期末专题09 立体几何大题综合（7大题型35题）（江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题09 立体几何大题综合（7大题型35题） 题型概览 题型01 平行关系、垂直关系基础证明题 题型02 求线面角 题型03 求二面角 题型04 表面积、体积、点面距 题型05 方程思想求值 题型06 存在性问题 题型07 立体几何新定义 ( 题型01 ) 平行关系、垂直关系基础证明题 1．(23-24高一下·江苏镇江·期末)如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求证：. 2．(23-24高一下·江苏南通·期末)如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面． 3．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线到平面的距离． 4．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 5．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在底面为正三角形的三棱柱中，已知点，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若.求证：平面. 6．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)如图，三棱柱中，E为中点，F为中点． (1)求证：平面ABC； (2)若，平面平面ABC，，求证：平面ABC． 7．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，是上一点. (1)若平面平面，求证：； (2)若点在上，且满足，求证：直线，，相交于一点. ( 题型02 ) 求线面角 8．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)如图，棱长为a的正方体中，分别是上的点，． (1)求B点到平面的距离； (2)求与平面所成角的余弦值．（请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 9．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：； (2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． ( 题型03 ) 求二面角 10．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段AC，AB的中点． (1)若平面平面，证明：∥； (2)证明：平面ABC； (3)求二面角的余弦值． 11．(23-24高一下·江苏南京·期末)如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 12．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为． (1)求证：平面； (2)若平面与直线交于点，证明：； (3)侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值． 13．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与的交点为. (1)求证：//平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正弦值. 14．(23-24高一下·江苏南通·期末)如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． (1)证明：； (2)已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． ( 题型04 ) 表面积、体积、点面距 15．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)如图，在三棱锥中，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 16．(22-23高一下·江苏镇江丹阳·)如图，在正方形中，，分别是，的中点，为的中点，若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为.    (1)在四面体中，请写出不少于3对两两垂直的平面，并证明其中的一对； (2)若正方形的边长为4，求点到平面的距离. 17．(23-24高一下·江苏连云港·期末)如图，已知各边长为4的五边形由正方形及等边三角形组成，现将沿折起，连接，得到四棱锥，且二面角的正切值为． (1)求证：四棱锥为正四棱锥； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (3)若点是侧棱上的动点，现要经过点作四棱锥的截面，使得截面垂直于侧棱，试求截面面积的最大值． 18．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． (1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少? (2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? (3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动） 19．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)如图，在四棱锥中， 底面ABCD是边长为3的菱形，且， AC交BD于点O，，M，N分别为PA，BC的中点. (1)求证：MN∥平面PCD； (2)记二面角的平面角为θ， 若 ①求 PA与底面ABCD所成角的大小； ②求点 N到平面 CDP的距离. ( 题型0 5 ) 方程思想求值 20．(23-24高一下·江苏盐城·期末)如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 21．(23-24高一下·江苏淮安·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD． (1)若M，N分别为棱BC和PD中点，求证：平面PAB； (2)若点A到平面PBD的距离为1，求PA的长． 22．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 23．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)如图，四棱锥中，平面． (1)若为中点，证明：平面； (2)若，且二面角的大小为，求． （请不用空间向量法，用空间向量法不得分） ( 题型0 6 ) 存在性问题 24．(23-24高一下·江苏泰州·期末)如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. (1)在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 25．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)如图，四边形为矩形，四边形为梯形，平面平面，，，. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的大小； (3)设平面平面，试判断与平面能否垂直？并证明你的结论． 26．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． ( 题型0 7 ) 立体几何新定义 27．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．    ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 28．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知在多面体中，，，. (1)若，，，四点共面，求证：多面体为棱台； (2)在（1）的条件下，平面平面，，，，且. ①求多面体的体积； ②求二面角正切值. 29．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知如图一，在矩形ABCD中，，．将沿BD折起，得到大小为的二面角． (1)当时，求与平面BCD所成角的正切； (2)当时，求B到平面的距离； (3)①当，求的值； ②如图二，在三棱锥中，已知，，，二面角的大小为，试直接写出利用，，的三角函数表示的结论，不需要证明． 30．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. (1)若中点为，求证：平面； (2)若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 31．(23-24高一下·江苏淮安·期末)如图①，在等腰直角中，，，M，N是边AC，AB上动点，将沿MN折起到如图②的位置，连接 PB，PC，且平面平面ABC． (1)当M，N分别是边AC，AB的中点时，求异面直线PN与BC所成的角； (2)若点M与点C重合，设，三棱锥P-BMN的体积为，求的值；； (3)若四棱锥P-BCMN在同一个球面上，求该球表面积的最小值． 32．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)在四面体中，钝角的三边均为整数且满足. (1)求的外接圆半径. (2)（i）设分别为，的外心，过分别作平面BCD，平面ACD的垂线l，m，求证：直线l，m相交于一点. （ii）若四面体的外接球O的半径为 ，设的外接圆圆心为，延长交球面于点M， ，求直线AM与平面BCD所成角的正弦值. 33．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)在三棱柱中，，，，，分别为的中点. (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 34．(23-24高一下·江苏徐州·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 35．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在三棱台中，为正三角形，，且，点为的中点，平面平面.    (1)若，证明：平面平面； (2)当时， ①设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； ②若点在棱上，满足.问：在棱上是否存在点，使得过点，，三点的平面将三棱台分为两个多面体，且体积相等？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题09 立体几何大题综合（7大题型35题） 题型概览 题型01 平行关系、垂直关系基础证明题 题型02 求线面角 题型03 求二面角 题型04 表面积、体积、点面距 题型05 方程思想求值 题型06 存在性问题 题型07 立体几何新定义 ( 题型01 ) 平行关系、垂直关系基础证明题 1．(23-24高一下·江苏镇江·期末)如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证. 【详解】（1）在正方体中， 又平面，平面，所以平面； （2）连接、，在正方体中为正方形， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 2．(23-24高一下·江苏南通·期末)如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明； （2）连接，证明出平面平面，结合面面平行的性质即可证明． 【详解】（1）连接交于点，由四边形是菱形得， 因为平面，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2）连接， 因为四边形是菱形，所以点为中点， 又分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面． 3．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】（1）连接，交于点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先证明，，从而知平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （3）先将问题转化为求点B到的距离，再利用等体积法求解即可． 【详解】（1）连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为为等边三角形，且D是的中点， 所以，由正三棱柱的性质知，平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （3）由（1）知平面， 以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离， 由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而2， 4， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 4．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用中位线定理得线线平行，再运用线面平行的判定定理即可. （2）设，利用相似三角形的性质结合勾股定理可计算，再由勾股定理可得，由面面垂直的性质定理可得面，继而可得，再运用线面垂直的判定定理即可. 【详解】（1）连接交于点， 分别为的中点， ， 又平面，平面， 平面 （2）设, ,设，则， 由勾股定理得，， M为棱AC的中点，由，得为，的三等分点， ， ，即， 在直三棱柱中，面面，且面面， M为棱AC的中点，， ，又面， 面，又面， ， 又，平面，平面， 平面. 5．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在底面为正三角形的三棱柱中，已知点，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若.求证：平面. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，构造中位线，即可证明； （2）通过平行平面的转化，转化为证明线面垂直. 【详解】（1）如图，连结，， 因为点是的中点，且为平行四边形， 所以点三点共线，且分别是，的中点， 所以， 平面，平面， 所以平面； （2）如图，取的中点，连结，，，，，，， 因为分别是和的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面， 且，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 且平面,平面， 所以平面， 且，平面， 所以平面平面， 因为，所以，同理， 且，平面，所以平面， 所以平面. 6．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)如图，三棱柱中，E为中点，F为中点． (1)求证：平面ABC； (2)若，平面平面ABC，，求证：平面ABC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】江苏省连云港市高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题 【分析】（1）取的中点，连接，由已知易证四边形是平行四边形，进而可得，可证结论； （2）由面面垂直的性质可得平面，进而可得，结合（1）与已知可得，进而由线面垂直的判定定理可证结论. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为中点，所以且， 又为中点，，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，由（1）可知，所以， 又，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面． 7．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，是上一点. (1)若平面平面，求证：； (2)若点在上，且满足，求证：直线，，相交于一点. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可证； （2）分析可知为梯形，可设，根据平面的性质可证，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：， 若平面平面，且平面平面，平面， 可知平面，且平面，所以. （2）连接， 因为，分别是，的中点，则∥，且； 又因为，则∥，且； 可得∥，且，可知四点共面，且为梯形， 则可设，则， 且平面，平面，则平面，平面， 且平面平面，可知， 所以直线，，相交于一点. ( 题型02 ) 求线面角 8．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)如图，棱长为a的正方体中，分别是上的点，． (1)求B点到平面的距离； (2)求与平面所成角的余弦值．（请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】（1）首先证明平面，再根据点到平面的距离定义求解； （2）首先利用平行关系转化，在根据（1）的垂直关系，求线面角，即可求解. 【详解】（1）连结，，交于点， 因为平面，平面，所以， ，，且平面 所以平面， 所以点到平面的距离为； （2）在上取点，连结，使，且， 所以，且，又，且, 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以与平面所成角为与平面所成角, 由（1）知，平面，所以为所求角， ，， 所以，， 所以与平面所成角的余弦值为. 9．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：； (2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】（1）只需结合已知证明平面，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）只需结合已知求出B到平面的距离以及的长度即可得解. 【详解】（1） 连接，∵平面平面，，平面平面，平面， ∴平面，因为平面，所以， 由题意可知，等腰梯形的高为1，故等腰梯形的面积为：， 又梯形的高为，故， ∴， ∴，在中，，．∴，即， ∴为的三等分点，所以， 所以，∴． 又∵，面，面， ∴平面，∵平面，∴． （2）， 连接，在梯形中可得，， 因此，即， 因为平面，因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 由平面，可得， 因为平面，因为平面， 所以， 所以，所以，所以B到平面的距离为， 在中由，，得， 设直线和平面所成角为，则， 所以直线和平面所成角得正弦值为． ( 题型03 ) 求二面角 10．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段AC，AB的中点． (1)若平面平面，证明：∥； (2)证明：平面ABC； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质分析证明； （2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明； （3）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角的平面角为，结合长度运算求解即可. 【详解】（1）因为点O，M分别为线段AC，AB的中点，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 又因为平面，平面平面，则, 所以∥. （2）由题意可知：为边长为4的等边三角形，且O分别为线段AC的中点， 则， 又因为为等腰直角三角形，且斜边，则， 由可知，即， 且，平面ABC， 所以平面ABC. （3）取的中点，连接， 由题意可知：，则，且， 由（2）可知：平面ABC，且平面ABC，则， 由，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，且， 可得， 所以二面角的余弦值为. 11．(23-24高一下·江苏南京·期末)如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）先根据证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理证明即可； （3）根据面面垂直结合二面角定义找到二面角，再应用边长求正弦及余弦值即可. 【详解】（1） 连接，，， 又为的中点，，， 四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面， （2）平面，， 是的中点，，又，平面， 平面， 又因为平面，， 在正方形中，､分别为棱､的中点， ，平面， 平面， 又平面，平面平面. （3）由（2）知平面，平面， 平面平面平面，且平面平面， ，设与交于点，则平面， 过作垂直，连接，则， 为二面角的平面角， 令，则，， ， 又因为，， 为的中点， ， 在直角三角形中，， 由图知，为锐角， ， 由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补， 故二面角的平面角的余弦值为. 12．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为． (1)求证：平面； (2)若平面与直线交于点，证明：； (3)侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）先证平面，得到，再根据，可证平面. （2）先证平面，再根据线面平行的性质定理证明线线平行. （3）先确定二面角的平面角，再解直角三角形，求出二面角的正切值. 【详解】（1）如图： 因为侧面，平面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面. 因为侧面，所以，       因为，且，平面， 所以平面. （2）因为底面为正方形，所以, 又因为平面，平面, 所以平面. 又平面，平面平面, 所以. （3）如图： 由题为等边三角形，， 故为中点， 在线段上取点，使得， 因为是正方形，所以， 又， 所以， 又因为底面，底面，所以， 又，平面，，所以平面， 又平面，所以，                      所以即为二面角的平面角， 设， 不妨设等边的边长为2， 则，， 所以在中，. 13．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与的交点为. (1)求证：//平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得； （2）由等边三角形证，再由勾股定理逆定理证，由线线垂直推导线面垂直即得； （3）作，证平面，作，证，得为二面角的平面角，由题设求得即得. 【详解】（1） 如图（1），连接. 由三棱柱可知侧面为平行四边形，所以为中点； 又因为为中点，所以//， 又平面平面，所以//平面； （2） 如图（2），连接. 由菱形可知，因为，可得为等边三角形； 因是中点，则，且；由可得，； 因为，则有，即， 又平面平面，故平面； （3） 由（2）可知平面，因为平面，所以平面平面； 如图（3），过点作，垂足为，过作，垂足为，连接. 因为平面平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以； 因为平面平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角. 在中，，可得， 在中，，可得， 在中，，可得， 因为，所以， 即二面角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和应用，以及运用几何法求解二面角，属于较难题. 解题关键在于深刻把握线面垂直的判定定理，执果索因，寻找线线垂直条件；求二面角的关键在于找到一个平面中的一点在另一个平面的射影，为作出平面角奠定基础. 14．(23-24高一下·江苏南通·期末)如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． (1)证明：； (2)已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②． 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论． 【详解】（1）证明：在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，， 在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又由（1）可知，所以， 又，，，，，平面， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 在圆台中，，， 所以，所以， 所以，所以， 连接，交于点，所以， 所以，到平面的距离之比， 所以； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为， 在平面内过点作的平行线交于点，连接， 易得，因为平面，所以平面， 所以为母线与下底面所成角， 因为，，所以，所以， 要使最小，只要最小即可， 因为，所以，所以， 设，因为为圆的直径，所以， 所以，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以，因此为二面角的平面角， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 在中，由勾股定理得，所以， 所以二面角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题第②问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到为母线与下底面所成角，并且发现，等价于使最小，只要最小即可，从而得解. ( 题型04 ) 表面积、体积、点面距 15．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)如图，在三棱锥中，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】（1）由条件可得平面，利用锥体的体积可求体积； （2）利用等体积法可求点点到平面的距离. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，又，平面， 所以平面，又， 所以三棱锥的体积； （2）在中，由，， 所以边上的高为， 所以， 设点到平面的距离为， 所以，由（1）可得，解得. 所以点到平面的距离. 16．(22-23高一下·江苏镇江丹阳·)如图，在正方形中，，分别是，的中点，为的中点，若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为.    (1)在四面体中，请写出不少于3对两两垂直的平面，并证明其中的一对； (2)若正方形的边长为4，求点到平面的距离. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【来源】江苏省镇江市丹阳市2022-2023学年高一下学期5月质量检测数学试题 【分析】（1）依题意可得，，，根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据，利用等体积法计算可得. 【详解】（1）依题意可得平面平面，平面平面，平面平面． 证明如下： 在折前正方形中， ，， 折成四面体后，，， 又，平面，平面． 平面，平面， 平面平面； 因为平面，平面平面； 又令正方体的边长为，则，， 所以，所以，，平面， 所以，因为平面，所以平面平面.    （2）若正方形的边长为，则，， ， 所以， 由（1）可知平面，所以， 设点到平面的距离为，又， 所以，即，解得． 17．(23-24高一下·江苏连云港·期末)如图，已知各边长为4的五边形由正方形及等边三角形组成，现将沿折起，连接，得到四棱锥，且二面角的正切值为． (1)求证：四棱锥为正四棱锥； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (3)若点是侧棱上的动点，现要经过点作四棱锥的截面，使得截面垂直于侧棱，试求截面面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据过点作面，垂足为，取中点，连接，二面角的正切值为，验证的为正方形的对角线的交点，从而得证； （2）利用二面角的定义确定二面角的平面角，求解即得； （3）通过在图形中找到与垂直的平面，从而观察符合题意的截面，判断截面面积最大的情况，计算出面积； 【详解】（1）证明：过点作面，垂足为，取中点，连接，如图所示， 是平面内两条相交直线，平面. 平面，，二面角的平面角为. 在等边三角形边长为4，根据勾股定理可得, 在直角三角形，. 因此为正方形的中心，即正方形的对角线的交点， 又因为面，则. 因此四棱锥为正四棱锥. （2）设面面，因为平面平面， 故面，又面，面面，从面， 则，同理为二面角的平面角， 因四棱锥为正四棱锥，故，则， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. （3） 由（1）知为的中点，取的中点， 连接都是正三角形，平面， 所以，由，则平面， 因此过点垂直于的截面与截面平行或重合， 显然点在上（不含端点）时，截面面积小于，不可能最大， 当点在（不含端点），时，令， 此时截面交分别于点，，，，平面平面， 平面平面，平面平面， 因此，同理， 由知，平面，得平面， 而平面平面平面，则，同理，于是，四边形为平行四边形， 又，则，即有，四边形为矩形， 显然，则， ，由， 得，而，矩形面积， 从而截面的面积 ， 当时，，显然， 即时，截面面积最大，最大值为. 18．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． (1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少? (2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? (3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动） 【答案】(1)6； (2)4； (3). 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】（1）根据水的体积不变即可得解； （2）根据空气部分的体积大小判断水面形状，记的中点为，连接，利用空气部分体积求出，然后可求侧棱与水平面所成角的正弦值，由可得所求； （3）判断空气部分为台体，设，,根据体积公式和勾股定理列方程，联立整理，代入梯形面积公式，转化为关于的函数，通过换元，利用二次函数性质求解可得. 【详解】（1）记水面与棱分别交于点， 当侧面水平放置时，水是以为底，高为8的直棱柱， 因为，分别为棱的中点， 所以，所以水的体积为， 当底面ABC水平放置时，设水面高为， 则，解得， 即当底面ABC水平放置时，水面高为6. （2）因为三棱柱体积为， 所以三棱锥的体积为， 空气部分的体积为， 因为，所以当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图， 由得， 记的中点为，连接，则， 因为，所以， 又平面，平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以直线在平面内的投影为， 所以为直线与水平面所成角， 又，所以， 所以， 因为，所以水面到地面的距离为. （3）由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图： 记的中点分别为，在上，且，， 易知，为正三角形，设， 则，所以， 整理得①， 又因为平面，平面，平面平面， 所以与的交点必在上，所以为棱台， 所以， 整理得②， 联立①②可得，， 因为，所以为平行四边形， 所以， 易知为等腰梯形，所以为等腰梯形的高， 所以水面面积， 则 当水面刚好过点时，，解得， 则，， 由题意可知，则， 记，， 由二次函数性质可知，，即， 所以，所以， 即水面面积S的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题解答关键在于侧棱与水平面所成角的运用，利用侧面与水平面所成角表示出水面面积，然后利用二次函数的性质求解即可. 19．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)如图，在四棱锥中， 底面ABCD是边长为3的菱形，且， AC交BD于点O，，M，N分别为PA，BC的中点. (1)求证：MN∥平面PCD； (2)记二面角的平面角为θ， 若 ①求 PA与底面ABCD所成角的大小； ②求点 N到平面 CDP的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2)①；② 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】（1）取PD得中点E，连接ME，CE，证明，然后证明平面PCD； （2）①作出二面角的平面角，利用二面角的余弦值求出，，再由条件可证明所求线面角为，利用直角三角形求大小即可；②由平面PAC转化为求O到平面距离，作出垂线段，利用等面积法求解即可. 【详解】（1）取PD得中点E，连接ME，CE，如图， 因为为PA的中点，则， 又因为为的中点且四边形ABCD为菱形，则， 可得，可知四边形MNCE为平行四边形，则， 且平面PCD，平面PCD。所以 MN∥平面PCD. （2）①连接PO，取的中点，连接， 因为， 则，且，，， 可知为二面角的平面角，即， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 则， 因为，是的中点，则， 又因为为菱形，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可知平面平面， 且平面平面， 由面面垂直的性质可知：直线在平面上的射影为， 所以PA与底面ABCD所成角为. 因为，则， 且 ，可知， 所以PA与底面ABCD所成角的大小为； ②连接，过作于， 由，平面，平面，则平面， 可知点N到平面CDP的距离即点到平面CDP的距离， 因为，平面， 可得平面，且平面，可知平面平面 又因为，平面，平面平面， 所以平面，且平面， 在中，，，， 由等面积法可得，即， 所以点N到平面CDP的距离为. 【点睛】关键点点睛：根据二面角分析可知为二面角的平面角，结合余弦定理可得. ( 题型0 5 ) 方程思想求值 20．(23-24高一下·江苏盐城·期末)如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）依题意可得四边形为平行四边形，即可得到，从而得证； （2）连接，即可说明四边形为菱形，得到，从而得到，再由线面垂直得到，从而证明平面，即可得证； （3）首先证明平面，即可得到为二面角的平面角，从而求出，再由，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）连接，因为，，为的中点， 则，所以四边形为菱形，所以， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （3）因为平面，平面， 所以，，，又， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形， 所以，又，，， 所以，又平面，平面，所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得，即点到平面的距离为. 21．(23-24高一下·江苏淮安·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD． (1)若M，N分别为棱BC和PD中点，求证：平面PAB； (2)若点A到平面PBD的距离为1，求PA的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】（1）取PA中点E，连接BE，NE，易得四边形BMNE是平行四边形，所以，由线面平行的判定即可得证； （2）由等体积法，计算可得PA的长． 【详解】（1）取PA中点E，连接BE，NE，如下图所示： 因为点N是PD中点，所以，且 又因为底面ABCD为正方形且点M是BC中点， 所以， 所以四边形BMNE是平行四边形， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB； （2）因为面ABCD且AB，面ABCD， 所以PA就是三棱锥P-ABD的底面ABD上的高，且，， 设点A到面PBD的距离为h，，则， 因为，所以，且正方形ABCD的对角线， 所以， 因为， 所以，即， 所以． 22．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明平面. （2）利用线面垂直的判定证得平面，进而得为直线与平面所成角并求出，利用勾股定理求出，再由余弦定理求出，利用二面角的定义即可得答案. 【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）由三棱柱所有棱长都为2，，得都是正三角形， 而O为BC中点，则，，平面，， 于是平面，又，则平面， 为直线与平面所成角， 因此，，而平面，则， 又为中点，则， 在中，，，则， 由，，得是二面角的平面角， 所以二面角的大小. 23．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)如图，四棱锥中，平面． (1)若为中点，证明：平面； (2)若，且二面角的大小为，求． （请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 【答案】(1)证明详见分析. (2). 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】（1）取中点为，由题意得，且，可得四边形为平行四边形，所以，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）将二面角转化为平面角，如图，再由线面关系可得为直角三角形，设，用等面积法将所需边长用表示出来，结合，用锐角三角函数即可求出. 【详解】（1）取中点为，连接， 分别为的中点， ，且，又， 由平行传递性可得，且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. （2）过点作，垂足为， 面，，面，， 过点作，垂足为，连接， 面，， 二面角的平面角为. 面，，又面，面， 面，， 设，则，由已知得， 在和中，由等面积法得： ，得， ，得， ，，面，又面，， 在中，， ，解得，. ( 题型0 6 ) 存在性问题 24．(23-24高一下·江苏泰州·期末)如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. (1)在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）不共面，证明见解析 (2)存在，证明见解析 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）（i）由线面垂直的性质可得，然后由面面垂直的判定可证，（ii）利用反证法，假设不共面，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确； （2）利用面面平行的判定可得平面平面，然后利用线面平行的定义得证. 【详解】（1）（i）由平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 因为平面，所以平面平面； （ii）不共面， 假设共面于， 由四棱柱，得平面平面， 又平面，平面，所以， 又，所以，又，即， 又，且，， 从而四边形为矩形，与矛盾! 所以不共面； （2）取的中点，连接并延长交于， 因为，，所以为的中点，， 因为平面，平面，所以平面， 由是的中点，平面，平面 ， 所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 25．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)如图，四边形为矩形，四边形为梯形，平面平面，，，. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的大小； (3)设平面平面，试判断与平面能否垂直？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)垂直，证明见解析 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）先证明，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）补形成长方体，找出线面角，求解即可； （3）根据题意可得，利用平行的传递性，可证明平面. 【详解】（1）如图所示， 连结，交于，连接， ∵为矩形，∴为的中点， 在中，，分别为，的中点， ∴， 因为平面，平面， 所以平面. （2）根据题意，可以补形成长、宽、高分别为的长方体，作． 平面即是平面，由长方体性质知道，平面，平面， 则，且，，平面，则平面 则与平面所成角为，且，． 中用等面积法得到，，求得， 则． 则直线与平面所成角的正弦值的大小为. （3）与平面垂直．证明如下： ∵四边形为矩形，∴， ∵平面平面， 又平面，平面平面，∴平面， ∴，， ∵四边形为矩形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. ∵平面，平面平面， ∴∴， ，平面，， 所以平面. 26．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有平面平面 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【详解】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． ( 题型0 7 ) 立体几何新定义 27．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．    ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 【答案】(1)2 (2)①；② 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可 （2）①首先证明，再由点处的离散曲率可求出，从而其它相应的线段都可计算， 把与平移至中位线处，得出为异面直线与的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可. ②首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，最后转化为函数最值问题. 【详解】（1）由离散曲率的定义得：， ， ， ， 四个式子相加得：. （2）①如图，分别取的中点，连接，显然有， 所以为异面直线与的夹角或其补角，设，因为，所以，，    因为平面，平面，所以，，，， 因为，，所以平面，又因为平面，所以， 由点处的离散曲率为可得， 所以，，，而，， 所以，故异面直线与的夹角的余弦值为. ②如图，过点做交与，连接，因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，设， 在中， 因为，所以，所以， 故， 当分母最小时，最大，即最大，此时，即（与重合），，所以的最大值为.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过题目所给的新定义求出，从而计算出各边的长度，求与平面所成的角的最大值，首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，转化为函数最值问题，求最值是把式子经过适当的变形最终转化为二次函数最值问题. 28．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知在多面体中，，，. (1)若，，，四点共面，求证：多面体为棱台； (2)在（1）的条件下，平面平面，，，，且. ①求多面体的体积； ②求二面角正切值. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】(1)利用面面平行的定义可以证明上下底面的两个面平行，接着证明三条侧棱交于一点. (2)求棱台的体积转化为求两个棱锥的体积即可；求二面角的正切值做出二面角的正切值，利用解三角形求解即可. 【详解】（1）因为，平面，平面, 所以平面. 同理可证：平面. 又因为，平面，平面. 所以平面平面，而，故共面. 因为，设. 而，且平面， 所以平面，同理可证平面， 所以面面. 又因平面平面，所以， 则交于同一点，又因为平面平面. 所以多面体为棱台. （2）三棱台中，由(1)知侧棱交于同一个点，连结. 在侧面梯形中，有，. 所以梯形为直角梯形. 又因为，， 所以，所以，故. 又因面面，面面，面. 所以平面，即的长度等于点到平面的距离. 在三棱台中，有，即,所以, 侧面梯形中，，，，. 所以侧面梯形的面积. 又，解得. 故. 所以. 因为. 故. 所以所求棱台的体积为 ②在内，过点作，记垂足为，连接. 由①知平面，又平面，所以，. 又因为，，所以平面. 又因为平面，所以, 又，所以的值等于二面角的值. 在中，，，. 所以. 故. 解得，故由即知. 所以二面角的正切值为. 【点睛】证明棱台，求棱台的体积，借住棱台求解二面角的大小，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力. 29．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知如图一，在矩形ABCD中，，．将沿BD折起，得到大小为的二面角． (1)当时，求与平面BCD所成角的正切； (2)当时，求B到平面的距离； (3)①当，求的值； ②如图二，在三棱锥中，已知，，，二面角的大小为，试直接写出利用，，的三角函数表示的结论，不需要证明． 【答案】(1) (2) (3)①② 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）由二面角为直二面角，求出为与平面所成角，由余弦定理求出，解直角三角形即可得解； （2）平面可知三棱锥高，再由等体积法求B到平面的距离； （3）①求出二面角的余弦，再由余弦定理求解，②直接写出结论. 【详解】（1）过作于，连接，如图， 因为二面角的大小为，所以平面平面， 因为，平面∩平面，平面， 所以平面， 所以为与平面所成角， 在中， 在中， 在中，， 所以在中， ， 所以, 在中， 即与平面所成角的正切是. （2）在（1）图中，， 在中， 所以， 的面积 因为平面， 所以三棱锥的体积 所以B到平面的距离. （3）①矩形中找到的对应线段，并设的延长线交于， 在中，， 所以 在三棱锥中，如图， 由，所以为二面角的平面角， 即 在中， 在中， ② 30．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. (1)若中点为，求证：平面； (2)若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据中位线可得线线平行，即可证明四边形为平行四边形，可得，即可由线面平行的判定求证， （2）①作辅助线，根据平移法找到异面直线与所成角，解三角形即可求得其余弦值；②根据图形的几何性质说明当时，最短，此时，点在棱上，然后通过解三角形求得相关线段长. 【详解】（1）取中点，连接， 为线段的中点，， ； 四边形为平行四边形，， 平面平面 平面. （2）①取的中点，连接， 为中点，， 就是异面直线和所成的角或所成角的补角. 平面平面， 平面平面，平面, 平面平面， 菱形的边长为， 与是全等的正三角形， 分别为的中点， ， 在中，， 在中，， ， 在中，； ②,平面， 平面， 又为线段的中点， ， ， 要使最小只需最短即可，即为点到面的距离. 在中，， ， 在中，， ， ，， 的最小值为. 31．(23-24高一下·江苏淮安·期末)如图①，在等腰直角中，，，M，N是边AC，AB上动点，将沿MN折起到如图②的位置，连接 PB，PC，且平面平面ABC． (1)当M，N分别是边AC，AB的中点时，求异面直线PN与BC所成的角； (2)若点M与点C重合，设，三棱锥P-BMN的体积为，求的值；； (3)若四棱锥P-BCMN在同一个球面上，求该球表面积的最小值． 【答案】(1)45°； (2)； (3). 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】（1）由题可得异面直线PN，BC所成角为或其补角，解三角形即可； （2）过P点作，根据面面垂直的性质可得平面BMN，由正弦定理求得MN，再根据棱锥体积公式得到关于的等式，结合换元法求解即可； （3）由题可得，取BM，PM的中点分别为，，过，分别作平面BCMN，平面PMN的垂线，，则，设平面，可推出O为四棱锥的外接球球心，四边形为矩形，设，结合勾股定理求得R与x的关系式，求得R的最小值，即可得到结果． 【详解】（1），N分别为AC，AB的中点，， 异面直线PN，BC所成角为或其补角， ，，， 则异面直线PN与BC所成的角为45°． （2）过P点作，垂足为H， 则， 平面平面BMN，平面平面，平面PMN，， 平面BMN， 在中，，则， ， ， 令， 则， ，解得． （3）由题知B、C、M、N四点共圆，则，， 取BM，PM的中点分别为，，过，分别作平面BCMN，平面PMN的垂线，， 则，设平面， 可知为四边形BCNM的外接圆圆心，为的外接圆圆心， O为四棱锥P-BCMN的外接球球心， 因为平面BMN，平面BMN， 所以，同理可得， 又，平面，平面， 所以平面， 因为、平面， 所以，， 因为平面平面BMN，平面平面，平面PMN， 所以平面BMN，则， 同理可得， 则四边形为矩形， 设， 则，，， ， 当时，， 该球表面积的最小值为． 【点睛】方法点睛：求四棱锥的外接球先找到外接球的球心再证明点是球心即可． 32．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)在四面体中，钝角的三边均为整数且满足. (1)求的外接圆半径. (2)（i）设分别为，的外心，过分别作平面BCD，平面ACD的垂线l，m，求证：直线l，m相交于一点. （ii）若四面体的外接球O的半径为 ，设的外接圆圆心为，延长交球面于点M， ，求直线AM与平面BCD所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用边长为整数与钝角三角形条件建立不等式求解即可； （2）（i）利用球的性质，可得过三角形外接圆圆心且与三角形所在平面垂直的直线都过球心，则两直线相交于球心即可得证；（ii）将所求线面角的正弦转化为直线与平面的垂线所成角的余弦，取弦中点构造直角三角形，分别求解直角边与斜边长度，再求余弦值可得. 【详解】（1）设，由，则， 由两边之和大于第三边可得，解得. 又为钝角三角形，则最大边所对角为钝角， 则由余弦定理可得，解得， 所以有，又，故， 则. 所以，由为钝角， 所以， 由正弦定理得，的外接圆直径为， 故的外接圆半径为. （2）（i）如图1，设四面体外接球球心为， 取的中点，连接. 由，则，同理， ，且平面，平面， 所以平面，又平面， 则，同理可得. 由，平面，平面， 则平面，又已知直线平面，且过点， 因为经过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条，故直线即直线. 同理可得过点所作平面的垂线即为直线. 故直线相交于一点，该交点即为四面体外接球的球心； （ii）四面体的外接球球心为，圆为的外接圆， 由（i）知平面. 若圆所在平面，即平面时（如图2）， 设的外接圆半径为，由（1）知， 已知四面体的外接球半径， 则， 此时，此时不满足题意. 故不与平面垂直，即为平面的斜线. 如图3，取的中点，.过点作圆所在平面，垂足为，    则平面，故即为所求直线与平面所成角， 由平面，则， 则，则 所以有. 由，则， 所以，， 在中，. 故直线AM与平面BCD所成角的正弦值为. 【点睛】结论点睛：有关圆心与球心的性质的重要结论： （1）圆心与弦中点的连线垂直平分弦； （2）空间几何体的外接球球心与底面多边形外接圆圆心的连线垂直于底面. 33．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)在三棱柱中，，，，，分别为的中点. (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】（1）只需分别证明面，面，结合面面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明 平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （3）引入参数，将所求表示为的函数即可进一步求解. 【详解】（1）三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，所以，且， 又因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由于面，面，所以面， 在中，，且，同理，且， 所以，又由于面，面，所以面， 又面，，平面， 所以平面∥平面； （2）连接 ， ， 因为 ，所以 ，又因为 ，且，所以 ， 因为 ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ，因为 平面 ， 所以 ，在 中， ， ， ， 由余弦定理求得 ， 则 ， ， 因为，所以 ，解得 ， 在，， ，可知，又， 在中，，因此 ． 由（1）知， ，且 ， 平面 ，且 ， 所以 平面， 因为 平面 ，因此平面 平面 ． （3）设，，， 所以到平面的距离为， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在中，， 所以到的距离为， 设二面角的平面角为，. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于引入参数，并表示出二面角的平面角的余弦值，由此即可顺利得解. 34．(23-24高一下·江苏徐州·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离； （3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【详解】（1）连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且， 所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以，， 又，，，所以， 所以， 又，所以， 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离. （3）连接，，则且， 又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 35．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在三棱台中，为正三角形，，且，点为的中点，平面平面.    (1)若，证明：平面平面； (2)当时， ①设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； ②若点在棱上，满足.问：在棱上是否存在点，使得过点，，三点的平面将三棱台分为两个多面体，且体积相等？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②存在， 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据面面垂直可得平面，进而可证平面，即可得结果； （2）根据题意分析相关长度，确定三棱台的结构特征，并将三棱台补成三棱锥，①做辅助线，分析可知即为直线，利用三垂线法求二面角；②做辅助线，设，结合台体的体积公式运算求解. 【详解】（1）连接，    因为，且点为的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，由平面，可得， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面 （2）①由题意可知：， 因为为正三角形，且点为的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，由平面，可得， 可得， 取的中点，连接，      因为，则， 且，平面，则平面， 对于梯形，过点A做，垂足为，    因为，则， 可得，，可知， 则， 将三棱台补成三棱锥，则， 设，可知即为直线， 则，可得， 注意到，则三点共线，且，即， 可知为线段的中垂线，则， 过做，垂足为，过做，垂足为，连接， 因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为， 因为平面，由平面，可得， 在中，， 可得，则， 在中，，可得， 在中，可得， 在中，则，可得， 所以二面角的余弦值为； ②由①可知：三棱台的高，， 则三棱台的体积， 且， 则三棱锥的体积， 设，，，    则线段，， 则三棱台的体积， 整理可得，解得， 所以存在点，此时. 【点睛】关键点点睛：1.对于三棱台，常用补形法，把三棱台补成三棱锥，方便分析观察； 2.对于二面角，常用三垂线法求二面角的平面角. / 学科网（北京）股份有限公司 $$