专题10.2 事件的独立性（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题10.2事件的独立性 【基础知识】 1 【考点1：相互独立事件与互斥事件】 2 【考点2：独立事件的判断】 3 【考点3：独立事件的乘法公式】 5 【考点4：独立事件的实际应用】 6 【基础知识】 1、相互独立事件的概念与性质： 定义 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立 性质 ①若事件A与B相互独立， P(AB)＝P(A)P(B)； ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立 2、与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表： 事件A，B相互独立 概率计算公式 A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B) A，B同时不发生 P()＝P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B) A，B至少有一个不发生 P＝1－P(AB) ＝1－P(A)P(B) A，B至少有一个发生 P＝1－P() ＝1－P()P() ＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) A，B恰有一个发生 P＝P(A＋B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B) [方法技巧] 求相互独立事件概率的步骤 第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果． 此外，也可以从对立事件入手计算概率． 【考点1：相互独立事件与互斥事件】 【知识点：相互独立事件与互斥事件】 1．（24-25高二下·上海·期中）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（   ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 2．（24-25高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 3．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 4．（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期末）设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 5．（多选）（2025高二下·浙江绍兴·学业考试）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（    ） A．发生的概率为 B．与互斥 C．与相互独立 D．发生的概率为 6．（2025·江西景德镇·模拟预测）现有甲､乙､丙､丁四名同学，甲擅长乒乓球，乙擅长篮球，丙既擅长乒乓球又擅长篮球，丁擅长足球与羽毛球，现从这四名同学中任选一位，记事件“所选学生擅长乒乓球”，事件“所选学生擅长篮球”，事件“所选学生擅长足球”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 7．（24-25高一下·福建莆田·期末）如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（    ）    A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 【考点2：独立事件的判断】 【知识点：独立事件的判断】 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 2．（24-25高二下·湖南邵阳·期中）数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 3．（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（    ） A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 6．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 【考点3：独立事件的乘法公式】 【知识点：独立事件的乘法公式】 1．（24-25高二下·福建三明·期中）甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取三场两胜制（当一队赢得两场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩可知，甲队每场比赛获胜的概率为．比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为 2．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）已知，，且事件与相互独立，则 . 3．（24-25高一下·甘肃甘南·期末）甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 4．（24-25高二下·广东清远·期中）经过多年的技术积累，我国在车床加工零件方面取得长足进步.某工厂加工的产品按技术指标从高到低可分为优品，良品，合格品和不合格品四个等级.按以往统计数据：100个零件中有40件优品，50件良品，5件合格品和5件不合格品.现该工厂向某地发货1000件产品.对方验货的规则如下：如果抽检的第一件产品是优品或良品，则接收全部产品；如果抽检的第一件产品是合格品，则再检验两件，如果都是优品或良品，则接收整批产品.其余情况拒收整批产品.若用频率代替概率，用随机抽样的方法采样，问本批产品被拒收的概率是 . 5．（24-25高二下·江苏淮安·期中）甲，乙二人同时射击，甲的命中率为，乙的命中率为，则命中目标的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为（   ） A．0.11 B．0.21 C．0.31 D．0.41 7．（24-25高二下·浙江·期中）盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（山东省烟台市2024-2025学年高二下学期期中学业水平诊断数学试题）某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【考点4：独立事件的实际应用】 【知识点：独立事件的实际应用】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜，问： (1)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ (2)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ 2．（2025·全国·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立. (1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； (2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由. 3．（2025·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 4．（2025·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是.，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 5．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）近年来一种新型的“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.如图，假设有四支队伍进入到半决赛，淘汰赛制下，将四支队伍两两分组比赛，胜者进入到总决赛，胜者即为冠军；双败赛制下，两两分组比赛，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，胜者即为冠军.双败赛制下有意思的事情是，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组. (1)若，在淘汰赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果分析双败赛制下，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.2事件的独立性 【基础知识】 1 【考点1：相互独立事件与互斥事件】 2 【考点2：独立事件的判断】 7 【考点3：独立事件的乘法公式】 11 【考点4：独立事件的实际应用】 15 【基础知识】 1、相互独立事件的概念与性质： 定义 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立 性质 ①若事件A与B相互独立， P(AB)＝P(A)P(B)； ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立 2、与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表： 事件A，B相互独立 概率计算公式 A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B) A，B同时不发生 P()＝P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B) A，B至少有一个不发生 P＝1－P(AB) ＝1－P(A)P(B) A，B至少有一个发生 P＝1－P() ＝1－P()P() ＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) A，B恰有一个发生 P＝P(A＋B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B) [方法技巧] 求相互独立事件概率的步骤 第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果． 此外，也可以从对立事件入手计算概率． 【考点1：相互独立事件与互斥事件】 【知识点：相互独立事件与互斥事件】 1．（24-25高二下·上海·期中）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（   ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 【答案】C 【分析】分别写出对应的样本空间，结合互斥事件与独立事件的概念即可判断命题的真假. 【详解】若该家庭中有两个小孩， 样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， (男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)， 则M与N不互斥，故命题①错误； 若该家庭中有三个小孩， 样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)， (男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， 则，于是， 所以M与N相互独立，故命题②正确． 故选：C． 2．（24-25高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 3．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 4．（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期末）设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 【答案】AC 【分析】根据互斥事件和对立事件的关系判断A，根据事件的包含关系判断B，利用相互独立事件的概念判断C，结合对立事件定义举反例判断D. 【详解】选项A：互斥事件为两事件不能同时发生，对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生， 所以对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，A说法正确； 选项B：若，则，B说法错误； 选项C：由相互独立事件的概念可知，若，则相互独立，C说法正确； 选项D：对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生，即不能保证两事件不同时发生，也不能保证两者必有其一发生， 如投掷一枚骰子，事件为：向上的点数为奇数，事件为向上的点数不小于4， 满足，但不是对立事件，D说法错误； 故选：AC 5．（多选）（2025高二下·浙江绍兴·学业考试）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（    ） A．发生的概率为 B．与互斥 C．与相互独立 D．发生的概率为 【答案】ABD 【分析】根据古典概型公式判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据相互独立事件的定义判断C，对于D，分两种情况讨论，若取出颜色相同与颜色不同，分别计算出概率即可判断. 【详解】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误； 由题可得，，所以与相互独立，故C正确； 对于D，事件分为三类： 颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率； 颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为- 颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对， 故选：ABD 6．（2025·江西景德镇·模拟预测）现有甲､乙､丙､丁四名同学，甲擅长乒乓球，乙擅长篮球，丙既擅长乒乓球又擅长篮球，丁擅长足球与羽毛球，现从这四名同学中任选一位，记事件“所选学生擅长乒乓球”，事件“所选学生擅长篮球”，事件“所选学生擅长足球”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BC 【分析】根据已知写出各事件对应情况并写出概率值，结合互斥事件、独立事件的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，事件所选学生为甲或丙，且， 事件所选学生为乙或丙，且， 事件所选学生为丁，且， 显然不互斥，存在都选丙的可能，且，A错、C对； 互斥，即，B对、D错； 故选：BC 7．（24-25高一下·福建莆田·期末）如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（    ）    A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 【答案】BC 【分析】由图易求得，排除A，对于B，利用古典概型概率公式计算即得；对于C，分别求出事件的概率，利用进行判断；对于D，利用事件互斥的定义判断易得. 【详解】对于A，由图知，,故A错误； 对于B，因，故B正确； 对于C，因，而, 显然，所以事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，由图知，，即， 所以事件A与B不互斥，故D错误. 故选：BC. 【考点2：独立事件的判断】 【知识点：独立事件的判断】 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【答案】C 【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则 ，共18个基本事件，则， 设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是9， 则共4个基本事件，则， 且，则， ，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件两次朝上面的数字之和是10， 则，则， 且，则， 因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·湖南邵阳·期中）数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 【答案】C 【分析】根据古典概率和相互独立的公式即可求解. 【详解】对于选项A：两次掷出的点数之和是6的情况可为， 由乘法公式可得所以可能情况为种，所以，故选项A错误； 对于选项B：，，，，故选项B错误； 对于选项C：，，， 所以，所以与相互独立，故选项C正确； 对于选项D：，，，故选项D错误. 故选：C. 3．（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 4．（多选）（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（    ） A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁 【答案】ABC 【分析】根据相互独立事件的定义来判断各选项中的两个事件是否相互独立.分别求出各事件发生的概率以及它们同时发生的概率，然后进行比较. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，每次都有种不同的结果. 事件甲：第一次点数为奇数，即第一次掷出、、，共种情况，所以. 事件乙：第二次点数为偶数，即第二次掷出、、，共种情况，所以. 事件丙：两次点数相同，即、、、、、，共种情况，所以. 事件丁：两次点数之和为偶数，可分为“两次点数均为奇数”和“两次点数均为偶数”. “两次点数均为奇数”有种情况，“两次点数均为偶数”也有种情况，所以. 甲与丙：甲与丙同时发生，即第一次点数为奇数且两次点数相同，有、、， 共种情况，所以. 而，即，所以甲与丙相互独立. 乙与丙：乙与丙同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数相同，有、、，共种情况，所以. 而，即，所以乙与丙相互独立. 乙与丁：乙与丁同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数之和为偶数， 也就是第一次点数也为偶数，有种情况，所以. 而，即，所以乙与丁相互独立. 丙与丁：丙与丁同时发生，即两次点数相同且两次点数之和为偶数， 也就是两次点数均为偶数或均为奇数，有、、、、、，共种情况， 所以. 而，即，所以丙与丁不相互独立. 甲与丙、乙与丙、乙与丁相互独立. 故选：ABC. 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，，相互独立，理由见解析 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，； （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 6．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 【答案】(1)； (2)事件与事件不独立. 【分析】（1）根据题意，利用列举法求得样本空间的总数，得出所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，求得样本空间的总数，分别得出事件与事件所包含基本事件的个数，以及，利用古典摡型的概率计算公式，结合，即可得到答案. 【详解】（1）解：记事件：摸出两球标号互质， 由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为，共6个样本点， 其中事件，共5个样本点，故， 所以，摸出两球标号互质的概率为. （2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为： ，共12个样本点， 其中第一次摸出球的标号小于，可得， 第二次摸出球的标号小于，可得， 所以，则，， 所以，所以事件与事件不独立. 【考点3：独立事件的乘法公式】 【知识点：独立事件的乘法公式】 1．（24-25高二下·福建三明·期中）甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取三场两胜制（当一队赢得两场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩可知，甲队每场比赛获胜的概率为．比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件求解. 【详解】甲队获胜的事件是比赛两局获胜和比赛三局获胜的事件和，它们互斥， 所以甲队获胜的概率为. 故答案为： 2．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）已知，，且事件与相互独立，则 . 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件的概率公式可得，即可利用并事件的概率性质求解. 【详解】由于事件与相互独立，故， , 故答案为：0.72 3．（24-25高一下·甘肃甘南·期末）甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 【答案】0.34 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【详解】设甲，乙两人击中飞碟为事件，依题意，，相互独立， 所以所求事件概率为 . 故答案为：0.34 4．（24-25高二下·广东清远·期中）经过多年的技术积累，我国在车床加工零件方面取得长足进步.某工厂加工的产品按技术指标从高到低可分为优品，良品，合格品和不合格品四个等级.按以往统计数据：100个零件中有40件优品，50件良品，5件合格品和5件不合格品.现该工厂向某地发货1000件产品.对方验货的规则如下：如果抽检的第一件产品是优品或良品，则接收全部产品；如果抽检的第一件产品是合格品，则再检验两件，如果都是优品或良品，则接收整批产品.其余情况拒收整批产品.若用频率代替概率，用随机抽样的方法采样，问本批产品被拒收的概率是 . 【答案】0.0595/ 【分析】方法1：结合对立事件的概率公式，利用独立事件概率乘法公式求解；方法2：利用互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【详解】依题意：优品的概率为0.4，良品的概率是0.5，合格品的概率是0.05，不合格品的概率是0.05，且每件产品的等级是独立的. 方法1：间接求，； 方法2：直接求，被拒收的情况包括： 第一种情况第一件不合格， 第二种情况第一件合格、第二件优良、第三件非优良； 第三种情况第一件合格、第二件非优良； . 故答案为：0.0595 5．（24-25高二下·江苏淮安·期中）甲，乙二人同时射击，甲的命中率为，乙的命中率为，则命中目标的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲、乙是否命中相互独立， 则命中目标的概率. 故选：B 6．（2026高三·全国·专题练习）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为（   ） A．0.11 B．0.21 C．0.31 D．0.41 【答案】C 【分析】设出事件，分两种情况，同一工作日3人需使用设备和4人需使用设备，求出概率相加即可. 【详解】设甲，乙，丙，丁需使用设备分别为事件， 则， 恰好3人使用设备的概率 ， 4人需使用设备的概率， 故所求的概率． 故选：C 7．（24-25高二下·浙江·期中）盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先依次考虑每次抽取不同颜色球的概率情况，再根据独立事件概率乘法公式和互斥加法公式求解即可. 【详解】第一次抽取总共有个球，抽取任意一种颜色球的概率都不为0，不妨先抽取黑球，其概率为， 第二次抽取时，因为第一次抽取黑球后放回并放入1个黑球，此时球的总数变为个， 黑球有个，白球还是2个，红球为1个，若第二次抽取白球，其概率为， 第三次抽取时，由于第二次抽取白球后放回并放入1个白球，此时球的总数变为个， 黑球有个，白球有个，红球为1个，若第三次抽取红球，其概率为， 而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取红球只是其中一种顺序， 三次抽取不同颜色球的顺序还有：第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取红球； 第一次抽取黑球、第二次抽取红球、第三次抽取白球； 第一次抽取红球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球； 第一次抽取白球、第二次抽取红球、第三次抽取黑球； 第一次抽取红球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球这5种情况. 每种情况的概率都是，所以3次颜色均不相同的概率为. 故选：A 8．（山东省烟台市2024-2025学年高二下学期期中学业水平诊断数学试题）某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分类求出甲部分员工情况及对应概率，再根据题意求解即可. 【详解】从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，有以下四种情况： 第一种，甲部门经验丰富的员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第二种，甲部门新员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第三种，甲部门经验丰富的员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第四种，甲部门新员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第一种与第二种甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第三种甲部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第四种甲部门有6名经验丰富的员工和1名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 故甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为. 故选：C. 【考点4：独立事件的实际应用】 【知识点：独立事件的实际应用】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜，问： (1)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ (2)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ 【答案】(1)A、B两人应按来分奖金. (2)A、B两人应按来分奖金. 【分析】（1）根据互斥事件和相互独立事件的概率公式求出A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可. （2）由题意可知第一局A已经获胜，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后四局中再胜2局，依此信息结合互斥事件和相互独立事件的概率公式求出A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可. 【详解】（1）用事件“A最终获胜”，事件“接下去第一局A获胜”， “接下去第二局A获胜”，“接下去第三局A获胜”， 则， 由题意可知前两局A已经均获胜，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后三局中再胜一局， 所以，因为、与两两互斥， 所以 ， 所以A最终获胜的概率是，B最终获胜的概率是， 所以A、B两人应按来分奖金. （2）用事件“A最终获胜”，事件“接下去第局A获胜”，， 则， 由题意可知第一局A已经获胜，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后四局中再胜2局， 所以， 且由每局比赛是相互独立的得 ， ， ， ， ， ， 因为两两互斥， 所以 ， 所以A最终获胜的概率是，B最终获胜的概率是， 所以A、B两人应按来分奖金. 【点睛】思路点睛：对“在比分是的情况下，怎么分奖金公平”这个问题，用事件“A最终获胜”，事件“接下去第局A获胜”，.先由比分是得出第一局A已经获胜，从而根据五局三胜的规则得出A最终获胜只需在最后四局中再胜2局，进而得到，接着结合互斥事件和相互独立事件的概率公式求出即得到A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可得解. 2．（2025·全国·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立. (1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； (2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由. 【答案】(1)选择回答B类取得复赛资格的概率为，选择回答C类问题取得复赛资格的概率为 (2)按或顺序回答问题取得复赛资格的概率最大，理由见解析 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式分类讨论计算即可； （2）根据甲回答A，B两类问题正确的概率相同，从，，这三种回答顺序考虑，根据独立事件的概率公式计算比较大小即可. 【详解】（1）甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为， 甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为， ∴所求概率为. （2）由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑，，这三种回答顺序， 按顺序回答，取得复赛资格的概率为， 按顺序回答，取得复赛资格的概率为， 按顺序回答，取得复赛资格的概率为， ∵， ∴按或顺序回答问题取得复资资格的概率最大. 3．（2025·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 【答案】(1)； (2) (3)方案一种子选手夺冠的概率更大 【分析】（1）由题意分析知第一轮选手的对战情况分别为，，，即可得出答案； （2）设事件“选手与选手相遇”，分为对战情况分别为，，，求出其概率，相加即可得出答案. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，由独立事件的乘法公式求出、，比较，的大小即可得出答案. 【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3； （2）设事件“选手与选手相遇”， 当对战为时，，两选手相遇的概率为1； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 抽到三种对战的概率均为，则. 综上可知选手与选手相遇的概率为. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则 采用方案一，假设分组为， 第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜， 所以； 采用方案二：假设分组为， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 则，所以， 因此方案一种子选手夺冠的概率更大. 4．（2025·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是.，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，方案一即可表示为，方案二先考虑随机选取两门的概率为，再计算这两门都及格的概率即可. （2）为了比较概率大小，可作差与比较即可. 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2） ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 5．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）近年来一种新型的“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.如图，假设有四支队伍进入到半决赛，淘汰赛制下，将四支队伍两两分组比赛，胜者进入到总决赛，胜者即为冠军；双败赛制下，两两分组比赛，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，胜者即为冠军.双败赛制下有意思的事情是，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组. (1)若，在淘汰赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果分析双败赛制下，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)， (2)， (3)双败赛制下对强者更有利 【分析】（1）依题意根据互斥事件概率的加法公式计算即可得出结果； （2）根据赛制规则可分别求得A获得冠军的概率； （3）由表达式以及概率时可知双败赛制下对强者更有利. 【详解】（1）由题意得，若A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出， 则A获得冠军的概率为， 若C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出， 则C获得冠军的概率为. （2）淘汰赛制下，A获得冠军的概率为， “双败赛制”下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，A获得冠军的概率. （3）令， 若A为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$