8.3.2 独立性检验（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.3.2 独立性检验

教学设计

一、教学目标

1. 理解分类变量与列联表的含义，能用等高堆积条形图、列联表探讨两个分类变量的关系；
2. 了解χ2的含义及其应用，理解独立性检验的基本思想及其解题步骤，并能应用其解决实际问题．

二、教学重难点

重点：理解分类变量与列联表的含义，能用等高堆积条形图、列联表探讨两个分类变量的关系

难点：了解χ2的含义及其应用，理解独立性检验的基本思想及其解题步骤，并能应用其解决实际问题．

三、学情分析与教材分析

1. 学情分析：

学生已具备一定的统计学基础，包括对分类变量、列联表等概念的理解，并掌握了通过频率推断变量关联性的初步方法.然而，学生可能对频率的随机性及其在推断中的局限性认识不足，导致对独立性检验的必要性和严谨性理解不够深入.因此，教学中需通过具体实例引导学生认识到频率与概率的差异，从而引出独立性检验作为更科学推断工具的重要性.

学生在学习过程中可能面临的主要难点包括：对独立性检验中零假设的提出与理解、卡方统计量的构造及其意义、以及如何通过计算结果与临界值比较来作出推断.特别是，学生可能难以将概率语言与实际问题相结合，导致在构造统计量和解释结果时出现困难.教学中应通过类比法官判案等生活化情境，帮助学生理解零假设的含义，并通过逐步推导卡方统计量的过程，使学生理解其背后的统计原理.

此外，学生在应用独立性检验解决实际问题时，可能缺乏对数据收集、整理和分析的全流程把握.教学中应注重引导学生通过具体案例，完整经历从提出问题、构建列联表、计算卡方统计量、到作出推断的整个过程，从而提升其数据分析能力和逻辑推理素养.同时，应强调统计推断可能犯

的错误类型及其概率意义，帮助学生建立科学的统计思维.

2. 教材分析：

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第八章《成对数据的统计分析》，本节课主要学习《独立性检验》.

教材通过具体案例引入独立性检验的概念，旨在帮助学生理解如何利用统计方法判断两个分类变量之间是否存在关联.

教材首先从实际问题出发，如分析性别与兴趣爱好、吸烟与患病等是否相关，引导学生思考如何通过数据量化这种关联性.接着，教材详细介绍了独立性检验的基本原理，包括零假设的提出、列联表的构建、卡方统计量的计算以及基于卡方分布的推断过程.这一过程不仅体现了统计推断的科学性，也培养了学生的逻辑推理能力.

在内容编排上，教材注重理论与实践的结合.通过丰富的例题和练习题，学生能够在掌握理论知识的同时，学会如何将其应用于实际问题中.此外，教材还强调了统计推断可能犯的错误类型及其概率意义，帮助学生建立科学的统计思维.

本节内容在教材中具有承上启下的作用.它既是对之前所学的统计知识的综合运用，又为后续学习更复杂的统计方法奠定了基础.通过本节内容的学习，学生能够提升数据分析能力和问题解决能力，为未来的学习和工作提供有力的支持.

四、教学过程

1．复习回顾，引入新知

在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存.  我们将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表.  2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.

X			合计
合计

 

 

 

 

 

 

思考：你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？

教师：事实上，“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的．有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩

优秀率实际上是没有差别的．这就是说，样本的随机性导致了两个频率间出现较大差异．在这种情况下，我们推断出的结论就是错误的．

这一节课，我们将讨论犯这种错误的概率大小问题．

 

2．探究新知

设和为定义在上，取值于的成对分类变量．我们希望判断事件和之间是否有关联．注意到和，和都是互为对立事件，与前面的讨论类似，我们需要判断下面的假定关系

是否成立，通常称为零假设或原假设．

这里，表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率，而表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率．

由条件概率的定义可知，零假设等价于

或

         ①

注意到和为对立事件，于是，再由概率的性质，我们有

．

由此推得①式等价于

．

因此，零假设等价于与独立．

根据我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表8.3-3所示．

表8.3-3

			合计