期末专题11 概率综合（5大题型44题）（江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题11 概率综合（5大题型44题） 题型概览 题型01 辨析概率与频率的关系 题型02 求概率 题型03 判断事件关系 题型04 图表型概率解答题 题型05 文字型概率解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 辨析概率与频率的关系 1．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 【答案】A 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】利用概率的意义直接求解． 【详解】某医院治疗一种疾病的治愈率为， 对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确； 对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为， 不一定有一位病人被治愈，故B错误； 对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误； 对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误． 故选：A. ( 题型02 ) 求概率 2．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是 . 【答案】/0.2 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】由列举法解决古典概型概率问题即可. 【详解】在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数， 则这两数之和可能是：，总共有15个数， 其中素数为：，共有3个数， 所以这两数之和仍为素数的概率是. 故答案为：. 3．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)如图，用，，这3类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统正常工作的概率是 . 【答案】/ 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据独立事件概率公式求解． 【详解】设元件，，正常工作分别为事件，，， 则，，， ，中至少有一个正常工作的概率为：， 则系统正常工作概率为：． 故答案为：. 4．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)（多选）某市高一年级举行了阶段性检测，为了了解本次检测的学生成绩情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则（    ） A．图中 B．估计该市全体学生成绩的平均分为71 C．若对成绩前的学生进行奖励，则受奖励学生的考试成绩大约至少为84分 D．若在的样本成绩对应的学生（包括学生甲和乙）中随机选取两名进行访谈，则甲、乙两人至少抽到一人的概率为 【答案】ACD 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】对于A：根据频率和为1分析求解；对于B：根据加权平均数公式分析求解；对于C：设受奖励学生的考试成绩大约至少为m分，可知，列式求解即可；对于D：可得在的人数为8，结合独立事件概率乘法公式以及对立事件概率求法运算求解. 【详解】对于选项A：由频率分布直方图可知每组频率依次为， 则，解答，故A正确； 对于选项B：估计该市全体学生成绩的平均分为 ，故B错误； 对于选项C：因为， 设受奖励学生的考试成绩大约至少为m分，可知， 则，解得， 所以受奖励学生的考试成绩大约至少为84分，故C正确； 对于选项D：成绩在的人数为， 设甲、乙两人至少抽到一人为事件A，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 5．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球、2个黑球．现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前两次摸出的球均为白球的概率为 ． 【答案】/ 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】分析可知每次取到白球的概率为，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】因为放回地从袋中依次摸出1个球，则每次取到白球的概率为， 所以前两次摸出的球均为白球的概率为. 故答案为：. 6．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ． 【答案】 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】首先根据题意得到，再利用古典概型公式求解即可． 【详解】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即， 若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，， 其中两人的成绩都低于的情况有6种， 分别为， 所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为. 故答案为：． 7．(23-24高一下·江苏南京·期末)从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】首先计算样本空间，再代入古典概型概率公式，即可求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张， 样本空间包含，共个， 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数， 则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为. 故选：C. 8．(23-24高一下·江苏南通·期末)一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】运用古典概型可解． 【详解】根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为， 从盘中任选两个，可得 共种情况． 选中的水果品种相同的选法有：，，有种． 所以选中的水果品种相同概率为：． 故选：C. 9．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由事件互斥，且都不发生为，则， 又，所以，解得，， 所以. 故选：C. 10．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】由独立乘法、互斥加法公式计算即可求解. 【详解】租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况． 都付0元的概率为； 都付2元的概率为； 都付4元的概率为． 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为． 故选：D. 11．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省天一中学2023-2024学年高一下学期强化班期末考试数学试题 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是解答此题的关键. ( 题型03 ) 判断事件关系 12．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（   ） A．与C互斥 B．A与C相互独立 C．B与D互斥 D．B与D相互独立 【答案】C 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据互斥、独立事件的概念判断各选项的正确与错误. 【详解】记表示基本事件：第一枚骰子的点数为，第二枚骰子的点数为. 对A：对事件、都包含基本事件，所以与不互斥，故A错误； 对B：因为，，事件包含基本事件，，所以， 因为，所以不独立，故B错误； 对C：若第二枚骰子的点数是偶数，则两枚骰子的点数之积不可能为奇数，所以事件和互斥，故C正确； 对D：因为，，，因为，所以不独立，故D错误. 故选：C 13．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与C互斥 D．A与C独立 【答案】D 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】利用古典概型求，再根据互斥事件和独立事件的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：随机选两个人参加某个比赛，可知： 样本空间：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）， 则， 事件A：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），则，； 事件B：（甲，丙），（甲，丁），（丙，丁），则，； 事件C：（甲，乙），（丙，丁），则，； 事件AB：（甲，丙），（甲，丁），则，； 事件AC：（甲，乙），则，； 对于选项A：因为，可知A与B不互斥，故A错误； 对于选项B：因为，所以A与B不独立，故B错误； 对于选项C：因为，可知A与C不互斥，故C错误； 对于选项D：因为，可知A与C独立，故D正确； 故选：D. 14．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 【答案】B 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可. 选项B：利用概率的加法公式，求解即可， 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可. 选项D:利用对立事件求解即可. 【详解】选项A：若B⊆A，则 选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确. 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误. 选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误. 故选：B. 15．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（    ） A．A与B互斥 B．B与C互为对立 C．A与B相互独立 D．A与C相互独立 【答案】D 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，根据相互独立事件的判断公式判断CD. 【详解】对于A，A与B有可能同时发生，不是互斥事件，A错误； 对于B，除了B，C以外还有其他事件发生，不是对立事件，B错误； 第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3，包含的样本点为，故， 两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4，包含的样本点为， 故， 同时发生的事件包含样本点为，故， 所以，即不相互独立，故C错误； 两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7，包含的样本点为，故， 同时发生的事件包含的样本点为，故， 所以，即A与C相互独立，故D正确. 故选：D 16．(23-24高一下·江苏淮安·期末)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与D相互独立 C．A与C相互独立 D．C与D对立 【答案】B 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】列出基本事件，由互斥事件、对立事件与独立事件的概念逐项判断即可． 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8种结果， 事件A“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4种结果， 事件B“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件C“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件D“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（正反反），共2种结果， 对于A选项，事件A与事件B可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，错误； 对于B选项，，，，则A与D相互独立，正确； 对于C选项，，，则A与C不独立，错误； 对于D选项，C和D互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，错误． 故选:B. 17．(23-24高一下·江苏苏州·调研)长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（    ） A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D． 【答案】B 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月学业质量阳光指标调研数学试卷 【分析】计算事件M和事件N的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可. 【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共种， 事件M：“三人都没选择《子归》篇”共有：，所以， 事件N：“至少有两人选择的篇目一样”共有种，所以， ，所以M与N不互斥，A错误，D错误； 事件MN共有种，所以，B正确； 因为，所以C错误. 故选：B. 18．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)（多选）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件是互斥事件 B．事件A与事件是互斥事件 C．事件A与事件相互独立 D．事件与事件是对立事件 【答案】AC 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据题意利用列举法求和，结合互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：样本空间， 则，可得， 对于选项A：因为，所以事件A与事件是互斥事件，故A正确； 对于选项B：因为，所以事件A与事件不是互斥事件，故B错误； 对于选项C：由选项B可知，则， 可知，所以事件A与事件相互独立，故C正确； 对于选项D：因为， 所以事件与事件不是对立事件，故D错误； 故选：AC. 19．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)（多选）甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件：从甲袋中抽取号签1；事件：从乙袋中抽取号签6；事件：抽取的两个号签和为3；事件：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立 【答案】AD 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用相互独立事件的定义，互斥事件的定义及概率乘法公式判断B，C，D选项，根据古典概型判断A选项. 【详解】基本事件共有18种， 事件C包括2种情况, ，A正确； 事件：抽取的两个号签编号不同， 则事件包括 故事件与不互斥，B错误； 且，， 对于C，由，得相互不独立，C错误； 对于D，由，得相互独立，D正确； 故选：AD 20．(23-24高一下·江苏徐州·期末)（多选）盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．A与B相互独立 D． 【答案】AD 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】依次列出样本空间，事件、、、包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可. 【详解】依题意可设个红球为， ，，2个白球为，，则样本空间为： ，共个基本事件. 事件，共个基本事件. 事件 ，共个基本事件. 事件 ，共个基本事件. 事件， 共个基本事件. 对于A，显然、不可能同时发生，且与中一定有一个会发生，所以与互为对立事件，故A正确； 对于B：注意到，则与不互斥，故B错误； 对于C：因为， 则，故与不独立，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：AD 21．(23-24高一下·江苏扬州·期末)（多选）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则下列叙述中正确的有（    ） A．A与互斥 B．A与相互独立 C．与对立 D． 【答案】BD 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】AC选项，列举出事件A，B和事件C中的基本事件，得到，，判断出AC错误；B选项，利用作出判断；D选项，列举出事件中的基本事件，求出概率. 【详解】A选项，事件A中的基本事件有， 事件B中的基本事件有， ，， 故，事件A和事件B不互斥，A错误； B选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况， 其中事件A中的基本事件数为12，故， 事件C中的基本事件有， ，共18种情况， 故， 事件AC中的基本事件有， 共9种情况，故， 由于，故A与相互独立，B正确； C选项，由AB选项知，，事件B与事件C不互斥，故不对立，C错误； D选项，事件中的基本事件有， ，， ，，共24种情况， 故，D正确. 故选：BD 22．(23-24高一下·江苏南通·期末)（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 【答案】BC 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 23．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 【答案】ACD 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断. 【详解】已知事件A，B发生的概率分别为，， 对于A，若A与B互斥，则，A选项正确； 对于B，若，则，B选项错误； 对于C，若， 则，有A与B相互独立，C选项正确； 对于D，若A与B相互独立，有， 则，D选项正确. 故选：ACD. 24．(23-24高一下·江苏泰州·期末)（多选）已知事件满足，则（    ） A．若互斥，则 B．若互斥，则 C．若独立，则 D．若独立，则 【答案】BCD 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用互斥事件的定义判断AB，利用相互独立事件的定义判断CD. 【详解】对于A，若互斥，则，故A错误； 对于B，若互斥，则，则，故B正确； 对于C，若独立，则，故C正确； 对于D，若独立，则 ，故D正确. 故选：BCD. 25．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 【答案】ABD 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】写出以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可. 【详解】由题意，样本空间为， 对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确； 对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. ( 题型04 ) 图表型概率解答题 26．(23-24高一下·江苏盐城·期末)2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：    (1)请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； (2)现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得； （2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为： ； （2）样本中年龄在区间的频率为， 年龄在区间的频率为， 则年龄在区间抽取人，分别记作、、、， 年龄在区间抽取人，分别记作、， 从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、 、、、、、、、、共个， 其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个， 所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 27．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表. (1)求频率分布直方图中a的值. (2)求月收入的平均数、75 百分位数. (3)现按月收入分层， 在[2000， 3000)和[3000， 4000)这两个收入段中， 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率. 【答案】(1) (2)4800，5800 (3) 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1,即可求a的值； （2）根据频率分布直方图估计平均数和第75百分位数作答； （3）求出给定的两个区间的人数，再利用列举法求出概率作答. 【详解】（1）由，解得， （2）设月收入的平均数为x,则 ， 设75 百分位数为m，则 ， 解方程得. （3）在[2000， 3000)的人数为人 在[3000， 4000)的人数为人 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人中，在[2000， 3000)中抽2人，记为；在[300， 400)中抽4人； 从6人中任选2人结果有 ,共有15个； 选中的2人来自不同收入段有共有8个， 所以选中的2人来自不同收入段的概率为. 28．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 【答案】(1)0.012，68.4 (2)①10人，②0.784 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据频率之和为1，可求的值，再利用各区间的中间值估计区间的平均数，估计样本的平均数. （2）根据分层抽样的计算方法求B等级中抽取的人数；根据独立事件和对立事件的概率公式进行计算. 【详解】（1）由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1， ∴0.012 易知，，，，，相应的频率分别为 0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04 ， ∴100名同学的平均成绩估计值为： 0.04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4. （2）①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人， B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人， C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人， ∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人. ②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4 ， 抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216， 所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784. 29．(23-24高一下·江苏南通·期末)某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 (1)计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）先求出的值，再求平均数； （2）由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，再由古典概率求解. 【详解】（1）因为容量， 所以， 所以该班学生的平均日睡眠时间为 ； （2）由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为， 由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人， 记中抽取的2人为，中抽取的3人为， 设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件， 则， ， 所以发生的概率， 所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为. 30．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率． (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】(1)平均数为69.5，第25百分位数为63 (2) (3) 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】（1）首先算出，然后根据平均数、百分位数的计算公式计算即可； （2）由列举法求解古典概型概率即可； （3）由分层抽样方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为， 因为， 设第25百分位数为，则，则，解得，故第25百分位数为63． （2）10人中，第四组为8人.第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10， 则样本空间 共45个样本点， 记两名面试者成绩都在第五组为事件A， 则事件，故； （3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 31．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算） 【答案】(1)，中位数. (2) 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，，由频率分布直方图求中位数； （2）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即， 所以； 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以中位数在第三组，且为； （2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有,，,，,，，，,．,，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有,，,，,，，,，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为． 32．(23-24高一下·江苏泰州·期末)某医院在一次体检中抽取了100名患者的心跳数据（均为整数），分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求心跳为89.5次的百分位数，并估算这批患者心跳次数的平均数； (2)为进一步了解患者的心跳次数的情况，从高于89.5次的患者中分层抽样6人，再从6人中任取2人，求抽中的2人心跳次数都高于99.5的概率. 【答案】(1)70，84 (2) 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据百分位数和平均数的求法即可求解； （2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）的百分位数为， 设心跳次数为， 则， 所以这批志愿者的心跳数的平均数为； （2）由从高于次的检测者中分层抽样6人得 抽4人，记为，，，， 抽2人，记为，， 记“抽中的2人心跳数高于”为事件， 从6人中任取2人有，，，，，，，，，， ，，，，，共15种，2人心跳数高于有，1种， 则，即抽中的2人心跳数高于的概率为. 33．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下： (1)求样本数据的70%分位数；（精确到0.01） (2)公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． ①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品； ②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率． 【答案】(1) (2)①一等品；② 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）利用频率直方图的中位数计算方法即可求解； （2）①利用频率直方图先计算出样本均值，即可做出判断； ②利用古典概型计算方法，先列举出总的基本事件，再选出事件所包含的基本事件，即可求出事件发生的概率. 【详解】（1）由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75， 所以可知70%分位数一定位于第三组内， 设70%分位数为x，则，解得 （2）①根据频率直方图计算样本平均数： 因为样本标准差，，所以，又， 则可知该产品属于一等品． ②记三件一等品为，两件二等品为， 摸出两件产品总基本事件共10个，分别为： ，，，，，，，，，， 设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件，则包含的基本事件共9个，分别是： ，，，，，，，，， 所以. 则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为. 34．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? (3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 【答案】(1) (2)该市区高中生阅读量达标 (3) 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）求各组频率，结合频率和为1列式求解即可； （2）根据频率分布直方图求平均数和中位数，结合题意分析判断即可； （3）根据分层抽样求各组人数，利用列表法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得， 所以a的值为. （2）周平均阅读时间的平均数的估计值为 ， 且，， 可知周平均阅读时间的中位数的估计值， 则，解得， 因为，， 所以该市区高中生阅读量达标. （3）在抽取学生人数为，设为； 在三组中抽取学生人为，设为； 在三组中抽取学生人数为，设为； 设样本空间为，这两人周平均阅读时间均在内为事件M， 列表可得： 1 2 3 4 5 A B C D b 1 ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 2 ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 3 ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 5 ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ A ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ √ ╳ B ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ ╳ C ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ ╳ D ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ b ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ 可知，, 所以. ( 题型0 5 ) 文字型概率解答题 35．为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，通过简单随机抽样从该校高一学生中抽查了20名学生，这20名学生每天午餐消费数据如下(单位：元)： 10　12　8　8　10　14　17　8　10　8　12　10　10　17　8　10　12　10　10　12 试估计该校高一学生每天午餐的平均费用以及午餐费用不低于12元的比例． 【答案】平均费用为10.8，不低于12元的比例为0.35 【来源】专题07 获取数据的途径与抽样常考点-《期末真题分类汇编》（江苏专用） 【分析】根据样本数据直接计算即可. 【详解】样本平均数为， 样本中午餐消费不低于12元的比例为， 所以估计该校高一学生每天午餐的平均费用为10.8元左右， 在高一学生中，午餐费用不低于12元的比例约为0.35. 36．(23-24高一下·江苏苏州·调研)一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)分别求事件A，B，C发生的概率； (3)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 【答案】(1) (2)，， (3) 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月学业质量阳光指标调研数学试卷 【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可； （2）根据古典概型概率计算公式计算即可； （3）根据古典概型概率计算公式计算即可. 【详解】（1）样本空间，共有12个基本事件； （2）事件A的基本事件为：共6个基本事件，所以， 事件B的基本事件为：共3个基本事件，所以， 事件C的基本事件为：共4个基本事件，所以， （3）事件A，B，C中至少有一个发生的基本事件为：共9个基本事件， 所以. 37．(23-24高一下·江苏连云港·期末)已知三种不同的元件，其中元件正常工作的概率分别为，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响． (1)用元件连接成系统（如左图），当元件都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率； (2)用元件连接成系统（如右图），当元件正常工作且中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为，求元件正常工作的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）记元件正常工作为事件，元件正常工作为事件， 系统正常工作为事件，则，， 所以； （2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件， 则 ， 解得，即元件正常工作的概率为. 38．(23-24高一下·江苏南京·期末)为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 39．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)在网球比赛中，甲、乙两名选手在决赛中相遇．根据以往赛事统计，甲、乙对局中，甲获胜的频率为，乙获胜的频率为．为便于研究，用此频率代替他们在决赛中每局获胜的概率．决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金． (1)求前两局乙均获胜的概率； (2)前2局打成1：1时， ①求乙最终获得全部奖金的概率； ②若比赛此时因故终止，有人提出按2:1分配奖金，你认为分配合理吗?为什么? 【答案】(1)； (2)①；②不合理，理由见解析. 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】（1）利用独立事件的概率公式计算即得. （2）①利用互斥事件及相互独立事件的概率公式，列式计算即可；②求出继续比赛甲乙各自获胜的概率，按概率比例进行分配即可. 【详解】（1）依题意，前两局乙均获胜的概率为. （2）①乙最终获得全部奖金的事件，有以和两种情况， 若以获胜，则乙连胜两局，概率为， 若以获胜，则乙第3、4局输1局，第5局胜，概率为， 所以乙最终获得全部奖金的概率为. ②由①知，继续比赛，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率为， 所以按2:1分配奖金，不合理，应按将奖金分配给甲乙. 40．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ． 【答案】/ 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算即可，分别计算可得结论. 【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 故答案为：. 41．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1. 图表1 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图. (1)用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率； (2)根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3： 图表3 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 20元 15元 10元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 （产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值） 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： ①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300. ②单件产品平均利润不低于4元. 已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件. 【答案】(1) (2)该新型机器没有达到该企业的认购条件 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据分层抽样求各层数量，利用列举法结合古典概型分析求解； （2）利用频率分布直方图的平均数计算方法和平均利润公式求解. 【详解】（1）因为质量指标值在区间和内的频率分别为， 可知样本中质量指标值在区间有件，设为； 质量指标值在区间内有件，设为， 则这6件中任取2件，则样本空间 ， 可知， 记“这2件产品都取自区间”为事件A， 则，可知， 所以. （2）由频率分布直方图可知，产品质量指标值的平均数为 故满足认购条件①； 再分析该产品的单价平均利润值： 由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一､二､三等品的概率估计值分别为： ， 故2000件产品中，一､二､三等品的件数估计值为：件， 一等品的利润元， 二等品的利润元， 三等品的利润元， 则2000件产品的总利润为：元， 故2000件产品的单件平均利润的估计值为， 故不满足认购条件②. 综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件. 42．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】（1）对总次数分三种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算可得； （2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； （2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解. 43．(23-24高一下·江苏无锡·期末)袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏． (1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数； (2)已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率； (3)若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 【答案】(1)4个 (2) (3)4，5，6，7，8个 【来源】江苏省无锡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题 【分析】设袋中有红球m个, （1）利用对立事件求概率，列出关于m的方程，解方程得解； （2）“摸球三次共取出两个白球”分三类，求出每一类的概率再求和可得； （3）由题意知，然后对m进行分类讨论，符合题意就可，最后解出m的所有可能取值即可得解. 【详解】（1）设袋中有红球m个． 设“采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球”，则． 设“摸球两次，至少得到一次白球”．“摸球两次，两次均为红球”． 则，解得，即袋中红球有4个． （2）设事“摸球三次共取出两个白球”， 则三次摸球可能情况为：“白白红”，“白红白”，“红白白”， 则． 所以摸球三次共取出两个白球的概率为． （3）设“第三次摸球后停止摸球”，“第五次摸球后停止摸球”． 由题意知：． 若，则不可能连续两次摸到红球，不合题意． 若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，， 事件F五次摸球依次为“白白白红红”，，，不合题意． 若，则最多第四次就停止摸球，不符合题意． 若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，， 事件F五次摸球依次为“白红白红红”或“红白白红红”， ，，符合题意． 若，则事件E：三次摸球依次为“白红红”，， 事件F：五次摸球依次为“白白白红红”或“白红白红红”或“红白白红红”， ， 由得，， 即，解得或．即，5，6，7， 综上所述，红球个数的所有可能取值为4，5，6，7，8个． 44．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求两人在两轮比赛中都答对的概率； (2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； (3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 【答案】(1) (2) (3). 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可； （2）两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案； （3）分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可. 【详解】（1）依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”， 所以. 因为事件相互独立， 所以两人在两轮比赛中都答对的概率为 （2）设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”， “两人在两轮比赛中至少答对3道题”， 则， 由事件的独立性与互斥性， 可得 故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为. （3）设事件分别表示甲三轮答对2个，3个题目， 分别表示乙三轮答对2个，3个题目， 则， ， 设事件“两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”， 则，且分别相互独立， 所以 . 所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题11 概率综合（5大题型44题） 题型概览 题型01 辨析概率与频率的关系 题型02 求概率 题型03 判断事件关系 题型04 图表型概率解答题 题型05 文字型概率解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 辨析概率与频率的关系 1．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 ( 题型02 ) 求概率 2．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是 . 3．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)如图，用，，这3类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统正常工作的概率是 . 4．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)（多选）某市高一年级举行了阶段性检测，为了了解本次检测的学生成绩情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则（    ） A．图中 B．估计该市全体学生成绩的平均分为71 C．若对成绩前的学生进行奖励，则受奖励学生的考试成绩大约至少为84分 D．若在的样本成绩对应的学生（包括学生甲和乙）中随机选取两名进行访谈，则甲、乙两人至少抽到一人的概率为 5．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球、2个黑球．现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前两次摸出的球均为白球的概率为 ． 6．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ． 7．(23-24高一下·江苏南京·期末)从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 8．(23-24高一下·江苏南通·期末)一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（    ） A． B． C． D． 9．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 判断事件关系 12．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（   ） A．与C互斥 B．A与C相互独立 C．B与D互斥 D．B与D相互独立 13．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与C互斥 D．A与C独立 14．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 15．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（    ） A．A与B互斥 B．B与C互为对立 C．A与B相互独立 D．A与C相互独立 16．(23-24高一下·江苏淮安·期末)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与D相互独立 C．A与C相互独立 D．C与D对立 17．(23-24高一下·江苏苏州·调研)长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（    ） A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D． 18．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)（多选）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件是互斥事件 B．事件A与事件是互斥事件 C．事件A与事件相互独立 D．事件与事件是对立事件 19．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)（多选）甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件：从甲袋中抽取号签1；事件：从乙袋中抽取号签6；事件：抽取的两个号签和为3；事件：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立 20．(23-24高一下·江苏徐州·期末)（多选）盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．A与B相互独立 D． 21．(23-24高一下·江苏扬州·期末)（多选）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则下列叙述中正确的有（    ） A．A与互斥 B．A与相互独立 C．与对立 D． 22．(23-24高一下·江苏南通·期末)（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 23．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 24．(23-24高一下·江苏泰州·期末)（多选）已知事件满足，则（    ） A．若互斥，则 B．若互斥，则 C．若独立，则 D．若独立，则 25．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． ( 题型04 ) 图表型概率解答题 26．(23-24高一下·江苏盐城·期末)2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：    (1)请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； (2)现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 27．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表. (1)求频率分布直方图中a的值. (2)求月收入的平均数、75 百分位数. (3)现按月收入分层， 在[2000， 3000)和[3000， 4000)这两个收入段中， 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率. 28．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 29．(23-24高一下·江苏南通·期末)某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 (1)计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 30．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率． (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 31．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算） 32．(23-24高一下·江苏泰州·期末)某医院在一次体检中抽取了100名患者的心跳数据（均为整数），分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求心跳为89.5次的百分位数，并估算这批患者心跳次数的平均数； (2)为进一步了解患者的心跳次数的情况，从高于89.5次的患者中分层抽样6人，再从6人中任取2人，求抽中的2人心跳次数都高于99.5的概率. 33．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下： (1)求样本数据的70%分位数；（精确到0.01） (2)公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． ①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品； ②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率． 34．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? (3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. ( 题型0 5 ) 文字型概率解答题 35．为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，通过简单随机抽样从该校高一学生中抽查了20名学生，这20名学生每天午餐消费数据如下(单位：元)： 10　12　8　8　10　14　17　8　10　8　12　10　10　17　8　10　12　10　10　12 试估计该校高一学生每天午餐的平均费用以及午餐费用不低于12元的比例． 36．(23-24高一下·江苏苏州·调研)一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)分别求事件A，B，C发生的概率； (3)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 37．(23-24高一下·江苏连云港·期末)已知三种不同的元件，其中元件正常工作的概率分别为，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响． (1)用元件连接成系统（如左图），当元件都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率； (2)用元件连接成系统（如右图），当元件正常工作且中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为，求元件正常工作的概率． 38．(23-24高一下·江苏南京·期末)为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 39．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)在网球比赛中，甲、乙两名选手在决赛中相遇．根据以往赛事统计，甲、乙对局中，甲获胜的频率为，乙获胜的频率为．为便于研究，用此频率代替他们在决赛中每局获胜的概率．决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金． (1)求前两局乙均获胜的概率； (2)前2局打成1：1时， ①求乙最终获得全部奖金的概率； ②若比赛此时因故终止，有人提出按2:1分配奖金，你认为分配合理吗?为什么? 40．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ． 41．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1. 图表1 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图. (1)用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率； (2)根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3： 图表3 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 20元 15元 10元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 （产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值） 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： ①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300. ②单件产品平均利润不低于4元. 已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件. 42．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 43．(23-24高一下·江苏无锡·期末)袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏． (1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数； (2)已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率； (3)若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 44．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求两人在两轮比赛中都答对的概率； (2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； (3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. / 学科网（北京）股份有限公司 $$