期末专题04 复数（八大题型）（湖北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题04 复数（八大题型） 题型概览 题型01 求虚部 题型02 复数的分类 题型03 复数的模长 题型04 共轭复数 题型05 复数的几何意义 题型06 复数多选题（多考点综合） 题型07 复数范围内方程的根 题型08 与复数模相关的轨迹（图形）问题 优选提升题 ( 题型01 ) 求虚部 1．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)复数的虚部是（    ）. A． B． C． D． 2．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)已知复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D．2 3．(23-24高一下·湖北·期末)已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 复数的分类 5．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)已知复数表示纯虚数，则 ． ( 题型03 ) 复数的模长 6．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知是虚数单位，，则复数的模为（    ） A． B． C．5 D．3 7．(23-24高一下·湖北十堰·期末)已知复数是纯虚数，且，则 . ( 题型04 ) 共轭复数 8．(23-24高一下·湖北·期末)若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 9．(23-24高一下·湖北十堰·期末)已知复数，则（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D． ( 题型0 5 ) 复数的几何意义 11．(23-24高一下·湖北·期末)已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．(23-24高一下·湖北·期末)复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ( 题型0 6 ) 复数多选题（多考点综合） 15．(23-24高一下·湖北·期末)已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 16．(23-24高一下·湖北·期末)已知i为虚数单位，以下说法正确的是（    ） A．复数在复平面对应的点在第一象限 B．若复数，满足，则 C．为纯虚数，则实数 D．复数z满足，则 17．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)设复数，则下列命题结论正确的是（    ） A．的虚部为1 B． C．在复平面内对应的点在第四象限 D．是方程的根 18．(23-24高一下·湖北·期末)关于复数z，下面是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．(23-24高一下·湖北·期末)下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，，是关于的方程的一个根，则 D．若复数满足，则的最大值为 ( 题型0 7 ) 复数范围内方程的根 20．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知是关于x的方程（）的一个根，则实数 ( 题型0 8 ) 与复数模相关的轨迹（图形）问题 21．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)若，则复平面内满足的点Z的集合的图形面积是 . 22．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)（多选）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 23．(23-24高一下·湖北·期末)已知，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. (1)求； (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 24．(23-24高一下·湖北·期末)现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题04 复数（八大题型） 题型概览 题型01 求虚部 题型02 复数的分类 题型03 复数的模长 题型04 共轭复数 题型05 复数的几何意义 题型06 复数多选题（多考点综合） 题型07 复数范围内方程的根 题型08 与复数模相关的轨迹（图形）问题 优选提升题 ( 题型01 ) 求虚部 1．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)复数的虚部是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】利用复数的四则运算化简复数，从而得到其虚部，由此得解. 【详解】， 所以的虚部是. 故选：A. 2．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)已知复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】先求出，再结合虚部定义可解． 【详解】，则，则，虚部为． 故选：D. 3．(23-24高一下·湖北·期末)已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接计算得到，然后根据虚部的定义即可. 【详解】，所以. 故选：B. 4．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】跟根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】由 得， 所以的虚部为. 故选：B. ( 题型02 ) 复数的分类 5．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)已知复数表示纯虚数，则 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据和复数的分类要求得出参数值； 【详解】因为复数表示纯虚数， 所以解得， 故答案为：. ( 题型03 ) 复数的模长 6．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知是虚数单位，，则复数的模为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】设，由结合复数相等计算出，由模长公式可得答案. 【详解】设，由得，故，即，. 故选：A. 7．(23-24高一下·湖北十堰·期末)已知复数是纯虚数，且，则 . 【答案】3 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】根据模长公式可得，即可求解. 【详解】设，且，则，所以，解得， 故. 故答案为：3 ( 题型04 ) 共轭复数 8．(23-24高一下·湖北·期末)若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A 9．(23-24高一下·湖北十堰·期末)已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】根据复数除法运算，先求得，再根据共轭复数概念求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 10．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据复数的运算及复数、复数的模的概念判断各选项． 【详解】选项A，取，满足，但不成立，A错； 选项B，设，，则，B正确． 选项C，取，满足，但，C错； 选项D，取，则，，D错； 故选：B． ( 题型0 5 ) 复数的几何意义 11．(23-24高一下·湖北·期末)已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据复数除法化简复数，然后求出复数对应的点. 【详解】因为， 所以对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 12．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】根据复数的运算法则和复数的几何意义可得，结合即可下结论. 【详解】, 所以该复数在复平面所对应的点的坐标为， 又，所以， 所以点位于第四象限. 故选：D 13．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由题意，设，且，而，进一步分析即可得点在第四象限. 【详解】复数对应的点在第三象限，设，则， ，由，则复数对应的点在第四象限. 故选：D. 14．(23-24高一下·湖北·期末)复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先化简复数z，再求得其共轭复数，令其虚部为，解得，代入求解即可. 【详解】由题意得， ∴，又复数的共轭复数的虚部为， ∴，解得. ∴，∴复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的基本概念及复数的几何意义，属于基础题. ( 题型0 6 ) 复数多选题（多考点综合） 15．(23-24高一下·湖北·期末)已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，求得，结合共轭复数的概念，以及复数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D不正确. 故选：BC. 16．(23-24高一下·湖北·期末)已知i为虚数单位，以下说法正确的是（    ） A．复数在复平面对应的点在第一象限 B．若复数，满足，则 C．为纯虚数，则实数 D．复数z满足，则 【答案】CD 【分析】根据复数的乘法可得，根据几何意义即可求解A，举反例即可求解B，根据纯虚数的定义即可求解C，根据共轭复数的定义求解D. 【详解】对于A，复数在复平面对应的点为在虚轴上，故A错误， 对于B，若，满足，但不相等，故B错误， 对于C，为纯虚数，可得，可得，故C正确， 对于D，由得，所以，故，D正确， 故选：CD. 17．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)设复数，则下列命题结论正确的是（    ） A．的虚部为1 B． C．在复平面内对应的点在第四象限 D．是方程的根 【答案】BCD 【来源】湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用复数的概念及运算就可以作出判断. 【详解】由，可得：， 所以的虚部为，即A是错误的； 由，可知，即B是正确的； 由可知在复平面内对应的点在第四象限，即C是正确的； 由方程的根为，即D是正确的； 故选：BCD. 18．(23-24高一下·湖北·期末)关于复数z，下面是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据复数的乘法以及复数的模长公式结合复数相等分析求解；对于D：根据复数的相关概念结合共轭复数分析判断. 【详解】设，则， 对于选项A：例如，则，符合题意，但，故A错误； 对于选项B：例如，则，符合题意，但，故B错误； 对于选项C：若，则， 可得，解得， 可知，故C正确； 对于选项D：若，可知， 此时，故D正确； 故选：CD. 19．(23-24高一下·湖北·期末)下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，，是关于的方程的一个根，则 D．若复数满足，则的最大值为 【答案】CD 【分析】由复数的模长公式可判断A选项；由共轭复数的概念及复数的乘法法则可判断B选项； 对于C选项，利用共轭复数根的性质结合韦达定理，即可求得和的取值； 对于D选项，将复数模长公式的几何意义，将的模长转化为圆上的点，的最大值为圆心到点的距离再加上半径，即可判断. 【详解】A选项：若，则，故A错误； B选项：若，则，故B错误； C选项：因为是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，解得， 则，故C正确； D选项：设，因为， 所以，即，其表示圆心为，半径为2的圆. 而，其表示圆上的点到点的距离. 因为圆心到点的距离为， 所以的最大值为，故D正确. 故选：CD. ( 题型0 7 ) 复数范围内方程的根 20．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知是关于x的方程（）的一个根，则实数 【答案】 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理求解. 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以为方程的另一个根， 所以由韦达定理可得，，解得， 故答案为: . ( 题型0 8 ) 与复数模相关的轨迹（图形）问题 21．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)若，则复平面内满足的点Z的集合的图形面积是 . 【答案】 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求解即得. 【详解】复平面内满足的点Z在以点为圆心，为半径的圆及内部， 所以点Z的集合的图形面积是. 故答案为： 22．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)（多选）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABD 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】对于A，用定义求解即可；对于B，用 ，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可； 【详解】对于A，；故A正确； 对于B，若，则，，.故B正确： 对于C，，而，不等．故C错误； 对于D，设，则将，代入可得： 故D正确. 故选：ABD. 23．(23-24高一下·湖北·期末)已知，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. (1)求； (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由复数的几何意义可得A，B，C的坐标，再由模长公式计算可得结果； （2）由平行四边形性质及平面向量线性计算可得,再由向量夹角的坐标表示计算可得出结果. 【详解】（1）易知，，， ，，， ， . （2）设，则，， 由平行四边形可得， 故，又， 所以， 即可得. 24．(23-24高一下·湖北·期末)现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】(1)当时, ,​​​,，由,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得，利用复数相等的条件得到,即可求； (3)由得,利用复数相等的条件得到和,则,则,进一步得,即可证明存在有理数,使得. 【详解】（1）当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. （3）由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由, 所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因为,所以,所以, 即， ​​​​​​​所以存在有理数,使得. 【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$