10.2 事件的相互独立性（教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第 10 章 概率 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 10.2　事件的相互独立性 学习目标 1.理解相互独立事件的概念及意义 2.能记住相互独立事件概率的乘法公式； 3.能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题 4.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念. 5.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 目录 CATALOG 01.相互独立事件的定义 03.题型强化训练 02.相互独立事件的性质 04.小结及随堂练习 01 相互独立事件的定义 10.2　事件的相互独立性 复习旧知 事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示： 事件的关系或运算 含义 符合表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Ø 互为对立 A与B有且只有一个发生 A∩B=Ø，A∪B=Ω 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． 事件的关系和运算 复习旧知 性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质6 设A，B是一个试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 性质4 事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)． 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P(Ω)=1，P(Ø)=0； 性质5 如果A⊆B，那么P(A) ≤ P(B)； 对于任意事件A，0≤ P(A)≤1； 概率的基本性质 学习新知 前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？ 我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生．因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢？ 下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题． 学习新知 【探究】 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”； 分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现? 因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率． 学习新知 【探究】 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”； 分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现? 用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为 Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点， A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}，所以AB={(1,0)}． 由古典概型概率计算公式，P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4， 于是 P(AB)=P(A)P(B)． 积事件AB的概率P(AB)等于P(A)，P(B)的乘积. 学习新知 【探究】 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ 试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”； 分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受 影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率． 学习新知 【探究】 试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”； 分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 学习新知 相互独立事件的定义： 设A，B两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立． 对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 若事件A与B相互独立，P(AB)=P(A)P(B)． 根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否 发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生 的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生． P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(AØ)=P(Ø)=P(A)P(Ø)成立． 因此，必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立． 02 相互独立事件的性质 10.2　事件的相互独立性 学习新知 【探究】 若事件A与B相互独立， 那么它们的对立事件是否也相互独立？分别验证 是否独立？ 学习新知 学习新知 例1： 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ 学习新知 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,独立事件概率的性质及应用, 属于基础题. 学习新知 【感悟提升】 相互独立事件的判断方法 1.定义法：P(AB)=P(A)P(B) 2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。 注：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念: 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生; 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。 学习新知 例2： 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1) 两人都中靶； (2) 恰好有一人中靶； (3) 两人都脱靶； (4)至少有一人中靶． 学习新知 例2： 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1) 两人都中靶； (2) 恰好有一人中靶； (3) 两人都脱靶； (4)至少有一人中靶． 学习新知 例2： 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1) 两人都中靶； (2) 恰好有一人中靶； (3) 两人都脱靶； (4)至少有一人中靶． 学习新知 （2）恰有两台ATM机被占用，考虑是那两台ATM机被占用，代入相互 独立事件的概率公式可求． 学习新知 学习新知 【感悟提升】 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 学习新知 例3： 【分析】两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2 个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生． 学习新知 学习新知 学习新知 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,互斥事件中的求和应用,属于 基础题. 学习新知 求较为复杂事件的概率的方法 (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； (2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 03 题型强化训练 10.2　事件的相互独立性 能力提升 题型一　事件独立性的判断 【练习1】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ） A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】列举全部可能出现的结果，即可根据对立事件以及互斥事件以 及相互独立事件的定义求解. 能力提升 抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况， 事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误， 由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误； 因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确. 故选：C. 【详解】 能力提升 题型一　事件独立性的判断 【感悟提升】　 1.两种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．　 2.两个事件是否相互独立的判断 能力提升 题型二　相互独立事件概率的计算 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算 即可得解. 能力提升 【详解】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准 确率分别为0.8和0.7，所以在一次预报中两站恰有一次准确预报 的概率为：P=0.8×（1-0.7）+（1-0.8）×0.7=0.38. 故选：D． 题型二　相互独立事件概率的计算 能力提升 求相互独立事件同时发生概率的步骤 (1)①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生． 题型二　相互独立事件概率的计算 【感悟提升】 能力提升 题型三　相互独立事件概率的综合应用 【练习3】在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子被断开分别为事件A,B,C,D,E.盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ） 能力提升 能力提升 题型三　相互独立事件概率的综合应用 【感悟提升】 求较为复杂事件的概率的方法 (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示． (2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式． (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 04 小结及随堂练习 10.2　事件的相互独立性 课堂总结1 1．知识清单： (1)相互独立事件的判断． (2)相互独立事件概率的计算． 2．方法归纳：用列举法、定义法求相互独立事件的概率． 3．常见误区：对事件是否相互独立判断错误． 课堂总结2 互斥事件 相互独立事件 定义 概率公式 (1)列表比较 不可能同时发生的两个事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 P(A+B)=P(A)+P(B) (2)解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. 课堂总结3 相互独立事件的定义： 设A，B两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立． 对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)； 必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立； 若事件A与B相互独立，则 相互独立． 课堂总结4 作业 10.2　事件的相互独立性 教材第249页练习第2,3题； 教材第250页习题10.2第1，2,3题； 练习（第249页） 3．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： (1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率； (3)至少一个地方降雨的概率． 习题10. 2（第250页） C 0.56 0.94 1 2 5 6 求事件的概率时，需建立另外的样本空间，将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果． 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【变式】一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A= “第一次摸出球的标号小于3”，事件B= “第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ 【详解】因为样本空间 EMBED Equation.DSMT4 所以 , 此时 因此,事件A与事件B不独立. （1）若某客户只能使用四台ATM中的A或B，则该客户需要等 待的概率为 ； （2）某客户使用ATM取款时，恰好有两台ATM被占用的概率 【变式】某自助银行有 四台ATM，在某一时刻这四 【解析】（1）如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待即为事A,B同时发生，且A,B相互独立，代入概率公式 可求. 为 . ATM被占用的概率分别为 . . 故答案为：  (1).     (2). 【详解】（1）该客户需要等待意味着A与B同时被占用，故所求概率为 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率公式 的应用，但应用公式时一定要注意A,B相互独立的条件． . （2）依题意，该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率为 【变式】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 【详解】设 分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件, 分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得 EMBED Equation.DSMT4 设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则 ,且 与 互斥, 与 , 与 分别相互独立,所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是 . 【练习2】甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为 和 ，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（    ） A． B． C． D． 【练习2】甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为 和 ，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（    ） A． B． C． D． C． A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 B． D，E两个盒子并联后畅通的概率为 【详解】对于A：A，B两个盒子串联后畅通的概率为 ，故A错误． 对于B：D，E两个盒子并联后畅通的概率为 ，故B错误． 对于C，A，B两个盒子串联后不畅通的概率为 ， 所以A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 ，故C错误； 对于D：当开关合上时，整个电路畅通的概率为 ，故D正确． 故选：D． 判断两个事件是否相互独立的方法： (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件． $$