9 35 西安 8 36 呼和浩特 -3 30 西宁 4 27 济南 6 33 银川 2 32 昆明 17 24 长春 -8 29 拉萨 8 23 长沙 11 35 兰州 5 33 郑州 7 34 南昌 13 35 （1）画出并观察各城市1月与7月的平均高温的散点图，你认为1月与7月的平均高温有线性趋势吗？描述散点图的特点． （2）结合地理知识并用统计方法分析表中的数据，解释这两个月平均高温的关系． 9．（1）先画7月的平均高温与1月的平均高温的散点图，如图(1)所示．观察散点图，可以看到部分城市1月的平均高温与7月的平均高温有线性趋势，但有些城市没有这个趋势．例如拉萨、西宁和贵阳三个城市7月的平均高温偏低，而1月的平均高温并不低；广州、海口和南宁三个城市1月的平均高温不低于20℃，是偏高的，但7月的平均高温并没有明显偏高；昆明7月与1月平均高温温差很小． （2）可以结合地理条件分析几个特殊的城市没有线性趋势的原因．去掉上述7个城市后，其余24个城市的散点图如图(2)所示．可以看到7月的平均高温随1月的平均高温增加有增加的趋势，建立它们之间的经验回归模型，结果为，拟合图如图(3)所示．模型的决定系数，且残差图大致均匀分布在横轴两侧（图(4))，说明此时模型的拟合效果比较好．对于大部分城1月的平均高温越高，则同年7月的平均高温会越高．但是由于部分城市的地理位置和气候条件特殊，并不具有上述规律． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$