期末专题05 立体几何小题综合（十大题型）（湖北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题05 立体几何小题综合（十大题型） 题型概览 题型01 基本概念的判断 题型02 判断点线面的位置关系 题型03 求表面积与体积 题型04 斜二测画法中有关量的计算 题型05 空间关系的判断 题型06 球体综合 题型07 直线到平面的距离 题型08 空间角的计算 题型09 范围问题 题型10 立体几何多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 基本概念的判断 1．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面可以是三角形 B．通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．过圆锥顶点的截面中轴截面面积最大 【答案】B 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】根据给定条件，利用棱柱、圆台、圆锥的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，棱柱的侧面是平行四边形，A错误； 对于B，将圆台还原成圆锥，则过圆台侧面一点有且仅有一条还原成圆锥的母线， 因此通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，B正确； 对于C，当四棱柱的相对两个侧面平行且是矩形时，不能确保四棱柱是直四棱柱，C错误； 对于D，当圆锥轴截面顶角大于时，过圆锥顶点的截面等腰三角形顶角为时，面积最大， 该截面面积大于轴截面面积，D错误. 故选：B ( 题型02 ) 判断点线面的位置关系 2．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定 【答案】A 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】将直线，，，为放在正方体中，由此即可判断出答案. 【详解】 构造如图所示的正方体， 取为，为，为，为， 则. 故选：A 3．(23-24高一下·湖北十堰·期末)设是三条不同的直线，是两个不同的平面.下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】C 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】根据直线和平面的位置关系的概念和定理逐项判断即可. 【详解】若，则或A错误； 若，则或异面，B错误； 若，则在内必存在直线和a平行，不妨设为l， 而，则，则，C正确； 若，则与的位置关系不确定，还可能异面，D错误. 故选：C. 4．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案． 【详解】对于A，若，，则可以平行、相交、异面,故A错误； 对于B，若，，和可以相交，也可以平行，故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对D，若，设与的交线为m，与的交线为n， 在平面内取，在平面内取，与l不重合， 由面面垂直的性质可得，所以， 又，所以，由线面平行的性质定理得， 所以有，故D正确. 故选：D. 5．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)已知，是两个不同的平面，是内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合面面垂直的判定判断得解. 【详解】由，，得， 反之，，当平面内的直线平行于平面的交线时，，即不垂直于， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．“直线不相交”是“直线为异面直线”的充分不必要条件 【答案】B 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用空间中线、面平行、垂直关系，结合充分、必要条件的定义逐个判断即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则或与相交，故C错误； 对于D，直线不相交，则直线平行或异面， 故“直线不相交”是“直线为异面直线”的必要不充分条件，故D错误； 故选：B. ( 题型03 ) 求表面积与体积 7．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知圆锥体积为，表面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为 . 【答案】 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】根据圆锥的表面积公式和体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，则母线， 由题，解得， 所以母线. 故答案为：. 8．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】D 【来源】湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据圆锥，圆柱，以及球的表面积和体积公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】对A，圆柱的侧面积等于，A正确； 对B，圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，B正确； 对C，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 球的体积为，所以，C正确， 对D，圆柱的表面积，圆锥的表面积， 球的表面积为，由于，所以圆锥的表面积最小，D错误； 故选：D． 9．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案. 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面， 因为上、下底面边长分别为2和4，所以， 故，， ，因为棱与底面所成的角为，则，故，则， 故该正四棱台的体积为. 故选：A. 10．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量（不计损耗）约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦的体积，再求需准备的粘土量. 【详解】由条件可得四片瓦的体积（） 则1000名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为（），又， 所以共需粘土的体积为约为. 故选：A 11．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为，则该拟柱体的表面积为 .    【答案】 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】根据给定条件，求出该拟柱体的上底面边长，上底面正六边形的边为底边的等腰三角形底边上的高，再依次求出面积即得. 【详解】如图，上底面正六边形的顶点在下底面上的射影分别为点，则， 显然，四边形为矩形，点是下底面正六边形边的中点， 则，，， 底边上的高为，则， 因此，该拟柱体上底面面积为， 下底面面积为，侧面积为， 所以该拟柱体的表面积为. 故答案为：    ( 题型04 ) 斜二测画法中有关量的计算 12．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为 . 【答案】 【来源】湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用直观图与原图形的面积比求解即可. 【详解】由题意得，而， 故，解得，故的面积为. 故答案为： 13．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，结合圆台性质与圆锥的侧面积公式计算即可得该圆台的侧面积. 【详解】由题可得，，，， 则所得圆台上底面为以为半径的圆，下底面为以为半径的圆，高为， 其母线为， 故其侧面积. 故答案为：. ( 题型0 5 ) 空间关系的判断 14．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形； ④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形； 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系依次判断即可. 【详解】对于①，连接，如图所示： 由分别是的中点，可得， 可得与共面，故①错误； 对于②，因为平面平面平面， 所以由异面直线的定义可得， 与是异面直线，则不相交于一点，故②错误； 对于③，由①知，过A，M，P的平面截正方体所得的图形为四边形， 而，故四边形不是平行四边行，故③错误； 对于④，取， 则过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形，故④正确. 故选：C ( 题型0 6 ) 球体综合 15．(23-24高一下·湖北十堰·期末)已知某圆柱的轴截面是正方形，且上､下底面圆周上的所有点都在球的表面上，则该圆柱的体积与球的体积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】本题设圆柱底圆半径为，则可利用几何关系表示出圆柱的高和球的半径，再求体积之比即可. 【详解】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则， 设球的半径为，则由已知条件可得， 设圆柱的体积为，球的体积， 由圆柱的体积公式可得， 由球的体积公式可得， 则. 故选：D. 16．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)在正三棱锥中，分别为的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】如图，根据题意，利用线面垂直的判定定理和性质证明，，，将三棱锥补成以为棱的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，求出外接球的半径，结合球的体积和表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，取CD的中点Q，连接AQ、BQ，则， 由，得， 因为三棱锥为正三棱锥，所以， 而Q是CD的中点，所以， 又平面，所以平面， 由平面，得，又， 平面，所以平面， 由平面，所以，， 根据正三棱锥的特点可得， 故可将三棱锥补成以为棱的正方体，如图， 所以正方体的外接球即为三棱锥的外接球. 由 得，可得正方体的棱长为，所以， 即，所以正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 17．(23-24高一下·湖北武汉江岸区·期末)如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，则M到三棱锥的外接球的球心的距离为 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市江岸区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷 【分析】作出图形，易知当三棱锥的体积最大时，平面平面，即可判断的中点是三棱锥的外接球球心，利用三角形的边角关系和余弦定理即可求. 【详解】如图： 当三棱锥的底面上的高最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面， 又平面平面，取的中点，则， 则根据面面垂直的性质定理可得：平面， 取的中点，则，又，且，则， 又，故是三棱锥的外接球球心，且该外接球的半径； 在△中，， 故； 又，故，又， 所以由余弦定理可得， 故答案为：． 18．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)如图，在平面四边形ABCD中，，，，，现将沿AC折起，并连接BD，使得平面平面ABC，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理可以证得为直角，又为直角，进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边的中点，然后根据球的面积公式求得球的半径，进而计算求得三棱锥的体积. 【详解】∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又∵平面，∴， 又∵平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴，即为直角， 又∵为直角，∴取的中点，连接， 由直角三角形的斜边上的中线性质， 可得为三棱锥外接球的球心， 由三棱锥外接球的表面积为，可得外接球的半径， ∴， ∵平面，为直角， ∴三棱锥的体积为. 故选：D 19．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由三棱柱的体积求出边，利用球的表面积公式求出球半径进而求出上下底面三角形的边长，根据将此三棱柱掏空后放入一个球，该球最大半径为内切圆半径，利用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】设中点为中点为中点为， 外接球球心在中点处， 设， 该三棱柱的体积为， 该三棱柱的外接球表面积为， 外接球半径，即，， ， 底面内切圆半径， ，因此该球最大半径为. 故选：B. 20．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】建立边长和O到平面ABD距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出最小值，建立外接球半径的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值. 【详解】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心O到平面ABD距离为，设， 有因为为直角三角形，则经过直角三角形斜边中点，即为中点. 故取的中点设为，则由正三角形求解高知如图，设， 设球心O到平面ABD距离为OF，设 ，， ， 当且仅当时即取“=”. ，. 故最小为. 故答案为：. 【点睛】立体图形平面化，结合函数和基本不等式的知识求解是问题的关键. ( 题型0 7 ) 直线到平面的距离 21．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】在正方体中，连接，交于，连接，交于，过作于，由已知可证平面，即为到平面的距离，求解即可. 【详解】在正方体中，连接，交于， 连接，交于，过作于， 因为分别为和的中点，所以， 又在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，从而可得， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离， 由正方形可得， 又由正方体，可得平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，，所以平面， 所以为点到平面的距离， 在中，可得， 所以， 又易求得， 所以. 故选：C. ( 题型0 8 ) 空间角的计算 22．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】过作，连接.证明平面，即直线与平面所成的角即. 【详解】过作，连接. 因为为圆台的轴截面， 所以平面平面, 因为平面平面,平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角即. 因为且， 则,，， 所以. 故选：D. 23．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】根据折叠前后的不变量，再用定义法找出二面角的平面角即可求解. 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，，    因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以， 故选：B ( 题型0 9 ) 范围问题 24．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】先过点作出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值范围即可. 【详解】如图，取上靠近点的四等分点，连接、， 由是棱的中点，点是棱的中点，易得， 则平面， 取、中点、，取上靠近点的四等分点， 连接、、、， 由正方体的性质易得，，则， 又平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又，平面，故平面平面， 又平面，平面，故， 即点的轨迹为线段，设点到的距离为， 有，故， 又，故的长度范围为. 故选：C. . 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是过作出与平面平行的平面，从而求得的运动轨迹，由此得解. ( 题型 10 ) 立体几何多选题（多考点综合） 25．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A．底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B．底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体 C．底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D．棱长为6cm的正四面体 【答案】BD 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】根据球的几何性质，结合勾股定理，计算球心到选项中各几何体底面的距离，结合各几何体特征即可逐一求解. 【详解】对A：若圆柱的底面直径为8，此时球心到圆柱底面的距离为，故A错误； 对B：若圆锥的底面直径为6，则半径为3， 此时球心到圆锥底面的距离为， 故圆锥的高最大时为，故B正确； 对C：若正四棱柱底面边长为4，则底面外接圆半径为， 此时球心到正四棱柱底面的距离为， 故正四棱柱的高最大时为，故C错误； 对D：法一：若正四面体的棱长为6，则底面外接圆半径为， 此时球心到正四面体底面的距离为， 棱长为6cm的正四面体的高为，由，故D正确 法二：若将各棱长均为的四面体放入到棱长为的正方体中， 此时正方体的外接球直径为，故D符合，故D正确. 故选：BD. 26．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知正方体的棱长为2，点E是线段上的动点，点F是线段的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．直线和直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．直线与平面所成的角为，则的最大值为 D．三棱锥B-DEF的体积为定值 【答案】BD 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】选项A当E与G重合时，则有直线和直线共面；选项B根据三垂线定理得平面，即可得到；选项C将角转化为直线EF与平面所成的角，即，再由即可判断；选项D根据即可判断. 【详解】如图，设，则G为的中点. 选项A，当E与G重合时，点均在平面内，故直线和直线均在平面内，即二者共面，故A错误； 选项B，因为平面，所以是在平面内的射影， 因为及三垂线定理，所以，同理有. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以，故B正确； 选项C，因为平面平面， 所以直线EF与平面所成的角，即为直线EF与平面所成的角，即， 所以，故C错误； 选项D，因为，点E在直线上，所以点E到直线的距离为定值，则为定值. 又F到面的距离h也为定值，所以也为定值，故D正确. 故选：BD 27．(23-24高一下·湖北武汉江岸区·期末)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（    ） A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 【答案】AC 【来源】湖北省武汉市江岸区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据题意，设图1中水的高度为，几何体的高为，底面正方形的边长为，利用水的体积，得出与的关系，从而结合选项即可逐一判断． 【详解】设图1中水的高度，几何体的高为，底面正方形的边长为； 则图2中水的体积为，即，解得， 所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误． 对于A，往容器内再注入升水，水面将升高，则，容器恰好能装满，A正确； 对于C，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，占容器内空间的一半， 所以水面也恰好经过点，C正确； 对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得，由，可得，可得， 所以的体积为， 可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确. 故选：AC． 28．(23-24高一下·湖北十堰·期末)在正方体中，是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A．若是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 B．若为线段上的动点，则的最小值为 C．若为线段上的动点，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围为 D．若为线段上的动点，且与平面交于点，则三棱锥的体积为 【答案】ACD 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】由异面直线所成角的定义即可判断A；将平面展开到平面，即可判断B；由二面角的定义可知为平面与平面的夹角，结合余弦定理代入计算，即可判断C；由三棱锥的体积公式代入计算，即可判断D. 【详解】对于A：由正方体的定义可知∥， 则是异面直线与所成的角或补角， 因为平面，且平面，则， 在中，因为，则， 所以，则A正确； 对于B：将平面展开到平面， 则，仅当共线时等号成立， 所以的最小值为，故错误； 对于C：过点作∥，交于点， 可知：∥∥， 则平面即为平面，平面即为平面， 则平面平面， 且平面，则平面， 且平面，则， 可知为平面与平面的夹角， 因为为线段上的动点，所以为线段上的动点， 在正方体，结合对称性可知： 当为线段的中点时，取到最大值，取到最小值， 此时，则； 当为线段的端点重合时，取到最小值，取到最大值； 综上所述：， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为，故C正确； 对于D：设平面与平面的交线为， 因为∥平面，平面，则∥， 又因为∥，且，可知为平行四边形， 则∥，可得∥， 因为与平面交于点，即，平面， 且平面，可知平面， 又因为平面平面，则，可知， 且平面，可知三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：ACD. 29．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知正方体的棱长为分别为的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．线段的长为 B．三棱锥的体积为 C．过三点的平面截正方体所得的截面面积为 D．设为球上任意一点，则的范围为 【答案】ABD 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】取，，，的中点，，，，则过、、三点得截面为正六边形，球心为其中心，利用正六边形的性质可判断A，C选项，由等体积法可得，可判断B选项，利用，可判断D. 【详解】对于A，取，，，的中点，，，，则过、、三点得截面为正六边形，球心为其中心， 在正六边形中，，点到的距离为，，所以，故A正确； 对于B，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 所以，，，，， 所以，，， 则，， 所以，，因为，平面， 所以平面，， 由等体积法可得，故B正确； 对于C，过、、三点得截面为正六边形，边长，其面积为，故C错误； 对于D，， 因为，， 所以四边形为菱形，则，， 所以 当与共线同向时，即，， 当与共线反向时，即，， 所以的范围为，故D正确； 故选：ABD 30．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)在矩形中，，点是的中点，将沿翻折到，连接得到四棱锥，在翻折到的过程中，二面角的大小为，下列说法正确的是（    ） A．当四棱锥体积为最大值时， B．当时，三棱锥的外接球表面积为 C．若是的中点，则存在使与平面不平行 D．当时， 【答案】ABD 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】对于A，四棱锥体积为最大值时是平面面时，故结合面面垂直性质定理即可得证；对于B，求出中点F满足即可得到为三棱锥的外接球的球心，进而得解；对于C，取的中点，则求证出四边形为平行四边形，再结合线面平行判定定理即可得解；对于D，取中点中点，延长，过作于，证明平面，再在中求出AG，即可利用勾股定理在中求出. 【详解】对于，由题意可知, 所以，即， ，其底面积为定值， 当平面平面时，四棱锥的的体积最大， 此时因为平面平面，，所以平面， 又平面，故，故正确； 对于B，取的中点，，连， 则由A以及题意知， 则，三棱锥的外接球的球心为，半径为1， 所以球的表面积为，故选项正确； 对于，取的中点，则，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又面，面，所以面，故错误； 对于，取中点中点，由选项A和B及题意可知，，，， 所以由知平面，故是二面角的平面角，且， 延长，过作于， 则，且由平面得，又， 所以平面， 所以，， 故， 所以， ，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：通过已知条件找到并作出过P点且垂直于平面的垂线段，再利用勾股定理即可在中求出. 31．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点F的轨迹的线段为 C．三棱锥的体积为 D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】AC 【来源】湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】选项A：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B：分别取，的中点H，G，连接，，，；证明平面平面，从而得到点F的轨迹为线段GH；选项C：根据选项B可得出平面，从而得到点F到平面的距离为H到平面的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D：设为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面，从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高. 【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 可知正方体的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，且平面，平面， 所以//平面，同理可得：//平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH， 其长度为，故B错误； 对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面， 则点F到平面的距离为H到平面的距离，过点B作， 因为平面，平面，所以，又， 平面，所以平面， 所以，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上， 因为截面平面，平面平面，所以， 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点， 在四棱锥中，侧棱最长，且， 设棱锥的高为h， 因为，所以四边形为菱形， 所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又， 则，， 所以，解得. 综上，可知长度的取值范围是，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C，D选项关键是找到临界点，求出临界值. 32．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，.在折起的过程中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．与所成的角先变大后变小 C．几何体体积有最大值 D．平面与平面不可能垂直 【答案】ACD 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】对A：借助线面平行的判定定理推导即可得；对B： 借助线面垂直的性质定理得到后，结合， 即可得与所成的角即为与所成角，由题意可得随翻折角增大，逐渐变小，即可得所成的角的变化； 对C：借助割补法表示出体积后，结合体积公式计算即可得；对D：借助反证法，假设平面与平面垂直， 从而借助面面垂直的性质定理于线面垂直的性质定理可得，其与矛盾，即可得证. 【详解】对A：延长与延长线交于，连接，， 由题意可得且，则可得、分别为、中点， ，又， 为平行四边形，，又平面，平面， 平面，故A正确； 对B：，，，， 又，平面，平面， 又平面，，随翻折角增大，逐渐变小， 所以与所成角即与所成角逐渐变小，故B错误； 对C：由，则， 则 ， 其中为点到平面距离，则，故； 故C正确； 对D：若平面平面，过作于点， 由平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，， ，，则， 又，平面，， 平面，又平面，， ，平面， 平面，又平面，， 又由B选项知，与矛盾， 故平面与平面不垂直，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于借助反证法，假设平面与平面垂直，从而借助面面垂直推导出矛盾之处即可得. 33．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)已知圆锥SO的底面半径为10cm，其母线SA长40cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有（    ） A．截面SAB的最大面积为 B．若，则直线SB与平面SOA夹角的正弦值为 C．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 D．若，且，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为18cm 【答案】ACD 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】对A，关键在于考虑∠ASB正弦的大小；对B，只需作出线面角即可；对C，当三棱锥O-SAB体积最大值，三棱锥可以补成长方体；对D，可以将圆锥侧展开考虑. 【详解】对A，因为，所以∠ASB为锐角， 所以，A正确； 对B，如图，取OA中点H，则BH⊥OA，又BH⊥SO，所以BH⊥面SOA， 所以∠BSH为直线SB与平面SOA所成的角， 所以，B错误； 对C，易知当三棱锥O-SAB体积最大时，OB⊥面SOA， 此时三棱锥可以补成以OA，OB，OS为三相邻边的长方体， 所以外接球直径， 外接球表面积为，C正确； 对D，将三棱锥侧面展开如下，扇形弧长为，所以； 过S作SD⊥于D，则所求路径即为CD的长： 由，SC=30cm， 所以=50cm，且，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： (1)过三棱锥顶点作三棱锥截面，由于母线长是确定的，所以截面面积取决于顶角的大小； (2)几何法求线面角大小，关键作出斜线在平面上的投影； (3)“墙角式”三棱锥外接球为补成长方体体对角线中点； (4)立体几何路径最短问题，往往需要展成一个平面后解决. 34．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)如图所示，某甜品店将上半部是半球（半球的半径为2），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为4）的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为6的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】画出底面展开图，由几何关系得到图中边长关系，由正弦定理可得，再由三角形相似得到，最后求出结果即可. 【详解】 设上面球心为，的圆心为，三点在底面投影的正三角形的中心为， 圆锥的顶点为，边中点为，连接，则，， 由几何关系可得三点共线， 由题意可得，， 在几何体中，设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得，即， 由可得，所以， 所以半球面上的最高点到平面DEF的距离为， 故答案为：. 35．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)如图，正三棱锥的侧面和底面所成角为，正三棱锥的侧面和底面所成角为和位于平面的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则 ，的最大值为 . 【答案】 【来源】湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由几何体结构特征可知为外接球直径即得；先设，外接球半径为R，则由以及已知条件可求得，再根据几何体结构特征得，再结合两角和正切公式以及基本不等式即可求解. 【详解】由几何体结构特征可知为外接球直径，所以； 连接，交平面于点，取中点，连接， 由正棱锥性质知，且， 则、，，设，外接球半径为R， 则， 所以由得，， 又， 故， 而，当且仅当时取等， 故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：求解的关键是由以及已知数据求出. 36．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)（多选）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥.设，点分别为棱的中点，为线段上的动点.下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中存在某个位置，使 B．当时，与平面所成角的正弦值为 C．在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2 D．当时，的最小值为 【答案】ACD 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】对于，由平面平面，证明；对于B，当时平面，是直线与平面所成的角，利用三角形边长求正弦值即可；对于C，当三棱锥体积取得最大值时，是三棱锥的高，由求值即可；对于D，将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，当三点共线时， 的最小值为，利用余弦定理求解. 【详解】对于：当平面平面时，， 证明如下：因为平面平面，平面平面， ，平面，则平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B：当时，等腰直角中，点为棱的中点，有， ，平面，则平面， 平面，有平面平面，由A选项知平面， 所以是直线与平面所成的角； 由，有，，，， ，则，故B错误； 对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面， 即是三棱锥的高，，故C正确； 对于D：当时，因为为的中点，所以，则， 又因为的中点，所以， 又，所以，所以， 如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内， 则当三点共线时，最小，即的最小值为， 在中，， 则， 所以在中，由余弦定理得， 所以的最小值为，故D正确， 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： ‌立体几何中的翻折问题通常涉及将一个平面图形按照特定要求折叠成三维空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，解决这类问题需要掌握以下技巧： 1. 同时画出折前和折后的图形：在解决问题时，同时画出折前和折后的图形有助于理解翻折过程和图形变化，这对于判断线段和角度的关系非常关键. 2. 寻找不变量：在翻折过程中，有些量是不变的，如角度和距离，注意这些不变量可以帮助简化问题. 3. 利用‌空间向量：空间向量是一个有效的工具，适用于解决立体几何中的探索性问题，通过坐标运算，可以简化“是否存在”这类问题的解决过程. 4. 将空间问题转化为平面几何问题：通过截面、展开、射影等手段，可以将空间中分散的条件集中在同一平面上，从而更容易解决问题. 37．(23-24高一下·湖北武汉江岸区·期末)如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点E是上的点，且．设异面直线与所成角为，直线与平面所成角为，二面角的大小为．若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【来源】湖北省武汉市江岸区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据空间角的相关定义分析可得，，，结合题意列式求解即可. 【详解】因为平面，平面， 可得， 又因为为正方形，则， 且，平面，可得平面. 因为∥，可知异面直线与所成角， 在中，可得； 因为平面，可知直线与平面所成角， 在中，可得； 过作，垂足为，连接， 因为，则，， 因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 可知二面角的平面角， 在中，可得； 因为，即，解得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是：过作，利用三垂线法分析可知二面角的平面角. 38．(23-24高一下·湖北五州·期末)（多选）在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（    ） A．若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 B．三棱锥外接球的半径为 C．若与平面，平面，平面所成的角分别为（），则 D．若平面与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则 【答案】ACD 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】对于A，连接交于点，连接，可证得∥平面，进而进行判断，对于B，根据线面垂直的判定定理可证得平面，设为等边三角形的外心，过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，然后求解，对于C，取的中点，连接，可得与平面，平面，平面所成的角分别，然后求它们的余弦值即可，对于D，由题意可得平面平面，平面平面，为二角面的平面角，为二面角的平面角，然后求出它们的正弦值判断. 【详解】对于A，连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值， 因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确， 对于B，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理可证， 由选项A可知∥，所以，， 因为，平面，所以平面， 设为等边三角形的外心，则, 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，设球心为， 连接，过作于， 则，， 设三棱锥外接球的半径为，则，设，则， 因为， 所以，解得，， 所以B错误， 对于C，取的中点，连接，则∥，∥， 所以平面，平面， 因为平面， 所以与平面，平面，平面所成的角分别， 因为， 所以， 所以， 即，所以C正确， 对于D，因为∥，∥，所以∥，所以平面就是平面， 因为平面，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 因为平面，平面，所以， 所以为二角面的平面角，为二面角的平面角， ，， 所以平面与上下两个底面所成二面角的正弦值为， 与前后两个平面所成二面角的正弦值为， 与左右两个平面所成二面角的正弦值为， 所以，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直，面面垂直，考查线面角，面面角，解题的关键是根据正方体的性质结合线面角和面面角的定义找出线面角和面面角，考查空间想象能力和计算能力，属于难题. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题05 立体几何小题综合（十大题型） 题型概览 题型01 基本概念的判断 题型02 判断点线面的位置关系 题型03 求表面积与体积 题型04 斜二测画法中有关量的计算 题型05 空间关系的判断 题型06 球体综合 题型07 直线到平面的距离 题型08 空间角的计算 题型09 范围问题 题型10 立体几何多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 基本概念的判断 1．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面可以是三角形 B．通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．过圆锥顶点的截面中轴截面面积最大 ( 题型02 ) 判断点线面的位置关系 2．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定 3．(23-24高一下·湖北十堰·期末)设是三条不同的直线，是两个不同的平面.下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 4．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)已知，是两个不同的平面，是内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．“直线不相交”是“直线为异面直线”的充分不必要条件 ( 题型03 ) 求表面积与体积 7．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知圆锥体积为，表面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为 . 8．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 9．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量（不计损耗）约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 11．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为，则该拟柱体的表面积为 .    ( 题型04 ) 斜二测画法中有关量的计算 12．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为 . 13．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 ． ( 题型0 5 ) 空间关系的判断 14．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形； ④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形； 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ( 题型0 6 ) 球体综合 15．(23-24高一下·湖北十堰·期末)已知某圆柱的轴截面是正方形，且上､下底面圆周上的所有点都在球的表面上，则该圆柱的体积与球的体积的比值是（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)在正三棱锥中，分别为的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 17．(23-24高一下·湖北武汉江岸区·期末)如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，则M到三棱锥的外接球的球心的距离为 ． 18．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)如图，在平面四边形ABCD中，，，，，现将沿AC折起，并连接BD，使得平面平面ABC，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（    ） A．1 B． C． D． 20．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . ( 题型0 7 ) 直线到平面的距离 21．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 8 ) 空间角的计算 22．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A．2 B． C． D． 23．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 9 ) 范围问题 24．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（    ） A． B． C． D． ( 题型 10 ) 立体几何多选题（多考点综合） 25．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A．底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B．底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体 C．底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D．棱长为6cm的正四面体 26．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知正方体的棱长为2，点E是线段上的动点，点F是线段的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．直线和直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．直线与平面所成的角为，则的最大值为 D．三棱锥B-DEF的体积为定值 27．(23-24高一下·湖北武汉江岸区·期末)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（    ） A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 28．(23-24高一下·湖北十堰·期末)在正方体中，是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A．若是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 B．若为线段上的动点，则的最小值为 C．若为线段上的动点，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围为 D．若为线段上的动点，且与平面交于点，则三棱锥的体积为 29．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知正方体的棱长为分别为的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．线段的长为 B．三棱锥的体积为 C．过三点的平面截正方体所得的截面面积为 D．设为球上任意一点，则的范围为 30．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)在矩形中，，点是的中点，将沿翻折到，连接得到四棱锥，在翻折到的过程中，二面角的大小为，下列说法正确的是（    ） A．当四棱锥体积为最大值时， B．当时，三棱锥的外接球表面积为 C．若是的中点，则存在使与平面不平行 D．当时， 31．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点F的轨迹的线段为 C．三棱锥的体积为 D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为 32．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，.在折起的过程中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．与所成的角先变大后变小 C．几何体体积有最大值 D．平面与平面不可能垂直 33．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)已知圆锥SO的底面半径为10cm，其母线SA长40cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有（    ） A．截面SAB的最大面积为 B．若，则直线SB与平面SOA夹角的正弦值为 C．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 D．若，且，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为18cm 34．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)如图所示，某甜品店将上半部是半球（半球的半径为2），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为4）的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为6的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为 ． 35．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)如图，正三棱锥的侧面和底面所成角为，正三棱锥的侧面和底面所成角为和位于平面的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则 ，的最大值为 . 36．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)（多选）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥.设，点分别为棱的中点，为线段上的动点.下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中存在某个位置，使 B．当时，与平面所成角的正弦值为 C．在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2 D．当时，的最小值为 37．(23-24高一下·湖北武汉江岸区·期末)如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点E是上的点，且．设异面直线与所成角为，直线与平面所成角为，二面角的大小为．若，则（    ） A． B．1 C． D．2 38．(23-24高一下·湖北五州·期末)（多选）在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（    ） A．若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 B．三棱锥外接球的半径为 C．若与平面，平面，平面所成的角分别为（），则 D．若平面与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则 / 学科网（北京）股份有限公司 $$