期末专题05 解三角形小题综合（6大题型40题）（江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题05 解三角形小题综合（6大题型40题） 题型概览 题型01 正余弦定理解三角形 题型02 三角形解的个数 题型03 解三角形的实际应用 题型04 范围问题 题型05 求面积的值及最值 题型06 解三角形多选题（多考点综合） ( 题型01 ) 正余弦定理解三角形 1．(23-24高一下·江苏南京秦淮区·期末)在中，已知，，，则角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【来源】江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高一下学期期末学情调研数学试卷 【分析】根据大边对大角得到角，利用正弦定理求得，结合角的范围求得角的度数． 【详解】因为，，即，所以，即， 由正弦定理，则， ∴. 故选：B． 2．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】由题意及正弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小 【详解】因为 由正弦定理可得 在中，， 可得，而 可得 故选：A． 3．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 4．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得，进而求得，利用正弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得， ，化简得， 因为，所以， 可得，又，所以， 由正弦定理得，. 故选：C. 5．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，则 ． 【答案】 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】根据正弦定理计算即可. 【详解】由正弦定理可得, 即得. 故答案为：. 6．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在中，，，分别为角，，的对边.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据三角形面积求，再根据余弦定理求，再根据正弦定理，即可求解. 【详解】，所以， 根据余弦定理, 即，， 所以. 故选：D 7．(23-24高一下·江苏淮安·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】由余弦定理求出，得，由正弦定理即可求解． 【详解】由题意，得， 又C为的内角，因为 则， 由正弦定理，得. 故选：B. 8．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)如图， 平面四边形 中，,， 则的长为 . 【答案】 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】根据已知角和三角形内角和为，求出对应三角形的内角，然后利用正弦定理分别求出的长度，最后利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，，所以，又， 由正弦定理可得，，即， 解得， 在中，，所以，又， 由正弦定理可得，，即， 解得， 又因为，所以 在中，由正弦定理可得， 即， 所以. 故答案为：. ( 题型02 ) 三角形解的个数 9．(23-24高一下·江苏扬州·期末)（多选）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 10．(23-24高一下·江苏泰州·期末)记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围. 【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：， 角要有两解，则需满足且，解得：. 故选：C ( 题型03 ) 解三角形的实际应用 11．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 12．(23-24高一下·江苏南通·期末)某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（    ） A．10m B．14m C．17m D．20m 【答案】C 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解. 【详解】 如图，设米，则米，米. 在中，由题意可得，， 由余弦定理可得， 解得 米. 故选：C. 13．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 【答案】D 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 14．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)如图，曲柄连杆机构中，曲柄绕C点旋转时，通过连杆的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点在处.设连杆长，曲柄CB长，则曲柄自按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点移动的距离）约为（    ）（结果保留整数）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用余弦定理解三角形即可.. 【详解】在中，，，， 因为，所以. 由余弦定理得： 所以或（舍去）. 因为，所以. 故选：B 15．(23-24高一下·江苏南京·期末)如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 【答案】A 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】求出，再利用正弦定理得，最后根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】根据题意，可得，， 在中，. 在中，，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 即，解得， 在中，，，所以. 故选：A. 16．(23-24高一下·江苏镇江·期末)某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为 千米/小时. （参考数据：，，，）    【答案】 1000 72 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】由方位角知识得到，，，，，在和中由正弦定理得到米，米，在中由余弦定理得到米千米，由速度公式求得速度. 【详解】    在中，，，米，， 由正弦定理得，即得米； 在中，米，，，， 由正弦定理得，即得米， 在中，，米，米， 由余弦定理得， 即，所以米千米， 秒小时，所以速度为千米/小时， 故答案为：1000；72. ( 题型04 ) 范围问题 17．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 18．(23-24高一下·江苏南京·期末)已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】由结合题干中，得到，再由正弦定理得到，整理得，从而，由是锐角三角形得，由正弦定理，从而由的范围得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 整理可得：，即， 在锐角三角形中，，即，即， 又因为，得，所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：正弦定理边化角 正弦定理（为的外接圆半径）， 则，，， ， . 19．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】利用正弦定理以及二倍角公式可得，再由锐角三角形可得，将化简再利用二次函数取得最值条件可得当时，可取得最大值，即可求得结果. 【详解】由利用正弦定理可得， 即可得，又，可得； 又， 所以；因此，即，可得， 由于为锐角三角形，则，即，解得， ， 因为，则， 由二次函数性质可得，若存在最大值， 则，解得． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理得出角的关系，由三角形形状以及诱导公式和二倍角公式，并根据二次函数取得最值的条件解不等式可得结果. 20．(23-24高一下·江苏淮安·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积的取值范围问题一般需将表达式转化为边或者角的式子，再利用三角函数性质或基本不等式即可求得取值范围. ( 题型0 5 ) 求面积的值及最值 21．(23-24高一下·江苏泰州·期末)在中，，则的面积为（    ） A．4 B．8 C．24 D．32 【答案】B 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】首先利用三角函数恒等变换化简条件等式，再根据最值，确定三角形内角的关系，再根据余弦定理以及三角形面积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 即， 则， 即，其中，， 其中和的最大值为1，只有当，时，等号成立， ，， 设，由， 则，所以的面积为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过函数的最值，确定角的关系，从而确定三角形. 22．(23-24高一下·江苏镇江·期末)在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设,      因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 23．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 24．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，，，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．不存在 【答案】D 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】把代入，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求出，进而求出面积的最大值. 【详解】由及，得， 在中，由正弦定理得， 即，整理得， 而，即，因此，即， ，当且仅当时取等号，即，， 等号无法取到，面积的最大值不存在. 故选：D ( 题型0 6 ) 解三角形多选题（多考点综合） 25．(23-24高一下·江苏南通·期末)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为等腰直角三角形 【答案】ABD 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用正弦定理逐项进行边角互化即可判断. 【详解】对于A，若，由正弦定理得，所以，所以为直角三角形，故A正确； 对于B，若，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，故B正确； 对于C，若，由正弦定理得，即， 所以或，即或，则是等腰或直角三角形，故C错误； 对于D，若，由正弦定理得，所以，即，所以为等腰直角三角形，故D正确； 故选：ABD. 26．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 【答案】ABD 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可；对于B，由余弦定理得，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得，即为锐角，无法判断的情况；对于D，利用正弦定理得，即可判断三角形解的个数. 【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得， ，所以，即，故A正确； 对于B，由余弦定理得， 化简得，故为等腰三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理， 因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误； 对于D，若，则由正弦定理得， 因为，所以三角形有两解，故D正确； 故选：ABD. 27．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)下列说法正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则 D．在中， 【答案】ACD 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】根据正弦定理，以及边角互化，判断ACD，根据三角函数值确定角的关系，判断B. 【详解】A.根据正弦定理可知，, 所以，故A正确； B. 在中，若，则或， 若，则，则，若，，不一定，故B错误； C. 在中，若，则，根据正弦定理可知，，故C正确； D. 中，，所以，故正确. 故选：ACD 28．(23-24高一下·江苏南京·期末)已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则一定有 B．若是锐角三角形，则一定有成立 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 【答案】ABC 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据正弦定理以及三角形的性质，即可判断A，根据锐角三角形角的关系，以及三角函数的单调性，即可判断B，根据余弦定理角化边，即可判断C，利用正弦定理，结合余弦定理，以及三角形的性质，即可判断D. 【详解】对于A，若，根据正弦定理得， 结合三角形中“大边对大角”，可得，故A项正确； 对于B，若是锐角三角形，则､均为锐角，且， 可得，两边取正弦得，即，故B项正确； 对于C，若， 则，去分母得， 整理，可知是以为斜边的直角三角形，故C项正确； 对于D，若，则，即， 由正弦定理得，可得，结合，可知为锐角， 但不能得到是锐角三角形，故D项不正确. 故选：ABC. 29．(23-24高一下·江苏部分学校·)在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（    ） A．为钝角三角形 B．的最大内角是最小内角的2倍 C．若为中点，则 D．若，则 【答案】BCD 【来源】江苏省部分学校2023-2024学年高一下学期6月联合测评数学试卷 【分析】依题意由正弦定理得，不妨设，则，故求出最大边所对的角即最大角即可判断A；由余弦定理以及二倍角公式即可判断B；求出中线即可判断C；借助求出角平分线即可判断D. 【详解】由题知内角所对的边分别为， 由正弦定理可知，不妨设，则， 对于A，由上知边为最大边，故为最大角， 由余弦定理知，故为锐角，所以为锐角三角形，故错误； 对于，由上知A为最小角，且， 又，知，即， 又均为锐角，则，故B正确； 对于，因为为中点，所以，    平方得， ，又，故，故C正确； 对于D，由，得，又， 所以，由，即， 故，故D正确， 故选：BCD. 30．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．若D为边AC的中点，且，则面积的最大值为 D．若角B的平分线交AC于点E，且，则的最小值18. 【答案】ACD 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】对A：借助面积公式与余弦定理由题意可得，对B：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的值域即可得；对C：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【详解】对于选项A：因为， 则，整理得， 且，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 又因为，则，可得， 所以的取值范围为，故B错误； 对于选项C：因为为边的中点，则， 则， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于选项D： 由题意得， 即， 整理得，即， 可得， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：ACD. 31．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)在中，内角A、B、C的对边分别为、、， 为边的上的中线，，，以下说法正确的是 （ ） A．若，则的面积的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】ACD 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】对于A：可证，再根据数量积的运算律得到，进一步可A，根据、平面向量数量积的运算律及余弦定理可得，即可判断B，再由数量积的运算律得到，进而得到，再由基本不等式及数量积的定义判断C，由题可得，结合条件可得，结合可判断D. 【详解】 对于A， 为边 上的中线，，则，所以，故为直角三角形，则为等腰直角三角形时面积最大， 且的面积的最大值为，故A正确； 对于B，，，又， ，，故B错误； 对于C，若，， 由，可得， ，当且仅当， ，， ，故C正确； 对于D：在中，设角，，所对边为，，，则， 由上知， ， ，， ， 又，即， ，， ，故D正确． 故选：ACD 32．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】作图分析，结合解直角三角形判断A；利用余弦定理判断B；利用正弦定理判断C；利用诱导公式以及余弦函数的单调性可判断D。 【详解】对于A，在中，作于D， 则,即，即，A正确； 对于B，由得， 结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小， 故不能确定为锐角三角形，B错误； 对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确； 对于D，若，由于，则A为锐角； 若B为锐角，则，可得，则， 故为钝角三角形； 若B为钝角，则，可得，则，适合题意， 此时为钝角三角形； 综合以上可知为钝角三角形，D正确， 故选：ACD 33．(23-24高一下·江苏连云港·期末)在中，，若最短边的长为，则最长边的长为 ． 【答案】 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】由，， 得，所以， ， 所以，所以，所以， 故，为最长的边， 由，得， 则， 所以（舍去）， 由正弦定理得，所以. 即最长边的长为. 故答案为：. 34．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知的面积为满足条件，则 .；若，延长至点，使得，则 . 【答案】 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】化简即可求得，结合的度数以及即可求得，通过设即可用x表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得的值； 【详解】由题得，， 因为，所以 ； 由可得， 设，由正弦定理可知， 所以， 如图所示：过A作，交BC的于E点， ， ， 所以 在中可算得 ， 故答案为：，. 35．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，为P在面内的射影，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】先利用勾股定理求出，然后求出的面积，再利用等体积法求出，从而可求出的值. 【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，， 所以，， ， 所以， 因为，所以， 所以, 因为， 所以， 所以，得， 所以 ， 故选：C 36．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知点 P为△ABC内一点， 且∠ABP=30°， ∠PBC=15°，∠PCB=15°， ∠PCA=60°，则∠PAC的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【详解】 如图，过P作AC的垂线，垂足为D，过P作BC的垂线，垂足为E， 令的外接圆半径为r， 因为∠ABP=30°， ∠PBC=15°，∠PCB=15°， ∠PCA=60° 所以, 由正弦定理可得：， 因为∠PBC=15°，∠PCB=15°，所以, 所以，在中， ， 因为∠PCA=60°，所以，在中， ，， 所以 所以，在中， ， 故选：A. 37．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则 . 【答案】 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】由角平分线结合等面积法可得，再运用外心性质（垂径定理）和向量加法把要求的向量分解为共线向量和垂直向量即可求解. 【详解】是角的平分线，在线段上，且，，，   ，设的高为，由等面积法得， ， 过点作垂线分别交于，由外心性质得分别为的中点， . 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是首先利用角平分线的性质得到，再利用外心的性质将部分数量积转化为0计算即可. 38．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】在中，由正弦定理求得外接圆半径，得到的外接圆的半径为，进而求得球心到所在小圆的距离为，再由余弦定理，结合基本不等式求得，得到面积的最大值为，利用锥体体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆的半径为， 在中，因为， 由正弦定理得，可得， 即的外接圆的半径为， 因为为球的直径，且，可得球的半径为， 所以球心到所在小圆的距离为， 则点S到平面的距离为， 在中，由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，即， 所以面积的最大值为， 故三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.根据球的性质求点点S到所在小圆的距离； 2.利用余弦定理结合基本不等式求面积的最大值. 39．(23-24高一下·江苏徐州·期末)在中，，分别在边上，且平分，平分，若，则 ， ． 【答案】 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】使用角平分线定理直接计算出，即可得到的值；根据条件，结合余弦定理，即可得到. 【详解】 设三个内角所对的边的长度分别为，则由角平分线定理可得，结合知，；同理有，. 故. 而，故， . 故由可得 ，即. 从而. 故. 由于题目中的条件和所求的量均只涉及线段间的长度比，故可以不妨设，从而 . 展开，合并同类项，即得 . 由于，故，从而 . 所以. 同时，之前得到的又等价于，故 ， 所以. 从而，这就得到，故 . 假设，则，矛盾，故. 从而由上面已经得到的，就有. 故，结合和就有 . 这就得到. 所以 . 这就得到. 最后，设，则，且. 故 ， 所以，即，从而或. 而，故，所以，即. 由于，故. 而，故，从而. 又因为，故 . 所以，故，从而 ， 这得到，故，从而由知. 将弧度转换为角度，就得到. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对角平分线定理和余弦定理的使用. 40．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)（多选）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（    ） A．正三角形的费马点是正三角形的中心 B．若P为的费马点, 且 ，则一定为正三角形 C．若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为 D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c， ，若点P为的费马点，则 【答案】ABC 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】对A，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B，取的中点，由可得点是的重心，再结合条件可得点是的中心，得证；对C，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解. 【详解】对于A，如图是正三角形的中心，根据正三角形的性质易得，所以点是正三角形的费马点，故A正确； 对于B，如图，取的中点，则，因为， 所以，所以三点共线，且点是的重心， 又点是的费马点，则， 则，又，易得，同理可得， 所以所以点是的外心，所以点是的中心， 即是正三角形.故B正确； 对于C，如图，在中，，，，， 点是的费马点，将绕点顺时针旋转，得到， 易证，是正三角形， 则，，，且点共线， 所以，所以， 又， 即该三角形的费马点到各顶点距离之和为.故C正确； 对于D，由费马点定义可得， 设，，，， 由，可得， 整理得， 所以 ，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D选项的关键在于利用三角形等面积法求出. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题05 解三角形小题综合（6大题型40题） 题型概览 题型01 正余弦定理解三角形 题型02 三角形解的个数 题型03 解三角形的实际应用 题型04 范围问题 题型05 求面积的值及最值 题型06 解三角形多选题（多考点综合） ( 题型01 ) 正余弦定理解三角形 1．(23-24高一下·江苏南京秦淮区·期末)在中，已知，，，则角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 2．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 4．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 5．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，则 ． 6．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在中，，，分别为角，，的对边.若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一下·江苏淮安·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 8．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)如图， 平面四边形 中，,， 则的长为 . ( 题型02 ) 三角形解的个数 9．(23-24高一下·江苏扬州·期末)（多选）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·江苏泰州·期末)记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．4 ( 题型03 ) 解三角形的实际应用 11．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 12．(23-24高一下·江苏南通·期末)某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（    ） A．10m B．14m C．17m D．20m 13．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 14．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)如图，曲柄连杆机构中，曲柄绕C点旋转时，通过连杆的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点在处.设连杆长，曲柄CB长，则曲柄自按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点移动的距离）约为（    ）（结果保留整数）（参考数据：） A． B． C． D． 15．(23-24高一下·江苏南京·期末)如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 16．(23-24高一下·江苏镇江·期末)某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为 千米/小时. （参考数据：，，，）    ( 题型04 ) 范围问题 17．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高一下·江苏南京·期末)已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 . 19．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．(23-24高一下·江苏淮安·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 求面积的值及最值 21．(23-24高一下·江苏泰州·期末)在中，，则的面积为（    ） A．4 B．8 C．24 D．32 22．(23-24高一下·江苏镇江·期末)在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 23．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 24．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，，，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．不存在 ( 题型0 6 ) 解三角形多选题（多考点综合） 25．(23-24高一下·江苏南通·期末)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为等腰直角三角形 26．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 27．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)下列说法正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则 D．在中， 28．(23-24高一下·江苏南京·期末)已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则一定有 B．若是锐角三角形，则一定有成立 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 29．(23-24高一下·江苏部分学校·)在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（    ） A．为钝角三角形 B．的最大内角是最小内角的2倍 C．若为中点，则 D．若，则 30．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．若D为边AC的中点，且，则面积的最大值为 D．若角B的平分线交AC于点E，且，则的最小值18. 31．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)在中，内角A、B、C的对边分别为、、， 为边的上的中线，，，以下说法正确的是 （ ） A．若，则的面积的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 32．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 33．(23-24高一下·江苏连云港·期末)在中，，若最短边的长为，则最长边的长为 ． 34．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知的面积为满足条件，则 .；若，延长至点，使得，则 . 35．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，为P在面内的射影，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 36．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知点 P为△ABC内一点， 且∠ABP=30°， ∠PBC=15°，∠PCB=15°， ∠PCA=60°，则∠PAC的正切值为（    ） A． B． C． D． 37．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则 . 38．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为 . 39．(23-24高一下·江苏徐州·期末)在中，，分别在边上，且平分，平分，若，则 ， ． 40．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)（多选）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（    ） A．正三角形的费马点是正三角形的中心 B．若P为的费马点, 且 ，则一定为正三角形 C．若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为 D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c， ，若点P为的费马点，则 / 学科网（北京）股份有限公司 $$