专题17 概率七种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）

专题17 概率七种考法 一、方法讲解 1.事件的关系和运算 （1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系；（2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. 2.古典概型的概率计算 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下： ①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型． ②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数． ③求值，代入公式P(A)＝求值． 3.判断互斥与对立事件 判断互斥与对立事件的两种方法： （1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． （2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 4.求互斥事件与对立事件的概率 利用随机数表进行抽样的具体步骤: ①给总体中的每个个体编号; ②在随机数表中随机抽取某行 5.概率的基本性质及应用 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 6.相互独立事件的概率计算 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 7.判断是否为独立事件 事件的独立性的判断: ①定义法:事件相互独立⇔； ②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； 8.频率与概率关系及应用 （1）频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． （2）随机事件概率的求法： 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率． 9.与统计的融合 二、重难点例题及变式 类型一、事件的关系和运算 例．（多选）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】记{有枚硬币正面向上}，， 则， 对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：CD. 【变式训练1】（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 下列选项正确的是（ ） A． B．是必然事件 C． D． 【答案】AB 【解析】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确； 对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确； 对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误； 对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误． 故选：AB． 【变式训练1】（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于2”；“点数大于2”，“点数大于4”，则下列结论正确的是（表示样本空间）（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】该事件的样本空间为，，， 对于A选项，，所以A错误； 对于B选项，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误； 故选：BC. 类型二、古典概型的概率计算 例．（1）甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意次传球总的传球路线种数为种, 满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有种, 所以次传球后球在甲手中的概率为. 故选:C. （2）一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. ①用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； ②分别求事件A，B，C发生的概率； ③求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 【答案】① ②，， ③ 【解析】①样本空间，共有12个基本事件； ②事件A的基本事件为：共6个基本事件，所以， 事件B的基本事件为：共3个基本事件，所以， 事件C的基本事件为：共4个基本事件，所以， ③事件A，B，C中至少有一个发生的基本事件为：共9个基本事件， 所以. 【变式训练1】用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，共6种， 其中偶数有，共4种， 所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为． 故选：C． 【变式训练2】已知甲、乙两个袋子中各装有若干个白球和红球（这些球仅颜色不同），且乙袋中球数是甲袋中球数2倍，若从甲袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中随机摸一个球，摸到红球的概率为，则从乙袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设甲袋中的总球数为，因为从甲袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为， 则甲袋中有个红球，个白球， 又乙袋中球数是甲袋中球数2倍，乙袋中的总球数为； 因为将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中随机摸一个球，摸到红球的概率为， 所以甲、乙两袋中共有个红球，所以乙袋中有个红球， 因而从乙袋中摸到红球的概率为. 故选：C. 【变式训练3】对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知，，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则为整数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，从集合M，N中各任取一个数x，y， 基本事件总数. 为整数包含的基本事件有，，，，共4个 为整数的概率为. 故选：C. 类型三、判断互斥与对立事件 例．从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【答案】D 【解析】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次， 对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品” 包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D 【变式训练1】（多选）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（　　） A．P和R是互斥事件 B．P和Q是对立事件 C．Q和R是对立事件 D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件 【答案】ABD 【解析】袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法有如下几种:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白. 事件R包括①③两种情况，∴事件P是事件R的子事件，故A中结论不正确; 事件Q与事件R互斥且对立，故C中结论正确，D中结论不正确; 事件P与事件Q互斥，但不对立，故B中结论不正确. 故选：ABD. 【变式训练2】一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过3，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ） A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件 C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件 【答案】D 【解析】事件包含，，，共个基本事件. 事件包含，，，共个基本事件. 事件包含，，，共个基本事件. 因为出现点数或， 所以与不互斥也不对立. 因为，， 所以与是对立事件. 故选：D 类型四、求互斥事件与对立事件的概率 例．（1）袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， ， . 【答案】 /0.25 /0.25 【解析】设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”， 则事件A，B，C，D两两互斥， 根据题意，得， 解得，，， 故答案为：，， （2）袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏． ①若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数； ②已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率； ③若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 【答案】①4个 ② ③4，5，6，7，8个 【解析】①设袋中有红球m个． 设“采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球”，则． 设“摸球两次，至少得到一次白球”．“摸球两次，两次均为红球”． 则，解得，即袋中红球有4个． ②设事“摸球三次共取出两个白球”， 则三次摸球可能情况为：“白白红”，“白红白”，“红白白”， 则． 所以摸球三次共取出两个白球的概率为． ③设“第三次摸球后停止摸球”，“第五次摸球后停止摸球”． 由题意知：． 若，则不可能连续两次摸到红球，不合题意． 若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，， 事件F五次摸球依次为“白白白红红”，，，不合题意． 若，则最多第四次就停止摸球，不符合题意． 若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，， 事件F五次摸球依次为“白红白红红”或“红白白红红”， ，，符合题意． 若，则事件E：三次摸球依次为“白红红”，， 事件F：五次摸球依次为“白白白红红”或“白红白红红”或“红白白红红”， ， 由得，， 即，解得或．即，5，6，7， 综上所述，红球个数的所有可能取值为4，5，6，7，8个． 【变式训练1】已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为 ． 【答案】 【解析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件， 又， 所以. 故答案为：. 【变式训练2】为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该选手射击一次： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A， 由互斥事件的加法公式得 . （2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B， 由互斥事件概率的加法公式得. （3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件， 即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 . 类型五、概率的基本性质及应用 例．已知事件、、两两互斥，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故选：B 【变式训练1】设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为两个互斥事件，，， 所以，即，且. 故选：B． 【变式训练2】（多选）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】事件为两个互斥事件，，，故A正确； 事件为两个互斥事件，则，，故B错误； ，故C正确； ，故D正确， 故选：ACD． 类型六、相互独立事件的概率计算 例．（1）甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为、、，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率， 再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率， 故选：D． （2）为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． ①求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； ②求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】① ② 【解析】①若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； ②若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 【变式训练1】高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的.假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，，该同学只进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由该同学可以进入两个社团的概率为，得， 由三个社团都进不了的概率为，得， 整理得，解得. 故选：D 【变式训练2】学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记事件表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进，事件表示“甲共投篮三次就结束考试”. 则， 故选：B 类型七、判断是否为独立事件 例．（多选）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】ACD 【解析】对A：，故A正确； 对B：，， 则，故与不相互独立，故B错误； 对C：，， 则，故与相互独立，故C正确； 对D：， 则，故与相互独立，故D正确； 故选：ACD. 【变式训练1】同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ） A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C相互独立 D． 【答案】BC 【解析】由题意，得，，， 对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误； 对于B，由题意知，又，故事件A与事件B相互独立，故B正确； 对于C，，又，故事件A与事件C相互独立，故C正确； 对于D，由上知，，故D错误． 故选：BC． 【变式训练2】一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 【答案】(1)样本空间见解析， (2)相互独立 【解析】（1）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件，其中 所以. （2）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件 ，其中， ，其中， 事件，, 所以，，, 因为，所以事件与事件相互独立. 类型八、频率与概率关系及应用 例．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（ ）    A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 【答案】D 【解析】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率， 选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； 选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意； 选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为， 故此选项符合题意； 故选：D 【变式训练1】众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该校有a名同学， 则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h， 约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h. 因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50% 所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a， 则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生， 该名学生近视的概率为． 故选：B． 类型九、与统计的融合 例．某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 （1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为容量， 所以， 所以该班学生的平均日睡眠时间为 ； （2）由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为， 由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人， 记中抽取的2人为，中抽取的3人为， 设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件， 则， ， 所以发生的概率， 所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为. 【变式训练1】某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.    求： (1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务. (2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率. (3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差. 【答案】(1)0.12，17万元；(2)；(3)平均数，方差 【解析】（1）月销售额在小组内的频率为， 若要使的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标， 根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为， 和及三组的频率之和为， 故估计月销售目标应定为万元； （2）第一组3人记为，第七组2人， 则选取2位推销员有 共10种情形， “选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M， 则事件M包含有共6种情形， 所以； （3）第一组3人，第七组2人， 则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为， 方差. 【变式训练2】 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图： （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 【答案】（1） ； （2） 【解析】（1）由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为： ； （2）样本中年龄在区间的频率为， 年龄在区间的频率为， 则年龄在区间抽取人，分别记作、、、， 年龄在区间抽取人，分别记作、， 从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、 、、、、、、、、共个， 其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个， 所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 三、能力测试练 1．一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中水果品种相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为， 从盘中任选两个，可得 共种情况． 选中的水果品种相同的选法有：，，有种． 所以选中的水果品种相同概率为：． 故选：C. 2．.从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（ ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 【答案】D 【解析】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误； 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确. 故选：D. 3．长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（ ） A. M与N互斥 B. C. M与N相互独立 D. 【答案】B 【解析】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共种， 事件M：“三人都没选择《子归》篇”共有：，所以， 事件N：“至少有两人选择的篇目一样”共有种，所以， ，所以M与N不互斥，A错误，D错误； 事件MN共有种，所以，B正确； 因为，所以C错误. 故选：B. 4．把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色．将该四面体抛掷在一个平面上，记事件A=“四面体有红色的面落在平面上”，记事件B=“四面体有黄色的面落在平面上”，记事件C=“四面体有蓝色的面落在平面上”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个，有蓝色的面有2个，则，且, 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由，所以D不正确. 故选：B. 5．（多选） 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 6.（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】ACD 【解析】已知事件A，B发生的概率分别为，， 对于A，若A与B互斥，则，A选项正确； 对于B，若，则，B选项错误； 对于C，若， 则，有A与B相互独立，C选项正确； 对于D，若A与B相互独立，有， 则，D选项正确. 故选：ACD. 7.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为 . 【答案】 【解析】依题意可知，事件与事件为互斥事件，且，， 所以. 故答案为： 8． 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 【答案】## 【解析】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 故答案为：. 9．在①高一或高二学生的概率为；②高二或高三学生的概率为；③高三学生的概率为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到___________. (1)求a的值； (2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率. 【答案】(1)300；(2) 【解析】（1）选①. 依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为，解得，所以a的值为300. 选②. 依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高三学生的概率为，解得，所以a的值为300. 选③. 依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为，解得， 所以a的值为300. （2）第一步：求出抽取的6人中高一､高三学生的人数 由（1）知，高一､高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人. 第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况 高一的4人记为a，b，c，d，高三的2人记为A，B， 则从这6人中任取2人的所有情况为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共15种. 第三步：列出至少有1人是高三学生的情况 抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9种. 第四步：根据古典概型的概率公式得解 至少有1人是高三学生的概率为 10．某高校强基计划入围有3道面试题目，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．李想同学答对每道题目的概率都是0.6，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的． (1)求李想第二次答题通过面试的概率； (2)求李想最终通过面试的概率. 【答案】(1)0.24；(2)0.936. 【解析】（1）记李想同学第i次抽到题目并答对的事件为，， 李想第二次答题通过面试的事件为，， 所以李想第二次答题通过面试的概率为0.24. （2）李想没有通过面试的事件，且， 所以李想最终通过面试的概率为. 11.甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为， 甲、乙都闯关成功的概率为， 甲、丙都闯关成功的概率为， 设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为， 根据独立事件同时发时的概率公式得，解得， 即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为. （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关， 设“团体总分为4分”为事件， 则， 即团体总分为4分的概率； （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分， 设“团体总分不小于4分”为事件， 由（2）可知团体总分为4分的概率， 团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为， 所以参加下一轮比赛的概率为， 即该小组参加下一轮比赛的概率为. 12.某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1. 图表1 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图. （1）用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率； （2）根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3： 图表3 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 20元 15元 10元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 （产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值） 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： ①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300. ②单件产品平均利润不低于4元. 已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件. 【答案】（1） （2）该新型机器没有达到该企业的认购条件 【解析】（1）因为质量指标值在区间和内的频率分别为， 可知样本中质量指标值在区间有件，设为； 质量指标值在区间内有件，设为， 则这6件中任取2件，则样本空间 ， 可知， 记“这2件产品都取自区间”为事件A， 则，可知， 所以. （2）由频率分布直方图可知，产品质量指标值的平均数为 故满足认购条件①； 再分析该产品的单价平均利润值： 由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一､二､三等品的概率估计值分别为： ， 故2000件产品中，一､二､三等品的件数估计值为：件， 一等品的利润元， 二等品的利润元， 三等品的利润元， 则2000件产品的总利润为：元， 故2000件产品的单件平均利润的估计值为， 故不满足认购条件②. 综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 概率七种考法 一、方法讲解 1.事件的关系和运算 （1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系；（2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. 2.古典概型的概率计算 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下： ①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型． ②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数． ③求值，代入公式P(A)＝求值． 3.判断互斥与对立事件 判断互斥与对立事件的两种方法： （1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． （2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 4.求互斥事件与对立事件的概率 利用随机数表进行抽样的具体步骤: ①给总体中的每个个体编号; ②在随机数表中随机抽取某行 5.概率的基本性质及应用 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 6.相互独立事件的概率计算 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 7.判断是否为独立事件 事件的独立性的判断: ①定义法:事件相互独立⇔； ②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； 8.频率与概率关系及应用 （1）频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． （2）随机事件概率的求法： 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率． 9.与统计的融合 二、重难点例题及变式 类型一、事件的关系和运算 例．（多选）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 下列选项正确的是（ ） A． B．是必然事件 C． D． 【变式训练1】（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于2”；“点数大于2”，“点数大于4”，则下列结论正确的是（表示样本空间）（ ） A. B. C. D. 类型二、古典概型的概率计算 例．（1）甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A． B． C． D． （2）一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. ①用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； ②分别求事件A，B，C发生的概率； ③求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 【变式训练1】用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知甲、乙两个袋子中各装有若干个白球和红球（这些球仅颜色不同），且乙袋中球数是甲袋中球数2倍，若从甲袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中随机摸一个球，摸到红球的概率为，则从乙袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知，，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则为整数的概率为（ ） A． B． C． D． 类型三、判断互斥与对立事件 例．从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【变式训练1】（多选）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（　　） A．P和R是互斥事件 B．P和Q是对立事件 C．Q和R是对立事件 D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件 【变式训练2】一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过3，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ） A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件 C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件 类型四、求互斥事件与对立事件的概率 例．（1）袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， ， . （2）袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏． ①若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数； ②已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率； ③若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 【变式训练1】已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为 ． 【变式训练2】为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该选手射击一次： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 类型五、概率的基本性质及应用 例．已知事件、、两两互斥，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 类型六、相互独立事件的概率计算 例．（1）甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为、、，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（ ） A． B． C． D． （2）为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． ①求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； ②求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【变式训练1】高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的.假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，，该同学只进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（  ） A． B． C． D． 类型七、判断是否为独立事件 例．（多选）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【变式训练1】同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ） A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C相互独立 D． 【变式训练2】一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 类型八、频率与概率关系及应用 例．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（ ）    A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 【变式训练1】众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（ ） A． B． C． D． 类型九、与统计的融合 例．某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 （1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 【变式训练1】某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.    求： (1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务. (2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率. (3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差. 【变式训练2】 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图： （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 三、能力测试练 1．一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中水果品种相同的概率为（ ） A. B. C. D. 2．.从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（ ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 3．长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（ ） A. M与N互斥 B. C. M与N相互独立 D. 4．把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色．将该四面体抛掷在一个平面上，记事件A=“四面体有红色的面落在平面上”，记事件B=“四面体有黄色的面落在平面上”，记事件C=“四面体有蓝色的面落在平面上”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5．（多选） 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 6.（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 7.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为 . 8． 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 9．在①高一或高二学生的概率为；②高二或高三学生的概率为；③高三学生的概率为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到___________. (1)求a的值； (2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率. 10．某高校强基计划入围有3道面试题目，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．李想同学答对每道题目的概率都是0.6，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的． (1)求李想第二次答题通过面试的概率； (2)求李想最终通过面试的概率. 11.甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率； (3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率. 12.某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1. 图表1 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图. （1）用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率； （2）根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3： 图表3 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 20元 15元 10元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 （产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值） 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： ①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300. ②单件产品平均利润不低于4元. 已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$