10.3.2 随机模拟（教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第 10 章 概率 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 10.3.2 随机模拟 学习目标 1.理解随机模拟试验出现地意义. 2.了解随机模拟的含义. 3.会利用随机模拟的方法估计概率． 目录 CATALOG 01. 随机数的概念 03.题型强化训练 02.蒙特卡洛方法 04.小结及随堂练习 01 随机数的概念 10.3.2 随机模拟 学习新知 用频率估计概率，需要做大量的重复试验．有没有其他方法可以替代试验呢？ 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了． 学习新知 随机数与伪随机数 例如我们要产生1～9 之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数．计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数． 学习新知 例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0, 1}的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上．这样不断产生0，1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验． 又如，一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别．对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1, 2, 3, 4, 5}的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球．这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验． 学习新知 n 10 20 50 100 150 200 250 300 nA 6 7 20 45 66 77 104 116 fn(A) 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39 画岀频率折线图(图10.3-2)，从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4． 学习新知 蒙特卡洛方法是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的，它的奠基人是冯·诺依曼．这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生物、生态学、社会学以及经济行为等领域中都得到了广泛的应用． 我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法． 学习新知 例3： 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月……十二月是等可能的．设事件“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件发生的概率． 解：方法1：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而 且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验． 因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别．有放回地随机从 袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟 试验．如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了．重复以上模 拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率． 学习新知 方法2：利用电子表格软件模拟试验．在Al，Bl，Cl，DI，El，Fl单元格分别输入“＝RANDBETWEEN(1，12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验．选中Al，Bl，Cl，DI，El，Fl单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验．统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值． 表10.3-4是20次模拟试验的结果． 事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70，与事件A的概率(约0.78)相差不大． 学习新知 【变式】 盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球. (1) “取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ (2) “取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ (3) “取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ (4) 设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟 100次，估计“取出的球是白球”的概率. 学习新知 【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 学习新知 【感悟提升】 整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑： ①当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件； ②研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数； ③当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复. 02 蒙特卡洛方法 10.3.2 随机模拟 学习新知 例4： 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率． 【分析】奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2：0或2：1．显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同．每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果． 学习新知 解：设事件A ＝“甲获得冠军”，事件B＝“单局比赛甲胜”，则P(B) ＝ 0.6．用计算器或计算机产生1〜5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．例如：产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314， 学习新知 用随机模拟的方法得到的是20次试验中事件A发生的频率，事件A的概率的精确值为0.648． 学习新知 【变式】 将一枚质地均匀的硬币连掷 次,设事件A= “恰好两次正面朝上”, (1) 直接计算事件A的概率; (2) 利用计算器或计算机模拟试验80次,计算事件A发生的频率. 学习新知 【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 学习新知 【随机数与伪随机数】 1.例如我们要产生0~9之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数。 2.用计算机或计算器产生的随机数，是依照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），这些数有类似随机数的性质，但不是真正意义上的随机数，称为伪随机数. 学习新知 【随机模拟方法】 随机模拟方法是通过将一次试验所有等可能发生的结果数字化，由计算机或计算器产生的随机数，来替代每次试验的结果，其基本思想是用产生整数值随机数的频率估计事件发生的概率，这是一种简单、实用的科研方法，在实践中有着广泛的应用. 03 题型强化训练 10.3.2 随机模拟 能力提升 题型一　随机数产生的方法 【练习1】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，各个球的大小与质地相同．从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球颜色不同的概率； (2)设计一个随机试验，计算(1)中取出的2个球是不同颜色的经验概率． 能力提升 能力提升 题型一　随机数产生的方法 【感悟提升】　随机数产生的方法比较 方法 抽签法 用计算器或计算机产生 优点 保证机会均等 操作简单、省时、省力 缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能 能力提升 题型二　利用随机模拟法估计概率 【练习2】农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是40cm的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为（ ） 能力提升 【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题. 能力提升 题型二　利用随机模拟法估计概率 【感悟提升】 随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑： (1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点； (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数； (3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复． 04 小结及随堂练习 10.3.1 频率的稳定性 课堂总结1 1 .随机试验中，事件A发生的次数叫频数，频数除以试验的次数叫做事件A发生的频率。 2 .频率是通过试验计算出来的结果，是不稳定的，通过很多次试验总结出来的频率可以估计概率。 3 .很多事件发生的概率是不知道的，我们在使用其概率时都使用频率代替。 4.有些试验的结果可以用随机数模拟产生，随机数模拟省时省力，是预测和决策的重要方法。 课堂总结2 作业 10.3.2 随机模拟 1.第257页练习 第 2,3题 2.第257页习题10.3 第 2,3题 练习（第257页） 1．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，设事件A＝“恰好两次正面朝上”， (1) 直接计算事件A的概率； (2) 利用计算器或计算机模拟试验80次，计算事件A发生的频率． 2．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球． (1)“取出的球是黄球是”什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ (4)设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率． (1)“取出的球是黄球”是不可能事件，概率为0； (3)“取出的球是白球或黑球”是必然事件，概率为1； 2．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球． (1)“取出的球是黄球是”什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ (4)设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率． 3．(1)掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率； (2)利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率； (3)所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？ (3)重复试验次数为120，不够多，频率与概率可能有比较大的异． 由于频率的不确定性，频率和概率会有一定的差异． 习题10.3（第257页） 1．在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内．被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率： (1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞． 用频率估计概率，得 (1) 圆形细胞的豚鼠感染的概率约为0； (2) 椭圆形细胞的豚鼠感染的概率约为0.2； (3) 不规则形状细胞的豚鼠感染的概率约为1． 2．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复抛掷这个四面体100次，记录：每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率． 解：标记3的面落在桌面上的概率的近似值为0.21． 四面体的面 1 2 3 4 频数 22 18 21 39 3．在英语中不同字母岀现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定．有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示： 元音字母 A E I O U 频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80% (1) 从一本英文(小说类)书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率； (2) 将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么． (1) 略．（提示：可以使用计算机软件进行统计） (1) 从一本英文(小说类)书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率； (2) 将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么． (2) 如果统计的字母个数较少，与表格中的频率差距较大；如果统计的字母个数足够多，与表格中的频率比较接近．差异是由频率的不确定性引起的． 4．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因． 一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表： 父母血型的基因类型组合 子女血型的概率 O A B AB ai×bi ai×bb aa×bi aa×bb 0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0. 5 0. 5 0 0. 5 0 0. 5 0 0 0 1 说法不确切．反例：抛掷一枚硬币，正面超上的概率为0.5．抛掷两次硬币，正面朝上的频率可能为0.5，抛掷99次硬币，正面朝上的频率不可能为0.5． 放回摸球 不放回摸球 f10(A1) f10(A2) f10(A3) (2) 略．（提示：可以用电子表格软件模拟有放回摸球试验，而用 电子表格软件模拟不放回摸球试验较难．） 复习参考题10（第263页） 1．在一个盒子中有3个球，蓝球、红球、绿球各1个，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放 回，然后再随机取出1个球． (1) 用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2) 用集合表示“第一次取出的是红球”的事件； (3) 用集合表示“两次取出的球颜色相同”的事件． 复习参考题10（第263页） 1．在一个盒子中有3个球，蓝球、红球、绿球各1个，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放 回，然后再随机取出1个球． (1) 用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2) 用集合表示“第一次取出的是红球”的事件； (3) 用集合表示“两次取出的球颜色相同”的事件． 4 A B 4 A B 3．某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下： 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 276 144 80 如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率: (1) 这个人的体重减轻了；(2) 这个人的体重不变； (3) 这个人的体重增加了． 4．某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下： 从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率： (1)具有本科学历；(2)35岁及以上；(3)35岁以下且具有研究生学历． 本科 研究生 合计 35岁以下 50 35 85 35～50岁 20 13 33 50岁以上 10 2 12 5．一个袋子中有4个红球，6个绿球，釆用不放回方式从中依次随机地取岀2个球． (1) 求第二次取到红球的概率； (2) 求两次取到的球颜色相同的概率； 5．一个袋子中有4个红球，6个绿球，釆用不放回方式从中依次随机地取岀2个球． (1) 求第二次取到红球的概率； (2) 求两次取到的球颜色相同的概率； 6．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的． (1)求这两个人在不同层离开电梯的概率； (2)求这两个人在同一层离开电梯的概率． 第一个人离开电梯有 6 种等可能的结果，第二个人离开电梯也有6种等可能的结果, 所以共有36种等可能的结果. 8．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么 (1) 在右侧的树状图中填写样本点，并写出样本空间； Y NY NNY NNN (2) 求李明第二次答题通过面试的概率； (3) 求李明最终通过面试的概率． 9．有两个盒子，其中1号盒子中有95个红球，5个白球；2号盒子中有95个白球，5个红球．现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一个球．如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？ 做出你的推断，并说说你的想法．你认为能否做出完全正确的判断？ 推断选到的是1号盒子． 推断过程为：如果选择的是1号盒子，摸到红球的概率为0.95 ；如果取到的是2号盒子，摸到红球的概率为0.05 ．利用概率进行推断，一般我们认为先发生的事件概率大．现在已知摸到的是红球，所以认为它发生的概率最大，由此判断选择的是1号盒子． 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 “取出的球是白球”的概率为: . 【详解】(1)从中任意取出一个球,“取出的球是黄球”是不可能事件,它的概率为 . (2)“取出的球是白球”是随机事件事件,它的概率是 . (3)“取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是1. (4)用计算机产生1-9的随机数,规定1-4代表白球, 5-9代表黑球.从表中可以查1-4数据有46个, 5-9数据有54个. 【详解】(1)随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次,出现的情况如下,(正,正,正,正),(正,正,正,反),(正,正,反,正),(正,反,正,正),(反,正,正,正),(反,反,正,正),(反,正,反,正),(反,正,正,反), (正,反,反,正),(正,反,正,反),(正,正,反,反),(正,反,反,反),(反,正,反,反),(反,反,正,反),(反,反,反,正),(反,反,反,反).共有 种等可能的结果其中恰好两次正面朝上情况共有: 种则事件A的概率为: . (2)利用计算机生成随机数表,如下: 数表中共有80组数据,每组数据有4个随机数, 规定:数据是奇数代表硬币的反面,数据的偶数 代表硬币的正面由数表可得恰好两次正面朝 上的组数有:26 事件A发生的频率: . 【详解】（1）设A= “取出的两球是相同颜色”，B= “取出的两球是不同颜色”.则事件A的概率为： 由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率为 . （2）随机模拟的步骤： 第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生 和 两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数． 用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球 第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n 第3步：计算 的值,则 就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值. A． B． C． D． 【详解】设“福”字的面积为 ， 根据几何概型可知 ，解得 .故选：B. $$