期末专题03 解三角形（八大题型）（湖北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题03 解三角形（八大题型） 题型概览 题型01 正弦定理解三角形 题型02 平面向量与解三角形结合 题型03 解三角形多选题（多考点综合） 题型04 求角的三角函数值 题型05 内切圆半径问题 题型06 线段的值及最值问题 题型07 边长及周长范围问题 题型08 求三角形面积及面积范围 优选提升题 ( 题型01 ) 正弦定理解三角形 1．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)△ABC中，，，，则角C的大小为（    ） A． B． C． D．或 2．(23-24高一下·湖北十堰·期末)在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 题型02 ) 平面向量与解三角形结合 4．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)设O为△ABC的外心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为 . ( 题型03 ) 解三角形多选题（多考点综合） 6．(23-24高一下·湖北·期末)已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若为钝角三角形，则 D．若，，则面积没有最大值 7．(23-24高一下·湖北武汉江岸区·期末)已知点D是三角形的边上的点，且，，则（    ） A．若点D是的中点，，则 B．若平分，则 C．当三角形的面积取最大值时，的最小值为 D．若，且D是的中点，则一定是直角 8．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则满足条件的三角形有2个 D．若不是直角三角形，则 ( 题型04 ) 求角的三角函数值 9．(23-24高一下·湖北·期末)在①，②，③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并求解． 问题： 如图， 在中， 角所对的边分别为是边上一点， ， ， 若_________， (1)求角A的值； (2)求的值． ( 题型0 5 ) 内切圆半径问题 10．(23-24高一下·湖北·期末)在中，内角的对边分别为，且．若，是边的中点，且，则的内切圆的半径为 ． 11．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求； (2)若，求内切圆半径的最大值. ( 题型0 6 ) 线段的值及最值问题 12．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D．4 13．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)已知函数，若函数在上恰好有两个零点. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围； (3)在中，设内角所对的边分别为，其中，的角平分线交于，求线段的长度. ( 题型0 7 ) 边长及周长范围问题 14．(23-24高一下·湖北·期末)已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．不确定 15．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围． 16．(23-24高一下·湖北·期末)在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 18．(23-24高一下·湖北·期末)在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 19．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为 . 20．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是 ( 题型0 8 ) 求三角形面积及面积范围 21．(23-24高一下·湖北·期末)已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 22．(23-24高一下·湖北·期末)已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小： (2)若，求的面积． 23．(23-24高一下·湖北·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 24．(23-24高一下·湖北十堰·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角所对的边分别为，且，求面积的取值范围. 25．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知的内角A，，所对的边分别为，，，且最大，． (1)求； (2)若边上的高为4，求面积的最小值． 26．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 27．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)在中，内角的对边分别是，，. (1)求角的大小； (2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长. 28．(23-24高一下·湖北·期末)（多选）在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 29．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC（包括顶点）上，，.设，将的面积S表示为的函数，并求S的取值范围. 30．(23-24高一下·湖北十堰·期末)点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. (1)若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； (2)若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题03 解三角形（八大题型） 题型概览 题型01 正弦定理解三角形 题型02 平面向量与解三角形结合 题型03 解三角形多选题（多考点综合） 题型04 求角的三角函数值 题型05 内切圆半径问题 题型06 线段的值及最值问题 题型07 边长及周长范围问题 题型08 求三角形面积及面积范围 优选提升题 ( 题型01 ) 正弦定理解三角形 1．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)△ABC中，，，，则角C的大小为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【来源】湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用正弦定理可得，即可求解，由三角形内角和即可求解. 【详解】由正弦定理可得，故, 由于，故，故， ， 故选：A 2．(23-24高一下·湖北十堰·期末)在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】根据已知条件应用正弦定理求出,再在应用正弦定理求出即可. 【详解】设该船的初始位置为小时后的位置为，过作，垂足为，则为所求的最短距离. 由题意可知海里，则. 在中，由正弦定理可得，则海里. 在中，海里, ， 则海里. 故选：D. 3．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】由正弦定理及两角和与差的正弦公式即可证明充分性，举例子当时，结论不一定成立，否定必要性. 【详解】因为， 由正弦定理得，且， 所以， 化简得 又， 所以， 又，即；充分性得证. 若为直角三角形，则当时，结论不一定成立，必要性不成立. 故选：A. ( 题型02 ) 平面向量与解三角形结合 4．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)设O为△ABC的外心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】设的外接圆半径为，由已知条件可得,，所以，且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解. 【详解】 设的外接圆半径为，因为,， 所以，且， 取的中点，连接，则，因为， 所以，即， 所以, 在中由余弦定理可得：， 在中，由正弦定理得：. 故选：D 5．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为 . 【答案】/ 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据与共线，得到，即，求得角，再根据，利用正弦定理求得2R，然后将转化为边，再结合余弦定理求得即可. 【详解】因为与共线， 所以，即，所以， 因为，所以，则，解得， 因为，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得， 又因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，即，即， 所以，解得， 所以三角形的周长为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是由和求得外接圆半径，将转化为边结合余弦定理而得解 。 ( 题型03 ) 解三角形多选题（多考点综合） 6．(23-24高一下·湖北·期末)已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若为钝角三角形，则 D．若，，则面积没有最大值 【答案】AB 【分析】由已知结合正弦定理可检验；结合正弦定理及三角形大边对大角可检验选项；结合余弦定理可检验选项；结合余弦定理及基本不等式，三角形的面积公式可检验选项． 【详解】，正确； 因为，，，由正弦定理得，， 故，因为，所以，故有两角，正确； 为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角， 则不一定成立，不符合题意； 因为，，由余弦定理得，， 当且仅当时取等号，故， 面积，即最大值为，不正确． 故选：AB． 7．(23-24高一下·湖北武汉江岸区·期末)已知点D是三角形的边上的点，且，，则（    ） A．若点D是的中点，，则 B．若平分，则 C．当三角形的面积取最大值时，的最小值为 D．若，且D是的中点，则一定是直角 【答案】BCD 【来源】湖北省武汉市江岸区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷 【分析】将平方，即可求出，即可判断A；由角平分线定理直接判断B；根据面积公式分析直角时面积最大，后用等面积法即可求解，进而可判断C；设，由正弦定理可得，分类讨论计算可判断D. 【详解】对于A，因为点是的中点， 所以， 因为，所以， 所以， 故，故A错误； 对于B，在中，因为平分，，,直接由角平分线定理知道， 所以，故B正确； 对于C，当三角形的面积取最大值时，， 则为直角，，的最小即为直角三角形斜边上的高， 用等面积法，，代入，解得，故C正确； 对于D，设，， 在中，由正弦定理可得，， 又因为，所以，即， 在中，，所以， 同理在中，有， 因为是的中点，即，即， 得则，或， 当时，即，即，即是等腰三角形， 而，所以， 所以，故D正确. 故选： BCD. 8．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则满足条件的三角形有2个 D．若不是直角三角形，则 【答案】BD 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】对于A，利用正弦定理整理等式，结合正弦函数以及三角形的内角性质，可得答案；对于B，由为锐角三角形，则，即，结合正弦函数的单调性和诱导公式可判断；对于C，利用余弦定理，建立方程，根据一元二次方程的求解，可得答案；对于D，根据正切函数的和角公式，整理等式，结合直角三角形的性质，可得答案； 【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得， 即， 因为，，所以，， 所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，由为锐角三角形，则，即， 所以，故B正确； 对于C，由余弦定理得， 即， 即，解得， 由，所以，则满足条件的三角形有且只有一个，故C错误； 对于D，因为不是直角三角形，且， 所以， 即， 所以，故D正确. 故选：BD ( 题型04 ) 求角的三角函数值 9．(23-24高一下·湖北·期末)在①，②，③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并求解． 问题： 如图， 在中， 角所对的边分别为是边上一点， ， ， 若_________， (1)求角A的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①：用余弦定理可得；选②：由内角和定理化简，再由二倍角公式可得；选③：由正弦定理边化角可得； （2）由已知结合（1）可求，再由正弦定理可得b、c比值，利用余弦定理可表示出a，然后由已知和余弦定理可解. 【详解】（1）选①：由题知； 选②：，因为，， 所以； 选③：由正弦定理边化角可得：，同②可得. 因为，所以 （2）因为，， 所以由解得 所以 所以 记 则，即 因为，所以 所以，得 所以 因为，所以，所以 ( 题型0 5 ) 内切圆半径问题 10．(23-24高一下·湖北·期末)在中，内角的对边分别为，且．若，是边的中点，且，则的内切圆的半径为 ． 【答案】 【分析】利用给定条件结合向量中线定理得到，再设出内切圆的半径，等面积法建立方程求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 又，所以， 由余弦定理得，即． 又D是边的中点，且，所以， 所以，即， 又，所以，，所以． 设的内切圆的半径为r，所以， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，解题关键是利用给定条件结合向量中线定理得到三角形的各个边长，然后利用等面积法求解内切圆半径即可． 11．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求； (2)若，求内切圆半径的最大值. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）根据，可得，再根据余弦定理将用表示，再化简，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）设内切圆的半径为， 则， 所以， 又，所以， 则， 由，得， 当且仅当时取等号， 所以， 即内切圆半径的最大值为. ( 题型0 6 ) 线段的值及最值问题 12．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D．4 【答案】A 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解可得角；根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理，得， 由，得， 所以，即. 因为，所以，又， 所以，因为，所以.    由， 得， 所以，在中，由余弦定理得， 所以， 从而，当且仅当取等号. 则， 当且仅当取等号，则长的最大值为3. 故选：A. 13．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)已知函数，若函数在上恰好有两个零点. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围； (3)在中，设内角所对的边分别为，其中，的角平分线交于，求线段的长度. 【答案】(1) (2) (3)2 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，结合三角函数的性质即可求得函数的单调递增区间； （2）令，则，由题意得在上有两个不同的实根，结合三角函数的性质即可求得实数的取值范围； （3）由得，结合余弦定理及三角形的面积即可求得线段的长度. 【详解】（1） 由得， 由函数在上恰好有两个零点得 . ∴， 由， 得，， 所以函数的单调递增区间为. （2），令，则， 由题意得在上有两个不同的实根， . （3）由得， ， 因为，则由 解得：（负值舍）， 由 得， . ( 题型0 7 ) 边长及周长范围问题 14．(23-24高一下·湖北·期末)已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系和余弦定理即可求出第三边的取值范围. 【详解】由题意，设三角形为， 由三角形的几何性质， ∴， ∵三角形是锐角三角形，， ∴只需要为锐角， ∵，即， ，即， 联立解得：， 故选：C. 15．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理及诱导公式，即可求得，得角即可； （2）由正弦定理，将边全部化为角，利用三角函数来求值域即可． 【详解】（1）根据题意得，， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，则，则， 则，则． （2）由正弦定理得，，所以． 所以， 因为是锐角，则，即，解得． 则，故． 所以，则的取值范围为． 16．(23-24高一下·湖北·期末)在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案. 【详解】由题知， 即 由正弦定理化简得 即 故选：. 【点睛】方法点睛：边角互化的方法 （1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，； （2）角化边：   ①利用正弦定理：，， ②利用余弦定理： 17．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理代入已知条件，整理得，从而得解； （2）利用基本不等式与两边之和大于第三边求得，进而得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，则，即， 又，所以. （2）的周长为， 因为，即， 因为，所以， 所以，则，即， 又，所以，即， 所以的周长的取值范围为. 18．(23-24高一下·湖北·期末)在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故.由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，换元，结合对勾函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，故， 即， 因为,所以， 因为，所以或， 即或，即或. 若，则，则无意义，故. 又，所以，即. 因为，所以,，， 所以，解得，故. 由正弦定理可得 ， 令，则. 设， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即. 故答案为:. 19．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为 . 【答案】 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式得到，再通过正弦定理以及三角函数的转化得到，由三角函数性质可得结果. 【详解】由，则， 所以，即， 即，解得或（舍去），可得， ， 因为是锐角三角形，则有，所以， ，，则，有， 由于, 所以，可得的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由是锐角三角形，确定，由，得，从而可求的取值范围. 20．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是 【答案】 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】先利用正弦定理的边角变换求得，进而由锐角得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换得到，从而得解. 【详解】因为， 由正弦定理可得，则， 在中，可得或，所以或（舍去）， 则， 在锐角中，，解得， 由正弦定理可得 ， 因为，则，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换得到，从而得解. ( 题型0 8 ) 求三角形面积及面积范围 21．(23-24高一下·湖北·期末)已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解； （2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． （2）在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 22．(23-24高一下·湖北·期末)已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小： (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解； （2）由和余弦定理结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， 得， 即，又， 所以，即，又， 所以； （2）由，得， 由余弦定理得，得， 所以， 当时，，所以为直角三角形，， 又，，所以， 所以； 当时，所以. 由余弦定理得， 又，所以，由，解得， 所以，故. 23．(23-24高一下·湖北·期末)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）结合余弦定理，即可求解； （2）（i）结合三角函数的同角公式，以及正弦两角和公式，即可求解； （ii）结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）已知，由余弦定理， 则，又，则. （2）（i），由正弦定理有，得， 故， . （ii）由正弦定理可知，， 故的面积为. 24．(23-24高一下·湖北十堰·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角所对的边分别为，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】（1）图象求出周期，可得，再由图象过点得出即可； （2）由正弦定理边角转换，根据三角函数求出的取值范围，代入面积公式即可得解. 【详解】（1）由对称性知为函数的对称轴， 所以，则，解得. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以，解得. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 因为是锐角三角形，所以，所以，则. 故的面积. 由正弦定理可得，则. 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，则，即. 故的面积. 25．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知的内角A，，所对的边分别为，，，且最大，． (1)求； (2)若边上的高为4，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)16 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）利用两你用和与差的正弦公式对已知等式变形可求得角； （2）由面积建立的关系，利用基本不等式求得的最小值，得面积最小值．也可用角表示出边，然后利用正弦函数性质得面积的最小值． 【详解】（1）因为， 所以． ． ．因为最大，所以， 从而， 即，所以，即或（舍） 从而． （2）法一：设面积为，， 因为，所以，又，所以， 所以， 所以， 当且仅当时取等号，所以，面积的最小值为16． 法二：由边上的高为4，可得，即， 同理， ， 当且仅当即时取等号． 面积的最小值为16． 26．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式和正弦定理再结合同角三角函数基本关系计算可得； （2）由正弦定理和同角三角函数关系得到，再由锐角三角形可得，从而得到，最后由三角形的面积公式求出结果即可. 【详解】（1）因为， 所以， 即. 由正弦定理，得， 易知，所以，所以. 因为，所以. （2）由题设及（1）可知，的面积， . 为锐角三角形， ，解得， ， 又， . 27．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)在中，内角的对边分别是，，. (1)求角的大小； (2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解； （2）由（1），根据余弦定理可得，利用基本不等式和三角形面积公式知当且仅当时满足题意，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】（1）， 所以， 由正弦定理得， 即， 得，又， 所以，即，又， 所以； （2）由余弦定理得 即，而， ，即， .当且仅当取等号 此时，则， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 28．(23-24高一下·湖北·期末)（多选）在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由正弦定理边化角、诱导公式、和差角公式计算可判断A项，结合A项、三角形内角和及锐角三角形计算可判断B项，运用正弦定理将问题转化为三角函数在区间上求值域可判断C项，运用切化弦、差角公式化简式子，由换元法将问题转化为求在上的值域，结合导数求解即可判断D项. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 即， 整理得，即 对于A项，因为A、B、C均为锐角，所以，即，故A项正确； 对于B项，因为，，所以， 因为A、B、C均为锐角，所以，即，解得， 所以的取值范围为，故B项错误． 对于C项，由正弦定理得，， 所以，所以．故C项正确． 对于D项，由A项知，，由B项知，，所以， 所以，， 令，则，所以，， 令，，则，所以在上单调递增， 又，，所以，即范围为，故D项正确. 故选：ACD. 29．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC（包括顶点）上，，.设，将的面积S表示为的函数，并求S的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【来源】湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由题干及余弦定理可得，再根据余弦定理即可求解； （2）由题可得为等边三角形，，在与中，分别由正弦定理求出，，根据三角形面积公式可得，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以. 因为，所以. （2）由及可知为等边三角形. 又因为，，所以. 在中，，由正弦定理可得，即. 在中，，由正弦定理可得，即. 所以. 因为 ， 因为，所以，所以， 所以. 所以，所以， 所以. 所以的取值范围为. 30．(23-24高一下·湖北十堰·期末)点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. (1)若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； (2)若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【详解】（1）如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故， . 因为， 所以， 则. （2）如图2，设， 则. 因为， 所以， 则，解得， 故. （3）如图3， 因为是的等分点， 所以. 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得. 故 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. / 学科网（北京）股份有限公司 $$