10.1.4 概率的基本性质（教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第 10 章 概率 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 10.1.4 概率的基本性质 学习目标 1.理解概率的基本性质； 2.结合概率的定义，了解概率的基本性质． 3.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题． 4.能结合概率的性质进行概率运算． 目录 CATALOG 01.概率的基本性质 03.题型强化训练 02.互斥事件与对立事件概率的应用 04.小结及随堂练习 01 概率的基本性质 10.1.4 概率的基本性质 复习旧知 有限样本空间与随机事件 随机试验：对随机现象的实现和对它的观察． 样本点：随机试验E的每个可能的基本结果． 样本空间：全体样本点的集合． 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示． 随机事件(事件)：样本空间Ω的子集． 基本事件：只包含一个样本点的事件． 事件A发生在每次试验中，A中某个样本点出现． 复习旧知 事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示： 事件的关系或运算 含义 符合表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Ø 互为对立 A与B有且只有一个发生 A∩B=Ø，A∪B=Ω 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． 事件的关系和运算 复习旧知 古典概型特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 古典概型的概率计算公式： 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率. 古典概型 学习新知 在数学学习研究过程中，一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质． 例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质．这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用． 类似的，在给出了概率的定义后，我们能否从定义出发，研究出概率的基本性质呢？ 学习新知 【思考】 你认为可以从哪些角度研究概率的性质？ 下面我们从定义出发，研究概率的性质，例如概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系，等等． 由概率的定义可知： ①任何事件的概率都是非负的；②每次试验中，必然事件一定发生， 不可能事件一定不会发生 ． 一般地，概率有如下性质： 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P(Ω)=1，P(Ø)=0． 学习新知 【探究】 设事件A与事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？ 在“事件的关系和运算”中我们研究过事件之间的某些关系．具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢? 我们先来看10.1.2节例 6．在例6中，事件R="两次都摸到红球"与事件G ="两次都摸到绿球"互斥，R∪G="两次摸到的球颜色相同" ． 学习新知 例6： 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”． 【解析】试验的样本空间 Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)， (2，4)， (3，1)，(3，2)， (3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3) }． R ={(1，2)，(2，1)}; G={(3，4)，(4，3)}； 因为n(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=2+2=4， 学习新知 一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点， 所以 n(A∪B)=n(A)+n(B)，这就等价于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)， 即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和． 所以我们有互斥事件概率加法公式： 性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 互斥事件的概率加法公式还可以推广到多个事件的情况，如果事件A1， A2，∙∙∙ ∙∙∙，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪∙∙∙ ∙∙∙∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即 P(A1∪A2∪∙∙∙ ∙∙∙∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋∙∙∙ ∙∙∙＋P(Am)． 学习新知 【探究】 设事件A与事件B对立，他们的概率有什么关系？ 因为事件A与事件B互为对立事件， 所以事件A与事件B互斥(A∩B= Ø)，事件A∪B为必然事件(A∪B=Ω)， 所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(A∪B)＝1， 所以有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1． 性质4 事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)． 学习新知 在古典概型中，对于事件A与事件B，若果A⊆B，那么n(A)≤n(B)， 一般地，对于事件A与事件B，如果A⊆B，即只要事件A发生，则事件 B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率．于是我们有概率的单调性． 性质5 如果A⊆B，那么P(A) ≤ P(B)． 由性质5可知对于任意事件A，因为Ø⊆A⊆Ω，所以P(Ø) ≤ P(A)≤ P(Ω)， 即0≤ P(A)≤1． 学习新知 【思考】 在10.1.2 节例6的摸球试验中，“两个球中有红球”=R1∪R2，那么P(R1∪R2)和 P(R1)十P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2)． 例6： 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”． 【解析】 Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)， (3，1)， (3，2)， (3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3) }． R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4) }； R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2) }； 学习新知 性质6 设A，B是一个试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 显然，性质3 是性质6 的特殊情况．当A，B互斥时，P(A∩B)＝P(Ø)＝0， 所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－0＝P(A)＋P(B)． 学习新知 性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质6 设A，B是一个试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 性质4 事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)． 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P(Ω)=1，P(Ø)=0； 性质5 如果A⊆B，那么P(A) ≤ P(B)； 对于任意事件A，0≤ P(A)≤1； 02 互斥事件与对立 事件概率的应用 10.1.4 概率的基本性质 学习新知 例11： 学习新知 例11： 学习新知 【变式】从一副去掉大小王牌的52张扑克牌中任取5张牌，求： (1)至少有一张黑桃的概率； (2)至少有一个对子（两张牌的数字一样）的概率. 学习新知 【变式】从一副去掉大小王牌的52张扑克牌中任取5张牌，求： (1)至少有一张黑桃的概率； (2)至少有一个对子（两张牌的数字一样）的概率. 学习新知 【反思感悟】 求复杂事件的概率通常有两种方法： 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件； 二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率， 这也就是我们常说的“正难则反”． 学习新知 例12： 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少? 【分析】“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况．如果设A=“中奖”，A1=“第一罐中奖”，A2=“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题． 学习新知 我们借助树状图（图10.1-11)来求相应事件的样本点数． 学习新知 学习新知 学习新知 【变式】袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求取球2次即终止的概率；（2）求甲取到白球的概率. 学习新知 【点睛】此题考查互斥事件的加法法则，关键在于准确将一个事件分拆成多个互斥的事件分别计算概率. 学习新知 【感悟提升】 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 1.确定各事件彼此互斥． 2.求各事件分别发生的概率，再求其和． 3.是公式使用的前提条件，不符合这点，不能运用互斥事件的概率加法公式． 4.对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用． 03 题型强化训练 10.1.4 概率的基本性质 能力提升 题型一　利用互斥事件求概率 【练习1】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.34，那么摸出黑球的概率是 A．0.42 B．0.28 C．0.36 D．0.62 能力提升 【点睛】本题考查概率加法公式公式，属于基础题. 能力提升 题型一　利用互斥事件求概率 【感悟提升】 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 1.确定各事件彼此互斥． 2.求各事件分别发生的概率，再求其和． 3.是公式使用的前提条件，不符合这点，不能运用互斥事件的概率加法公式． 4.对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用． 能力提升 题型二　利用对立事件求概率 能力提升 能力提升 题型二　利用对立事件求概率 【感悟提升】 利用对立事件的概率公式解题的思路 (1)当对立事件A，B中一个事件的概率易求，另一个事件的概率不易求时，直接计算符合条件的概率较烦琐，可以先间接地求出其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1求得符合条件的事件的概率． (2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么．该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解． 能力提升 题型三　概率基本性质的综合应用 【练习3】某学校一位教师要去某地参加全国数学优质课比赛，已知他 乘火车、轮船、汽车、飞机直接去的概率分别为0.3、0.1、0.2、0.4. （1）求他乘火车或乘飞机去的概率； （2）他不乘轮船去的概率； 【试题分析】设“乘火车去开会”为事件A，“乘轮船去开会”为事件B，“乘汽车去开会”为事件C，“乘飞机去开会”为事件D，并且根据题意可得：这四个事件是互斥事件. （1）根据概率的基本性质公式可得：P（A+D）=P（A）+P（D）． （2）根据对立事件的概率公式可得他不乘轮船去的概率P=1-P（B）． 记A=“他乘火车去”，B=“他乘轮船去”，C=“他乘汽车去”，D=“他乘飞机去”，由题意可知：P(A)=0.3，P(B)=0.1，P(C)=0.2,P(D)=0.4,且事件A、B、C、D两两互斥. （1）“他乘火车或乘飞机去”即为事件A∪D.P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7,即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7;（2）“他不乘轮船去”的事件为 ，所以P( )=1-P(B)=1-0.1=0.9,即他不乘轮船去的概率为0.9. 能力提升 【考点】互斥事件的概率加法公式；概率的基本性质． 能力提升 题型三　概率基本性质的综合应用 【感悟提升】 复杂事件概率的求法 求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法： 一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和； 二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率．这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化． 能力提升 题型二 能力提升 【反思感悟】利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要 明确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去． 能力提升 题型三　数据拟合问题 【感悟提升】 处理数据拟合和预测问题的步骤 (1)根据原始数据，绘出散点图． (2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 04 小结及随堂练习 10.1.4 概率的基本性质 课堂总结1 1．知识清单： (1)概率的基本性质． (2)互斥事件概率公式的应用． (3)对立事件概率公式的应用． (4)概率性质的综合应用． 2．方法归纳：转化法、正难则反． 3．常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，易重复和遗漏． 课堂总结2 性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质6 设A，B是一个试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 性质4 事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)． 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P(Ω)=1，P(Ø)=0； 性质5 如果A⊆B，那么P(A) ≤ P(B)； 对于任意事件A，0≤ P(A)≤1； 课堂总结2 作业 10.1.4 概率的基本性质 完成课本244至245页习题10.1 练习（第242页） 0.5 0.3 0.8 0 (1)因为“明天下雨”和“明天不下雨”是互为对立事件，概率之和应为1． (2) 两个事件互斥，未必互为对立事件，概率之和可能小于1． 3．在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别(M（男）、F（女）)及年级G1 （ （高一）、 G2 （高二）、 G3 （高三） ）分类统计的人数如下表： G1 G2 G3 M 18 20 14 F 17 24 7 若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率： 0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 G1 G2 G3 M 18 20 14 F 17 24 7 习题10.1（第243页） 1．如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面 上的数字． （1）用表格表示试验的所有可能结果； （2）列举下列事件包含的样本点： A=“两个数字相同”，B=“两个数字之和等于5”，C=“蓝色骰子的数字为2”． 黄 蓝 1 2 3 4 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) 习题10.1（第243页） 1．如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面 上的数字． （1）用表格表示试验的所有可能结果； （2）列举下列事件包含的样本点： A=“两个数字相同”，B=“两个数字之和等于5”，C=“蓝色骰子的数字为2”． （2）样本A包含的样本点为： (1, 1)，(2, 2)，(3, 3)，(4, 4)； 样本B包含的样本点为： (1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)； 样本C包含的样本点为： (2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(2, 4)． 2．在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进人了最后的比赛．在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名．比赛的一种最终可能结果记为acbd(表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d)． （1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间； （1）将两轮比赛的对阵情况及胜负结果表示如下： 第一轮比赛的对阵 及胜负情况 第二轮比赛的对阵情况 可能结果 a胜b c胜d a对c，b对d acbd，acdb，cabd，cadb d胜c a对d，b对c adbc，adcb，dabc，dacb b胜a c胜d b对c，a对d bcad，bcda，cbad，cbda d胜c b对d，a对c bdac，bdca，dbac，dbca （2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果； （3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果． 第一轮比赛的对阵 及胜负情况 第二轮比赛的对阵情况 可能结果 a胜b c胜d a对c，b对d acbd，acdb，cabd，cadb d胜c a对d，b对c adbc，adcb，dabc，dacb b胜a c胜d b对c，a对d bcad，bcda，cbad，cbda d胜c b对d，a对c bdac，bdca，dbac，dbca 3．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”． (1)写出样本空间，并列举A和B包含的样本点； (2)下列结论中正确的是（ ） (A)A与B互为对立事件 (B)A与B互斥 (C)A与B相等 (D)P(A)=P(B) D 4．判断下列说法是否正确．若错误，请举出反例． (1)互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； (2)互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件； (3)事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生 的概率大； (4)事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小． （1）两个判断都是错误的．掷一个骰子，A表示掷出的点数为2，B表示掷出的点数为3，则A和B互斥，但不是对立事件．互为对立的事件一定互斥． （2）正确． 4．判断下列说法是否正确．若错误，请举出反例． (1)互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； (2)互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件； (3)事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生 的概率大； (4)事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小． 6．下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球． 分别计算三个游戏中甲获胜的概率．你认为哪个游戏是公平的? 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 7．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率： (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． (1)不放回选取标签时，两张标签上的数字不可能相等，所求概率为0； 8．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率． 9．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品．若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少? (1) A= “恰有1支一等品”； (2)B= “两支都是一等品”； (3) C= “没有三等品”． 9．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品．若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少? (1) A= “恰有1支一等品”； (2)B= “两支都是一等品”； (3) C= “没有三等品”． 11．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大?如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大? 1 2 3 4 1 2 3 4 1 × 12 13 14 1 11 12 13 14 2 21 × 23 24 2 21 22 23 24 3 31 32 × 34 3 31 32 33 34 4 41 42 43 × 4 41 42 43 44 11．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大?如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大? 12．假设有5个条件类似的女孩(把她们分别记为A，B，C，D，E)应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用．如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)女孩A得到一个职位； (2)女孩A和B各得到一个职位； (3)女孩A或B得到一个职位． 12．假设有5个条件类似的女孩(把她们分别记为A，B，C，D，E)应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用．如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)女孩A得到一个职位； (2)女孩A和B各得到一个职位； (3)女孩A或B得到一个职位． 13．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，求下列事件的概率： (1)命中10环； (2)命中的环数大于8环； (3)命中的环数小于9环； (4)命中的环数不超过5环． 14．将—枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率： (1)没有出现6点； (2)至少出现一次6点； (3)三个点数之和为9． 14．将—枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率： (1)没有出现6点； (2)至少出现一次6点； (3)三个点数之和为9． 第一次掷出的点数 1 2 3 4 5 6 第二、三次掷出的点数之和 8 7 6 5 4 3 三个点数和为9的结果数 5 6 5 4 3 2 15．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，B其中A表示订阅数学学习资料的学生，表示订阅语文学习资料A的学生，C表示订阅英语学习资料的学生． （1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件； （2）用A，B，C表示下列事件： ①至少订阅一种学习资料； ②恰好订阅一种学习资料； ③没有订阅任何学习资料． 区域1表示事件 “这名学生同时订阅了 数学、语文、英语三种学习资料”； 区域4表示事件“这名学生订阅了数学、语文两种学习资料，但没有订阅英语学习资料”； 区域5表示事件“这名学生仅订阅 了语文学习资料”； 区域8表示事件“这名学生没有 订阅数学、语文、英语学习资料”． B A C 5 1 2 3 4 6 7 8 16．从1~20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率； (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除． 事件A包含的样本点为2，4，6，8，10，12，14，16，18，20； 事件B包含的样本点为3，6，9，12，15，18． 16．从1~20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率； (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除． 17．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%． 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【详解】（1）根据题意可知52张扑克牌中有13张黑桃，39张其他花色； 所以任取的5张牌中没有一张黑桃的概率为 ；因此至少有一张 黑桃的概率为 ； （2）根据题意52张扑克牌中有 共13个数字，任取5张牌共有 种，从13个数字中任取5个可使数字都不一样，即5个数字都不 相同的种类共有 ； 所以至少有一个对子的概率为 【详解】（1）设事件A为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取 （2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球” 为事件 ，因为甲先取，所以甲只可能 在第1次，第3次和第5次取到白球.借助树状图 求出相应事件的样本点数：所以 EMBED Equation.DSMT4 . 到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：因此， . 【答案】B 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【解析】根据题意，摸出球为红球、白球、黑球事件为两两互斥事件， 根据概率加法公式可求解. 【详解】由题意，设摸出球为红球、白球、黑球为分别事件A、B、C，且为两两互斥事件， 又口袋内只有这三种球，所以 则 故选：B. 【练习2】已知A,B,C,D四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关A则1，4号灯就会亮，只要打开开关B则2，3号灯就会亮，只要打开开关C则3，4号灯就会亮，只要打开开关D则2，4号灯就会亮.开始时，A,B,C,D四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开A,B,C,D这四个开关中的两个不同的开关， 则其中2号灯灯亮的概率为（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意，随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关， 共有 种， 其中只有打开 开关时2号灯不会亮，其余情况2号灯均会亮， 所以2号灯灯亮的概率为 . 故选：D. 【练习1】如图，在一个半径为 的半圆形铁板中，截取一块矩形 ，使得矩形的顶点 、 在半圆的直径上， 、 在半圆弧上.连接 ，设 . (1)试用 和 表示矩形 的面积 ，并求其定义域； (2)求矩形 的面积 的最大值， 并求出取到最大值时 的值. 【详解】（1）依题意， ， ，则 ， ， 所以矩形 的面积 ，定义域为 . （2）因为 ，所以当 时， 取得最大值 . $$