期末专题07 复数综合（10大题型48题）（江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题07 复数综合（10大题型48题） 题型概览 题型01 复数的基本计算 题型02 共轭复数 题型03 求实部与虚部 题型04 求复数的模 题型05 复数的分类 题型06 复数的几何意义 题型07 与复数模相关的轨迹（图形）问题 题型08 复数多选题（多考点综合） 题型09 欧拉公式 题型10 复数解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 复数的基本计算 1．(23-24高一下·江苏扬州·期末)设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)若，则复数（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)满足且的复数 . 4．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知复数，，则复数（    ） A．i B． C．2i D． 5．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)求值： . ( 题型02 ) 共轭复数 6．(23-24高一下·江苏徐州·期末)复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)已知i为虚数单位，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 8．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 ( 题型03 ) 求实部与虚部 9．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)复数的实部为（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高一下·江苏南京·期末)若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D．1 12．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知复数 (为虚数单位)，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 13．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 14．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)复数满足，则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 15．(23-24高一下·江苏灌云县第一中学·期末)已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 求复数的模 16．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)若 则（    ） A． B．3 C． D．5 17．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（   ） A．2 B． C． D．5 ( 题型0 5 ) 复数的分类 18．(23-24高一下·江苏南通·期末)若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． ( 题型0 6 ) 复数的几何意义 19．(23-24高一下·江苏连云港·期末)复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．(23-24高一下·江苏镇江·期末)在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．(23-24高一下·江苏泰州·期末)复数与复平面内的点对应，则（    ） A． B． C．2 D．25 23．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)复数在复平面内对应的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ( 题型0 7 ) 与复数模相关的轨迹（图形）问题 24．(23-24高一下·江苏扬州·期末)若复数满足，则的最小值是 . 25．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 ( 题型0 8 ) 复数多选题（多考点综合） 27．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)若复数，则（    ） A． B． C．为实数 D．的虚部为3 28．(23-24高一下·江苏盐城·期末)若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 29．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是（    ） A．的虚部为4； B．； C．； D．是的一个平方根 30．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)设复数(i为虚数单位)，则下列结论正确的是（   ） A．的共轭复数为 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D． 31．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知，为复数，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 32．(23-24高一下·江苏苏州·调研)已知复数，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若且，则 33．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知复数，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的最小值为4 D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 34．(23-24高一下·江苏南京·期末)设，是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的最大值为 35．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)下列有关复数的说法正确的是（    ） A．若则 B． C． D．若，则的取值范围为 36．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知，，，，则下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．的最大值为 D．若，则 37．(23-24高一下·江苏泰州·期末)已知，方程的两个根为，则（    ） A． B． C． D． 38．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知复数，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，是方程的两解，则 D． ( 题型0 9 ) 欧拉公式 40．(23-24高一下·江苏淮安·期末)欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 41．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末)欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ． ( 题型 10 ) 复数解答题 42．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知复数． (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求． 43．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)已知复数，，，为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，求． 44．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 45．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 46．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（    ） A． B．若，则，中至少有个是 C．满足的点形成的图形的面积为 D．若，则的最小值为 47．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 48．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，，. (1)当时，解关于的方程：； (2)当时， ①若，求的最小值； ②若存在实部不为0的虚数和实数，使得成立，求的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题07 复数综合（10大题型48题） 题型概览 题型01 复数的基本计算 题型02 共轭复数 题型03 求实部与虚部 题型04 求复数的模 题型05 复数的分类 题型06 复数的几何意义 题型07 与复数模相关的轨迹（图形）问题 题型08 复数多选题（多考点综合） 题型09 欧拉公式 题型10 复数解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 复数的基本计算 1．(23-24高一下·江苏扬州·期末)设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由可得， 所以. 故选：B 2．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)若，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】首先根据除法运算求，再根据共轭复数的特征求. 【详解】由题意可知，， 所以. 故选：C 3．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)满足且的复数 . 【答案】1 【来源】江苏省天一中学2023-2024学年高一下学期强化班期末考试数学试题 【分析】设，由得，由可得计算并检验求得，即得 【详解】设，由可得， 由可得，即， 则解得或， 显然不满足，应舍去，故 故答案为：1. 4．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知复数，，则复数（    ） A．i B． C．2i D． 【答案】B 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】把代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】复数，， ． 故选：B． 5．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)求值： . 【答案】1 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】首先根据三角函数化简，在利用复数的运算法则，即可求解. 【详解】原式. 故答案为：1 ( 题型02 ) 共轭复数 6．(23-24高一下·江苏徐州·期末)复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】先化简复数，再求出共轭复数即可. 【详解】, 则复数的共轭复数为. 故选：A. 7．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)已知i为虚数单位，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【来源】江苏省连云港市高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题 【分析】利用复数的除法运算求得，进而计算可求得. 【详解】由，得， 则. 故选：B. 8．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】由复数的除法、乘法运算，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，可得，所以 所以5. 故选：B ( 题型03 ) 求实部与虚部 9．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)复数的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的实部. 【详解】复数，故复数的实部为. 故选：A. 10．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省天一中学2023-2024学年高一下学期强化班期末考试数学试题 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出其实部. 【详解】依题意，， 所以的实部为. 故选：A 11．(23-24高一下·江苏南京·期末)若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】由复数的除法运算得到，从而虚部为. 【详解】复数满足，， 则的虚部为. 故选：A. 12．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知复数 (为虚数单位)，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据复数的除法运算可得答案. 【详解】， 所以复数的虚部是. 故选：C. 13．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解. 【详解】， 所以复数. ∴，虚部为. 故选：C. 14．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)复数满足，则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】首先利用复数的运算求,再求其共轭复数的虚部. 【详解】由题意可知，， 所以， 所以共轭复数的虚部为. 故选：A 15．(23-24高一下·江苏灌云县第一中学·期末)已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省灌云县第一中学2023-2024学年高一下学期期末阶段性检测数学试题 【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义，复数的概念，即可得到所求． 【详解】，， ，， ， 的共轭复数的虚部为， 故选：． ( 题型04 ) 求复数的模 16．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)若 则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】法一：先利用复数的除法运算法则化简复数，然后用模长公式就可求解；法二：分子分母分别求模长，然后再把模长相除即可得解. 【详解】方法一：因为， 所以， 方法二：， 故选：C. 17．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】借助复数运算法则计算后结合模长定义即可得. 【详解】，故. 故选：B. ( 题型0 5 ) 复数的分类 18．(23-24高一下·江苏南通·期末)若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】A 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解. 【详解】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A ( 题型0 6 ) 复数的几何意义 19．(23-24高一下·江苏连云港·期末)复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 20．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】结合复数的除法性质可求出，进而可求出，即可明确在复平面内对应的点. 【详解】由题意可知，， 所以， 所以共轭复数对应的点为，在第二象限. 故选：B. 21．(23-24高一下·江苏镇江·期末)在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】利用复数除法运算化简，即可求解对应点的坐标，即可求解. 【详解】,故复数对应的点为，位于第一象限， 故选：A 22．(23-24高一下·江苏泰州·期末)复数与复平面内的点对应，则（    ） A． B． C．2 D．25 【答案】A 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】由坐标写出对应复数，再求出其共轭复数，代入计算即可. 【详解】由题意复数与复平面内的点对应， 所以， 所以，所以. 故选：. 23．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)复数在复平面内对应的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】利用复数的除法运算求出，再求出对应点的坐标即得. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A ( 题型0 7 ) 与复数模相关的轨迹（图形）问题 24．(23-24高一下·江苏扬州·期末)若复数满足，则的最小值是 . 【答案】 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得. 【详解】 如图，设复数对应的点为,则由可知点到点的距离为1， 即点的轨迹为以点为圆心，以1为半径的圆， 而则表示动点到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为,故的最小值是1. 故答案为：1. 25．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解. 【详解】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 26．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【答案】C 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. ( 题型0 8 ) 复数多选题（多考点综合） 27．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)若复数，则（    ） A． B． C．为实数 D．的虚部为3 【答案】BC 【来源】江苏省天一中学2023-2024学年高一平行班下学期期末考试数学试题 【分析】先应用复数除法求出复数判断C,D,再根据共轭复数判断A,最后根据模长判断B选项. 【详解】因为,虚部为，D选项错误； 为实数，C选项正确； ,A选项错误； ,B选项正确. 故选：BC. 28．(23-24高一下·江苏盐城·期末)若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据复数的模判断A，根据复数的定义判断B，根据共轭复数判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 的虚部为，故B错误； ，所以，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 故选：AC 29．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是（    ） A．的虚部为4； B．； C．； D．是的一个平方根 【答案】ABD 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】AB，根据虚部和共轭复数的概念得到AB正确；C选项，计算出，，故C错误；D选项，计算出，故D正确. 【详解】A选项，的虚部为4，A正确； B选项，，B正确； C选项，， ，故，C错误； D选项，，故是的一个平方根，D正确. 故选：ABD 30．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)设复数(i为虚数单位)，则下列结论正确的是（   ） A．的共轭复数为 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D． 【答案】ACD 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据复数的概念和运算对各项逐一判断. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，故B错误； 因为，所对应点为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 31．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知，为复数，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】对于A、B，设，，根据复数的乘法以及复数的模的公式计算即可；对于C、D，复数只有在都是实数的情况下才能比大小. 【详解】设，， 对于A： ，故A正确； 对于B：， ，故B正确； 对于C：当,说明，都是实数，所以，故C正确； 对于D：当时，只能说明是大于的实数，不能说明是实数， 例如，不能比大小，故D错误. 故选：ABC 32．(23-24高一下·江苏苏州·调研)已知复数，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】ACD 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月学业质量阳光指标调研数学试卷 【分析】A项，表达出和，即可得出相等；B项，作出示意图即可得出结论；C项，写出和的表达式，利用得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D项，对进行化简即可得出结论. 【详解】由题意， 设 A项，， ， ∴,A正确； B项，当时，若两复数是虚数，不能比较大小，B错误； C项，， ， ， 当时， ，， ∴，任取，或，任取， 即至少有一个为0 ∴（其中至少有两项为0），C正确； D项，∵，∴， ∵，∴，即，D正确； 故选：ACD. 33．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知复数，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的最小值为4 D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 【答案】BD 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】A,C通过举例进行判断，B由复数模及复数的乘法进行判断，D由向量加法和减法的几何意义进行判断. 【详解】对于A，设，则，，因此选项A错误； 对于B，设， 则 ， 又，则，因此选项B正确； 对于C，设，则，此时，因此选项C错误； 对于D，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加法､减法的几何意义可知，选项D正确. 故选：BD. 34．(23-24高一下·江苏南京·期末)设，是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】通过设出具体的代数形式的复数，计算结果可一一验证A,B,C项，对于D，需要利用复数的几何意义，数形结合理解易得结论. 【详解】设，则， 对于A：，因是非零复数，故，即A错误； 对于B：设， 故 ， 而，故B正确； 对于C：由于，故C正确； 对于D：根据复数的几何意义，表示以原点为圆心，1为半径的圆， 而则表示圆上一点到点的距离， 故的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 35．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)下列有关复数的说法正确的是（    ） A．若则 B． C． D．若，则的取值范围为 【答案】BCD 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】对于A，举例判断，对于B，令，分别计算进行判断，对于C，设对应的向量分别为，利用向量的几何意义分析判断，对于D，令，则由已知可得点在以为圆心，2为半径的圆上，根据圆的性质分析判断. 【详解】对于A，因为时，所以A错误， 对于B，令，则， 所以， 因为，所以，所以B正确， 对于C，设对应的向量分别为，则, ， 因为，所以，所以C正确， 对于D，令，则由，得 ，， 所以点在以为圆心，2为半径的圆上， 所以的最小值为，最大值为， 即的取值范围为，所以D正确， 故选：BCD 36．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知，，，，则下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．的最大值为 D．若，则 【答案】BC 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据复数的乘方化简，再根据复数的乘方判断A，根据复数模的性质判断B，根据复数模的几何意义判断C，设所对应的向量为，所对应的向量为，再根据向量的数量积的运算律判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，，所以，故B正确； 对于C：设，则， 又，所以，所以点为以为圆心，为半径的圆上的点 所以，表示点与点的距离， 因为， 所以，故C正确； 对于D：设所对应的向量为，所对应的向量为， 因为，则， 所以， 所以， 所以， 所以，即，故D错误. 故选：BC 37．(23-24高一下·江苏泰州·期末)已知，方程的两个根为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】先根据求根公式求出方程的两个根，再根据选项依次计算即可. 【详解】由求根公式可知，方程的两个根分别为、， 两根互为共轭复数，即互为共轭复数，故正确； 两根的模长相等且均为，故正确； ，， 即，故正确； ， ， 所以或，而， 所以，故错误. 故选：ABC. 38．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知复数，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据共轭复数的概念判断A，根据特例可判断B，根据复数的除法及共轭复数概念判断C，根据复数模的性质判断D. 【详解】对A，设，由知，，故A正确； 对B，设，则满足，此时，故B错误； 对C，，，， 所以，， 所以，故C正确； 对D,因为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 39．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，是方程的两解，则 D． 【答案】ABC 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】设，对于AB：根据复数的加法结合共轭复数的定义分析判断；对于C：利用韦达定理运算求解即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】设， 对于选项A：若，则，故A正确； 对于选项B：因为， 则， 即，故B正确； 对于选项C：因为，是方程的两解， 由韦达定理可得，故C正确； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 故选：ABC. ( 题型0 9 ) 欧拉公式 40．(23-24高一下·江苏淮安·期末)欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 【答案】 ； 或或或或或或或或． 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果． 【详解】由题意，； 由， 得， 则 ， 即， 即， 即， 即， 解得或， 又，， 故或或或或或或或或， 故x的取值集合为 故答案为1，或或或或或或或或． 41．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末)欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ． 【答案】 【来源】江苏省南京市第二十九中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空. 【详解】，， 所以， 由题意可得， 所以， 又因为，所以， 则 . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用. ( 题型 10 ) 复数解答题 42．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知复数． (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求． 【答案】(1) (2)或. 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】(1)利用复数的除法，即可求解. (2)设，根据模长和是纯虚数，即可求解. 【详解】（1） （2）设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 43．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)已知复数，，，为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程组求解. （2）由得出为实数即可求解. 【详解】（1），， 所以， 因为是纯虚数，所以，得. （2）由（1）知，， 因为，所以，得， 所以，所以. 44．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】（1）直接由模的计算公式以及二倍角公式即可求解； （2）由题意求得，，，进一步由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）； （2）由题意，， 且由在复平面上对应的点在第一象限可知，， 不妨设是锐角，解得， 因为也是锐角，所以， 所以， 所以. 45．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 46．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（    ） A． B．若，则，中至少有个是 C．满足的点形成的图形的面积为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】设复数，对于A，分别计算即可；对于B，根据可得即可判断；对于C，由可得即可判断；对于D，由得，并计算即可计算最小值. 【详解】设复数， 对于A，，则 ， 所以， 而，故A正确； 对于B，若， 则，即，则或， 则或，则，中至少有个是，故B正确； 对于C，， 所以，所以点形成的图形面积为，故C错误； 对于D，因为，所以， 且， 所以 ，且 所以， 所以最小值为，故D正确. 故选：ABD. 47．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 【答案】(1)1； (2)证明见解析. (3) 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】（1）设出复数，写出的表示式，进行复数的运算，把整理成最简形式，根据所给的的范围，得到的虚部为，实部属于这个范围，得到的实部的范围． （2）根据设出的，整理的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问求出的、的范围，得到是一个纯虚数． （3），再利用基本不等式即可求的最小值． 【详解】（1）因为是虚数，设，则， ，，，，，此时， ，，即的实部的取值范围. （2），， ，，，是纯虚数. （3） ，可得， 当且仅当，即时取得最小值为. 48．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，，. (1)当时，解关于的方程：； (2)当时， ①若，求的最小值； ②若存在实部不为0的虚数和实数，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①，② 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）由题意得，化简后利用一元二次方程的求根公式求解即可； （2）①设，代入结合可求得其最小值；②由题意设，代入化简，再由，可得为实数，从而可得，进而可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意得，整理得， ； （2）①当时，，设， 因为，所以， ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为； ②设，则 因为存在实数，使得成立， 所以为实数，所以， 因为，所以， 当时，，符合题意， 此时，则， 所以的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，第（2）问解题的关键是设代入，利用复数的乘除法运算法则化简，考查计算能力，属于较难题. / 学科网（北京）股份有限公司 $$