期末专题03 三角恒等变换小题综合（7大题型30题）（江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题03 三角恒等变换小题综合（7大题型30题） 题型概览 题型01 和差公式求值 题型02 二倍角公式求值 题型03 降幂公式求值 题型04 拼凑角思想求值（角） 题型05 弦切互化 题型06 值域问题 题型07 与三角函数图象综合 ( 题型01 ) 和差公式求值 1．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】将原式转化为，然后利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】 . 故选：C 2．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据诱导公式和差角公式化简计算即可． 【详解】 故选：B. 3．(23-24高一下·江苏淮安·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】根据题意结合两角和差的正切公式运算求解，注意的应用. 【详解】因为原式． 故选：D. 4．(23-24高一下·江苏盐城·期末)若，则 （    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】首先用齐次分式求正切值，然后利用两角差正切公式求值即可. 【详解】因为，所以，即， 所以， 故选：B. 5．(23-24高一下·江苏连云港·期末)已知为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用和差角的正弦公式将右边化简，结合平方关系求出，即可得解. 【详解】因为， ， 所以， 又为钝角，所以. 故选：D ( 题型02 ) 二倍角公式求值 6．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据两角和的正弦公式及二倍角的正切公式化简即可得解. 【详解】由可得， 即， 所以. 故选：C 7．(23-24高一下·江苏镇江·期末)设为锐角，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得. 【详解】由为锐角，得，而， 因此， 所以 . 故选：B 8．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知，，若，则实数的值（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由两角和与差的余弦展开式化简可得，再两边平方可得可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以，则, 上述等式两边平方可得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：B. 9．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)设为锐角，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得. 【详解】因为为锐角，所以， 又，所以， 所以 . 故选：B. ( 题型03 ) 降幂公式求值 10．(23-24高一下·江苏南通·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可. 【详解】令，，则， 令，则 所以 故选：B. 11．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知，且，则 ． 【答案】或 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】把代入方程解方程即可. 【详解】， 解得：或，因为，所以或. 故答案为：或. ( 题型04 ) 拼凑角思想求值（角） 12．(23-24高一下·江苏·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解． 【详解】因为 ， 所以， 故选：D 13．(23-24高一下·江苏·期末)已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】，，， 因此，. 故选：D. 14．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】根据题意，求得，得到，结合，利用两角和正弦公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以， 由 . 故选：B. 15．(23-24高一下·江苏·期末)已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 16．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用两角和差的正余弦公式，再结合诱导公式，以及辅助角公式，化简求值. 【详解】由条件等式可知，， 则， ，则， ， . 故选：D 17．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】由结合两角差的正切公式求得. 【详解】由 得， 故选：A. 18．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】利用两角和差的余弦公式化简已知等式，可得，求出，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故 即， 即， 故或（舍去）， 即，而，故， 故， 故选：B ( 题型0 5 ) 弦切互化 19．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，再由三角函数的定义即可求得. 【详解】由点在角的终边上可得，， 则. 故选：A. 20．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】用二倍角公式、商数关系结合已知求得，再由两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以且， 即，且，解得或（舍去）， 所以. 故选：B. ( 题型0 6 ) 值域问题 21．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】化简函数为，结合正弦函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为， 所以当时，可得；当时，可得， 所以函数的值域为. 故选：D. ( 题型0 7 ) 与三角函数图象综合 22．(23-24高一下·江苏盐城·期末)（多选）若函数，则（    ） A．函数的一个周期为 B．函数的图象关于轴对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数的最大值为2，最小值为0 【答案】ABC 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】A选项，根据作出判断；B选项，根据函数奇偶性的定义作出判断；C选项，当时，，化简得到，由复合函数同增异减得到函数的单调性；D选项，先求出时，，得到最值，结合函数的周期性和奇偶性得到答案. 【详解】A选项，， 故的一个周期为，A正确； B选项，定义域为R， ， 故函数的图象关于轴对称，B正确； C选项，当时，，在上单调递增， 故， 由于在上单调递减， 由同增异减，可知在区间上单调递减，C正确； D选项，当时，，， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为0， 又的图象关于轴对称，的一个周期为， 故在R上的最大值为，最小值为0，D错误. 故选：ABC 23．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】 因为值域为，所以， 所以，所以， 所以，所以的最大值为. 当最小时，， 解得，所以的最小值为. 故选：BC. 24．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】由降幂公式及辅助角公式可得函数的解析式，由，得，由零点的个数，可得，可求的取值范围. 【详解】 ， 由，时，， 在有且仅有三个零点，则有，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 25．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】先对利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得，代入中利用两角和的正切公式化简计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，所以， 所以， 所以 ， 故选：D 26．(23-24高一下·江苏南京·期末)若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【详解】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧 ； ； . 27．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出和即可判断CD. 【详解】由得，两边平方得：，① 由得，两边平方得：，② ①+②得：， 因为，所以 ， 由可得：，即， 所以， 又，所以， 所以，故A错误； 由，两边平方得，③ 由得，两边平方得：，④     ③+④得：， 因为，所以，故， 由，，可得，故C正确，D错误； 综上不是定值，故B错误.     故选：C 28．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知的面积为满足条件，则 .；若，延长至点，使得，则 . 【答案】 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】化简即可求得，结合的度数以及即可求得，通过设即可用x表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得的值； 【详解】由题得，， 因为，所以 ； 由可得， 设，由正弦定理可知， 所以， 如图所示：过A作，交BC的于E点， ， ， 所以 在中可算得 ， 故答案为：，. 29．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC，AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上，已知，，则以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为（    ） A．16∶9 B．144∶25 C．225∶64 D．160∶81 【答案】B 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】先利用，由二倍角公式求出的余弦，再由两角差的余弦公式求出的余弦，再由同角三角函数基本关系求出正切，即得出，即可得解. 【详解】因为N为AC的中点，即是以为直径的圆的圆心， 所以, 所以，即， 由为锐角可得，所以， 由，可得， 因为, 所以 ， 所以，所以， 所以以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为. 故选：B 30．(23-24高一下·江苏淮安·期末)欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 【答案】 ； 或或或或或或或或． 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果． 【详解】由题意，； 由， 得， 则 ， 即， 即， 即， 即， 解得或， 又，， 故或或或或或或或或， 故x的取值集合为 故答案为1，或或或或或或或或． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题03 三角恒等变换小题综合（7大题型30题） 题型概览 题型01 和差公式求值 题型02 二倍角公式求值 题型03 降幂公式求值 题型04 拼凑角思想求值（角） 题型05 弦切互化 题型06 值域问题 题型07 与三角函数图象综合 ( 题型01 ) 和差公式求值 1．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)（    ） A． B． C． D．1 2．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)计算的值为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一下·江苏淮安·期末)（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一下·江苏盐城·期末)若，则 （    ） A． B． C．1 D．3 5．(23-24高一下·江苏连云港·期末)已知为钝角，，则（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 二倍角公式求值 6．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一下·江苏镇江·期末)设为锐角，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)已知，，若，则实数的值（   ） A． B．3 C．2 D． 9．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)设为锐角，若，则的值为（   ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 降幂公式求值 10．(23-24高一下·江苏南通·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知，且，则 ． ( 题型04 ) 拼凑角思想求值（角） 12．(23-24高一下·江苏·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．(23-24高一下·江苏·期末)已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知，若，则（    ） A． B． C． D． 15．(23-24高一下·江苏·期末)已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 17．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知，，则 （    ） A． B． C． D． 18．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 弦切互化 19．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D．2 20．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 值域问题 21．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)函数的值域是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 7 ) 与三角函数图象综合 22．(23-24高一下·江苏盐城·期末)（多选）若函数，则（    ） A．函数的一个周期为 B．函数的图象关于轴对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数的最大值为2，最小值为0 23．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 24．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 . 25．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知，则的值（    ） A． B． C． D． 26．(23-24高一下·江苏南京·期末)若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 27．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 28．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知的面积为满足条件，则 .；若，延长至点，使得，则 . 29．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC，AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上，已知，，则以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为（    ） A．16∶9 B．144∶25 C．225∶64 D．160∶81 30．(23-24高一下·江苏淮安·期末)欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$