期末专题02 平面向量大题综合（4大题型21题）（江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题02 平面向量大题综合（4大题型21题） 题型概览 题型01 平行与垂直 题型02 数量积 题型03 平面向量与三角函数结合 题型04 平面向量与解三角形结合 优选提升题 ( 题型01 ) 平行与垂直 1．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知.设. (1)若三点共线，求的值； (2)若，求的值. 2．(23-24高一下·江苏南京·期末)已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 3．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点． (1)若三点A，B，C共线，求实数m的值； (2)是否存在实数m，使得在上的投影向量是？若存在，请求出实数m的值，若不存在请说明理由． 4．(23-24高一下·江苏镇江·期末)在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. (1)若，，三点共线，求的值； (2)若向量与的夹角为，求的值； (3)若四边形为矩形，求点坐标. ( 题型02 ) 数量积 5．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 6．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)如图，在梯形ABCD中，，O为AC与BM的交点. (1)若，求； (2)若，求. 7．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 8．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. (1)用向量，表示； (2)求. 9．(22-23高一下·浙江嘉兴·期末)已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. ( 题型03 ) 平面向量与三角函数结合 10．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知，，且，其中是第二象限角． (1)求的值； (2)若，求的值． 11．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知向量，． (1)若，求； (2)若，且，求． 12．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知向量，，设. (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值. ( 题型04 ) 平面向量与解三角形结合 13．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)在中，D为线段BC的中点，若，，求： (1)线段AD的长； (2)的面积． 14．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，    (1)若·=32，求的长； (2)设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 15．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 16．(23-24高一下·江苏苏州·调研)如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. (1)若，求线段EF的长； (2)若，设，求实数和的值； (3)若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 17．(23-24高一下·江苏徐州·期末)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列：，，，…，与；，，，…，，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②，其中，2，3，…，，则称与互为正交点列． (1)求：，，的正交点列； (2)判断：，，，是否存在正交点列？并说明理由； (3)证明：，，都存在整点列无正交点列． 18．(23-24高一下·江苏泰州·期末)在中，，过点A分别作的垂线，点关于的对称点为，点关于的对称点为. (1)若是所在平面内的任意一点，求的最小值； (2)（i）若是的重心，求的值； （ii）若为实数，为正整数，求的值. 19．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)求的值； (2)设， ①用来表示与； ②求的取值范围. 20．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且． (1)若，求的值； (2)设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值． (3)若，求的值． 21．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，. (1)若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围； (2)若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题02 平面向量大题综合（4大题型21题） 题型概览 题型01 平行与垂直 题型02 数量积 题型03 平面向量与三角函数结合 题型04 平面向量与解三角形结合 优选提升题 ( 题型01 ) 平行与垂直 1．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知.设. (1)若三点共线，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2). 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得； （2）根据向量垂直的坐标表示可求得. 【详解】（1）因为， ， 又因为三点共线，所以， 则， 解得. （2）由，可得，即 解得. 2．(23-24高一下·江苏南京·期末)已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 3．(23-24高一下·江苏南京第二十九中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点． (1)若三点A，B，C共线，求实数m的值； (2)是否存在实数m，使得在上的投影向量是？若存在，请求出实数m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【来源】江苏省南京市第二十九中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据向量共线定理计算即可； （2）利用投影向量的定义，建立关于m的方程，解方程即可得解. 【详解】（1）由题意， 因为三点共线，所以， 所以，解得； （2）由（1）知，，， 在上的投影为：， 所以在上的投影向量为：， 因为在上的投影向量是， 所以有，解得或， 所以存在实数，使得在上的投影向量是，此时或. 4．(23-24高一下·江苏镇江·期末)在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. (1)若，，三点共线，求的值； (2)若向量与的夹角为，求的值； (3)若四边形为矩形，求点坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值． （2）利用向量的夹角公式即可求解. （3）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值即可得到的坐标． 【详解】（1）向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； （2）， 解得， （3）设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得， 解得， 故 ( 题型02 ) 数量积 5．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】（1）设出点的坐标，借助平行四边形性质列式计算即得. （2）求出直线方程后可设出的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数的性质求解即得. 【详解】（1）设，由，，， 则，， 由四边形是平行四边形，则， 即，解得， 即点的坐标是； （2）由，故直线的方程为，设， 则，， 故 ， 故. 6．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)如图，在梯形ABCD中，，O为AC与BM的交点. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】（1）由线性运算可得，，结合数量积的定义和运算律分析求解； （2）由数量积的运算律结合（1）中结论可得，进而可求，，结合向量夹角运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，， 可得则，， 若，则， 所以. （2）由（1）可知：，， 且， 可得， 则，即， ，即， 所以. 7．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）法一：求出、、，再代入向量的夹角公式可得答案；法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量的夹角公式的坐标运算可得答案； （2）由（1）中的法二，设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【详解】（1）法一： 由图知：，， ，， 因为，所以是的中点， ， 所以， 所以 ， 所以； 法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 则，， 所以；    （2）由（1）中的法二，设，， ，， 所以， 因为，所以. 8．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. (1)用向量，表示； (2)求. 【答案】(1) (2)1 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算分析求解； （2）根据题意结合向量的线性运算可得，再根据数量积的定义以及运算律分析求解. 【详解】（1）由题意可知：. （2）由题意可知：， 因为，，， 则， 所以. 9．(22-23高一下·浙江嘉兴·期末)已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省嘉兴市2022-2023学年高一下学期期末数学试题 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，此时. ( 题型03 ) 平面向量与三角函数结合 10．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知，，且，其中是第二象限角． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】（1）根据平面向量共线的坐标运算可得，再由同角三角函数关系求得，结合两角和的余弦公式即可求得； （2）由（1）可知，则可得，再结合两角和的正切公式即可求得． 【详解】（1）已知，， 因为， 所以存在实数，使得， 所以， 解得，. 又因为是第二象限角, 所以， 所以. （2）由（1）可知， 则． 因为， 所以， 即， 所以． 11．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知向量，． (1)若，求； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示求出，再由二倍角公式计算可得； （2）由数量积的坐标表示、两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得. 【详解】（1）因为，且， 所以，则， 所以. （2）因为，且， 所以，则， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 所以 . 12．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知向量，，设. (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得，然后将其化为基本型，即可求出周期； （2）由题意可得，由，求出的范围，再由三角函数的平方关系求出，则，由两角和的正弦公式化简即可得出答案. 【详解】（1）因为 ， 所以函数的最小正周期； （2）， ， ， 故 . ( 题型04 ) 平面向量与解三角形结合 13．(23-24高一下·江苏溧阳·期末)在中，D为线段BC的中点，若，，求： (1)线段AD的长； (2)的面积． 【答案】(1) (2)1 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题 【分析】（1）根据中线的性质可得的坐标，进而可得模长； （2）根据向量夹角公式可得，进而结合面积公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得：， 所以线段AD的长为. （2）由题意可得：，， 则， 且，则， 所以的面积. 14．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，    (1)若·=32，求的长； (2)设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 【答案】(1)4 (2)－ 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用投影向量来求向量的数量积即可； （2）先解三角形得到各边长，再利用向量知识来求解即可. 【详解】（1）,∴是在方向上的投影向量, ∴·＝,即； 法二：，∴·||·||||·||， 即； （2）在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图:    易知因为E为中点， 所以， ，，, ∵＝x＋y,∴    ，解得：，所以： 法二： 在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 因为，所以， 又∵ 由平面向量基本定理得： ，解得：，所以： 15．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值； （3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以. （2）如图， 由题意可得， 因为三点共线，故可设 ， 又因三点共线，故， 所以，故. （3）因为 所以， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即. 所以的最小值为. 16．(23-24高一下·江苏苏州·调研)如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. (1)若，求线段EF的长； (2)若，设，求实数和的值； (3)若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月学业质量阳光指标调研数学试卷 【分析】（1）由向量的线性运算可得，两边平方可求解； （2）由已知可得，，可得结论； （3）利用向量的线性关系可得，，计算可得结论. 【详解】（1）若，则，， 所以， 两边平方可得， 所以； （2）若，则，所以， ①， ②， 由①②可得； （3）， ， 设，又， 又，所以①， 由，可得，所以，所以， 所以， 由，可得， 所以， 又三点共线，所以②， 联立①②解， 所以，所以， ， ， 所以 ， 又， 所以，同理可得， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算. 17．(23-24高一下·江苏徐州·期末)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列：，，，…，与；，，，…，，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②，其中，2，3，…，，则称与互为正交点列． (1)求：，，的正交点列； (2)判断：，，，是否存在正交点列？并说明理由； (3)证明：，，都存在整点列无正交点列． 【答案】(1)，， (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）由正交点列的定义可知，，设，由正交点列的定义可知，即可得出结论； （2）设点列，，，是点列，，，的正交点列，则可设，，，，因为与，与相同，即可得到结论； （3），，都存在整点列无正交点列.设，其中，是一对互质整数，，列式，分类讨论，即可得出结论. 【详解】（1）设点列，，的正交点列是，，， 由正交点列的定义可知，， 设，， 由正交点列的定义可知， 即，解得 所以点列，，的正交点列是，，. （2）由题可得， 设点列，，，是点列，，，的正交点列， 则可设，，， 因为与，与相同，所以有 因为，，，得方程，显然不成立， 所以有序整点列，，，不存在正交点列； （3），，都存在整点列无正交点列. ，，设，其中，是一对互质整数， 若有序整点列，，，是点列，，，正交点列， 则， 则有 当为偶数时，取，. 由于，，，是整点列，所以有，. 等式（2*）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列，，，无正交点列； 当为奇数时，取，，，， 由于，，，是整点列，所以有，. 等式（2*）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列，，，无正交点列. 综上所述，，，都存在无正交点列的有序整数点列. 【点睛】关键点睛：本题以平面直角坐标系为载体，平面向量为工具，给出新定义“互为正交点列”，解本类题的关键在于结合课本知识，认真理解新定义，在新定义的基础上用学过的知识来解决问题. 18．(23-24高一下·江苏泰州·期末)在中，，过点A分别作的垂线，点关于的对称点为，点关于的对称点为. (1)若是所在平面内的任意一点，求的最小值； (2)（i）若是的重心，求的值； （ii）若为实数，为正整数，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）或 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）利用平面几何知识得，然后根据向量的加法法则求得，再转化为可得 （2）（i）首先建立直角坐标系，利用参方程和重心公式可得，（ii）利用已知条件求出，然后利用正弦定理和三角函数知识分别求出即可 【详解】（1） 如图， 由题意得，又， 所以， 所以在中，， ， 所以， ； 取的中点为，的中点，则， 则， 即当为中点时，取最小值； （2）以A为坐标原点，为轴正方向，建立直角坐标系， 设，，则，， 由题意得， ， （i）因为是的重心，所以， 即，所以，； （ii）由得： ，即 所以， 因此，由得， 当时，，此时，， ， 由，得； 当时，，此时，， ， 由，得. 所以或. 19．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末)已知是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)求的值； (2)设， ①用来表示与； ②求的取值范围. 【答案】(1)0 (2)①；②. 【来源】江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）对两边平方化简可求出的值； （2）①结合已知条件利用向量的加减法法则将用表示，再结合，列方程组可用来表示与；②，将与代入化简，得，令，则，求出的范围，从而可求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 所以； （2）①因为， 所以 ， 因为， 所以，所以； ②因为，， 所以 ， 设，则， 因为，所以，所以， 即， 由，得， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的加减法，考查向量的数量积运算，考查同角三角函数关系，第（2）问解题的关键是利用平面向量基本定理结合题意用表示，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 20．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且． (1)若，求的值； (2)设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值． (3)若，求的值． 【答案】(1)12 (2) (3) 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据向量的数量积定义计算即可； （2）由正弦定理求出，再由三角形面积公式得出面积，利用三角恒等变换化简即可得出最值； （3）由三角形面积间的关系得出，利用（2）中结论化简为，再由三角恒等变换化简求出角正切值即可得解. 【详解】（1）中，， 所以 所以. （2）在中，，， 由正弦定理得，即， 在中，， 所以，所以 所以 ， 因为，所以， 所以当且仅当，即时，的面积取最大值为. （3）当时，， 即， 因为， 所以， 设且，由（2）得，，且， 所以， 所以， 即， 两边同除以，得， 解得或（舍去）， 此时. 21．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，. (1)若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围； (2)若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在， 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，求得，判断出三角形的三个内角均小于，根据费马点的定义、正弦定理、三角恒等变换、向量数量积运算等知识来求得的取值范围. （2）根据三角形的面积公式列方程，结合余弦定理进行化简，从而求得的值. 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以， 即， 因为，，所以，，所以， 因为，所以； 因为，所以的内角均小于， 所以点在的内部，且， 由，得， 设，，则， 在中，由正弦定理得，即 在中，由正弦定理得，即， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为； （2）因为， 即，所以， 在，，中， 分别由余弦定理得：， ，， 三式相加整理得， ， 将代入得：， 因为平分，所以，， 所以，③ 又由余弦定理可得：，④ 由③-④得：，所以， 即，所以常数，使得. 【点睛】方法点睛：在解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. / 学科网（北京）股份有限公司 $$