高一下学期期末数学试卷（基础篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一下学期期末数学试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【解题思路】根据平面向量平行的结论求参数. 【解答过程】因为，所以 . 故选：A. 2．（5分）已知复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据复数除法运算求解出，然后根据共轭复数的概念可得. 【解答过程】因为， 所以， 故选：B. 3．（5分）某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 【解题思路】按照分层抽样计数规则计算可得. 【解答过程】依题意高一年级应抽取的人数为人. 故选：D. 4．（5分）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 【解答过程】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 5．（5分）某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A． B．车速的众数估计值是70 C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5 【解题思路】利用频率分布直方图求出、众数、平均数、中位数判断即得. 【解答过程】对于A，由，得，A错误； 对于B，车速在内的频率最大，车速的众数估计值是65，B错误； 对于C，车速的平均数为， 车速的中位数，则，解得，C错误； 对于D，车速的中位数估计值是62.5. 故选：D. 6．（5分）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先计算样本空间，再代入古典概型概率公式，即可求解. 【解答过程】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张， 样本空间包含，共个， 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数， 则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为. 故选：C. 7．（5分）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【解答过程】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C. 8．（5分）已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设AD的中点为E，设交于点O，结合面面垂直的性质求出的长，说明O为四棱锥的外接球的球心，确定半径，即可求得答案. 【解答过程】设AD的中点为E，设交于点O，连接， 由于，则, 而平面⊥平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故 ,底面为正方形，则， 又，故， 而，即O为四棱锥的外接球的球心， 则外接球的半径为，故四棱锥的外接球的体积为， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（    ） A．娱乐开支比通信开支多5元 B．日常开支比食品中的肉类开支多100元 C．娱乐开支金额为100元 D．肉类开支占储蓄开支的 【解题思路】先由图2计算出食品的开支，再由图1计算出总开支，从而对选项逐一分析即可得解. 【解答过程】对于C，由图2可知食品的开支为元， 由图1可知食品开支为，所以总开支为元， 则娱乐开支为元，故C正确； 对于A，通信开支为元，娱乐开支比通信开支多元，故A错误； 对于B，日常开支为元，肉类为元， 日常开支比肉类开支多元，故B正确； 对于D，储蓄开支为元，肉类开支占储蓄开支的，故D正确. 故选：BCD. 10．（6分）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【解题思路】利用复数的除法运算化简可得，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】由可得， 对于A，，故A错误， 对于B，的虚部为，故B正确， 对于C, ，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，它在第一象限，故D正确， 故选：BCD. 11．（6分）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 【解题思路】作图分析，结合解直角三角形判断A；利用余弦定理判断B；利用正弦定理判断C；利用诱导公式以及余弦函数的单调性可判断D。 【解答过程】对于A，在中，作于D， 则,即，即，A正确； 对于B，由得， 结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小， 故不能确定为锐角三角形，B错误； 对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确； 对于D，若，由于，则A为锐角； 若B为锐角，则，可得，则， 故为钝角三角形； 若B为钝角，则，可得，则，适合题意， 此时为钝角三角形； 综合以上可知为钝角三角形，D正确， 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知向量的夹角为，且，则 1 . 【解题思路】先利用向量数量积运算法则计算出，从而得到模长. 【解答过程】 ， 故. 故答案为：1. 13．（5分）甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 0.34 . 【解题思路】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【解答过程】设甲，乙两人击中飞碟为事件，依题意，，相互独立， 所以所求事件概率为 . 故答案为：0.34. 14．（5分）长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为 ． 【解题思路】根据给定条件，利用几何法求出直线与平面所成角的正切即可. 【解答过程】长方体中，平面平面， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 取中点，连接，由是的中点，得，而平面， 于是平面，即为直线与平面所成的角， 由，，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正切为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）计算： (1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据复数的加减法运算计算即可； （2）根据复数的乘法运算计算即可； （3）根据复数的除法运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 16．（15分）某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 50% 40% 10% B会场 40% 50% 10% 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本. (1)求的值； (2)若抽到的B会场的高二学生有150人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数. 【解题思路】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，列表表示出去会场的各年级人数，由此可得比例. （2）由B会场的高二学生人数求得样本容量，按比例求得抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数． 【解答过程】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c， 则去A会场的学生总数为，去B会场的学生总数为，     则对应人数如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 B会场 则. （2）依题意，，解得，则抽到的A会场的学生总数为100人， 所以高一年级人数为，高二年级人数为，高三年级人数为. 17．（15分）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【解题思路】（1）由条件结合向量垂直的表示及向量坐标运算公式列方程求，再由向量的模的坐标公式求结论； （2）由条件，结合向量平行的坐标表示列方程求，由此可得，再求，，，再由向量夹角坐标公式求结论. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以，又，， 所以， 所以， 所以， 所以， 即； （2）因为，，， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以，，， 设与夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 18．（17分）举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 【解题思路】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【解答过程】（1）记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； （2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 19．（17分）如图，直三棱柱 中，，为的中点. (1)求证：平面 ； (2)求 到平面 的距离. 【解题思路】（1）连接交于点，连接，利用中位线定理证明，由线面平行的判定定理证明即可； （2）设点到平面的距离为，利用等体积法，结合锥体的体积公式求解即可. 【解答过程】（1）连接交于点，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则点为的中点， 又因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面. （2）设点到平面的距离为， 在直三棱柱中，平面， 则为三棱锥的高， 所以, 又因为， 所以, , 所以，即. 所以， 即， 由解得. 所以点到平面的距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期期末数学试卷（基础篇） 【人教A版（2019）】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第二册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（5分）已知复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 4．（5分）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（    ）    A． B．车速的众数估计值是70 C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5 6．（5分）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．（5分）已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（    ） A．娱乐开支比通信开支多5元 B．日常开支比食品中的肉类开支多100元 C．娱乐开支金额为100元 D．肉类开支占储蓄开支的 10．（6分）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 11．（6分）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知向量的夹角为，且，则 . 13．（5分）甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 14．（5分）长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）计算： (1) (2) (3) 16．（15分）某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 50% 40% 10% B会场 40% 50% 10% 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本. (1)求的值； (2)若抽到的B会场的高二学生有150人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数. 17．（15分）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 18．（17分）举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 19．（17分）如图，直三棱柱 中，，为的中点. (1)求证：平面 ； (2)求 到平面 的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$