期末专题06 解三角形大题综合（5大题型30题）（江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题06 解三角形大题综合（5大题型30题） 题型概览 题型01 求角平分线及中线 题型02 求边长的值及范围 题型03 求三角函数值及最值 题型04 求面积的值及最值 题型05 求线段的值及最值 ( 题型01 ) 求角平分线及中线 1．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)中，内角所对的边为，． (1)若，试确定的形状； (2)若，是的平分线，求长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】（1）利用余弦定理求出，，得到为等边三角形； （2）在（1）基础上，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，由角平分线得到，求出答案. 【详解】（1）， 因为，所以， 又， 又，故， 化简得， 又，故为等边三角形； （2）由（1）知，， 又， 在中，由余弦定理得， 故， 由于，故为直角三角形，其中， 又是的平分线，故， 故，即，    故的长为 2．(23-24高一下·江苏苏州·期末)在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求边上中线的长. 【答案】(1)； (2)若，则边上中线的长为； 若，则边上中线的长为； 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期期末迎考数学试题 【分析】（1）利用正弦定理将条件化为边的关系可得，再结合余弦定理求； （2）利用正弦定理化边为角，结合（1）角，解三角形求边上中线的长. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由余弦定理可得，又， 所以， （2）由可得， 所以，， 所以或， 所以或， 若，则， 又，所以， 设的中点为， 所以边上中线的长为，    若，则，为等边三角形， 因为，所以， 设的中点为， 所以边上中线的长为.    3．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小. (2)若，求AC边上的中线BD的长. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用两角和差公式以及正弦定理可得，进而根据中线的性质结合数量积分析求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）因为，且，可知， 可得， 由正弦定理可得，则， 又因为BD为AC边上的中线，则， 可得， 所以AC边上的中线BD的长为. ( 题型02 ) 求边长的值及范围 4．(23-24高一下·江苏徐州·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若点D在边BC上，且，，求的值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变换求解即得； （2）由向量关系式，平方得边的关系即可求解. 【详解】（1）在中，因为， 所以，所以， 因为，,结合题意知， 所以，所以， 因为，所以 （2） 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 化简得，因为， 所以，所以. 5．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】(1)由题意知，则，根据正弦定理边角互化，可求出边的关系，再根据余弦定理可求解； (2)根据锐角三角形可求出各个角的范围，再根据正弦定理可求得的表达式，再根据三角函数积化和差，由角的取值范围可求得. 【详解】（1）因为，且， 所以 利用正弦定理化简得：即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； （2）由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形， 所以解之得：， 因为，由正弦定理得：， 所以， 所以 因为，所以， 所以，则的取值范围为 6．(23-24高一下·江苏泰州·期末)在中，角的对边分别是，从下面的三个条件中选取适当的一个并解答如下问题. ①；②；③. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）若选①，由余弦定理化简可得，再根据正弦定理化简计算即可；若选②，由正弦定理化简即可；若选③，由正弦定理化简即可； （2）由余弦定理可得，根据正弦定理及两角差的余弦公式化简，再根据求解即可. 【详解】（1）若选①，根据余弦定理得， 由正弦定理可得，即. 因为，所以. 又，所以，又，所以. 若选②，因为，所以由正弦定理， 可得， 即，整理得， 因为，所以，可得，即， 因为，所以. 若选③，因为 所以由正弦定理可得：， 因为，所以； 可得. 又，故. （2）由（1）得，因，由正弦定理，， 则， ， 因为且， 所以，所以，所以的取值范围为. 7．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)请从：①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．（如未作出选择，则按照选择①评分） 在中，，，分别是角，，的对边，若________， (1)求角的大小； (2)若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）若选①，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；若选②，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；若选③，利用正弦定理将边化角，再由辅助角公式计算可得； （2）利用等面积法及余弦定理求出，再由正弦定理求出外接圆的半径，即可得解； （3）利用正弦定理将、转化为关于的三角函数，再利用三角恒等变换公式及正切函数的性质计算可得. 【详解】（1）若选①，因为， 由正弦定理得， 即， 所以， 由，得，所以， 即，因为，所以. 若选②，由， 化简得. 由正弦定理得， 即，所以. 因为，所以. 若选③，因为，由正弦定理得， 即， 因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以； （2）因为角的平分线为， 由等面积法：， 即，即， 又， 所以，所以，即， 故外接圆的面积； （3）在中，由正弦定理， 得，， 由（1）知，，又，代入上式得，， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 则 所以. ( 题型03 ) 求三角函数值及最值 8．(23-24高一下·江苏南通·期末)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据余弦定理得到，得到； （2）设，代入，求出，再由余弦定理得到，进而得到正弦和正切. 【详解】（1）， 故， 因为，所以； （2）设，代入中， ，故，解得， 由余弦定理得， 则， 故. 9．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在锐角中，其内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）先由，可得，由余弦定理，再由正弦定理，则，由三角恒等变换可证结论； （2）利用，得出，则，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，则， 由余弦定理， 由正弦定理，则， 在中，， 所以， 则，则， 所以. （2）由（1），则， 则， 在锐角中，有， 故， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. ( 题型04 ) 求面积的值及最值 10．(23-24高一下·江苏连云港·期末)在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）由余弦定理求出、，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理，即， 又，解得（负值已舍去）， 所以. 11．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)记内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】（1）利用余弦定理求出，再判断为锐角，即可求出、，从而求出，即可得解； （2）依题意可得，将两边平方，结合及数量积的运算律求出、，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 又，所以， 又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角， 又，所以， 所以 ， 所以． （2）由（1）可得，，且， 因为， 所以 ， 所以，， 所以． 12．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)在中，D为线段BC的中点，若，，求： (1)线段AD的长； (2)的面积． 【答案】(1) (2)1 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】（1）根据中线的性质可得的坐标，进而可得模长； （2）根据向量夹角公式可得，进而结合面积公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得：， 所以线段AD的长为. （2）由题意可得：，， 则， 且，则， 所以的面积. 13．(23-24高一下·江苏镇江·期末)在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 . (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到求解；选②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；选③利用三角形面积公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解. （2）利用余弦定理和基本不等式即可解题； （3）由正弦定理得到，从而有求解. 【详解】（1）若选①：由正弦定理得， 则， ， ， ． 若选②：，切化弦，得到， 则由正弦定理得，，即，， ， 若选③：， 则， 由正弦定理得， ， . （2）由余弦定理得，， 则，当且仅当“”时，取“＝”号，即． ，则，当且仅当“”时取得最大值． （3）由正弦定理得， 则， ，由于为锐角三角形， 则， . . 14．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且． (1)若，求的值； (2)设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值． (3)若，求的值． 【答案】(1)12 (2) (3) 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据向量的数量积定义计算即可； （2）由正弦定理求出，再由三角形面积公式得出面积，利用三角恒等变换化简即可得出最值； （3）由三角形面积间的关系得出，利用（2）中结论化简为，再由三角恒等变换化简求出角正切值即可得解. 【详解】（1）中，， 所以 所以. （2）在中，，， 由正弦定理得，即， 在中，， 所以，所以 所以 ， 因为，所以， 所以当且仅当，即时，的面积取最大值为. （3）当时，， 即， 因为， 所以， 设且，由（2）得，，且， 所以， 所以， 即， 两边同除以，得， 解得或（舍去）， 此时. ( 题型0 5 ) 求线段的值及最值 15．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省连云港市高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题 【分析】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【详解】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 16．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，    (1)若·=32，求的长； (2)设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 【答案】(1)4 (2)－ 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用投影向量来求向量的数量积即可； （2）先解三角形得到各边长，再利用向量知识来求解即可. 【详解】（1）,∴是在方向上的投影向量, ∴·＝,即； 法二：，∴·||·||||·||， 即； （2）在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图:    易知因为E为中点， 所以， ，，, ∵＝x＋y,∴    ，解得：，所以： 法二： 在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 因为，所以， 又∵ 由平面向量基本定理得： ，解得：，所以： 17．(23-24高一下·江苏盐城·期末)在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小； (2)若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，求出此时、的值，再由余弦定理计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又，所以， 所以，即，又， 所以； （2）因为的面积为，即， 即，则，， 因为，所以， 在中， 即，当且仅当，即，时取等号， 所以，即的最小值为，此时，， 则， 所以，即. 18．(23-24高一下·江苏·期末)在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若的面积为，为的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值. 【详解】（1）因为 ， 由正弦定理可得， 又，，故，， 所以，又，故. （2），又， 在中，由余弦定理， ， 当且仅当时取等号， 的最小值为． 19．(23-24高一下·江苏淮安·期末)在某公园湖畔拟建造一个三角形的露营基地，如图所示，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在区域中，点分别为边的中点，线段与交于点，且将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成露营区，线段修建成隔离防护栏，在中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)已知的面积为， ①若，求边长的值； ②求隔离护栏长的最小值． 【答案】(1)； (2)①3，②. 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】（1）利用正弦定理求出，即可求出角； （2）①利用余弦定理和面积公式即可求出； ②利用，即可求出最值． 【详解】（1），由正弦定理可得， ，又， ，又， 得， 为三角形内角，. （2），， ① ， . ②过作，交于，则， （即P为AD的一个三等分点，靠近D点）， ， ， ，当且仅当取等号. ． 20．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. (1)若，求的面积； (2)①求的值； ②求的最大值. 【答案】(1) (2)①27；②. 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可； （2）①利用余弦定理求解即可； ②在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理得，结合三角函数求解最值即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得，， 且是等腰直角三角形，则 （2）①设，因为，由余弦定理可得，， ，即； ②在中，， 由正弦定理可得，则， ，又， 在中，由余弦定理得 （其中为锐角，且）， 由可得， 所以当时，即时，取得最大值. 21．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值； （3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以. （2）如图， 由题意可得， 因为三点共线，故可设 ， 又因三点共线，故， 所以，故. （3）因为 所以， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即. 所以的最小值为. 22．(23-24高一下·江苏·期末)如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.    (1)已知，且 （i）当时，求的面积； （ii）若，求. (2)已知，且，求AC的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii）； (2). 【分析】（1）（i）利用余弦定理结合已知求出，再借助等腰三角形性质求出面积；（ii）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答. （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【详解】（1）（i）设，在中，由余弦定理得，解得， 在中，，则底边上的高， 所以的面积. （ii）设，依题意，， 则，，即，而， 所以. （2）连接，中，，，    由余弦定理得， 则，，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 23．(23-24高一下·江苏南通·期末)已知的面积为9，点D在BC边上，． (1)若，， ①证明：； ②求AC； (2)若，求AD的最小值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）①在中，由正弦定理可得，从而得证； ②在中，利用三角函数恒等变换可得所以，在中，由，可解问题； （2）由，两边平方的，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为，化简利用基本不等式求最值. 【详解】（1）①因为，，所以， 在中，由正弦定理可得， 所以； ②设，则， 因为，所以， 设，因为，所以， 在中，， 由①知， 所以， 所以， 整理得，又因为，， 所以， 因为，所以， 在中，因为，， 所以，所以， 则， 所以； （2）记的内角为，所对边为， 因为， 所以， 所以， 在中，因为， 所以由余弦定理可得， 整理得， 因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以AD的最小值为4. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由平面向量得，两边平方的，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为，利用三角函数恒等变换化简，并利用基本不等式求最值. 24．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)在锐角中，角，，的对边为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积； (3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）先由正弦定理将原式中的角化为边，再结合余弦定理即可得出； （2）由已知可得，两边平方，结合余弦定理可得，则面积可求； （3）令，利用正弦定理将表示为含的表达式，再利用两角和差的正弦公式结合正弦型函数的性质即可求得最值. 【详解】（1）因为，， 所以，即， 由余弦定理得， 又，∴． （2）因为是的中点，所以，两边平方可得， 即， 又，所以， 面积为. （3）设，当DC与外接圆相切时，可得，则， 则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以 因为， 所以 又，所以， 所以当，即时，有最大值，最大值为. 【点睛】难点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理及面积公式的运用，以及利用正弦函数的有界性求最值，考查化简整理的运算能力，属于较难题．解三角形中的范围问题大部分都是利用基本不等式或利用三角函数的有界性求范围或最值. 25．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知函数f(x)＝sin x＋m cos x (1)若函数 f(x) 的图象关于直线x=轴对称，求实数m的值． (2)已知锐角△ABC的角A，B，C对边分别是a，b，c，c=且当m=1时满足 f(A)= （i）若∠BCA的角平分线交边AB于D，且CD=，求△ABC的周长； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)m＝3 (2)（i）＋；（ii） 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用辅助角公式结合三角函数的对称性求解对称轴即可. （2）（i）利用正弦定理，结合角平分线的等面积法求解即可. （ii）利用正余弦定理，将向量转化成三角问题求解最后的范围. 【详解】（1）因为图象关于直线轴对称，所以 所以 解得： 经检验：此时满足 即时图象关于直线轴对称. 法二：因为图象关于直线轴对称，所以对任意都成立， 即化简得：对任意都成立，所以m＝3 （2）（i）由正弦定理得： ， ∴ ∴ ∵∴∴， ∴ ，即 而,解得： 因为是的角平分线，所以 ∴ 所以的周长 （ii） 由正弦定理得：，，， ，，， ，，即 ， 即的取值范围为 26．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知 点B，C分别为其两条边上不与点 A 重合的点. (1)如图1，若为锐角三角形，求AC的取值范围. (2)如图2，若以BC为边构造等边设试求AD的最大值. (3)如图2，若以BC为边构造等边试求AD的最大值. 【答案】(1) (2) (3)6 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】（1）方法一：利用余弦定理得到，分为最大角和为最大角两种情况，结合余弦定理得到不等式，求出AC的取值范围. 方法二：作图，先得到临界值，从而得到AC的取值范围； （2）由正弦定理求出的外接圆半径，作出圆，数形结合得到当三点共线时，取得最大值，并求出最大值； （3）以为边向外作等边三角形，根据三角形全等得到，当三点共线时，取得最大值，求出答案. 【详解】（1）方法一：由余弦定理得，即， 故， 若为最大角，只需，故，解得， 若为最大角，只需，故，解得， 综上，. 方法二：如图3，此时，， 如图4，此时，， 由于为锐角三角形，故； （2）由正弦定理得，为的外接圆半径， 故，解得， 过点，分别作⊥，⊥，相交于点， 其中， 故以为圆心，为半径的圆，即为的外接圆， 当三点共线时，取得最大值，如图，即为所求， 其中，故， 即最大值为； （3）以为边向外作等边三角形，连接，故， 因为为等边三角形，所以，， 故，即， 故≌，所以， 当三点共线时，取得最大值，此时， 最大值为，故的最大值为6. 27．(23-24高一下·江苏泰州·期末)在中，，过点A分别作的垂线，点关于的对称点为，点关于的对称点为. (1)若是所在平面内的任意一点，求的最小值； (2)（i）若是的重心，求的值； （ii）若为实数，为正整数，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）或 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）利用平面几何知识得，然后根据向量的加法法则求得，再转化为可得 （2）（i）首先建立直角坐标系，利用参方程和重心公式可得，（ii）利用已知条件求出，然后利用正弦定理和三角函数知识分别求出即可 【详解】（1） 如图， 由题意得，又， 所以， 所以在中，， ， 所以， ； 取的中点为，的中点，则， 则， 即当为中点时，取最小值； （2）以A为坐标原点，为轴正方向，建立直角坐标系， 设，，则，， 由题意得， ， （i）因为是的重心，所以， 即，所以，； （ii）由得： ，即 所以， 因此，由得， 当时，，此时，， ， 由，得； 当时，，此时，， ， 由，得. 所以或. 28．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末)若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，且满足， ①求的大小； ②若，求布洛卡角的正切值； (2)若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【来源】江苏省南京市第二十九中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）①先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出； ②在中，应用余弦定理以及三角形面积公式，化简得到：，同理在，，内得到，从而得到，即可求解. （2）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形面积公式，平分，将代入，化简整理可求解. 【详解】（1）①若，即，得， 点满足，则， 在与中，，， 所以与相似，则，即， 所以； 在中，， 因为， 所以 ②在中，应用余弦定理以及三角形面积公式得： ， ， 同理可得：， 三式相加可得：。 在内，应用余弦定理以及三角形面积公式得： ， 在，内，同理可得： ，， 三式相等：， 因为点在内，则 由等比性质的：， 所以：， 由①知，，， 所以， 则 （2）因为， 即， 所以， 在，，中， 分别由余弦定理可得：， ， ， 三式相加整理得：，即， 因为平分，则，， 所以， 由余弦定理可得：， 所以， 即，则， 所以若平分，试问是否存在常实数，使得 29．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，. (1)若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围； (2)若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在， 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，求得，判断出三角形的三个内角均小于，根据费马点的定义、正弦定理、三角恒等变换、向量数量积运算等知识来求得的取值范围. （2）根据三角形的面积公式列方程，结合余弦定理进行化简，从而求得的值. 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以， 即， 因为，，所以，，所以， 因为，所以； 因为，所以的内角均小于， 所以点在的内部，且， 由，得， 设，，则， 在中，由正弦定理得，即 在中，由正弦定理得，即， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为； （2）因为， 即，所以， 在，，中， 分别由余弦定理得：， ，， 三式相加整理得， ， 将代入得：， 因为平分，所以，， 所以，③ 又由余弦定理可得：，④ 由③-④得：，所以， 即，所以常数，使得. 【点睛】方法点睛：在解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. 30．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)在斜三角形中，内角的对边分别为，记． (1)若，求的最小值； (2)若，且为钝角，求的最大值； (3)直接写出两个函数与的解析式，使得对于一切满足条件的，都有，且代数式恒为定值． 【答案】(1)的最小值为 (2)的最大值为 (3)存在，使代数式恒为定值，理由见解析 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式可得可求出的最小值. （2）利用三角恒等变可得，利用余弦定理可得，利用，结合基本不等式可求最大值； （3）由已知可得，运用三角恒等变换可得， 两边平方，切化弦可得，进而可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为； （2）因为， 所以， 所以， 所以，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 所认， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为； （3）存在，使代数式恒为定值，理由如下： 因为，所以由正弦定理可得， 于是， 所以，所以， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 即时，代数式恒为定值． 【点睛】关键点点睛：（1）边角关系转化时注意利用余弦定理；（2）在解三角形中注意利用几何图形的几何性质；（3）在三角变换中，注意根据三角函数式的特征选择合理三角变换公式. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题06 解三角形大题综合（5大题型30题） 题型概览 题型01 求角平分线及中线 题型02 求边长的值及范围 题型03 求三角函数值及最值 题型04 求面积的值及最值 题型05 求线段的值及最值 ( 题型01 ) 求角平分线及中线 1．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)中，内角所对的边为，． (1)若，试确定的形状； (2)若，是的平分线，求长． 2．(23-24高一下·江苏苏州·期末)在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求边上中线的长. 3．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小. (2)若，求AC边上的中线BD的长. ( 题型02 ) 求边长的值及范围 4．(23-24高一下·江苏徐州·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若点D在边BC上，且，，求的值． 5．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 6．(23-24高一下·江苏泰州·期末)在中，角的对边分别是，从下面的三个条件中选取适当的一个并解答如下问题. ①；②；③. (1)求； (2)若，求的取值范围. 7．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)请从：①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．（如未作出选择，则按照选择①评分） 在中，，，分别是角，，的对边，若________， (1)求角的大小； (2)若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围． ( 题型03 ) 求三角函数值及最值 8．(23-24高一下·江苏南通·期末)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，求． 9．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在锐角中，其内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)求的最小值. ( 题型04 ) 求面积的值及最值 10．(23-24高一下·江苏连云港·期末)在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 11．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)记内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的面积． 12．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)在中，D为线段BC的中点，若，，求： (1)线段AD的长； (2)的面积． 13．(23-24高一下·江苏镇江·期末)在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 . (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 14．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且． (1)若，求的值； (2)设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值． (3)若，求的值． ( 题型0 5 ) 求线段的值及最值 15．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 16．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，    (1)若·=32，求的长； (2)设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 17．(23-24高一下·江苏盐城·期末)在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小； (2)若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 18．(23-24高一下·江苏·期末)在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若的面积为，为的中点，求的最小值. 19．(23-24高一下·江苏淮安·期末)在某公园湖畔拟建造一个三角形的露营基地，如图所示，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在区域中，点分别为边的中点，线段与交于点，且将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成露营区，线段修建成隔离防护栏，在中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)已知的面积为， ①若，求边长的值； ②求隔离护栏长的最小值． 20．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. (1)若，求的面积； (2)①求的值； ②求的最大值. 21．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 22．(23-24高一下·江苏·期末)如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.    (1)已知，且 （i）当时，求的面积； （ii）若，求. (2)已知，且，求AC的最大值. 23．(23-24高一下·江苏南通·期末)已知的面积为9，点D在BC边上，． (1)若，， ①证明：； ②求AC； (2)若，求AD的最小值． 24．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)在锐角中，角，，的对边为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积； (3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 25．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知函数f(x)＝sin x＋m cos x (1)若函数 f(x) 的图象关于直线x=轴对称，求实数m的值． (2)已知锐角△ABC的角A，B，C对边分别是a，b，c，c=且当m=1时满足 f(A)= （i）若∠BCA的角平分线交边AB于D，且CD=，求△ABC的周长； （ii）求的取值范围． 26．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知 点B，C分别为其两条边上不与点 A 重合的点. (1)如图1，若为锐角三角形，求AC的取值范围. (2)如图2，若以BC为边构造等边设试求AD的最大值. (3)如图2，若以BC为边构造等边试求AD的最大值. 27．(23-24高一下·江苏泰州·期末)在中，，过点A分别作的垂线，点关于的对称点为，点关于的对称点为. (1)若是所在平面内的任意一点，求的最小值； (2)（i）若是的重心，求的值； （ii）若为实数，为正整数，求的值. 28．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末)若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，且满足， ①求的大小； ②若，求布洛卡角的正切值； (2)若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由． 29．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，. (1)若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围； (2)若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由. 30．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)在斜三角形中，内角的对边分别为，记． (1)若，求的最小值； (2)若，且为钝角，求的最大值； (3)直接写出两个函数与的解析式，使得对于一切满足条件的，都有，且代数式恒为定值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$