期末专题01 平面向量小题综合（8大题型50题）（江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题01 平面向量小题综合 （提升部分含系数和、极化恒等式、奔驰定理、投影大法、范围与最值、新定义）（8大题型50题） 题型概览 题型01 平行向量的线性运算 题型02 平行关系 题型03 垂直关系 题型04 投影向量 题型05 平面向量数量积运算 题型06 平面向量的模长 题型07 夹角问题 题型08 平面向量多选题（多考点综合） 优选提升题 （提升部分含系数和、极化恒等式、奔驰定理、投影大法、范围与最值、新定义） ( 题型01 ) 平行向量的线性运算 1．(23-24高一下·江苏灌云县第一中学·期末)（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 平行关系 2．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知，，且，则实数 ． 3．(23-24高一下·江苏盐城·期末)已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高一下·江苏泰州·期末)在中，，则（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 垂直关系 6．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知向量，，且，则 ． 7．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知向量，， 若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知向量，，若，则实数的值为 . 9．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 10．(23-24高一下·江苏连云港·期末)已知，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．5 ( 题型04 ) 投影向量 11．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知向量， 向量， 则在上的投影向量的坐标为 . 12．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)已知向量，且，则在上的投影向量的坐标为 ． 13．(23-24高一下·江苏南京·期末)已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 14．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高一下·江苏泰州·期末)已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . ( 题型0 5 ) 平面向量数量积运算 17．(23-24高一下·江苏盐城·期末)若向量，为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D．1 18．(23-24高一下·江苏淮安·期末)在平行四边形中，若，则（    ） A． B． C． D．1 19．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)在中，为的中点，交于，则 ． 20．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 21．(23-24高一下·江苏连云港·期末)在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（    ） A． B．1 C． D． ( 题型0 6 ) 平面向量的模长 22．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知向量，，则 ． 23．(23-24高一下·江苏南通·期末)已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 24．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)已知向量的夹角为，且，则 . 25．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知向量，满足：，，，则（    ） A． B．5 C． D． 26．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知点，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．点到直线的距离为 D． 27．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)已知平面向量，满足，与的夹角为120°，若，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 29．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C．4 D．12 ( 题型0 7 ) 夹角问题 30．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知△ABC的顶点，，，则（   ） A． B． C． D． 31．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 8 ) 平面向量多选题（多考点综合） 32．(23-24高一下·江苏连云港·期末)在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 33．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．与一定不是平行向量 C．的最大值为 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 34．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．若D为边AC的中点，且，则面积的最大值为 D．若角B的平分线交AC于点E，且，则的最小值18. 35．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知非零向量，，记，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，且，则，的夹角为 D．若，则 36．(23-24高一下·江苏盐城·期末)已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为 . 37．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知的面积为满足条件，则 .；若，延长至点，使得，则 . 38．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为 ． 39．(23-24高一下·江苏淮安·期末)（多选）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（    ）    A． B． C．为等腰三角形 D． 40．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)（多选）在中，内角A、B、C的对边分别为、、， 为边的上的中线，，，以下说法正确的是 （ ） A．若，则的面积的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 41．(23-24高一下·江苏镇江·期末)设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”.若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 42．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 43．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 44．(23-24高一下·江苏镇江·期末)在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 45．(23-24高一下·江苏徐州·期末)以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 46．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知，，其中，．若对任意，都有，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 47．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)设点是所在平面内一点：①若，则点是边的中点；②若，则点在边的延长线上；③若，且，则是面积的一半；④若，则直线一定过的内心．则上述说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 48．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则 . 49．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 . 50．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)（多选）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（    ） A．正三角形的费马点是正三角形的中心 B．若P为的费马点, 且 ，则一定为正三角形 C．若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为 D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c， ，若点P为的费马点，则 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题01 平面向量小题综合 （提升部分含系数和、极化恒等式、奔驰定理、投影大法、范围与最值、新定义）（8大题型50题） 题型概览 题型01 平行向量的线性运算 题型02 平行关系 题型03 垂直关系 题型04 投影向量 题型05 平面向量数量积运算 题型06 平面向量的模长 题型07 夹角问题 题型08 平面向量多选题（多考点综合） 优选提升题 （提升部分含系数和、极化恒等式、奔驰定理、投影大法、范围与最值、新定义） ( 题型01 ) 平行向量的线性运算 1．(23-24高一下·江苏灌云县第一中学·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省灌云县第一中学2023-2024学年高一下学期期末阶段性检测数学试题 【分析】根据向量加减运算可得结果． 【详解】， 故选：B． ( 题型02 ) 平行关系 2．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知，，且，则实数 ． 【答案】 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又，所以，解得. 故答案为： 3．(23-24高一下·江苏盐城·期末)已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据向量平行得出x，再结合充分不必要条件判断即可. 【详解】因为，可得, 则是的充分不必要条件. 故选：A. 4．(23-24高一下·江苏南京秦淮中学等五校联合体·期末)向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据向量平行的结论可以直接得到答案. 【详解】因为与不共线，且与共线，则， 即，即. 故选：C 5．(23-24高一下·江苏泰州·期末)在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据向量共线的坐标表示的充要条件求解，再取补集即可 【详解】，得， 因为是的两条边，所以不共线， 所以 故选：D ( 题型03 ) 垂直关系 6．(23-24高一下·江苏淮安·期末)已知向量，，且，则 ． 【答案】 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得，解得x的值即可． 【详解】， 即，解得 故答案为： 7．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知向量，， 若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】根据向量垂直，两向量的数量积为0，即可求得m的值. 【详解】因为向量，， 所以， 解得， 故选：B. 8．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知向量，，若，则实数的值为 . 【答案】0 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用向量线性运算与垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题意可知，， 若，则，得. 故答案为：0 9．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【来源】江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（A卷） 【分析】由可得，由，得，代入坐标即可. 【详解】由题意知，向量，所以， 因为，所以，即，所以， 故选：D. 10．(23-24高一下·江苏连云港·期末)已知，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】首先求出，的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以， ， 又，所以，解得. 故选：B ( 题型04 ) 投影向量 11．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)已知向量， 向量， 则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为，，则， 所以在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 12．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)已知向量，且，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】求出，设，利用可得的坐标，再由投影向量的定义可得答案. 【详解】因为，所以，， 解得，， 设，所以，解得， 可得， 所以在上的投影向量的坐标 为. 故答案为：. 13．(23-24高一下·江苏南京·期末)已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】首先计算数量积，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】，， 则，， 故在方向上的投影向量为：. 故选：B 14．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可． 【详解】因为向量，向量，则，， 所以向量在向量上的投影向量是：. 故选：C. 15．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】利用投影向量定义，由数量积的坐标表示代入计算可得结果. 【详解】由可得；； 根据投影向量的定义可得在上的投影向量为. 故选：A 16．(23-24高一下·江苏泰州·期末)已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据向量垂直的坐标表示条件求出m的值，进而求出，向量在向量上的投影向量为计算可得. 【详解】由，又， 所以，得， ， 则向量在向量上的投影向量的坐标为， 故答案为： ( 题型0 5 ) 平面向量数量积运算 17．(23-24高一下·江苏盐城·期末)若向量，为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】通过向量模的平方等于向量的平方即可求解. 【详解】因为向量，为单位向量，所以， 因为， 所以 ， 所以. 故选：A. 18．(23-24高一下·江苏淮安·期末)在平行四边形中，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】根据平面向量的线性运算结合数量积的运算性质即可求解． 【详解】在平行四边形中，， 由题意得. 故选：C. 19．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)在中，为的中点，交于，则 ． 【答案】 【来源】江苏省天一中学2023-2024学年高一平行班下学期期末考试数学试题 【分析】根据三点共线条件及向量数量积运算性质求解． 【详解】解：根据题意作下图：    设， 因为、、三点共线， 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 20．(23-24高一下·江苏扬州·期末)如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 【答案】B 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据题意利用平向量基本定理将用表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以， ， 所以 . 故选：B 21．(23-24高一下·江苏连云港·期末)在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，根据，得，从而计算. 【详解】根据题意，取中点，因为，所以， 以为轴建立直角坐标系，则， 设，， 则， 则 因为，则, 的，则， 且. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用坐标法，根据，确定点的坐标，再坐标法计算数量积. ( 题型0 6 ) 平面向量的模长 22．(23-24高一下·江苏徐州·期末)已知向量，，则 ． 【答案】1 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示求解即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为：1 23．(23-24高一下·江苏南通·期末)已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长. 【详解】因为，所以，即 所以，所以 所以， 故选：B. 24．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)已知向量的夹角为，且，则 . 【答案】1 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】先利用向量数量积运算法则计算出，从而得到模长. 【详解】 ， 故 故答案为：1 25．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知向量，满足：，，，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 26．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)已知点，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．点到直线的距离为 D． 【答案】C 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示，以及向量的几何意义，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：，所以，故A错误； B：由选项A知，，， 所以，由得，故B错误； C：，得，即， 所以点到的距离为，故C正确； D：由选项C知，，所以，故D错误. 故选：C 27．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【来源】江苏省天一中学2023-2024学年高一下学期强化班期末考试数学试题 【分析】根据投影向量的定义，先由在方向上的投影向量为，可得，再根据在方向上的投影向量为运算求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为，且， 可得，即， 又因为在方向上的投影向量为， 可得，即. 故选：D. 28．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)已知平面向量，满足，与的夹角为120°，若，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】两边平方，结合向量数量积公式得到方程，求出. 【详解】两边平方得， 即， 故，解得或（舍去）. 故选：C 29．(23-24高一下·江苏常州联盟学校·期末)已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C．4 D．12 【答案】B 【来源】江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题 【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，然后求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以， 所以，所以， 所以，得， 所以， 故选：B ( 题型0 7 ) 夹角问题 30．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知△ABC的顶点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】求出的坐标，由夹角公式可求得结果. 【详解】依题意得， 则. 故选：C. 31．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据向量的垂直可得数量积为0，再由夹角公式代入求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以. 故选：A ( 题型0 8 ) 平面向量多选题（多考点综合） 32．(23-24高一下·江苏连云港·期末)在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ABD 【来源】江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】对于A，由两边平方，并求出，即可求解；对于B，设，可得，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据为靠近的四等分点，为靠近的三等分点，可得，求即可；对于D，由，化简可得答案. 【详解】因为中，， 对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则 所以，故A正确； 对于B，由，设，所以， 因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确； 对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故 由于，，所以， 则， 所以，故C不正确； 对于D, ，故D正确； 故选：ABD 33．(23-24高一下·江苏南京金陵中学·期末)已知向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．与一定不是平行向量 C．的最大值为 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 【答案】ABD 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据判断A，由平行向量的坐标表示判断B，根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C，根据投影向量的定义及夹角公式判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：因为，所以与一定不是平行向量，故B正确； 对于C：因为， 所以， 所以当时取得最大值，最大值为，故C错误； 对于D：在上的投影向量为，所以， 所以， 又，所以，故D正确. 故选：ABD 34．(23-24高一下·江苏南京六校联合体·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．若D为边AC的中点，且，则面积的最大值为 D．若角B的平分线交AC于点E，且，则的最小值18. 【答案】ACD 【来源】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷 【分析】对A：借助面积公式与余弦定理由题意可得，对B：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的值域即可得；对C：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【详解】对于选项A：因为， 则，整理得， 且，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 又因为，则，可得， 所以的取值范围为，故B错误； 对于选项C：因为为边的中点，则， 则， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于选项D： 由题意得， 即， 整理得，即， 可得， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：ACD. 35．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期末)已知非零向量，，记，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，且，则，的夹角为 D．若，则 【答案】ACD 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】对于A：只需得到即可判断；对于B：分为与同方向或反向两种情况讨论即可判断；对于C：根据条件计算出， ，即可判断；对于D：利用极化恒等式即可求解. 【详解】 对于A：当时，，，故A正确； 对于B：当时，与同方向或反向， 当与同方向时，，，， 当与反向时，，，，故B错误； 对于C：根据题意有，解得：， ， 所以，则与的夹角为，故C正确； 对于D：由，得：， 所以或(，舍去). 故D正确. 故选：ACD 36．(23-24高一下·江苏盐城·期末)已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为 . 【答案】 【来源】江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】建立平面直角坐标系，用带的坐标分别表示向量，求得数量积关于的式子，然后用函数的思想求范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案为： 37．(23-24高一下·江苏扬州·期末)已知的面积为满足条件，则 .；若，延长至点，使得，则 . 【答案】 【来源】江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】化简即可求得，结合的度数以及即可求得，通过设即可用x表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得的值； 【详解】由题得，， 因为，所以 ； 由可得， 设，由正弦定理可知， 所以， 如图所示：过A作，交BC的于E点， ， ， 所以 在中可算得 ， 故答案为：，. 38．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为 ． 【答案】 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】引入参数，利用向量数量积的运算律将所求式子表示为的函数即可求解. 【详解】连接，，，因为，为，的中点， 所以四边形为矩形，则，，． 设，则 ，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 39．(23-24高一下·江苏淮安·期末)（多选）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（    ）    A． B． C．为等腰三角形 D． 【答案】ABD 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】由已知可得，，根据向量的数量积运算与线性运算依次判断各选项即可． 【详解】由题可知，， ，， 对A：，故A正确； 对B：则，故B正确； 对C、D：， ， 可得，故D正确； ，显然不是等腰三角形，故C错误. 故选：ABD. 40．(23-24高一下·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期末)（多选）在中，内角A、B、C的对边分别为、、， 为边的上的中线，，，以下说法正确的是 （ ） A．若，则的面积的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】ACD 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】对于A：可证，再根据数量积的运算律得到，进一步可A，根据、平面向量数量积的运算律及余弦定理可得，即可判断B，再由数量积的运算律得到，进而得到，再由基本不等式及数量积的定义判断C，由题可得，结合条件可得，结合可判断D. 【详解】 对于A， 为边 上的中线，，则，所以，故为直角三角形，则为等腰直角三角形时面积最大， 且的面积的最大值为，故A正确； 对于B，，，又， ，，故B错误； 对于C，若，， 由，可得， ，当且仅当， ，， ，故C正确； 对于D：在中，设角，，所对边为，，，则， 由上知， ， ，， ， 又，即， ，， ，故D正确． 故选：ACD 41．(23-24高一下·江苏镇江·期末)设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”.若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据“仿射坐标”定义，．将陌生的仿射坐标转化为熟悉的向量表达式来解题即可． 【详解】根据“仿射坐标”定义，． 对于A，，即，因此．故A正确． 对于B，,则，根据“仿射坐标”定义，的“仿射坐标”为．故B正确． 对于C，若，则， 化简， 即，解得，故C错误． 对于D，若，， 则，联立得出，故D正确． 故选：ABD. 42．(23-24高一下·江苏连云港高级中学·期末)已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省连云港市高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题 【分析】设为圆心，由，可得，利用，计算可求最大值. 【详解】设为圆心，则，因为， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以. 故选：C. 43．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 44．(23-24高一下·江苏镇江·期末)在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设,      因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 45．(23-24高一下·江苏徐州·期末)以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， 因为，， 所以，即， 且, 所以, 所以. 故选：A. 46．(23-24高一下·江苏常州高级中学·期末)已知，，其中，．若对任意，都有，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】设，得到恒成立，得出，根据题意，结合勾股定理，得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】设，如图所示， 因为对任意，都有， 由恒成立，则， 因为，， 所以，， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，得到恒成立，得出，是解决本题的关键. 47．(23-24高一下·江苏无锡滨湖区无锡第一中学·期末)设点是所在平面内一点：①若，则点是边的中点；②若，则点在边的延长线上；③若，且，则是面积的一半；④若，则直线一定过的内心．则上述说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】江苏省无锡市滨湖区无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据中线的性质即可判断①，根据向量的运算得到，即可判断②， 根据三点共线的性质即可判断③，根据垂心的性质及数量积公式即可判断④. 【详解】，即， 即，即点是边的中点，故①正确； ，即，即， 即点在边的延长线上，故②错误； ，且， 故，且， 设，则，且， 故三点共线，且， 即是面积的一半，故③正确. 设的中点为， ， 即，故过的垂心，故④错误； 故选：C 48．(23-24高一下·江苏宿迁·期末)记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则 . 【答案】 【来源】江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】由角平分线结合等面积法可得，再运用外心性质（垂径定理）和向量加法把要求的向量分解为共线向量和垂直向量即可求解. 【详解】是角的平分线，在线段上，且，，，   ，设的高为，由等面积法得， ， 过点作垂线分别交于，由外心性质得分别为的中点， . 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是首先利用角平分线的性质得到，再利用外心的性质将部分数量积转化为0计算即可. 49．(23-24高一下·江苏天一中学·期末)已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 . 【答案】3 【来源】江苏省天一中学2023-2024学年高一下学期强化班期末考试数学试题 【分析】依题意将各向量坐标化得出代表的几何意义，再根据圆上点到直线距离最值问题即可求解. 【详解】设， 则由得，，即可得； 由得，即； 易知代表以为圆心上的点到直线的距离， 圆心到直线的距离为， 因此的最小值为圆心到直线的距离4减去半径1，为3. 故答案为：3 【点睛】方法点睛：将向量坐标化是求解距离或最值问题常用的方法之一，其思想是将代数问题几何化，使所求问题更加直观形象，即可求解. 50．(23-24高一下·江苏锡山高级中学·期末)（多选）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（    ） A．正三角形的费马点是正三角形的中心 B．若P为的费马点, 且 ，则一定为正三角形 C．若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为 D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c， ，若点P为的费马点，则 【答案】ABC 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】对A，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B，取的中点，由可得点是的重心，再结合条件可得点是的中心，得证；对C，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解. 【详解】对于A，如图是正三角形的中心，根据正三角形的性质易得，所以点是正三角形的费马点，故A正确； 对于B，如图，取的中点，则，因为， 所以，所以三点共线，且点是的重心， 又点是的费马点，则， 则，又，易得，同理可得， 所以所以点是的外心，所以点是的中心， 即是正三角形.故B正确； 对于C，如图，在中，，，，， 点是的费马点，将绕点顺时针旋转，得到， 易证，是正三角形， 则，，，且点共线， 所以，所以， 又， 即该三角形的费马点到各顶点距离之和为.故C正确； 对于D，由费马点定义可得， 设，，，， 由，可得， 整理得， 所以 ，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D选项的关键在于利用三角形等面积法求出. / 学科网（北京）股份有限公司 $$