期末专题01 三角函数5.4～5.7（四大题型）（湖北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题01 三角函数5.4-5.7（四大题型） 题型概览 题型01 三角函数的图象与性质 题型02 三角恒等变换 题型03 三角函数线的应用 题型04 三角函数解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 三角函数的图象与性质 1．(23-24高一下·湖北·期末)要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得. 【详解】， 故要得到函数的图象， 只需将的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 2．(23-24高一下·湖北·期末)已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象的顶点坐标求出，由周期求出值，根据五点法作图求出即可． 【详解】根据函数，，在一个周期内的图象， 可得，，． 再根据五点法作图，可得，所以，由于，， 故选：C. 3．(23-24高一下·湖北五州·期末)当时，曲线与直线的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】结合函数图象，函数的单调性得出结论． 【详解】作出函数和的图象，记，， 函数在上递减，在上递增，， ，， 结合图象知在上有两个交点， 故选：A． 4．(23-24高一下·湖北十堰·期末)函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】运用周期性定义和奇偶性定义验证即可． 【详解】因为，所以， 所以，则是偶函数. 因为，， 所以是周期为的偶函数. 故选：A. 5．(23-24高一下·湖北五州·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用两角和与差的余弦公式，正弦的二倍角公式及诱导公式变形可得． 【详解】 ． 故选：A． 6．(23-24高一下·湖北十堰·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．不等式的解集是 D．将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点中心对称 【答案】AC 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】将原函数化为正弦型函数后结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可得. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，故A正确. 因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误. 由，即，得， 则，解得， 即不等式的解集是，，故C正确. 将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. 因为， 所以的图象不关于点中心对称，故D错误. 故选：AC. 7．(23-24高一下·湖北五州·期末)（多选）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）满足函数关系：（，，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中，，，为未知数），则下列有关函数的描述正确的是（    ） 0 0 0 0 A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 C．函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4 D．函数的图象与函数的图象重合 【答案】BC 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据五点法求出的解析式，然后结合正弦函数的性质，诱导公式判断各选项． 【详解】由五点法知，从而，，由正弦函数性质知， ，，，， 所以， 选项A，，A错； 选项B，，其图象可由的图象向右平移个单位得到，B正确； 选项C，函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，C正确； 选项D，，D错． 故选：BC． 8．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知函数，下面关于函数的图象与性质描述正确的是（    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数的最小正周期为 C．方程在上有5个不同的实根 D．恒成立 【答案】C 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据对称性，周期性，最值举例说明ABD错误，解方程判断C正确． 【详解】选项A，，， 即不可能恒成立，A错； 选项B，， 即不可能恒成立，B错； 选项C，， 由得或， ，则由得，由得， 即在上有5个不同的实根，C正确； 选项D，，D 错． 故选：C． ( 题型02 ) 三角恒等变换 9．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】利用诱导公式将钝角化简为锐角，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：B. 10．(23-24高一下·湖北·期末)中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，代入，结合倍角公式，即可求解. 【详解】由，且，可得， 则 . 故选：B. 11．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知，，则 ． 【答案】 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】由两角和的正切公式计算． 【详解】， 故答案为：． 12．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)已知角满足，则 . 【答案】 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由诱导公式得，再由同角三角函数关系可得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， ， ， . 13．(23-24高一下·湖北十堰·期末)我国唐代僧人一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次的太阳天顶距分别为.若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的7倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】由题意可知，则利用正切的二倍角公式求出，再利用两角差的正切公式求出的值，再求出的范围，从而可求出的值. 【详解】由题意可知，则， 故. 因为，且，所以，所以. 因为，且，所以， 所以，则. 因为，所以. 故选：C ( 题型03 ) 三角函数线的应用 14．(23-24高一下·湖北五州·期末)如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D ( 题型04 ) 三角函数解答题 15．(23-24高一下·湖北十堰·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角所对的边分别为，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】（1）图象求出周期，可得，再由图象过点得出即可； （2）由正弦定理边角转换，根据三角函数求出的取值范围，代入面积公式即可得解. 【详解】（1）由对称性知为函数的对称轴， 所以，则，解得. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以，解得. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 因为是锐角三角形，所以，所以，则. 故的面积. 由正弦定理可得，则. 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，则，即. 故的面积. 16．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知函数． (1)求函数的最值与单调递增区间； (2)若方程在上恰有4个不同的实数根，求的值． 【答案】(1)最大值，最小值，单调递增区间为，． (2)或． 【来源】湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）由三角公式化简函数为形式，然后根据正弦函数的性质求解； （2）方程化为或，求得在上有三个根，因此在上有且仅有一个不同于的实数根，从而根据正弦函数性质可得结论． 【详解】（1）由题意， 化简得， 当，时， 即，，取得最大值； 当，时， 即，，取得最小值； 当，时，即，，单调递增． 所以的最大值，最小值， 单调递增区间为，． （2）由题意，或． 因为，当时， 所以， 即，或或， 可得． 所以在上有且仅有一个不同于的实数根． 所以或． 17．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)如图，单位圆与轴交于A，B两点，为圆上一动点，. (1)若，设点为线段OA上的动点，求的最小值： (2)若，向量，.求的最大值及对应的值. 【答案】(1)； (2)最大值为，或 【来源】湖北省部分市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】（1）求出的坐标，设，再利用向量的坐标运算及向量模的坐标表示即可求解. （2）求出，利用数量积的坐标表示，结合三角恒等变换及正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）依题意，，设，， 则， 当时，，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. （2）依题意，，而， 于是 ，由，得， 当或，即或时，，， 所以的最大值为，此时或. 18．(23-24高一下·湖北十堰·期末)如图，在边长为2的正方形中，分别为边上的点（不包含端点）.若的周长为4，则的最大值是 . 【答案】 【来源】湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷 【分析】设，则.因为，所以，用的三角函数表示，求三角函数值域即可． 【详解】 如图， 延长到点，使得，连接． 易证，则，故. 设，则.因为的周长为4， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以，所以. 设，则.因为， 所以， 则， 因为，所以，所以， 所以，则的最大值是. 故答案为：． 19．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)已知函数，若函数在上恰好有两个零点. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围； (3)在中，设内角所对的边分别为，其中，的角平分线交于，求线段的长度. 【答案】(1) (2) (3)2 【来源】湖北省咸宁市 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，结合三角函数的性质即可求得函数的单调递增区间； （2）令，则，由题意得在上有两个不同的实根，结合三角函数的性质即可求得实数的取值范围； （3）由得，结合余弦定理及三角形的面积即可求得线段的长度. 【详解】（1） 由得， 由函数在上恰好有两个零点得 . ∴， 由， 得，， 所以函数的单调递增区间为. （2），令，则， 由题意得在上有两个不同的实根， . （3）由得， ， 因为，则由 解得：（负值舍）， 由 得， . 20．(23-24高一下·湖北·期末)定义非零向量的“相伴函数”为，，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为坐标原点）． (1)设函数，求函数的“相伴向量”的坐标； (2)记的“相伴函数”为，设函数，，若方程有四个不同实数根，求实数k的取值范围； (3)已知点，满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点M运动时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意，将可化为进而根据题意得答案； （2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围 （3）由可求得时，取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围． 【详解】（1）解： ， 所以函数的相伴向量． （2）解：由题知：， 所以． ①当时，； ②当时，． 所以， 可求得在单调递增，单调递减，单调递增， 单调递减且， ∵图像与有且仅有四个不同的交点， 所以实数k的取值范围为 （3）解：的“相伴函数”，其中，，． 当，即，时取得最大值． 所以， 当时，此时，，，所以无意义， 当时，所以， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以时， 所以． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题01 三角函数5.4-5.7（四大题型） 题型概览 题型01 三角函数的图象与性质 题型02 三角恒等变换 题型03 三角函数线的应用 题型04 三角函数解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 三角函数的图象与性质 1．(23-24高一下·湖北·期末)要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．(23-24高一下·湖北·期末)已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一下·湖北五州·期末)当时，曲线与直线的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．(23-24高一下·湖北十堰·期末)函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 5．(23-24高一下·湖北五州·期末)（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一下·湖北十堰·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．不等式的解集是 D．将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点中心对称 7．(23-24高一下·湖北五州·期末)（多选）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）满足函数关系：（，，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中，，，为未知数），则下列有关函数的描述正确的是（    ） 0 0 0 0 A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 C．函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4 D．函数的图象与函数的图象重合 8．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知函数，下面关于函数的图象与性质描述正确的是（    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数的最小正周期为 C．方程在上有5个不同的实根 D．恒成立 ( 题型02 ) 三角恒等变换 9．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)（    ） A． B． C．1 D． 10．(23-24高一下·湖北·期末)中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 11．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知，，则 ． 12．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)已知角满足，则 . 13．(23-24高一下·湖北十堰·期末)我国唐代僧人一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次的太阳天顶距分别为.若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的7倍，则（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 三角函数线的应用 14．(23-24高一下·湖北五州·期末)如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 三角函数解答题 15．(23-24高一下·湖北十堰·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角所对的边分别为，且，求面积的取值范围. 16．(23-24高一下·湖北五州·期末)已知函数． (1)求函数的最值与单调递增区间； (2)若方程在上恰有4个不同的实数根，求的值． 17．(23-24高一下·湖北部分州新高考联考协作体·期末)如图，单位圆与轴交于A，B两点，为圆上一动点，. (1)若，设点为线段OA上的动点，求的最小值： (2)若，向量，.求的最大值及对应的值. 18．(23-24高一下·湖北十堰·期末)如图，在边长为2的正方形中，分别为边上的点（不包含端点）.若的周长为4，则的最大值是 . 19．(23-24高一下·湖北咸宁·期末)已知函数，若函数在上恰好有两个零点. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围； (3)在中，设内角所对的边分别为，其中，的角平分线交于，求线段的长度. 20．(23-24高一下·湖北·期末)定义非零向量的“相伴函数”为，，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为坐标原点）． (1)设函数，求函数的“相伴向量”的坐标； (2)记的“相伴函数”为，设函数，，若方程有四个不同实数根，求实数k的取值范围； (3)已知点，满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点M运动时，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$