期末专题02 平面向量（十大题型）（湖北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题02 平面向量（十大题型） 题型概览 题型01 平行关系 题型02 垂直关系 题型03 投影向量 题型04 平面向量的模长 题型05 平面向量数量积 题型06 平面向量的夹角 题型07 平面向量基本定理 题型08 平面向量与三角形结合 题型09 平面向量多选题（多考点综合） 题型10 平面向量解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 平行关系 1．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知，，若，则（    ）． A． B． C． D． 2．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)（多选）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．在上的投影向量为 C．若与的夹角为锐角，则 D．若要使最小，则 ( 题型02 ) 垂直关系 3．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)已知向量，则与垂直的单位向量的坐标为 . 4．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 投影向量 5．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 ( 题型04 ) 平面向量的模长 7．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． ( 题型0 5 ) 平面向量数量积 8．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则 . 9．(23-24高一下·湖北十堰·期末)如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是 . ( 题型0 6 ) 平面向量的夹角 10．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高一下·湖北武汉江岸区·期末)已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ． ( 题型0 7 ) 平面向量基本定理 12．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 13．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)在中，点M，N满足，，若，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 8 ) 平面向量与三角形结合 14．(23-24高一下·湖北五州·期末)在中，，，则中最小角的余弦值为 ． 15．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)在中，，，，若D为BC边的中点，则 ． 16．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)设O为△ABC的外心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 18．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知为三角形内一点，且满足和，则角为（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为 . ( 题型0 9 ) 平面向量多选题（多考点综合） 20．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知O是坐标原点，平面向量，，，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．； B．． C．若，则A，B，C三点共线 D．若，则面积的最大值是 21．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)平面向量，满足，对任意实数，恒成立，则（    ） A．与的夹角为 B．为定值 C．的最小值为 D．在上的投影向量为 ( 题型 10 ) 平面向量解答题 22．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知向量，. (1)若与垂直，求的值； (2)若与共线，求的值. 23．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知，，，且. (1)求点P的坐标； (2)求实数t的值； (3)求的值. 24．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值. 25．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)如图，单位圆与轴交于A，B两点，为圆上一动点，. (1)若，设点为线段OA上的动点，求的最小值： (2)若，向量，.求的最大值及对应的值. 26．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 27．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足，则 . 28．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 29．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 30．(23-24高一下·湖北十堰·期末)若向量是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点.已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 31．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，． (1)当时，若向量，，求与所成角的余弦值； (2)当时，证明：①；②； (3)当，时，探究与的大小关系，并证明． 32．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”. (1)若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围； (2)一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①当时，求； ②证明：. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题02 平面向量（十大题型） 题型概览 题型01 平行关系 题型02 垂直关系 题型03 投影向量 题型04 平面向量的模长 题型05 平面向量数量积 题型06 平面向量的夹角 题型07 平面向量基本定理 题型08 平面向量与三角形结合 题型09 平面向量多选题（多考点综合） 题型10 平面向量解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 平行关系 1．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知，，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】根据共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 2．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)（多选）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．在上的投影向量为 C．若与的夹角为锐角，则 D．若要使最小，则 【答案】ABD 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】A选项，由向量加法和向量平行的坐标运算求解；B选项，由投影向量的公式计算；C选项，由向量夹角的范围，利用向量共线和向量数量积求参数取值范围；D选项，由向量线性运算的坐标表示和模长公式，结合二次函数的性质求满足条件的t的值. 【详解】对于A：因为，所以. 又，且，所以，解得：，故A正确； 对于B：由，则， 所以在上的投影向量为，故B正确； 对于C：当与共线时，有，此时与方向相同， 当与的夹角为锐角，有，解得， 所以且时，与的夹角为锐角，故C错误； 对于D：由，， 结合二次函数的性质可知，时取最小值，故D正确. 故选：ABD. ( 题型02 ) 垂直关系 3．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)已知向量，则与垂直的单位向量的坐标为 . 【答案】 【来源】湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】设与向量垂直的单位向量为，利用与向量垂直，且为单位向量得到关于的方程组，再解方程组可得答案. 【详解】设与向量垂直的单位向量为， 则，解得，或， 所以，或. 故答案为：. 4．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】求出，利用，结合数量积为零得出结论. 【详解】， 由，得 ，得，即得，则C选项正确. 故选：C ( 题型03 ) 投影向量 5．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据投影向量的定义及向量的坐标运算求解． 【详解】由已知，， 在上的投影向量为， 故选：B． 6．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期末)（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 【答案】CD 【来源】湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据模长公式即可求解A，根据向量的线性的坐标运算即可求解B，根据夹角公式即可求解C，根据投影向量的定义，即可求解D. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B, ,而，故与不共线，故B错误， 对于C，，由于，故与的夹角为，C正确， 对于D，在上的投影向量为，故D正确， 故选：CD ( 题型04 ) 平面向量的模长 7．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得. 【详解】 . 故选：A. ( 题型0 5 ) 平面向量数量积 8．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则 . 【答案】 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由题得，则，又， . 故答案为：. 9．(23-24高一下·湖北十堰·期末)如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】利用向量的加法法则，将表示为，代入中结合数量积的定义化简，从而可求出其范围. 【详解】. 因为，所以. 即的取值范围为. 故答案为： ( 题型0 6 ) 平面向量的夹角 10．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解. 【详解】因为 ， ，， 又与的夹角为， 所以，即， 解得：. 故选：D. 11．(23-24高一下·湖北武汉江岸区·期末)已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【来源】湖北省武汉市江岸区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据数量积大于0可得，当时，，即可求解锐角时的范围. 【详解】与为互相垂直的单位向量， ，，， 与的夹角为锐角， ， ，， ， 当时，则，故， 与的夹角为锐角时，则的取值范围是 故答案为： ( 题型0 7 ) 平面向量基本定理 12．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】根据三角形中位线性质和向量线性运算即可. 【详解】根据三角形中位线知：. 故选：C. 13．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)在中，点M，N满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合平面向量的基本定理求解即得. 【详解】依题意， ，又，且不共线， 所以，. 故选：A ( 题型0 8 ) 平面向量与三角形结合 14．(23-24高一下·湖北五州·期末)在中，，，则中最小角的余弦值为 ． 【答案】/ 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据数量积的定义化简已知式后求解． 【详解】因为，所以， 又，所以，即，因此最小， 且， 故答案为：． 15．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)在中，，，，若D为BC边的中点，则 ． 【答案】/ 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】借助向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由D为BC边的中点，则， 则 . 故答案为： 16．(23-24高一下·湖北武汉外国语学校·期末)设O为△ABC的外心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】设的外接圆半径为，由已知条件可得,，所以，且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解. 【详解】 设的外接圆半径为，因为,， 所以，且， 取的中点，连接，则，因为， 所以，即， 所以, 在中由余弦定理可得：， 在中，由正弦定理得：. 故选：D 17．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 18．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知为三角形内一点，且满足和，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据数量积的运算律得到为的垂心，，，利用、得，，解得， 即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，同理可得，，故为的垂心， 又，所以，即， 所以，同理. 由为的垂心，得，即， 可知，即．同理有， 即，可知， 即，相乘得，所以（负根舍去）， 又，所以. 故选：B 19．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为 . 【答案】/ 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】根据与共线，得到，即，求得角，再根据，利用正弦定理求得2R，然后将转化为边，再结合余弦定理求得即可. 【详解】因为与共线， 所以，即，所以， 因为，所以，则，解得， 因为，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得， 又因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，即，即， 所以，解得， 所以三角形的周长为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是由和求得外接圆半径，将转化为边结合余弦定理而得解 。 ( 题型0 9 ) 平面向量多选题（多考点综合） 20．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知O是坐标原点，平面向量，，，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．； B．． C．若，则A，B，C三点共线 D．若，则面积的最大值是 【答案】BCD 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】求出，利用数量积的运算律计算判断AB；tjet 共线向量定理判断C；求出点的轨迹，进而求出三角形面积最大值. 【详解】由，，得， 对于A，，A错误； 对于B，，而与都是非零向量，则，B正确； 对于C，由，得，则， 于是，即，又有公共点，因此A，B，C三点共线，C正确； 对于D，由，得，当与都不重合时，， 点在以线段为直径的圆上，当与之一重合时，符合题意， 因此点的轨迹是以线段为直径的圆，而，点到距离的最大值为， 因此面积的最大值是，D正确. 故选：BCD 21．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)平面向量，满足，对任意实数，恒成立，则（    ） A．与的夹角为 B．为定值 C．的最小值为 D．在上的投影向量为 【答案】AD 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】由题意可得恒成立，则，得，即可判断A；根据平面向量数量积的运算律计算即可判断B；根据和二次函数的性质即可判断C；根据投影向量的概念计算即可判断D. 【详解】A：对任意的恒成立， 得，即， 整理得，设的夹角为（）， 所以， 即，得，解得，故A正确； B：，不是定值，故B错误； C：由选项A知，， ， 当时，取得最小值，所以的最小值为，故C错误； D：在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD ( 题型 10 ) 平面向量解答题 22．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知向量，. (1)若与垂直，求的值； (2)若与共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）先根据平面向量线性运算的坐标表示得出与的坐标；再根据平面向量垂直的坐标运算即可求解. （2）先根据平面向量共线的坐标表示得出，进而得出的坐标；再根据平面向量模的坐标运算即可解答. 【详解】（1） ，， ； . 又与垂直， ，解得：. （2）由（1）知：；. 与共线， ，解得：. . 23．(23-24高一下·湖北武汉黄陂区·期末)已知，，，且. (1)求点P的坐标； (2)求实数t的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）利用向量线性运算与向量数量积的坐标表示即可得解； （3）利用向量夹角的坐标表示即可得解. 【详解】（1）依题意，设， 因为，， 所以， 则，解得， 所以点的坐标为. （2）因为， 所以， ， 又，所以，解得. （3）因为， 所以， 则，， 所以. 24．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算可得结果； （2）由向量的数量积计算，即可得结果； （3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）； （2）由于，可得，又有， 所以； （3）由于，可得，又有， 所以. 由，可得， . 25．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)如图，单位圆与轴交于A，B两点，为圆上一动点，. (1)若，设点为线段OA上的动点，求的最小值： (2)若，向量，.求的最大值及对应的值. 【答案】(1)； (2)最大值为，或 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】（1）求出的坐标，设，再利用向量的坐标运算及向量模的坐标表示即可求解. （2）求出，利用数量积的坐标表示，结合三角恒等变换及正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）依题意，，设，， 则， 当时，，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. （2）依题意，，而， 于是 ，由，得， 当或，即或时，，， 所以的最大值为，此时或. 26．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 【答案】 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】过作，交于，作，交的延长线于，则，由，可得则点为中点，点在上，结合图象可求的范围. 【详解】如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 27．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足，则 . 【答案】57 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】根据向量加法运算有，，，根据等边三角形的性质有，，代入计算即可得出结果. 【详解】 ， 同理可得， ， 又有，， 所以，原式. 故答案为：57 28．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】先利用余弦定理求出，易得，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解. 【详解】由题意， 在中，由余弦定理得， 所以， 则，故， 如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，，，设， 故，，， 又， 即， 所以，所以， 所以，其中， 当且仅当时，取最大值，且它的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键. 29．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABD 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】对于A，用定义求解即可；对于B，用 ，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可； 【详解】对于A，；故A正确； 对于B，若，则，，.故B正确： 对于C，，而，不等．故C错误； 对于D，设，则将，代入可得： 故D正确. 故选：ABD. 30．(23-24高一下·湖北十堰·期末)若向量是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点.已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】根据已知条件，由向量的线性运算及图形关系得，再由向量在基底下的坐标为得，，最后通过线性运算得即可求解. 【详解】由题意可得. 因为是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 因为向量在基底下的坐标为， 所以，. 因为， 所以在基底下的坐标是. 故选：B. 31．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，． (1)当时，若向量，，求与所成角的余弦值； (2)当时，证明：①；②； (3)当，时，探究与的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【来源】湖北省武汉市部分重点中学联考2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题 【分析】（1）借助数量积公式计算即可得； （2）①结合方差的计算法则化简即可得；②借助所给数量积公式计算化简即可得； （3）借助所给恒等式计算出后，结合三角函数值域即可得. 【详解】（1）； （2）①当时， ； ② ； （3），理由如下： 当，时， ， 同理可得， 则 . 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于运算，尤其需要清楚. 32．(23-24高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”. (1)若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围； (2)一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①当时，求； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式计算不等式即可； （2）①应用列举法计算古典概型即可；②应用古典概型证明即可. 【详解】（1）是的“迷你向量”， ，解得. （2）①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即， 要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点 故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可. 先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上， 其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法： “123”代表前三步向上，剩下三步向右； “246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右； {123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456}， 总共的最短路径条数，； {156，256，356，456},故经过包含的路径条数为4，， 因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型， . ②同理，总共的最短路径条数为 经过包含的路径条数为，试验为古典概型， . 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. / 学科网（北京）股份有限公司 $$