8.3.1分类变量与列联表（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.3.1分类变量与列联表 导学案 1、 学习目标 1. 了解 探究分类变量之间关系的方法 2. 制作、理解 2×2列联表，用频率分析法、图形分析法探究两个分类变量之间的关系 3. 能够对统计数据进行简单整理、初步分析提升数学抽象、数据建模及数据分析素养 2、 学习重难点 重点：制作、理解 2×2列联表，用频率分析法、图形分析法探究两个分类变量之间的关系 难点：能够对统计数据进行简单整理、初步分析提升数学抽象、数据建模及数据分析素养． 3、 教学过程 1．创设背景，引入新知 思考：吸烟是否会增加患肺癌的风险？ 　　吸烟已成为全球范围内严重危害健康、危害人类生存环境、降低人们的生活质量、缩短人类寿命的紧迫问题．为此，联合国固定每年5月31日为全球戒烟日． 2．探究新知 在现实生活中，人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题．例如，就读不同学校是否对学生的成绩有影响，不同班级学生用于体育锻炼的时间是否有差别，吸烟是否会增加患肺癌的风险，等等．本节将要学习的独立性检验方法为我们提供了解决这类问题的方案． 定义：在讨论上述问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为 ． 因此，变量分为： 与 数值变量：例：人的身高；100米短跑所用时间；产品月销量数值变量的取值为实数.其大小和运算都有实际含义.两个数值变量之间的关系：回归分析法； 分类变量：例：班级；性别；是否经常锻炼；是否每年体检； 分类变量的取值可以用实数来表示；这些数值只作为编号使用，用来表示不同的类别；并没有通常的大小和运算意义，例如,学生所在的班级可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示 思考：如何利用统计数据判断一对分类变量之间是否具有关联性呢？ 问题：为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查．全校学生的普查数据如下：523名女生中有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻炼．你能利用这些数据，说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗？ 定义：2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存. 我们将形如下表这种形式的数据统计表称为 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 组别 甲(Y=0) 乙(Y=1) 合计 A(X=0) a b A(X=1) c d 合计 3．应用新知 例1为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀．试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异． 思考：你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？ 3．能力提升 类型一： 等高堆积条形图的辨析 例题1 ．年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 总结：等高堆积条形图的辨析 (1)利用数形结合思想，借助 来判断两个分类变量是否相关是判断变量是否相关的常见方法． (2)一般地，在等高堆积条形图中，与相差越 ，两个分类变量有关系的可能性就越 ． （3）等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的 特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 题型二：完善列联表（求参数值） 例题2 （1）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． （2）某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（    ） A． B． C． D． 题型三：列联表分析两个分类变量是否有关联（差异） 例题3. 下表是两所中学的学生对报考某类大学的意愿的列联表： 愿意报考某类大学 不愿意报考某类大学 总计 中学 中学 总计 根据表中的数据回答：两所中学的学生对报考某类大学的态度是否有显著差异？ 总结：利用2×2列联表分析两变量间的关系时，首先要根据题中数据列出2×2列联表，然后根据 特征，即将P(Y＝1|X＝0)与P(Y＝1|X＝1)的值相比较，可直观地反映出两个分类变量间是否相互影响． 4．课堂小结 5．随堂限时小练 1．下列变量中不属于分类变量的是 A．性别 B．吸烟 C．宗教信仰 D．国籍 2．根据如图所示的等高条形图可知吸烟与患肺病 关系(填“有”或“没有”). 3．如图是一个列联表，则表中，的值分别为 总计 35 45 7 总计 73 A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38 4．在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示： 分数段 29～40 41～50 51～60 61～70 71～80 81～90 91～100 午休考 生人数 23 47 30 21 14 31 14 不午休 考生人数 17 51 67 15 30 17 3 (1)根据上述表格完成列联表： 及格人数 不及格人数 总计 午休 不午休 总计 (2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？ 5．某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张.作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系. 6．课后作业布置 作业1：完成教材：第127页练习 第4题. 作业2：配套辅导资料对应的《分类变量与列联表》.  7．课后作业答案 练习（第127页） 1．成语“名师出高徒”可以解释为“知名老师指导出高水平学生的概率较大“，即老师的名声与学生的水平之间有关联．你能举出更多的描述生活中两种属性或现象之间关联的成语吗？ 2．例1中的随机抽样数据是否足够确定与X和Y有关的所有概率和条件概率？为什么？ 3．根据有关规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．那么 （1）吸烟是否对每位烟民一定会引发健康问题？ （2）有人说吸烟不一定引起健康问题，因此可以吸烟．这种说法对吗？ 4．假设在本小节“问题”中，只是随机抽取了44名学生， 按照性别和体育锻炼情况整理为如下的列联表：单位：人 性别 锻炼 合计 不经常 经常 女生 5 15 20 男生 6 18 24 合计 11 33 44 （1）据此推断性别因素是否影响学生锻炼的经常性； （2）说明你的推断结论是否可能犯错，并解释原因． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3.1分类变量与列联表 导学案 1、 学习目标 1. 了解 探究分类变量之间关系的方法 2. 制作、理解 2×2列联表，用频率分析法、图形分析法探究两个分类变量之间的关系 3. 能够对统计数据进行简单整理、初步分析提升数学抽象、数据建模及数据分析素养 2、 学习重难点 重点：制作、理解 2×2列联表，用频率分析法、图形分析法探究两个分类变量之间的关系 难点：能够对统计数据进行简单整理、初步分析提升数学抽象、数据建模及数据分析素养． 3、 教学过程 1．创设背景，引入新知 思考：吸烟是否会增加患肺癌的风险？ 　　吸烟已成为全球范围内严重危害健康、危害人类生存环境、降低人们的生活质量、缩短人类寿命的紧迫问题．为此，联合国固定每年5月31日为全球戒烟日． 2．探究新知 在现实生活中，人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题．例如，就读不同学校是否对学生的成绩有影响，不同班级学生用于体育锻炼的时间是否有差别，吸烟是否会增加患肺癌的风险，等等．本节将要学习的独立性检验方法为我们提供了解决这类问题的方案． 定义：在讨论上述问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量． 因此，变量分为：数值变量与分类变量 数值变量：例：人的身高；100米短跑所用时间；产品月销量数值变量的取值为实数.其大小和运算都有实际含义.两个数值变量之间的关系：回归分析法； 分类变量：例：班级；性别；是否经常锻炼；是否每年体检； 分类变量的取值可以用实数来表示；这些数值只作为编号使用，用来表示不同的类别；并没有通常的大小和运算意义，例如,学生所在的班级可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示 思考：如何利用统计数据判断一对分类变量之间是否具有关联性呢？ 问题：为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查．全校学生的普查数据如下：523名女生中有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻炼．你能利用这些数据，说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗？ 预设：方法二：由频率估计概率 这是一个简单的统计问题．最直接的解答方法是，比较经常锻炼的学生在女生和男生中的比率．为了方便，我们设 ，． 那么，只要求出和的值，通过比较这两个值的大小，就可以知道女生和男生在锻炼的经常性方面是否有差异，由所给的数据，经计算得到 ，． 由 可知，男生经常锻炼的比率比女生高出15.4个百分点，所以该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面有差异，而且男生更经常锻炼． 预设：方法二：借助条件概率 上面的问题还可以通过建立一个古典概型，使用条件概率的语言，给出另外一种解答方法．用表示该校全体学生构成的集合，这是我们所关心的对象的总体．考虑以为样本空间的古典概型，并定义一对分类变量X和Y如下：对于中的每一名学生，分别令 ． 我们希望通过比较条件概率和回答上面的问题．按照条件概率的直观解释，如果从该校女生和男生中各随机选取一名学生，那么该女生属于经常锻炼群体的概率是，而该男生属于经常锻炼群体的概率是．因此，“性别对体育锻炼的经常性没有影响”可以描述为 ； 而“性别对体育锻炼的经常性有影响”可以描述为 ． 为了清楚起见，我们用表格整理数据，如表8.3-1所示． 表8.3-1 单位：人 性别 锻炼 合计 不经常(Y=0) 经常(Y=1) 女生(X=0) 192 331 523 男生(X=1) 128 473 601 合计 320 804 1124 我们用表示事件和的积事件，用表示事件和的积事件．根据古典概型和条件概率的计算公式，我们有 ， ． 由大于可以做出判断，在该校的学生中，性别对体育锻炼的经常性有影响，即该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异，而且男生更经常锻炼． 预设：方法三：借助等高堆积条形图 由表8.3-1 画出以下等高堆积条形图： 由图可知：通过比较发现，男生与女生经常锻炼的人生存在差异，男生经常锻炼的的频率高于女生经常锻炼的人数.依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).因此，该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异，而且男生更经常锻炼. 定义：2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存. 我们将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 组别 甲(Y=0) 乙(Y=1) 合计 A(X=0) a b a+b A(X=1) c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 3．应用新知 例1为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀．试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异． 预设：用表示两所学校的全体学生构成的集合．考虑以为样本空间的古典概型． 对于中每一名学生，定义分类变量和如下： 我们将所给数据整理成表8.3-2． 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 甲校(X=0) 33 10 43 乙校(X=1) 38 7 45 合计 71 17 88 表8.3-2是关于分类变量和的抽样数据的列联表：最后一行的前两个数分别是事件和的频数；最后一列的前两个数分别是事件和的频数；中间的四个格中的数是事件的频数；右下角格中的数是样本容量．因此，甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为 和． 乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为 和． 我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果，如图8.3-1所示． 在图8.3-1中，左边的蓝色和红色条的高度分别是甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率；右边的蓝色和红色条的高度分别是乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率． 通过比较发现，两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异，甲校的频率明显高于乙校的频率．依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断． 也就是说，如果从甲校和乙校各随机选取一名学生，那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率．因此，可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高． 思考：你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？ 预设：事实上，“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的．有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的．这就是说，样本的随机性导致了两个频率间出现较大差异．在这种情况下，我们推断出的结论就是错误的．后面我们将讨论犯这种错误的概率大小问题． 3．能力提升 类型一： 等高堆积条形图的辨析 例题1 ．年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 预设：设等高条形图对应列联表如下： 岁及以上 岁以下 总计 男性 女性 总计 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为， 因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 总结：等高堆积条形图的辨析 (1)利用数形结合思想，借助等高堆积条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量是否相关的常见方法． (2)一般地，在等高堆积条形图中，与相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大． （3）等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 题型二：完善列联表（求参数值） 例题2 （1）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 预设：因为男性有名，一共有名观众， 所以一共有名女性观众，而有名女性观众不满意， 所以有名女性观众满意，而有名男性观众满意， 所以有名男性观众不满意，故有名观众不满意，有名观众满意， 补全的列联表如下． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 （2）某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（    ） A． B． C． D． 预设：因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻人有25名，所以， 所以，A、B对； 所以，则对； 则错. 故选：. 题型三：列联表分析两个分类变量是否有关联（差异） 例题3. 下表是两所中学的学生对报考某类大学的意愿的列联表： 愿意报考某类大学 不愿意报考某类大学 总计 中学 中学 总计 根据表中的数据回答：两所中学的学生对报考某类大学的态度是否有显著差异？ 预设：中学愿意报考某类大学的比率为； 中学愿意报考某类大学的比例为； ，即中学愿意报考某类大学的比例比中学高了， 两所中学的学生对报考某类大学的态度有显著差异，且中学更愿意报考. 总结：利用2×2列联表分析两变量间的关系时，首先要根据题中数据列出2×2列联表，然后根据频率特征，即将P(Y＝1|X＝0)与P(Y＝1|X＝1)的值相比较，可直观地反映出两个分类变量间是否相互影响． 4．课堂小结 5．随堂限时小练 1．下列变量中不属于分类变量的是 A．性别 B．吸烟 C．宗教信仰 D．国籍 【详解】“吸烟”不是分类变量，“是否吸烟”才是分类变量．故选B. 2．根据如图所示的等高条形图可知吸烟与患肺病 关系(填“有”或“没有”). 【详解】从等高条形图上可以明显地看出吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病的频率. 故答案为：有 3．如图是一个列联表，则表中，的值分别为 总计 35 45 7 总计 73 A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38 【详解】由题意，根据的列联表可知：，解得， 则，又由，解得，则，故选B. 4．在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示： 分数段 29～40 41～50 51～60 61～70 71～80 81～90 91～100 午休考 生人数 23 47 30 21 14 31 14 不午休 考生人数 17 51 67 15 30 17 3 (1)根据上述表格完成列联表： 及格人数 不及格人数 总计 午休 不午休 总计 (2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？ 【详解】(1)根据题表中数据可以得到列联表如下： 及格人数 不及格人数 总计 午休 80 100 180 不午休 65 135 200 总计 145 235 380 (2)计算可知，午休的考生及格率为P1＝，不午休的考生的及格率为P2＝，则P1>P2，因此，可以粗略判断午休与考生考试及格有关系，并且午休的及格率高，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态． 5．某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张.作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系. 【详解】作列联表如下： 性格内向 性格外向 总计 考前心情紧张 332 213 545 考前心情不紧张 94 381 475 总计 426 594 1020 相应的等高条形图如图所示： 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例， 从图中可以看出，考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关. 6．课后作业布置 作业1：完成教材：第127页练习 第4题. 作业2：配套辅导资料对应的《分类变量与列联表》.  7．课后作业答案 练习（第127页） 1．成语“名师出高徒”可以解释为“知名老师指导出高水平学生的概率较大“，即老师的名声与学生的水平之间有关联．你能举出更多的描述生活中两种属性或现象之间关联的成语吗？ 1．【解析】例如：勤能补拙，水涨船高，登高望远． 2．例1中的随机抽样数据是否足够确定与X和Y有关的所有概率和条件概率？为什么？ 2．不能．因为随机抽样得到的样本具有随机性，根据样本数据计算出来的频率也具有随机性．在统计推断中，依据频率稳定于概率的原理，可以利用频率推断与X和Y有关的概率和条件概率，但由于频率具有随机性，这种推断可能犯错误．因此，随机抽样数据不足以确定与X和Y有关的所有概率和条件概率． 3．根据有关规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．那么 （1）吸烟是否对每位烟民一定会引发健康问题？ （2）有人说吸烟不一定引起健康问题，因此可以吸烟．这种说法对吗？ 3．【解析】（1）从已掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康．但除了吸烟之外，身体的健康还受许多其他随机因素的影响，它是很多因素共同作用的结果．吸烟导致患病的案例非常普遍，但也可以找到长寿的吸烟者．因此健康与吸烟有关联，即从统计意义上讲，吸烟会损害健康，但不一定会对每位烟民都引起健康问题． （2）这种说法不正确．虽然吸烟不一定会对每个人都引起健康问题，但根据统计数据，吸烟比不吸烟引起健康问题的可能性大，因此“吸烟不一定引起健康问题，因此可以吸烟”的说法是不对的． 4．假设在本小节“问题”中，只是随机抽取了44名学生， 按照性别和体育锻炼情况整理为如下的列联表：单位：人 性别 锻炼 合计 不经常 经常 女生 5 15 20 男生 6 18 24 合计 11 33 44 （1）据此推断性别因素是否影响学生锻炼的经常性； （2）说明你的推断结论是否可能犯错，并解释原因． 4．【解析】（1）根据列联表中的数据，计算得女生中不经常锻炼和经常锻炼的频率分别为和；男生中不经常锻炼和经常锻炼的频率分别为和．通过对比发现，女生中不经常锻炼和经常锻炼的频率与男生中不经常锻炼和经常锻炼的频率分别相等，依据频率稳定于概率的原理，可以推断．因此，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响． （2）推断可能犯错误．因为样本是通过随机抽样得到的，频率具有随机性，因此推断可能犯错误． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$