10.1.3 古典概型（教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第 10 章 概率 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 10.1.3 古典概型 学习目标 1.利用生活实例判断并得出古典概型的概念； 2.理解古典概型的概念及特点； 3.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题； 4.结合具体实例，理解古典概型，能够正确判断古典概型，计算事件的概率。 目录 CATALOG 01.古典概型的定义 03.题型强化训练 02.古典概型的概率公式 04.小结及随堂练习 01 古典概型的定义 10.1.3 古典概型 复习旧知 有限样本空间与随机事件 随机试验：对随机现象的实现和对它的观察． 样本点：随机试验E的每个可能的基本结果． 样本空间：全体样本点的集合． 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示． 随机事件(事件)：样本空间Ω的子集． 基本事件：只包含一个样本点的事件． 事件A发生在每次试验中，A中某个样本点出现． 复习旧知 事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示： 事件的关系或运算 含义 符合表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Ø 互为对立 A与B有且只有一个发生 A∩B=Ø，A∪B=Ω 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． 事件的关系和运算 学习新知 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小．对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率( probability)，事件A的概率用P(A)表示． 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计．但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值．能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢? 学习新知 【思考】 在10.1.1节，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验．它们的共同特征有哪些？ 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 学习新知 【思考】 考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小？ (1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”； 对于问题(1)班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机 选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型． 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大 小．因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量． 显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生” 包含18个样本点．因此，事件A发生的可能性大小为 ． 学习新知 【思考】 考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小？ (2)抛掷一枚硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”； 用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，则试验的样本空间 Ω={(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)， (0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}． 共8个样本点，每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型． 事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包 含的样本点中所占的比例大小，因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量． 因为B={(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B发生的可能性 大小为 学习新知 古典概型特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 古典概型的概率计算公式： 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率. 02 古典概型的概率公式 10.1.3 古典概型 学习新知 例7： 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少? 思考：在标准化考试中也有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确的)．你认为单选题和多选题哪种更难选对?为什么? 学习新知 【变式】 学习新知 学习新知 学习新知 【感悟提升】 学习新知 例8： 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果． (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型． 学习新知 (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”； C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”． 学习新知 【变式】 投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数，我们称其为正实验；若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数，我们称其为负实验；若两次面向上的点数相等，我们称其为无效．那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是（ ） 学习新知 学习新知 【感悟提升】 判断一个试验是古典概型的依据 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下问题： (1)试验必须具有古典概型的两大特征—有限性和等可能性. (2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点. 学习新知 古典概型特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 古典概型的概率计算公式： 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率. 学习新知 在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？ 你能解释其中原因吗? 如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点．这样，(1，2)和(2，1)的结果将无法区别． 当不给两枚骰子标记号，试验的样本空间 Ω1={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}，且m ≤n}，n(Ω1)=21， 事件A={(1，4)，(2，3)}，n(A)=2， 学习新知 同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？ 我们可以发现，36个结果都是等可能的； 而合并为21个可能结果时，(1，1)，(1，2)发生的可能性大小不等，这 不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率， 学习新知 求解古典概型问题的一般思路： (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有 的可能结果)； (2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性，判断试验是否是古典概型； (3)计算样本点总个数n(Ω)及事件A包含的样本点个数n(A)，求出事件A 的概率 学习新知 例9： 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： (1) A=“第一次摸到红球”； (2) B=“第二次摸到红球”； (3)C=“两次都摸到红球”． 【解析】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表10.1-2表示． 学习新知 表10.1-2 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 ✕ (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) 2 (2, 1) ✕ (2, 3) (2, 4) (2, 5) 3 (3, 1) (3, 2) ✕ (3, 4) (3, 5) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) ✕ (4, 5) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) ✕ 学习新知 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 ✕ (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) 2 (2, 1) ✕ (2, 3) (2, 4) (2, 5) 3 (3, 1) (3, 2) ✕ (3, 4) (3, 5) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) ✕ (4, 5) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) ✕ 如果同时摸出 2个球，那么事件AB的概率是多少? 学习新知 【变式】 书架上有《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》4本名著，按任意顺序摆放，求下列事件的概率： (1)《西游记》摆在两端；(2)《西游记》和《水浒传》不相邻；(3)《西游记》和《水浒传》之间相隔一本书； (4)《西游记》或《水浒传》摆在两端； (5)《三国演义》摆在《红楼梦》的左边且这两本书不相邻． 学习新知 学习新知 学习新知 【感悟提升】 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便． 学习新知 求解古典概型问题的一般思路： (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)； (2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性，判断试验是否是古典概型； (3)计算样本点总个数n(Ω)及事件A包含的样本点个数n(A)，求出事件A 的概率 学习新知 例10： 学习新知 例10： 学习新知 (2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率． 学习新知 学习新知 例10表明，同一个事件A = “抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大．因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同． 学习新知 上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题．我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高．上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率．特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现．所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要． 学习新知 【变式】 学习新知 学习新知 【感悟提升】 1.“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题是初学者特别容易出错的，而且也是特别经典的题型，学习时要注意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”． 2.“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的； “有放回抽取”和“无放回抽取”的概率 学习新知 【感悟提升】 3.“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少． 4.若无特殊说明，“无放回抽取”应为一次取出相应的元素，在求解对应的样本点总个数时要注意对事件性质的确认，一次取出的元素之间无顺序的差异性．而“无放回抽取”中的“逐个抽取”，取出的结果则有先后顺序之分． “有放回抽取”和“无放回抽取”的概率 03 题型强化训练 10.1.3 古典概型 能力提升 题型一　古典概型的判断 【练习1】下列试验中是古典概型的是（ ） A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 能力提升 【详解】古典概型满足两个条件：随机实验所有可能的结果是有限的；②每个基本结果发生的概率是相同的． 在A中，这个试验的基本事件共有“发芽”，“不发芽”两个，而“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故不是古典概型； 在B中，观察球的颜色，满足古典概型的两个条件，故B是古典概型； 在C中，实验的结果是无穷的，故不是古典概型； 在D中，不满足基本事件是等可能的，故不是古典概型．故选：B． 能力提升 题型一　古典概型的判断 【感悟提升】 判断一个试验是古典概型的依据 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下问题： (1)试验必须具有古典概型的两大特征—有限性和等可能性. (2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点. 能力提升 题型二　古典概型概率的求法 【练习2】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是 能力提升 题型二　古典概型概率的求法 【感悟提升】 能力提升 题型二　古典概型概率的求法 【感悟提升】 能力提升 题型三　“放回”与“不放回”问题 【练习3】从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取 100次，每次取出一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取出的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到的号码为奇数的频率是（ ） A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37 能力提升 【点睛】本题主要考查了古典概型，属于基础题. 能力提升 题型三　“放回”与“不放回”问题 【感悟提升】 “有放回抽取”和“无放回抽取”的概率 1.“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题是初学者特别容易出错的，而且也是特别经典的题型，学习时要注意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”． 2.“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的； 能力提升 题型三　“放回”与“不放回”问题 【感悟提升】 “有放回抽取”和“无放回抽取”的概率 3.“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少． 4.若无特殊说明，“无放回抽取”应为一次取出相应的元素，在求解对应的样本点总个数时要注意对事件性质的确认，一次取出的元素之间无顺序的差异性．而“无放回抽取”中的“逐个抽取”，取出的结果则有先后顺序之分． 能力提升 题型四　古典概型与其他知识的综合 能力提升 题型四　古典概型与其他知识的综合 【感悟提升】 古典概型综合问题的关注点 (1)有关古典概型与统计结合的题型，一般利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，就能解决此类问题． (2)有关古典概型与函数、方程、不等式等其他数学知识结合的题型，可利用有关数学知识得出限制事件的条件，从而解决概率问题． 能力提升 题型五　较复杂的古典概型的概率计算 能力提升 能力提升 【感悟提升】 1.解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题： (1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性． (2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件． 题型五　较复杂的古典概型的概率计算 能力提升 【感悟提升】 2.在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便． 题型五　较复杂的古典概型的概率计算 04 小结及随堂练习 10.1.3 古典概型 课堂总结1 1．知识清单： (1)古典概型的定义． (2)古典概型的概率公式． 2．方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数． 3．常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定的顺序，做到不重、不漏. 课堂总结2 作业 10.1.3 古典概型 课本238页练习，243页 习题10.1的6、7、8题. 练习（第238页） 不正确．如果每次命中目标的概率不等于0.5，那么样本空间中的四个样本点就不是等可能的，不符合古典概型特征． 2．从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率： (1)抽到的牌是7； (2)抽到的牌不是7； (3)抽到的牌是方片； (4)抽到J或Q或K； (5)抽到的牌既是红心又是草花； (6)抽到的牌比6大比9小； (7)抽到的牌是红花色； (8)抽到的牌是红花色或黑花色． 2．从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率： (1)抽到的牌是7； (2)抽到的牌不是7； (3)抽到的牌是方片； (4)抽到J或Q或K； (5)抽到的牌既是红心又是草花； (6)抽到的牌比6大比9小； (7)抽到的牌是红花色； (8)抽到的牌是红花色或黑花色． 2．从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率： (1)抽到的牌是7； (2)抽到的牌不是7； (3)抽到的牌是方片； (4)抽到J或Q或K； (5)抽到的牌既是红心又是草花； (6)抽到的牌比6大比9小； (7)抽到的牌是红花色； (8)抽到的牌是红花色或黑花色． 3．从0～9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率： (1)这个数的平方的个位数字为1； (2)这个数的四次方的个位数字为1． 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（     ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为 ，随机事件“若能得3分”中有基本事件 ，故“能得3分”的概率为 ，故A正确. 乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为： ，随机事件“能得5分”中有基本事件 ，故“能得5分”的概率为 ，故B正确.丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），由A、B中的分析可知共有基本事件 种，分别为：选择一项： ；选择两项： ； 选择三项或全选： ， ，随机事件“能得分”中有基本事件 ，故“能得分”的概率为 ，故C正确.丁同学随机至少选择两个选项，有C的分析可知：共有基本事件11个，随机事件“能得分”中有基本事件 ，故“能得分”的概率为 ，故D错. 故选：ABC. 求解古典概型问题的一般思路 (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)． (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性． (3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率． P(A)＝eq \f(事件A包含的样本点个数,样本空间的样本点总数)＝eq \f(k,n). A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先算出基本事件的总数，再计算随机事件中基本事件的个数，根据 公式可求概率. 【详解】由题意掷一枚质地均匀的骰子两次，所得的结果数为 种， 两次面向上的点数相等我们称其为无效，则无效的结果数有6种， 一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是 ． 故选：C. 【详解】（1）设《西游记》为 ，《水浒传》为 ，《三国演义》 为 ，《红楼梦》为 ，按顺序摆放的所有可能情况用树状图表 示，如图所示：由树状图，得4本书的摆放顺序共有24种可能 的情况，即样本空间共含有24个样本点．记事件 表示“《西 游记》摆在两端”，则由树状图知事件 包含的样本点有12个， 故《西游记》摆在两端的概率 ． （2）解：记事件 表示“《西游记》和《水浒传》不相邻”，则由（1）中的树状图知事件 包含的样本点有12个，故《西游记》和《水浒传》不相邻的概率 ． （3）解：记事件 表示“《西游记》和《水浒传》之间相隔一本书”，则由（1）中的树状图知事件 包含的样本点有8个，故《西游记》和《水浒传》之间相隔一本书的概率 ． （4）解：记事件 表示“《西游记》或《水浒传》摆在两端”，则由（1）中的树状图知事件 包含的样本点有20个，故《西游记》或《水浒传》摆在两端的概率 ． （5）解：记事件 表示“《三国演义》摆在《红楼梦》的左边且这两本书不相邻”，则由（1）中的树状图知事件 包含的样本点有6个，故《三国演义》摆在《红楼梦》的左边且这两本书不相邻的概率 ． 一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为 ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 . (1)写出试验的样本空间； (2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号 ”，分别求事件A，B，AB发生的概率 . 【详解】（1）由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{ ， }； （2）由题意可知事件A= ，共三个结果，故 ， 事件B= ，共六个结果，故 ， 事件 包含的结果有（1,2）一个，故 . A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【详解】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题． 从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是 种，数学之和为偶数的有 两种，所以所求概率为 ，选 ． 考点：古典概型． 1．求解古典概型问题的一般思路 (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)． (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性． (3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率． P(A)＝eq \f(事件A包含的样本点个数,样本空间的样本点总数)＝eq \f(k,n). 2．使用古典概型概率公式的注意点 (1)首先确定是否为古典概型．(2)A事件是什么，包含的样本点有哪些． 3.求古典概型概率的步骤 (1)判断是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数n； (3)算出事件A中包含的基本事件个数m； (4)算出事件A的概率，即P(A)＝ eq \f(m,n) . 【详解】由题意知：本题是一个古典概型， ∵有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码， ∴事件总数是100，由表可以看出取到号码为奇数有10+8+6+18+11=53 种结果， ∴ ，故选A． 夹角 ，则 ，即 ，满足条件的情况如下： 时， ， 时， ， 时， ， 时， ， 时， ，综上，共有15种，故向量 与向量 的夹角 的 概率是 . 故选：D. 【练习4】连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量 与向量 A． B． C． D． 夹角 的概率是（    ） 【详解】由题设，向量 的可能组合有36种，要使向量 与向量 的 【练习5】现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是 ， 掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为 ， ，则满足 的概率为（　　） A． B． C． D． 【详解】掷甲、乙两颗骰子出现的点数的基本事件总数为： 个， 又因为 ，所以 ，所以 可取 ， 当 时， 可取 ，当 时， 可取 ，当 时， 无解， 所以满足要求的基本事件的总数为 ，所以所求概率为： ， 故选：B. $$