期末专题08 立体几何小题综合（8大题型82题）（江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题08 立体几何小题综合（8大题型82题） 题型概览 题型01 判断点线面间的位置关系 题型02 斜二测画法中有关量的计算 题型03 表面积、侧面积、体积、高、空间距离 题型04 空间角及其应用 题型05 球体综合 题型06 轨迹及截面问题 题型07 最值与范围问题 题型08 立体几何多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 判断点线面间的位置关系 1．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若m⊥α，n⊥α，则 C．若，，且，，则 D．若α⊥β，，m⊥n，则n⊥β 4．(23-24高一下·江苏泰州·期末)设甲：直线与平面内两条直线垂直，乙：直线平面，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知直线是不同的直线，平面，，是不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 7．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，，则 D．，，，则 8．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 ⑤若，，，则 A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③ 9．(23-24高一下·江苏镇江·期末)（多选）已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是（    ） A．，； B．，，； C．，，； D．，， 10．(23-24高一下·江苏连云港·期末)（多选）已知直线，平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．(23-24高一下·江苏南通·期末)（多选）已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 12．(23-24高一下·江苏扬州·期末)在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（    ）. A． B． C．平面 D．平面平面 ( 题型02 ) 斜二测画法中有关量的计算 13．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)如图，已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，若该直三棱柱的侧棱长为4，则该直三棱柱的体积为 ． 14．(23-24高一下·江苏灌云县第一中学·期末)已知直三棱柱的侧棱长为，直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形如图，斜边长，则该直三棱柱的侧面积为 ． ( 题型03 ) 表面积、侧面积、体积、高、空间距离 15．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的表面积是（    ） A． B． C． D． 17．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知某圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知圆柱的底面半径为2cm，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高一下·江苏徐州·期末)某圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的高为（    ） A．1 B． C．2 D． 20．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知一个正四棱台的体积为，上､下底面边长分别为，则棱台的高为 . 21．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知圆锥的体积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是 （单位：）． 22．(23-24高一下·江苏南通·期末)已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 23．(23-24高一下·江苏灌云县第一中学·期末)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 24．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知在正三棱柱中，，与平面所成的角为，则该正三棱柱的体积为 ． 25．(23-24高一下·江苏连云港·期末)用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为，桶底直径为，母线长是．已知每平方米需用油漆，共需用油漆（精确到）（    ） A． B． C． D． 26．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 27．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)如图，直线为异面直线，直线于于B，且在直线a上，，若直线所成的角为，则点M到直线b的距离是（    ）    A． B． C． D． 28．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图，正方体的棱长为3，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 29．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 30．(23-24高一下·江苏南通·期末)以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为 ，其面数为 ． 31．(23-24高一下·江苏镇江·期末)如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 32．(23-24高一下·江苏南京·期末)一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 33．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 空间角及其应用 34．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)在正方体中，直线和直线所成的角为 . 35．(23-24高一下·江苏镇江·期末)将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是 . 36．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．(23-24高一下·江苏镇江·期末)正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（    ） A． B． C． D． 38．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 39．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若该正四棱台的侧面积为，则侧棱与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 40．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ；与平面所成角的正切值为 ． ( 题型0 5 ) 球体综合 41．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为 ． 42．(23-24高一下·江苏泰州·期末)已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 43．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知圆台上下底面半径分别为，圆台的母线与底面所成的角为，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为 . 44．(23-24高一下·江苏南京·期末)设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 45．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)一个直角梯形上底、下底分别为和，将此直角梯形以垂宜于底的腰为轴旋转周形成一个圆台，此圆台外接球的半径为，则这个圆台的高为 . 46．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 47．(23-24高一下·江苏盐城·期末)《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 48．(23-24高一下·江苏连云港·期末)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为 ． 49．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)在四面体中，，，，，，则四面体的外接球的表面积为 ，四面体的体积为 ． ( 题型0 6 ) 轨迹及截面问题 50．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（） A． B． C． D． 51．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末)已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 52．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)在边长为2的正方体中，E，F，G是的中点，那么过点E，F，G的截面图形为 （在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为 ． ( 题型0 7 ) 最值与范围问题 53．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．4 54．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物.端午食粽的风俗，传播甚远.包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为 . 55．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)如图，展现的是一种被称为“旋四角反棱柱”的十面体，其上下底面平行且均为正方形，上下底面的中心所在直线垂直于两底面．已知此多面体上下底面的边长为，上下底面之间的距离为，则此十面体体积的最大值为 ． 56．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 57．(23-24高一下·江苏徐州·期末)在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（    ） A． B． C． D． 58．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为 . ( 题型0 8 ) 立体几何多选题（多考点综合） 59．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（    ） A．侧面积为 B．体积为 C．侧面与底面所成角的正切值为 D．外接球的表面积为 60．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知四面体的各个面都是全等的三角形，且，则下列选项正确的是（    ） A．直线所成角为 B．二面角的余弦值为 C．四面体的体积为 D．四面体外接球的直径为 61．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)在棱长为1的正方体.中，P为线段上的动点(不包含端点)，则（    ） A．存在点P，使得直线与AC所成角为 B．不存在点P，使得平面APD平面 C．三棱锥的体积 D．存在点 P，使得直线垂直于平面 62．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面的面积为18 63．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)如图，斜三棱柱的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，是的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．与底面所成角的正弦值为 C．斜三棱柱的侧面积 D．侧棱到平面的距离为 64．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段上的点（不含端点）．设与所成的角为与平面所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 65．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)如图，在矩形中，，，将三角形沿直线翻折得到三角形，在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） A．存在某个位置，使得三棱锥的外接球半径大于 B．存在某个位置，使得异面直线与的所成的角为 C．点到平面的距离的最大值为 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 66．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)如图，在棱长为的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（   ） A．M，N，B，四点共面 B．若，则异面直线与MN所成角的正弦值为 C．平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形 D．若，则三棱锥的体积为 67．(23-24高一下·江苏泰州·期末)如图，在三棱柱中，为四边形对角线的交点.若为棱的中点，平面，则（    ）    A． B． C．三棱锥的体积小于三棱锥的体积 D．三棱柱的体积的最大值为2 68．(23-24高一下·江苏盐城·期末)如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A． B．若点在线段上，则四面体的体积为定值 C．若，则点轨迹的长度为 D．若点在直线上，则的最小值为 69．(23-24高一下·江苏淮安·期末)如图，在正四棱锥中，，， 为棱的中点，为内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（    ） A．若为的中点，则平面 B．若点在线段上运动，则的最小值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．，，若四点共面，则点的轨迹长度 70．(23-24高一下·江苏南京·期末)如图，已知菱形的边长为2，，将沿翻折为三棱锥，点为翻折过程中点的某一位置，则下列结论正确的是（   ） A．无论点在何位置，总有 B．点存在两个位置，使得成立 C．当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为 D．当时，为上一点，则的最小值为 71．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图，四边形ABCD是边长为2a的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将，，分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（    ） A．AP⊥EF B．点P在平面AEF内的射影为的外心 C．二面角的正弦值为 D．四面体的外接球的体积为 72．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与平面所成的角为 C．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 D．若点为棱上的动点，则的最小值为 73．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．直线与平面所成角的正切值为 C．点到平面的距离为 D．三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为 74．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（    ）    A．点的运动轨迹为一条线段 B．直线与所成角可以为 C．三棱锥的体积是定值 D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 75．(23-24高一下·江苏徐州·期末)在正四棱台中，，，，点E在内部（含边界），则（    ） A．平面 B．二面角的大小为 C．该四棱台外接球的体积为 D．的最小值为 76．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)棱长为2的正方体，，分别是棱，棱的中点，则（   ） A．直线与直线是异面直线 B．过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C．在棱上存在一点，使二面角的大小为 D．点到平面的距离为 77．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)已知正方体棱长为2，点P是侧面上的动点（不含边界），下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．存在点P，使得⊥平面 C．若，则三棱锥的外接球体积为 D．若O为线段的中点，OP与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 78．(23-24高一下·江苏泰州·期末)如图，设草地与山坡所成二面角的平面角为，且.山脚线上有一个标志物，猎人在点的正东方向100米的点处，一只兔子在点的正北方向100米的点处.若兔子沿垂直于的方向往山坡上以10米/秒的速度奔跑，15秒后到达点，同时被猎人击中，则点与点之间的距离为 米：猎人行走至点的最短路程是 米. 79．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，为P在面内的射影，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 80．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 . 81．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)如图，正方形棱长为1，是线段上的一个动点（含端点），则下列结论正确的是（）    A．的最小值为 B．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 C．的最小值为 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 82．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末)用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台．如图，在正三棱台中，已知，则（    ） A．正三棱台的体积是 B．直线与平面所成的角为 C．点到平面的距离为 D．正三棱台存在内切球，且内切球半径为 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题08 立体几何小题综合（8大题型82题） 题型概览 题型01 判断点线面间的位置关系 题型02 斜二测画法中有关量的计算 题型03 表面积、侧面积、体积、高、空间距离 题型04 空间角及其应用 题型05 球体综合 题型06 轨迹及截面问题 题型07 最值与范围问题 题型08 立体几何多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 判断点线面间的位置关系 1．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据空间中线线、线面和面面之间的关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则，故B正确； C：若，，则，故C正确； D：若，则或与异面或与相交，故D错误. 故选：D 2．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可. 【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误； 由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误. 故选：C. 3．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若m⊥α，n⊥α，则 C．若，，且，，则 D．若α⊥β，，m⊥n，则n⊥β 【答案】B 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】ACD可举出反例；B选项，根据垂直和平行的性质得到B正确. 【详解】A选项，若，，则或异面，A错误； B选项，若m⊥α，n⊥α，则，B正确； C选项，若，则不能得到，C错误； D选项，如图，满足α⊥β，，m⊥n，， 但不能推出n⊥β，D错误. 故选：B 4．(23-24高一下·江苏泰州·期末)设甲：直线与平面内两条直线垂直，乙：直线平面，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据线面垂直的判断定理和性质定理，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】甲：没有说明平面内的两条直线相交，所以甲推不出乙， 反过来，若乙成立，则与平面内的任意直线垂直，则乙能推出甲， 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 5．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知直线是不同的直线，平面，，是不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【详解】对于A，若，，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 对于D，若，，则或与相交，故D错误． 故选：C． 6．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则或，故A错误； B：若，则或，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，且，则，故D错误. 故选：C 7．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，，则 D．，，，则 【答案】D 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据空间直线的位置关系判断B，根据面面平行的判定定理判断C，根据线面平行的性质定理判断D. 【详解】当，，时，不能推出，故A错误； 当，时，可能相交，也可能异面，不能推出，故B错误； 当，，，，若不相交，则推不出，故C错误； 当，，，由线面平行的性质定理知，故D正确. 故选：D 8．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 ⑤若，，，则 A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③ 【答案】A 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若，，则存在且， 因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确， 故选：A. 9．(23-24高一下·江苏镇江·期末)（多选）已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是（    ） A．，； B．，，； C．，，； D．，， 【答案】BC 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,由，，则,可能相交，可能异面，可能平行，故A错误， 对于B，由线面平行的性质定理可知，，，则，B正确， 对于C,若，，，则，C正确， 对于D，若，，，则,异面或者平行，D错误， 故选：BC 10．(23-24高一下·江苏连云港·期末)（多选）已知直线，平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据面面、线面平行、垂直的判定定理以及性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，因为，由平面平行传递性可得，故A正确； 对于B，，则与可以平行，也可以相交，故B错误； 对于C，根据两个相交平面同时垂直于第三平面，则它们的交线垂直于第三平面，故C正确； 对于D，根据若一条直线与两个相交平面分别平行，则这条直线与两个平面的交线平行，故D正确； 故选：ACD 11．(23-24高一下·江苏南通·期末)（多选）已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误； 对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确； 对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确； 对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 12．(23-24高一下·江苏扬州·期末)在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（    ）. A． B． C．平面 D．平面平面 【答案】C 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【详解】对于A，连接，如下图所示： 因为分别是棱的中点，所以， 由正方体性质可得，因此可得，而相交， 所以错误，即A错误； 对于B，取的中点，连接，如下图所示： 易知，，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）； 不妨设正方体的棱长为2，则，， 显然，可知不是直角，所以与不垂直，即B错误； 对于C，连接，如下图所示： 由正方体性质可得平面，而平面，所以； 因为是正方形，所以， 又，平面，所以平面, 又因为分别是棱的中点，所以 可得平面，即C正确； 对于D，如下图所示： 易知平面，且，而平面，所以平面； 因此可得平面与平面有公共点，可知两平面必有一条过的共公交线； 因此平面平面是错误的，即D错误. 故选：C ( 题型02 ) 斜二测画法中有关量的计算 13．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)如图，已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，若该直三棱柱的侧棱长为4，则该直三棱柱的体积为 ． 【答案】 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】由题设及斜二测法知在原图中对应的长度分别为，根据直棱柱的体积公式计算即可. 【详解】由题意可知，， 由斜二测画法可知，原直三棱柱中，对应边长为，对应边长为，且底面为直角三角形， 所有直三棱柱体积为：. 故答案为：. 14．(23-24高一下·江苏灌云县第一中学·期末)已知直三棱柱的侧棱长为，直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形如图，斜边长，则该直三棱柱的侧面积为 ． 【答案】 【来源】江苏省灌云县第一中学2023-2024学年高一下学期期末阶段性检测数学试题 【分析】由题设及斜二测法知 在原图上的对应边长分别为 、 ，根据直棱柱侧面积公式求其侧面积即可． 【详解】由题意知： ， 斜二测法知：原直三棱柱中， 的对应边长为 ， 对应边长为 ，且 对应边长不变， 故底面周长为 ，而直三棱柱的侧棱长为，故其侧面积为 ． 故答案为： . ( 题型03 ) 表面积、侧面积、体积、高、空间距离 15．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】根据轴截面为等边三角形，求出圆锥底面的半径，因为圆锥侧面展开图是扇形，利扇形面积公式求圆锥的侧面积，再求底面积，然后相加即可求解. 【详解】 如图，因为圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，所以圆锥的底面半径为1， 则该圆锥的侧面积为，底面积为， 所以该圆锥的表面积为. 故选：A. 16．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】求出该圆台的侧面积、上下底面积可得答案. 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别是1和5，母线长为5， 则该圆台的表面积为. 故选：D. 17．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知某圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】求出圆锥底面半径，高，由圆锥的体积公式即可求解． 【详解】设底面半径为，高为，母线长为，则， 则， 解得， 则， 则该圆锥的体积为. 故选：B. 18．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知圆柱的底面半径为2cm，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据圆柱的表面积和体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的高为， 因为圆柱的底面半径为2cm，体积为，则圆柱的底面周长为， ，所以圆柱的表面积为， 故选：D 19．(23-24高一下·江苏徐州·期末)某圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的高为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】求出圆锥底面圆半径，再利用圆锥的结构特征求出高. 【详解】依题意，圆锥的母线长，设圆锥的底面圆半径为， 依题意，，解得， 所以圆锥的高. 故选：B 20．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知一个正四棱台的体积为，上､下底面边长分别为，则棱台的高为 . 【答案】 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】设棱台高为，由棱台的体积公式知，其中分别为上下底面面积. 故答案为：6 21．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知圆锥的体积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是 （单位：）． 【答案】 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，根据圆锥的体积公式，弧长公式得到方程组，解得即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为， 依题意，解得. 故答案为： 22．(23-24高一下·江苏南通·期末)已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据公式可解． 【详解】根据题意圆锥的母线长，代入即可求得    ． 故选：B. 23．(23-24高一下·江苏灌云县第一中学·期末)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省灌云县第一中学2023-2024学年高一下学期期末阶段性检测数学试题 【分析】根据题意求出圆锥的底面圆的半径和圆锥的高，根据圆锥的体积公式计算即可． 【详解】圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形， 设圆锥底面圆的半径为，则，故， 又圆锥的母线为，故高为， 故该圆锥的体积为． 故选：C. 24．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知在正三棱柱中，，与平面所成的角为，则该正三棱柱的体积为 ． 【答案】 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】取的中点为D，证明平面，即可得，求出相关线段长，根据三棱柱的体积公式计算即可得解. 【详解】取的中点为D，连接，由为正三角形，故， 又平面，平面，则， 又，平面，故平面， 连接，则即为与平面所成的角，即， 由平面，故； 由于，故，故， 在中，， 故. 故答案为：. 25．(23-24高一下·江苏连云港·期末)用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为，桶底直径为，母线长是．已知每平方米需用油漆，共需用油漆（精确到）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据圆台侧面积公式求出，则一个桶需要涂漆面积为，进而求解. 【详解】， ，， 故一个桶需要涂漆面积为， 故个桶需要涂漆为：. 故选：C. 26．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【答案】D 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 27．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)如图，直线为异面直线，直线于于B，且在直线a上，，若直线所成的角为，则点M到直线b的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】如图，设过直线且与平行的平面为，为的公垂线段，在内过点作∥，作于，在内过作于，连接，可证得即为点M到直线b的距离，在中求解即可. 【详解】如图，设过直线且与平行的平面为，为的公垂线段， 在内过点作∥，则与直线成的角， 作于，则平面， 在内过作于，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以即为点M到直线b的距离， 在中，，， 则， 所以， 故选：B    28．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图，正方体的棱长为3，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】由正方体性质可证平面，所以可知为三棱锥的高，由棱锥体积公式可解. 【详解】连结交于，如图， 由，，平面，平面， 所以平面，得点到平面的距离是，也即点到平面的距离是， 即三棱锥的高为，又， 故三棱锥的体积为. 故选：A． 29．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】先求几何体的体积，再根据截面位置求被截较小部分的体积即可. 【详解】由题意可知该几何体是长方体截去一个三棱锥，如图所示， 有，，四边形为平行四边形，有， 点 E、F分别为线段、的中点，则， 所以平面即为平面AFE截几何体的截面. 因为，， 所以几何体的体积， 被截棱台的体积， 较大部分体积为，且， 所以较小部分的体积为. 故选：B. 30．(23-24高一下·江苏南通·期末)以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为 ，其面数为 ． 【答案】 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据正四棱锥的侧面与底面所成的角为，求出正四棱锥的高，从而求体积. 【详解】根据题意，如图，以棱长为2的正方体的一个面为底面的正四棱锥， 取底面中心，中点， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，则， 所以， 从而该多面体的体积为， 考虑到四棱锥的侧面夹角为，其面数为. 故答案为：；. 31．(23-24高一下·江苏镇江·期末)如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】原圆柱的底面圆半径为，高为，得到，从而求出侧面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为， 新几何体的表面积为， 故，原圆柱的侧面积为. 故选：B 32．(23-24高一下·江苏南京·期末)一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 【答案】/ 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】由题意，根据图乙将棱柱的体积用的面积表示出来，设出甲图中水面高度，利用放倒前后水的体积相等即可求得. 【详解】设的面积为， 因，，，分别为所在棱的中点， 则，， ， 设图甲中水面高度为，则，解得，， 即图甲中水面的高度为. 故答案为：. 33．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则有，利用三角形面积公式可得，又由点在上且满足，可得到平面的距离，结合三棱锥体积公式计算可得答案． 【详解】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为， 则有， 而，， 又由，，平分，则， 则； 故，而， 则有， 又由点在上且满足，故到平面的距离为， 则有， 故． 故选：B． ( 题型04 ) 空间角及其应用 34．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)在正方体中，直线和直线所成的角为 . 【答案】 【来源】江苏省天一中学2023-2024学年高一下学期强化班期末考试数学试题 【分析】利用异面直线所成角的定义可知即为所求的角. 【详解】如下图所示： 由正方体性质可得， 所以直线和直线所成的角等于， 又易知为等边三角形，所以. 故答案为： 35．(23-24高一下·江苏镇江·期末)将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是 . 【答案】 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】取中点，证明是与平面所成的角，求得此角即得， 【详解】如图，取中点，连接，，则，， 所以是二面角的平面角，所以， 不妨设正方形的边长为2， ，，故， 因为，，，，平面，所以平面， 所以是与平面所成的角．所以与平面所成的角是． 故答案为：． 36．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数. 【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的角平分线上， 的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为. 故选：A 37．(23-24高一下·江苏镇江·期末)正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案. 【详解】如图，连接，，， 因为，分别为棱，中点，所以，所以为与所成角，因为在正方体中，， 所以为等边三角形，所以， 故选：C 38．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】利用线面角的定义找到直线与平面所成的角为，找到角即可求出余弦值. 【详解】连接，如图所示， 为正方体，易得平面， 为直线与平面所成的角， 令，由正方体知识可得， . 故选：D. 39．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若该正四棱台的侧面积为，则侧棱与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据给定条件，求出正四棱台的侧面等腰梯形的高、侧棱，再结合正四棱台的构造特征求出线面角. 【详解】在正四棱台中，，令分别是正方形的中心， 连接，显然四边形是直角梯形，且是侧棱与底面所成的角， 由正四棱台的侧面积为，得等腰梯形的面积为， 过作于，则，解得，而， 因此，而，，， 所以侧棱与底面所成的角为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 40．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ；与平面所成角的正切值为 ． 【答案】 / 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】分别取的中点，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断点在或处时最长，位于线段中点处最短，通过解直角三角形即可求得线段长度的取值范围，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求出与平面所成角的正切值. 【详解】分别取的中点，连接，， 因为分别为，的中点， 所以∥，∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为P是侧面内一点，且平面， 所以点必在线段上， 在中，， 在中，， 所以为等腰三角形， 当点为的中点时，，此时最短， 当点在或处时最长， 因为，所以， 因为，， 所以线段长度的取值范围是， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设与平面所成角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：此题考查线面角的求法，考查线面平行的性质，解题的关键是面面平行的判断和线面平行的关系得到点必在线段上，考查空间想象能力，属于较难题. ( 题型0 5 ) 球体综合 41．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为 ． 【答案】 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】根据几何关系，转化为求正四面体的高，即可求解. 【详解】四个球的球心间的线段长度都是，所以球心构成正四面体，如图 点在平面的射影为底面三角形的中心，，， 所以上面一个球的球心到桌面的距离为. 故答案为： 42．(23-24高一下·江苏泰州·期末)已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据题意，求得圆锥的高，结合球的截面圆的性质，以及球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的体积为，可得，解得， 设圆锥的外接球的半径为，可得，即， 解得，所以外接球的表面积为. 故选：A. 43．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知圆台上下底面半径分别为，圆台的母线与底面所成的角为，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为 . 【答案】 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据圆台上下底面半径以及夹角之间的关系，找到球心位置求出球的半径,即可求得该球的体积. 【详解】如下图所示：圆台，为母线，于点， 则圆台上下底面半径分别为， 圆台的母线与底面所成的角为，即，可得， 设该球的球心为，不妨取，球的半径为， 由勾股定理可得，解得； 因此，则该球的体积为. 故答案为： 44．(23-24高一下·江苏南京·期末)设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据题意，画出几何体的图形，利用直棱柱和球的截面的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】解：由题意，画出几何体的图形，如图所示， 把扩展为三棱柱， 上下底面三角形外接圆圆心连线的中点与的距离为球的半径， 由，，，， 则， 设三角形外接圆半径为，球的半径为， 则，且， 所以外接球的表面积为. 故选：B. 45．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)一个直角梯形上底、下底分别为和，将此直角梯形以垂宜于底的腰为轴旋转周形成一个圆台，此圆台外接球的半径为，则这个圆台的高为 . 【答案】或 【来源】江苏省连云港市高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题 【分析】分别求出球心到两底面的距离，分类讨论可求出圆台的高. 【详解】圆台的外接球的半径为5，则圆台外接球的球心到上底面的距离为, 则圆台外接球的球心到下底面的距离为, 若球心在上下两底面之间，则圆台的高为, 若上下两底面在球心的同一侧，则圆台的高为, 综上所述：这个圆台的高为1或7. 故答案为：1或7. 46．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 【答案】C 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球. 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 47．(23-24高一下·江苏盐城·期末)《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】由面面垂直的性质得到平面，设的外接球的半径为，则，求出，即可求出外接球的表面积. 【详解】因为，，，所以， 又为直棱柱，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又矩形外接圆的直径为， 设的外接球的半径为，又，， 所以，所以， 所以阳马的外接球的表面积. 故选：C 48．(23-24高一下·江苏连云港·期末)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为 ． 【答案】/ 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，设球心为，球的半径，根据圆锥的体积得到，再由，即可表示、，再由勾股定理得到与的关系，最后由圆锥的体积求出，即可求出球的体积. 【详解】 如图，设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，设球心为，球的半径， 由，， 又，即，即，又， 所以，， 所以，又，所以， 又， 即，解得， 所以，即球的体积为. 故答案为： 49．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)在四面体中，，，，，，则四面体的外接球的表面积为 ，四面体的体积为 ． 【答案】 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】取的中点，得到则为四面体的外接球的直径，结合球的表面积公式可得第一空答案，利用转换法求体积可得第二空答案. 【详解】在四面体中，因为，所以为直角三角形， 因为，所以为直角三角形， 取的中点，则，所以为四面体的外接球的球心， 则为四面体的外接球的直径， 所以四面体的外接球的表面积为． 将四面体补成直三棱柱， 由条件可知，，且，所以， 又，所以，， 故四面体的体积为 ． 故答案为：，2. ( 题型0 6 ) 轨迹及截面问题 50．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】先找到与BD1垂直的平面，从而得到点P的轨迹即为该面与长方体的交线，即可由三角形面积公式求解. 【详解】连接相交于，取的中点，连接， 由于平面，平面，故， 又，故，平面， 故平面，平面，故， 由，，故， 在中，， 在中，， 故，进而得， 故，由于，故， 又平面，故平面 故点的轨迹为线段，其轨迹所围成的图形为三角形； 其中， 故三角形面积为. 故选：C. 51．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末)已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【来源】江苏省南京市第二十九中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】分别取的中点，连接，先证明六点共面，再证明平面，从而可得点的轨迹即为六边形，即可得解. 【详解】如图所示，分别取的中点， 连接， 因为且， 所以四边形时平行四边形， 所以， 因为分别时的中点， 所以， 所以，同理可得， 所以六点共面，且六边形为边长为的正六边形， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 因为分别为的中点，所以， 所以平面， 又平面，所以， 同理可得， 又平面， 所以平面， 因为， 所以点的轨迹即为六边形，其轨迹长度为. 故选：D. 52．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)在边长为2的正方体中，E，F，G是的中点，那么过点E，F，G的截面图形为 （在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为 ． 【答案】 六边形 【来源】江苏省连云港市高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题 【分析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面图的边长与正方体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积. 【详解】如图，分别取、、的中点为、、， 连接，则由正方体的结构特征可知： ，且， 又由面面平行的性质定理可知过点E，F，G的截面与正方体上下面的两条交线平行， 与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行， 故六边形是正方体中过点E，F，G的截面, 所以过点E，F，G的截面图形为六边形. 因为， 所以六边形是棱长为的正六边形， 如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6个全等的正三角形，且边长为， 故由正三角形面积公式得截面图形的面积为. 故答案为：六边形；. ( 题型0 7 ) 最值与范围问题 53．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【详解】如图：取的中点，连接， 因为是菱形，所以，又因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，所以，又因为平面，， 所以平面，因为平面，所以， ，当侧面底面时，三棱柱的体积最大， 此时三棱柱的高即为，. 故选：B 54．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物.端午食粽的风俗，传播甚远.包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为 . 【答案】 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体的内切球，设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为，则由可求出，从而可求出蛋黄的体积. 【详解】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体的内切球， 设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为， 因为正四面体的棱长为6， 所以正四面体的高， 正四面体的表面积为， 因为， 所以，解得， 所以蛋黄的体积为， 故答案为：. 55．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)如图，展现的是一种被称为“旋四角反棱柱”的十面体，其上下底面平行且均为正方形，上下底面的中心所在直线垂直于两底面．已知此多面体上下底面的边长为，上下底面之间的距离为，则此十面体体积的最大值为 ． 【答案】 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】首先计算每个平行于底面的平面截该十面体得到的截面面积在一个特殊情况同时取到最大，然后在此种条件下通过分割几何体的方法求出体积的最大值. 【详解】 如图，设有一平行于底面的平面，并设该十面体被平面截得的截面为八边形. 并设平面和下底面之间的距离为，则 ，，，，，，，. 将所有的点都投影到一个平行于底面的平面上，得到两个外接圆相同的正方形和一个八边形，如下图所示. 设在投影后的图中，的面积为，则. 根据相似三角形性质有，， 所以. 由于，，故每个截面的面积最大值都在时取到. 这个时候，，此时原组合体的体积取到最大值. 在该条件下，我们计算原几何体的体积，此时有，. 记下底面和上底面的中心分别为和，则直线垂直于两底面，并设的中点为. 在线段上分别取点，使得，则由于，且，故四边形为平行四边形. 而平面，且直线在平面内，故，所以四边形为矩形. 所以，而由可知，且和在平面内交于点，故平面. 同理，平面. 现在，由于，，故点到的距离. 根据对称性，点到平面的距离也为，同时，直线和的距离等于的长度，即. 同理，点到平面的距离和点到平面的距离均为，与，和与的距离都是. 所以. 同理. 而， 同理. 又有. 所以在该条件下，该几何体的体积为 . 综上，此十面体体积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用恰当的分割方式计算组合体的体积. 56．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】对结合化简得，从而可知点在平面内，所以当平面时，最小，从而可求得结果. 【详解】因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上，且， 所以， 即的最小值为. 故选：B 57．(23-24高一下·江苏徐州·期末)在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据题意，可知初始状态时直线与直线所成的角为，由于，可得异面直线与不垂直，翻折过程中当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，求出.，即可得到答案. 【详解】由题可知， 四边形是矩形，， 所以初始状态时直线与直线所成的角为， 已知矩形中，，， ， 翻折过程中，如下图， 因为，所以，则与平面不垂直， 因为，， 所以异面直线与不垂直， 翻折过程中，当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，如下图： 因为矩形中，,，， ，所以，同理，所以，即异面直线与所成角的临界值为,所以异面直线与所成角的范围为； 故选：C 58．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】在中，由正弦定理求得外接圆半径，得到的外接圆的半径为，进而求得球心到所在小圆的距离为，再由余弦定理，结合基本不等式求得，得到面积的最大值为，利用锥体体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆的半径为， 在中，因为， 由正弦定理得，可得， 即的外接圆的半径为， 因为为球的直径，且，可得球的半径为， 所以球心到所在小圆的距离为， 则点S到平面的距离为， 在中，由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，即， 所以面积的最大值为， 故三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.根据球的性质求点点S到所在小圆的距离； 2.利用余弦定理结合基本不等式求面积的最大值. ( 题型0 8 ) 立体几何多选题（多考点综合） 59．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（    ） A．侧面积为 B．体积为 C．侧面与底面所成角的正切值为 D．外接球的表面积为 【答案】BCD 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】由已知求出棱台的斜高与高，求出侧面积与体积判断A与B；求出侧面与底面所成角的正切值判断C；分析外接球的球心位置，设其半径为R，结合四棱台的几何结构可得关于R的方程，求出R的值，计算外接球的体积判断D即可． 【详解】如图所示， 正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则斜高为， 侧面积为，故A错误； 正四棱台，上底面的中心为，下底面的中心为． 连接，其上、下底面的边长分别为2，4，得． 过点作，使并交与点，侧棱长为2， 则，则有， 则正四棱台的体积，故B正确； 侧面与底面所成角的正切值为，故C正确； 由于，则该棱台的外接球的球心在的延长线上. 设其外接球的球心为G，半径为R，则有， 则有，解得. 故其外接球的表面积为，故D正确. 故选：BCD. 60．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知四面体的各个面都是全等的三角形，且，则下列选项正确的是（    ） A．直线所成角为 B．二面角的余弦值为 C．四面体的体积为 D．四面体外接球的直径为 【答案】ABD 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】对于A：由线面垂直即可判断；对于B：由线面垂直结合余弦定理即可求解；对于C：由同角的三角函数，棱锥的体积公式，三角形的面积公式即可求解；对于D：补入长方体中，求出长方体外接球半径即可求解． 【详解】对于A：取的中点，连接，，由题意四面体的各个面都是全等的三角形， ，， 可得，，又，，平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以，所成角为，故A正确； 对于B：取的中点，连接，，则，， 所以为二面角的平面角， 在中，，， 由余弦定理可得，故B正确； 对于C：由B可得， 由，故C不正确； 对于D：将四面体放入长方体中，如图可得长方体与四棱锥共球，所以外接球半径一样， 设外接球半径为，所以，故D正确． 故选：ABD． 61．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)在棱长为1的正方体.中，P为线段上的动点(不包含端点)，则（    ） A．存在点P，使得直线与AC所成角为 B．不存在点P，使得平面APD平面 C．三棱锥的体积 D．存在点 P，使得直线垂直于平面 【答案】ACD 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断A，当点为中点时，证明面面平行，即可判断B；结合等体积转化，即可判断C；当点为中点时，证明线面垂直，即可判断D. 【详解】当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接，， 过点作，交于， 则，又正方体中，，所以， 则直线与AC所成角为， 又， ， 所以为等边三角形，所以，故A正确； 当点为的中点时，有，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 且，平面， 所以平面，故B错误； 三棱锥的体积， 故C正确； 当点为的中点时，有，又， 所以平面即平面 ， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故D正确； 故选：ACD 62．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面的面积为18 【答案】ACD 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】根据线面平行的判断定理，即可判断A；根据线面垂直的定义，结合垂直关系，即可判断B；根据异面直线所成角的定义，以及平行关系的转化，即可判断C，首先作出平面截正方体所得截面，再计算截面的面积. 【详解】对于A，如图，由条件可知，，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取的中点，连结， 因为，，，所以, 则 ，不满足勾股定理， 所以不垂直于，则不垂直于平面， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，连结，是等边三角形，所以直线与所成角为， 所以异面直线与所成角为，故C正确； D.连结，所以四点共面， 四边形是平面截正方体所得截面， 如图，四边形是等腰梯形，， ， 作于，则， 所以四边形的面积，故D正确. 故选：ACD. 63．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)如图，斜三棱柱的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，是的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．与底面所成角的正弦值为 C．斜三棱柱的侧面积 D．侧棱到平面的距离为 【答案】ACD 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】首先证明平面，即可证明，即可判断A，根据平面平面，求解与底面所成角，即可判断B，根据几何关系，求侧面积，判断C，根据线面平行，转化为点到直线的距离，即可判断D. 【详解】A.如图，连结，，，，， 所以，所以，且，点是的中点， 所以，，且平面，， 所以平面，平面，所以，故A正确； B.由A可知，平面，平面，所以平面平面，所以与底面所成角为， ,同理，且, ，且，， 中，，， 所以与底面所成角的正弦值为，故B错误； C. 由B可知，，即，四边形与全等， 所以四边形的面积为， 由A可知，，，所以，所以四边形的面积是， 所以三棱柱的侧面积的侧面积是，故C正确； D.取的中点，连结，由以上证明可知，平面，平面，所以平面平面，平面平面， 所以点到平面的距离为点到直线的距离， 如图，四边形是平行四边形，且, ，所以， 所以侧棱到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD 64．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段上的点（不含端点）．设与所成的角为与平面所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】首先判断四棱锥为正四棱锥，再根据线线角，线面角和二面角的定义，构造这些角的平面角，再计算正切值，即可判断结论. 【详解】因为四棱锥的底面是正方形，且侧棱长相等，所以四棱锥是正四棱锥， 过作，交于，，过底面中心作交于点，点是的中点，连结，则， 取中点，连结，如下图所示，，    连结，平面，所以， 连结，点是的中点，所以，， 所以是二面角的平面角为，所以，    因为，,所以 均为锐角，所以. 故选：ABC 65．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)如图，在矩形中，，，将三角形沿直线翻折得到三角形，在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） A．存在某个位置，使得三棱锥的外接球半径大于 B．存在某个位置，使得异面直线与的所成的角为 C．点到平面的距离的最大值为 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 【答案】BC 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】对于A，可直接构造出球心，并得到外接球半径等于；对于B，将异面角转化，从而找到异面直线与的所成的角为的特殊位置即可；对于C，先证明点到平面的距离不超过，再给出取到的例子即可；对于D，法一：给出一种情况，证明此时直线与平面所成角的正弦值大于即可，法二：构造线面角表达式，利用基本不等式求出最大值. 【详解】连接交于点，过作，垂足为，过作，垂足为， 记关于的对称点为，过作平面，设垂足为，则点在直线上，连接. 对A，因为，因此三棱锥的外接球半径为，选项A错误. 对B，因为，则，又因为， 则为等边三角形，则， 则，， 则，，则易知，则， 因为，因此平面，因此即为直线与所成角， 因为平面，所以 ，又， 则当时，，选项B正确. 对C，记为点到平面的距离，为点到平面的距离， 因为，，因此， 当平面 平面时取等号，此时点与图中点重合，故C正确； 对D，法一：注意到当落在线段时，直线与平面所成角有最大值，记此时，， 则有， 于是，令，则， 则化简知. 当且仅当时等号成立，于是最大值为，选项D错误. 法二：设关于直线的对称点为，的中点为.点在直线上的投影为， 点在平面上的投影为，则一定在线段的内部或端点上. 同A选项方法易知， 由于，，故. 设，由于，故. 而，， 故. 据相似三角形知识有，故. 由于，，故，而，所以四边形是平行四边形. 从而. 这就得到了. 由于点在平面上的投影为，故直线与平面所成角的大小就是. 而， 且由于当时，有， 故此时有 . 这表明当时，直线与平面所成角的正弦值大于，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题的D选项关键在于可利用空间角的定义将线面角转化为两条相交直线的夹角，然后使用函数方法即可找出反例或者求出最大值. 66．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)如图，在棱长为的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（   ） A．M，N，B，四点共面 B．若，则异面直线与MN所成角的正弦值为 C．平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形 D．若，则三棱锥的体积为 【答案】AD 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】A选项，作出辅助线，得到，得到四点共面；B选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到直线与MN所成角的余弦值和正弦值；C选项，作出辅助线，得到截面为正六边形；D选项，等体积法求出三棱锥的体积 【详解】A选项，连接，， 因为M，N分别是，的中点，所以， 又，故， 所以M，N，B，四点共面，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则异面直线与MN所成角的余弦值为， 故正弦值为，B错误； C选项，如图所示，设的中点分别为， 连接， 故平面PMN截正方体所得截面为正六边形，C错误； D选项，连接，则， 故， 其中，⊥平面， 所以，D正确. 故选：AD 67．(23-24高一下·江苏泰州·期末)如图，在三棱柱中，为四边形对角线的交点.若为棱的中点，平面，则（    ）    A． B． C．三棱锥的体积小于三棱锥的体积 D．三棱柱的体积的最大值为2 【答案】AD 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】A选项，根据等腰三角形的性质得到，然后利用线面垂直的性质和判定定理得到；B选项，先假设成立，然后根据和得到平面，然后结合A选项的结论即可得到平面不成立，即可说明不成立；C选项，将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，然后结合为中点，即可得到体积相等；D选项，将三棱柱的体积转化为3倍的三棱锥的体积，然后设，计算体积，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】      连接，，，， 因为，为中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 若，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，，所以平面， 由A选项可知，不可能垂直平面，故B错； 由题意得，所以， 因为为四边形的交点，所以为的中点， 又为中点，所以点到底面的距离相等， 所以，故C错； 由题意得， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 设，则， ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：本题CD选项解题关键在于进行体积的转化，将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，三棱柱的体积转化为3倍的三棱锥的体积，然后去计算即可. 68．(23-24高一下·江苏盐城·期末)如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A． B．若点在线段上，则四面体的体积为定值 C．若，则点轨迹的长度为 D．若点在直线上，则的最小值为 【答案】ABD 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】利用直棱柱及所在棱长都为，很快可计算各边长，再利用菱形的对角线垂直，再结合直棱柱易证A成立。再结合空间关系可证明平面，即B选项正确， 而对于C选项，易证明点在平面上的轨迹是圆弧，接下来就是计算，可判断错误，最后就是利用两个平面的展开图，为一个平面四边形，再计算对角线长即可作出判断. 【详解】 连接，由菱形可得， 再由直棱柱，可得底面， 又因为底面，所以，而， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 取的中点为，连接，又由点为的中点，可得， 而，所以，即四点共面， 由平面，平面，所以平面， 因为动点，所以动点到平面的距离不变， 又因为三点固定，则四面体的体积为定值，故B正确；         动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为， 由直棱柱，易证明平面， 而侧面，即有， 由菱形边长为2，，可得， 再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 则由侧面正方形，可知，，可得， 所以点的轨迹的圆弧长为，故C错误； 利用直棱柱的所有棱长为，可计算得： 再把这三角形与三角形展开成一个平面图，如下图： 先解三角形，由余弦定理得：， 利用平方关系得：， 所以， 再由余弦定理得：， 即，故的最小值为，故D正确； 故选：ABD． 69．(23-24高一下·江苏淮安·期末)如图，在正四棱锥中，，， 为棱的中点，为内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（    ） A．若为的中点，则平面 B．若点在线段上运动，则的最小值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．，，若四点共面，则点的轨迹长度 【答案】ACD 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】利用线面平行的判定定理判断；利用侧面展开图的最短路径判断；利用线面角定义判断；利用空间四点共面判断. 【详解】若F为AD的中点，因为E为棱AB的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故正确； 将平面沿翻折至与平面共面， 连接（为翻折后），即为的最小值， 由对称性可知翻折后， ， 由等面积法得， 所以，故错误； 连接交于点，过作，垂足为， 因为底面，面，所以， ，所以平面，即为直线与平面所成角， ，，， 所以，所以正确； 因为，且四点共面， 所以设平面与交点为，则为中点， 所以点的轨迹为线段， 在中，，所以正确． 故选：. 70．(23-24高一下·江苏南京·期末)如图，已知菱形的边长为2，，将沿翻折为三棱锥，点为翻折过程中点的某一位置，则下列结论正确的是（   ） A．无论点在何位置，总有 B．点存在两个位置，使得成立 C．当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为 D．当时，为上一点，则的最小值为 【答案】AC 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据垂直关系，即可判断A，首先计算平面平面时，三棱锥的体积，即可判断B，以及将异面直线所成角，转化为相交直线所成角，即可判断C，根据，都为正三角形，即可判断D. 【详解】选项A，设菱形对角线的交点为， 如图所示，无论点在何位置，总有，， 因为，，平面，平面，， 所以平面，又因为平面，所以成立，选项A正确； 选项B，点旋转到使得平面平面成立时，取得最大值， 其中 使得成立，只有平面平面成立时的一个点，选项B错误； 选项C，因为， 所以异面直线与所成角即为（或其补角）， 因为平面平面，且平面平面， ，所以平面，平面， 即有， 因为菱形的边长为2，， 所以， 所以， 在中，，选项C正确； 选项D，当时，易得，都为正三角形，取最小值时，点为中点，的最小值为，选项D不正确. 故选：AC. 71．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图，四边形ABCD是边长为2a的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将，，分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（    ） A．AP⊥EF B．点P在平面AEF内的射影为的外心 C．二面角的正弦值为 D．四面体的外接球的体积为 【答案】AD 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据线面垂直的判定和性质判断A，根据垂心的定义判断B，根据二面角的定义判断C，由棱锥外接球体积的求解判断D. 【详解】根据题意，平面，故平面； 因为平面，所以， 因为； 故可得两两垂直. 对A：由平面平面，故，故A正确； 对B：过作平面的垂线，连接，延长交于，如下所示： 由A可知，，又平面平面，故， 又平面，故可得：平面， 又平面，故可得，即点在三角形底边的高上； 同理可证，点在三角形底边的高线上. 故点在平面的投影即为三角形的垂心，故B错误； 对C：根据B中所求，为三角形的垂线， 又，根据三线合一故可得点为中点. 又，故三角形为等腰三角形，连接，则， 根据二面角的定义，显然即为所求二面角. 在三角形中， ， ，又，故. 故二面角的余弦值为，则C错误； 对D：因为两两垂直，故三棱锥的外接球半径和长宽高分别为的长方体的外接球半径相等，故其外接球半径， 故外接球体积，故D正确. 故选：AD. 72．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与平面所成的角为 C．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 D．若点为棱上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】对于A选项，正八面体，证明平面，再判断，对于B，可知平面，找到直线与平面所成的角为，在三角形中计算角度；对于C，利用等体积变换计算三棱锥的体积；对于D，由题意分析和，将两个三角形翻折到同一平面内，可得取最小值； 【详解】对于A选项，正八面体，连接， 对称性可知，⊥平面，且相交于点，为的中点， 又，， 故四边形为菱形，四边形为菱形， 可知是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故，故A正确 对于B，由A选项可知平面，故直线与平面所成的角为， 且由题意得，故， 故，B错误； 对于C，三棱锥的体积， 其中点到平面的距离为，设菱形的面积为， 则 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D，由题意得为等边三角形，边长为3， 在中，，为等腰直角三角形， 将沿直线ED翻折到平面EAD内，如图，易得, 则的最小值为为 ， D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：线面角求解方法：（1）定义法（2）向量法； 三棱锥体积求法方法：（1）直接法（2）等体积变换法； 73．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．直线与平面所成角的正切值为 C．点到平面的距离为 D．三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为 【答案】ACD 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】对于A，找到球心即可；对于B，可利用几何法快速解决；对于C，可利用等体积法；对于D，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体. 【详解】对于A，由于，所以O为三棱锥的球心，表面积为，A正确； 对于B，过M作MH⊥AC于H，则MH⊥平面ABC，所以∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角；易知MH=，NH=，所以，B错误； 对于C，由，所以，又，所以，，所以，所以C到平面OMN的距离，C正确; 对于D，过O作OT⊥MN于T，则旋转体体积是以OT为底面半径，以TM为高的圆锥的体积的两倍，所以，D正确； 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题，解决本题中的问题涉及的思路主要有： (1)利用球的定义找球心，并求球的体积； (2)运用几何法求线面角的大小； (3)利用等体积法求三棱锥的高； (4)掌握常见的几何体的体积公式. 74．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（    ）    A．点的运动轨迹为一条线段 B．直线与所成角可以为 C．三棱锥的体积是定值 D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 【答案】ACD 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】不妨设正方体的棱长为1，对于A：可证平面∥平面，进而可知，即可得结果；对于B：分析可知直线与所成角为，且，分析的长度即可；对于C：分析可知∥平面，根据平行的定值结合锥体体积公式分析判断；对于D：分析可知平面与正方体的截面为四边形，求长度即可得面积. 【详解】不妨设正方体的棱长为1， 对于选项A：取的中点，连接，    由题意可知：∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 又因为分别为的中点，则∥，可得∥， 且平面，平面，可得∥平面， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为∥，且，可得∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 由，平面，可得平面∥平面， 若∥平面，可知平面， 且侧面，侧面平面，可知， 所以点的运动轨迹为一条线段，故A正确； 对于选项B：因为点的运动轨迹为线段， 则直线与所成角为， 因为侧面，侧面，则， 在中，， 又因为，则有： 当为线段的中点时，取到最小值； 当为线段的端点时，取到最大值； 则，即，可知，故B错误； 对于选项C：由选项A可知：平面∥平面，且平面， 则∥平面，    且，可知点到平面的距离为定值， 即三棱锥的高为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接，    因为分别为的中点，则∥， 由选项A可知：∥，则∥， 所以平面与正方体的截面为四边形， 由题意可知：， 则等腰梯形的高， 所以截面的面积为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于证明平面∥平面，结合面面平行的性质分析点的运动轨迹，进而逐项分析求解. 75．(23-24高一下·江苏徐州·期末)在正四棱台中，，，，点E在内部（含边界），则（    ） A．平面 B．二面角的大小为 C．该四棱台外接球的体积为 D．的最小值为 【答案】ABD 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】对于A，为中点，证明证得平面；对于B，几何法求二面角的大小；对于C，先假设球心的位置，利用勾股定理与半径相等建立方程组进而确定的位置，可求得球的半径并计算体积；对于D，先判断落在上，再进一步判断与重合时，取得最小值. 【详解】对于A，如图1，设底面对角线交于点， 由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面， 又面面，而面面，面面， 故，即； 由，，， 得，，即； 所以四边形是平行四边形，故， 而面，面，所以平面，故A正确； 对于B，正四棱台中，为中点，，则， 由，则有，所以二面角的平面角为， ，，为正三角形， 所以二面角的大小为，故B正确； 对于C，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，设外接球的半径为， 则， 在等腰梯形中，易得， 为方便计算，不妨设，则由， 即，得，又，解得， 即与重合，故，故球的体积为，故C错误； 对于D，由图2易得，，，面， 故面， 不妨设落在图3(在外)处，过作，交于， 则面，面，故， 故在中，（直角边小于斜边）；同理，， 所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值； 再看图4，由AB选项可知，，， 和都为正三角形，关于的对称点为， 可知， 即与重合时，有最小值，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛： 本题D选项为难点，关键点在于确定点的位置，先假设在外(记为)，由匀股边小于斜边推得，进而得到只有落在上，再利用推得与重合时，有最小值；对于动点，我们一般要考虑特殊位置，可提高我们做题速度. 76．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)棱长为2的正方体，，分别是棱，棱的中点，则（   ） A．直线与直线是异面直线 B．过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C．在棱上存在一点，使二面角的大小为 D．点到平面的距离为 【答案】BD 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】根据四点共面、正方体的截面、二面角、点面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】画出图象，作出连线如下图所示， 由于，分别是棱，棱的中点， 所以，根据正方体的性质可知，所以， 所以四点共面，所以直线与直线共面，A选项错误. ， 所以过点，，的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形， 其高为，面积为，B选项正确. 在棱上，由图可知，二面角为钝角，所以C选项错误. 点到平面的距离为， ， 所以，所以， 由， ，解得，所以D选项正确. 故选：BD    【点睛】方法点睛：判断四点共面，可以利用平行直线、相交直线来证明共面.求点到面的距离，一种方法是作出高的方法，需要利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用等体积法来进行求解. 77．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)已知正方体棱长为2，点P是侧面上的动点（不含边界），下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．存在点P，使得⊥平面 C．若，则三棱锥的外接球体积为 D．若O为线段的中点，OP与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 【答案】AC 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】对于A：根据面面平行的性质结合锥体的体积公式分析判断；对于B：根据正方体的性质可知⊥平面，进而可得结果；对于C：根据题意可证，结合直角三角形的性质分析求解；对于D：根据线面夹角可得，分析可知相应的轨迹，运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为平面∥平面，可知点P到平面的距离为定值2， 所以三棱锥的体积为，故A正确； 对于选项B：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 同理可得：， 且，平面，可得⊥平面， 但点P是侧面内，即点P不与点C重合， 所以不存在点P，使得⊥平面，故B错误； 对于选项C：因为，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 取的中点，可得， 又因为，可得，即， 可知三棱锥的外接球的球心为，半径， 所以三棱锥的外接球体积为，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接， 可知∥，且， 因为平面，则平面， 可知OP与平面所成角为，则    ， 可知点P在平面内的轨迹为圆（虚线所示），点P在侧面内的轨迹为四段圆弧（实线线所示）， 取的中点，则， 即，则， 结合对称性可知：点P的轨迹长度为，故D错误； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：根据线面夹角可得，结合长度关系分析点P的轨迹，进而可得结果. 78．(23-24高一下·江苏泰州·期末)如图，设草地与山坡所成二面角的平面角为，且.山脚线上有一个标志物，猎人在点的正东方向100米的点处，一只兔子在点的正北方向100米的点处.若兔子沿垂直于的方向往山坡上以10米/秒的速度奔跑，15秒后到达点，同时被猎人击中，则点与点之间的距离为 米：猎人行走至点的最短路程是 米. 【答案】 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】先根据二面角结合余弦定理求出两点间距离，再根据展开图结合三角形求边长即可. 【详解】过作的平行线，且， 因为，所以为的平面角，， 由， 在中，由余弦定理可得： 所以，， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面, 所以平面平面,所以， 在中，,所以， 把二面角展开成一个平面，, 在中， 所以. 故答案为：；. 79．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，为P在面内的射影，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】先利用勾股定理求出，然后求出的面积，再利用等体积法求出，从而可求出的值. 【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，， 所以，， ， 所以， 因为，所以， 所以, 因为， 所以， 所以，得， 所以 ， 故选：C 80．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 . 【答案】 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】由题意可得以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面，，有交线，其中表面，的交线相同，取的中点，连接，过作‖，过作‖，过作于，连接，可证得平面，所以可得以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧，根据已知条件可求出弧长，从而可求得结果. 【详解】因为正四棱锥的所有棱长均为2， 所以以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面，，有交线， 取的中点，连接，过作‖，过作‖，， 则四边形为平行四边形，，所以， 过作于，连接， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为正四棱锥的所有棱长均为2， 所以， 所以, 所以，得， 因为，所以, 所以以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以弧的长为， 同理可得以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线长为， 以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为点为圆心，为半径的四分之一圆，弧的长为， 所以以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 ， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查棱锥与球的截面问题，解题的关键是找出球在四棱锥表面上的交线，考查空间想象能力，考查计算能力，属于难题. 81．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)如图，正方形棱长为1，是线段上的一个动点（含端点），则下列结论正确的是（）    A．的最小值为 B．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 C．的最小值为 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 【答案】ABD 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】当时，最小，结合正三角形性质，求得到直线的距离，判断A；根据当P在直线上运动时，三棱锥的底面积以及高的变化情况，可确定体积不变没判断B；将翻折到与同一个面，从而求得的最小值可判断C；根据题意确定以点B为球心，为半径的球面与面的交线即为的内切圆，即可求得交线长，判断D. 【详解】对于A，当时，最小，由于 到直线的距离，故A正确； 对于B，，平面，平面， 平面到平面的距离为定值， 为定值，则为定值，故B正确； 对于C，将翻折到与同一个面，    当点为与的交点时，取得最小值， 易知，，， 所以由余弦定理得 ，故C错误； 对于D，易知平面，设与平面交于点，   ，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为， ， 在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为， 其内切圆半径为， 故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内， 交线长为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题C选项的解决关键是将将翻折到与同一个面，从而将的最小值转化为的值，由此得解. 82．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末)用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台．如图，在正三棱台中，已知，则（    ） A．正三棱台的体积是 B．直线与平面所成的角为 C．点到平面的距离为 D．正三棱台存在内切球，且内切球半径为 【答案】BCD 【来源】江苏省南京市第二十九中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】对B，找出线面角，计算即可得；对C，借助线面平行可得线上点到另一面的距离处处相等即可得；对D，借助三棱台内切球存在则半径为高的一半计算即可得，根据台体的体积公式即可判断A. 【详解】对于B，过作直线的垂线，交直线AC于点M，过作直线的垂线， 交直线AC于点N，连接，则， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以，同理可得，又， 、平面，平面， 所以直线与平面所成的角为，故B正确； 对于C，取中点，因为，所以，所以， 又平面，所以平面， 所以点到平面的距离为， ，且， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为，故C正确； 对于D，取中点H，中点，的外心为，的外心为， 过作垂线交于点，所以，， 所以， 所以，，即，故D正确； 对于A，由D选项知，即为正三棱台的高， ， 所以正三棱台的体积为， 故A错误. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$