期末专题04 三角恒等变换大题综合（5大题型20题）（江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题04 三角恒等变换大题综合（5大题型20题） 题型概览 题型01 求值问题 题型02 求角问题 题型03 与三角函数图象及性质结合 题型04 与复数结合 题型05 与平面向量结合 ( 题型01 ) 求值问题 1．(23-24高一下·江苏·期末)已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角的三角函数关系式求出的值，再利用正弦余弦的二倍角公式，结合同角三角函数关系中的商关系进行求解即可； （2）利用两角差的正切公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因此， ； （2） 2．(22-23高一下·江苏镇江丹阳·期末)已知，，其中，均为锐角. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，即可求出，再由二倍角正切公式计算可得； （2）根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】（1）因为且为锐角， 所以，所以， 所以. （2）因为、均为锐角， 所以，又，所以， 又且， 解得，（负值舍去）， 所以 . 3．(23-24高一下·江苏连云港·期末)（1）已知，且．求的值； （2）已知，且．求的值． 【答案】（1）.（2）. 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）把题目给的两角和看成一个整体，则，结合已知条件再运用和差公式化简求值即可. （2）把看成一个整体，把条件变形为，再运用和差公式化简求值即可. 【详解】（1），， ，， ，， . 故答案为：. （2）， ，即， ，又， ， ，即. 故答案为：. 4．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)7 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】（1）直接利用三角函数的定义求出三角函数的值，由二倍角公式以及弦切互化即可求解 （2）利用正切的和差角公式，即可代入求解． 【详解】（1）已知,,故 所以， 故 （2）由得：． 5．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）先由求出，然后可求出，再利用正切的二倍角公式求解即可； （2）先判断出的范围，再由求出，然后由化简后可求得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为，所以， 因为， 所以， 所以 . ( 题型02 ) 求角问题 6．(23-24高一下·江苏新海高级中学·)已知：，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省新海高级中学2023-2024学年高一下学期学情检测一数学试题 【分析】（1）结合题意可计算出、，借助，结合两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助，结合两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又，则， ，则， 则 ； （2） ， 又，故. 7．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的正弦公式，即可求解； （2）首先利用角的变换求，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，，，， 所以，， ； （2）， ， ， 由，得，，则， 所以. 8．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. ( 题型03 ) 与三角函数图象及性质结合 9．(23-24高一下·江苏盐城·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再用周期公式即可求最小正周期； （2）通过图像平移求得解析式，在用整体代换法求得在时的值域. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为：； （2）由（1）知， 所以函数图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的解析式为 ， 因为，所以， 所以当时，；当时，， 所以的值域为：. 10．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)求函数在区间上的所有零点之和. 【答案】(1)； (2). 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，再根据正弦函数单调性可得其值域； （2）求出函数在区间上的所有零点即可得结果. 【详解】（1）易知 因为，所以， 由正弦函数单调性可得， 则的值域为 （2）因为，所以， 由得 所以，解得， 所以函数在区间上的所有零点之和为. 11．(22-23高一下·江苏连云港·期末)已知函数的最大值为1. (1)求常数m的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期末数学试题 【分析】（1）根据辅助角公式化简可得，然后根据正弦函数的性质，即可得出答案； （2）根据已知可得出，，然后根据二倍角公式得出的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案. 【详解】（1） ， 当，即时，， 所以. （2）由（1）知，. 由得，，所以. 又，所以， 所以， 所以， ， 所以 . 12．(23-24高一下·江苏·期末)已知. (1)求函数在上的单调增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论． （2）由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的解析式． 【详解】（1）由于， 令，，求得，， 可得函数的增区间为，. （2）将函数的图象向左平移个单位，可得的图象； 再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象． 若函数的图象关于直线对称， 则，，即， 令，求得取最小值为，此时， ( 题型04 ) 与复数结合 13．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】（1）直接由模的计算公式以及二倍角公式即可求解； （2）由题意求得，，，进一步由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）； （2）由题意，， 且由在复平面上对应的点在第一象限可知，， 不妨设是锐角，解得， 因为也是锐角，所以， 所以， 所以. ( 题型0 5 ) 与平面向量结合 14．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知向量，． (1)若，求； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示求出，再由二倍角公式计算可得； （2）由数量积的坐标表示、两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得. 【详解】（1）因为，且， 所以，则， 所以. （2）因为，且， 所以，则， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 所以 . 15．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知，，且，其中是第二象限角． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】（1）根据平面向量共线的坐标运算可得，再由同角三角函数关系求得，结合两角和的余弦公式即可求得； （2）由（1）可知，则可得，再结合两角和的正切公式即可求得． 【详解】（1）已知，， 因为， 所以存在实数，使得， 所以， 解得，. 又因为是第二象限角, 所以， 所以. （2）由（1）可知， 则． 因为， 所以， 即， 所以． 16．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知向量，，设. (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得，然后将其化为基本型，即可求出周期； （2）由题意可得，由，求出的范围，再由三角函数的平方关系求出，则，由两角和的正弦公式化简即可得出答案. 【详解】（1）因为 ， 所以函数的最小正周期； （2）， ， ， 故 . 17．(23-24高一下·江苏·期末)已知函数. （1）当，且的最大值为，求的值； （2）方程在上的两解分别为、，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，令，可得，再令，可将问题转化为二次函数在上的最大值为，利用二次函数的基本性质可求出实数的值； （2）设，由题意求得，，，由两角差的余弦公式可求出的值，求出的取值范围，进而利用二倍角余弦公式可求出的值. 【详解】（1）， 当时，令，则，则. ， 令，令，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，二次函数在区间上单调递减， 则，不合乎题意； ②当时，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，解得或（舍）； ③当时，二次函数在区间上单调递增， 则，解得（舍）. 综上所述，； （2）设，，则， 由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得， 因为方程在上的两解分别为、， 则，必有，， 所以，，同理， ， 由于，且，，则， 由，可得. 【点睛】本题考查利用二次型正弦函数的最值求参数，同时也考查了由正弦型函数的解求三角函数值，考查计算能力，属于中等题. 18．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)若关于x的方程在上有解，求m的取值范围； (3)若关于的对称点Q在的图象上，求． 【答案】(1)1 (2) (3)0或1 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换整理可得，结合周期性分析求解； （2）根据题意可得，以为整体，结合余弦函数有界性分析求解； （3）根据题意可得，代入化简整理即可结果. 【详解】（1）由题意可得： ， 且，可得，解得. （2）由（1）可知：， 因为，可得， 因为，则，可得， 则，所以m的取值范围为. （3）因为关于的对称点， 由题意可得：，即， 则， 整理可得，可得或， 若，则，可得； 若，可得； 综上所述：或1. 19．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)求的值； (2)设， ①用来表示与； ②求的取值范围. 【答案】(1)0 (2)①；②. 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）对两边平方化简可求出的值； （2）①结合已知条件利用向量的加减法法则将用表示，再结合，列方程组可用来表示与；②，将与代入化简，得，令，则，求出的范围，从而可求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 所以； （2）①因为， 所以 ， 因为， 所以，所以； ②因为，， 所以 ， 设，则， 因为，所以，所以， 即， 由，得， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的加减法，考查向量的数量积运算，考查同角三角函数关系，第（2）问解题的关键是利用平面向量基本定理结合题意用表示，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 20．(23-24高一下·江苏盐城·期末)若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可. （2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到,都有，从而求出 （3）结合题意得到关系：,利用进一步转化得到,求出结果. 【详解】（1）因为函数是“可消函数”, 所以,对,使得, 整理得, 当时,;当时,,解得. 经检验,满足条件,所以所求函数的“可消数对”为. （2）因为为函数的“可消数对”, 所以为函数的“可消数对”, 所以,对,都有,整理得, 所以,所以. （3）因为存在,使得同时为函数的“可消点”与“可消点”, 所以, 化简可得, 因为 则, 所以, 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新结构题目结合题目给的条件表示出是解决（3）的关键. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题04 三角恒等变换大题综合（5大题型20题） 题型概览 题型01 求值问题 题型02 求角问题 题型03 与三角函数图象及性质结合 题型04 与复数结合 题型05 与平面向量结合 ( 题型01 ) 求值问题 1．(23-24高一下·江苏·期末)已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 2．(22-23高一下·江苏镇江丹阳·期末)已知，，其中，均为锐角. (1)求的值； (2)求的值. 3．(23-24高一下·江苏连云港·期末)（1）已知，且．求的值； （2）已知，且．求的值． 4．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 5．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知． (1)求的值； (2)求的值． ( 题型02 ) 求角问题 6．(23-24高一下·江苏新海高级中学·)已知：，且，． (1)求的值； (2)求的值． 7．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 8．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. ( 题型03 ) 与三角函数图象及性质结合 9．(23-24高一下·江苏盐城·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 10．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)求函数在区间上的所有零点之和. 11．(22-23高一下·江苏连云港·期末)已知函数的最大值为1. (1)求常数m的值； (2)若，，求的值. 12．(23-24高一下·江苏·期末)已知. (1)求函数在上的单调增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式． ( 题型04 ) 与复数结合 13．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． ( 题型0 5 ) 与平面向量结合 14．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知向量，． (1)若，求； (2)若，且，求． 15．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知，，且，其中是第二象限角． (1)求的值； (2)若，求的值． 16．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知向量，，设. (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值. 17．(23-24高一下·江苏·期末)已知函数. （1）当，且的最大值为，求的值； （2）方程在上的两解分别为、，求的值. 18．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)若关于x的方程在上有解，求m的取值范围； (3)若关于的对称点Q在的图象上，求． 19．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)求的值； (2)设， ①用来表示与； ②求的取值范围. 20．(23-24高一下·江苏盐城·期末)若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$