八年级数学下学期期末解答压轴题13个必考点（60题）（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）
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内容正文：
八年级数学下学期期末解答压轴题13个必考点（60题）
【人教版】
【必考点1 四边形折叠类综合题】 1
【必考点2 四边形旋转类综合题】 15
【必考点3 四边形动点类综合题】 29
【必考点4 新定义四边形综合题】 43
【必考点5 一次函数的实际应用题】 57
【必考点6 一次函数与面积问题综合】 63
【必考点7 一次函数与角度问题综合】 72
【必考点8 一次函数与平行四边形综合】 86
【必考点9 一次函数与菱形综合】 100
【必考点10 一次函数与正方形综合】 112
【必考点11 一次函数与等腰三角形综合】 125
【必考点12 一次函数与最值、定值问题综合】 139
【必考点13 一次函数新定义问题】 150
【必考点1 四边形折叠类综合题】
1．在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．
（1）如图1，若设∠ABE＝α，则∠DEF＝ （用含α的式子表示）；当点F恰好是BD的中点时，则α＝ 度．
（2）如图2，EF交BD于点M，且BF平分∠DBC．
①求证：△EDM是等腰三角形．
②当AB＝3，BC＝4时，求AE的长．
③若设BE＝a，BM＝b，EM＝c，求证：a2＝b2+bc．
【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质得∠AEB＝∠FEB＝90°﹣α，再利用平角定义即可得∠DEF；证明EF是BD的垂直平分线得∠EBD＝∠EDB＝∠ABE＝α，再利用三角形内角和定理，即可解决问题；
（2）①如图2，延长EF交BC于点N，证明△BFM≌△BFN（ASA），得BM＝BN，然后证明∠DEM＝∠DME，即可解决问题；
②设AE＝x，得DM＝DE＝4﹣x，BN＝x+1，如图2，过点E作EQ⊥BC于点Q，得矩形ABQE，根据S△EBNBN•EQEN•BF，得EN＝x+1，所以FN＝1，利用勾股定理求出x的值即可；
③根据勾股定理得BF2＝BE2﹣EF2＝BM2﹣MF2，代入BE＝a，BN＝BM＝b，EM＝c，得a2﹣EF2＝b2﹣MF2，进而可以解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
由翻折可知：∠FBE＝∠ABE＝α，∠BFE＝∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°﹣α，
∴∠DEF＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α；
∵点F恰好是BD的中点，∠BFE＝90°，
∴EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠ABE＝α，
∵∠EBD+∠EDB+∠ABE＝90°，
∴3α＝90°，
∴α＝30度，
故答案为：2α；30；
（2）①证明：如图2，延长EF交BC于点N，
∵BF平分∠DBC，
∴∠MBF＝∠NBF，
由翻折可知：∠BFE＝∠A＝90°，
∴∠BFM＝∠BFN＝90°，
∵BF＝BF，
∴△BFM≌△BFN（ASA），
∴BM＝BN，
∴∠BMN＝∠BNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEM＝∠BNM，
∵∠BMN＝∠DME，
∴∠DEM＝∠DME，
∴DE＝DM，
∴△EDM是等腰三角形；
②解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝90°，
∵AB＝3，
∴BD5，
设AE＝x，
∴EF＝AE＝x，
∴DM＝DE＝AD﹣AE＝4﹣x，
∴BN＝BM＝BD﹣DM＝5﹣（4﹣x）＝x+1，
如图2，过点E作EQ⊥BC于点Q，得矩形ABQE，
∴EQ＝AB＝3，
∵BF⊥EN，
∴S△EBNBN•EQEN•BF，
∵BF＝AB＝3，
∴BN＝EN，
∴EN＝x+1，
∵EN＝EF+FN＝x+1，
∴FN＝1，
在Rt△BNF中，BF＝3，FN＝1，BN＝x+1，
根据勾股定理得：BF2+FN2＝BN2，
∴32+12＝（x+1）2，
∴x1或x1（舍去），
∴AE的长为1；
③证明：由①得BM＝BN＝b，∠BFE＝90°，
∴MF＝FN，
由折叠可得∠AEB＝∠BEN，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠NBE＝∠BEN，
∴EN＝BN＝b，
∵∠BFE＝90°，
∴BF⊥EN，
∴BF2＝BE2﹣EF2＝BM2﹣MF2，
∵BE＝a，BN＝BM＝b，EM＝c，
∴a2﹣EF2＝b2﹣MF2，
∵BE2＝BF2+EF2，EF+MF＝EF+FN＝EN＝BN＝b，
∴a2＝b2﹣MF2+EF2＝b2+EF2﹣MF2＝b2+（EF+MF）（EF﹣MF）＝b2+bc．
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上（不与端点重合），将△ABE沿BE翻折，得到△FBE，连接DF，CF．
（1）当BF平分∠EBC时，求点F到BC的距离．
（2）求△DEF的周长的最小值，并求出此时ED的长．
（3）若△CDF为直角三角形，求AE的长．
【分析】（1）如图，过F作FG⊥BC于G，证明∠CBF＝∠EBF＝∠ABE90°＝30°，从而可得答案；
（2）如图，连接BD，求解BD，由DF≥BD﹣BF，（当B，F，D共线时取等号），结合C△DEF＝DE+EF+DF＝DE+AE+DF＝4+DF，可得当DF最小，则C△DEF最小，再进一步求解即可；
（3）如图，△CDF为直角三角形，只有∠CFD＝90°，延长EF交CD于H，证明△BFH≌△BCH，可得HF＝HC，再证明HF＝HC＝HD＝2，设AE＝m＝EF，则DE＝4﹣m，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，过F作FG⊥BC于G，
∵正方形ABCD的边长为4，将△ABE沿BE翻折，得到△FBE，
∴∠ABC＝90°，AB＝BF＝BC＝4，∠ABE＝∠FBE，
∵BF平分∠EBC，
∴∠CBF＝∠EBF＝∠ABE90°＝30°，
∴FGBF＝2，
∴点F到BC的距离为2；
（2）如图，连接BD，
∵正方形ABCD的边长为4，将△ABE沿BE翻折，得到△FBE，
∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝4＝BF＝4，AE＝EF，
∴BD4，
∵DF≥BD﹣BF，（当B，F，D共线时取等号），
∵C△DEF＝DE+EF+DF＝DE+AE+DF＝4+DF，
∴当DF最小，则C△DEF最小，
∴当B，F，D共线时，DF的最小值为：44，
∴C△DEF最小值为44+4＝4；
如图，设DE＝x，则AE＝EF＝4﹣x，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADB＝45°，
而∠BFE＝∠DFE＝90°，
∴EF＝DF＝4﹣x，
∴x（4﹣x），
得：x＝8﹣4，
∴DE＝8﹣4；
（3）如图，△CDF为直角三角形，只有∠CFD＝90°，延长EF交CD于H，
∵AB＝BF＝BC，∠BFH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BEH≌Rt△BCH（HL），
∴HP＝HC，
∴∠HFC＝∠HCF，
∴∠CFD＝90°，
∴∠HFD+∠HFC＝∠HDF+∠HCF＝90°，
∴∠HFD＝∠HDF，
∴HF＝HD，
∴HF＝HC＝HD＝2，
设AE＝m＝EF，
则DE＝4﹣m，
∴（m+2）2＝（4﹣m）2+22，
解得：m，
∴AE．
3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AB上任意一点（点E不与点A，点B重合），点F在AD的延长线上，BE＝DF．
（1）求证：CE＝CF；
（2）如图2，作点D关于CF的对称点G，连接BG、CG、DG，DG与CF交于点P，BG与CF交于点H，与CE交于点Q．
（ⅰ）若∠BCE＝20°，求∠CHB的度数；
（ⅱ）用等式表示线段CD，GH，BH之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证△CBE≌△CDF（SAS），即可得出结论；
（2）（ⅰ）证△DCP≌△GCP（SSS），得∠DCP＝∠GCP，再由全等三角形的性质得∠BCE＝∠DCP＝∠GCP＝20°，则∠BCG＝130°，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠CGH＝25°，即可求解；
（ⅱ）连接BD，由（ⅰ）得CP垂直平分DG，则HD＝HG，∠GHF＝∠DHF，设∠BCE＝m°，证出∠GHF＝∠CHB＝45°，再证∠DHB＝90°，然后由勾股定理得DH2+BH2＝BD2，进而得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠CBE＝∠CDF＝90°，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE＝CF；
（2）解：（ⅰ）点D关于CF的对称点G，
∴CD＝CG，DP＝GP，
在△DCP和△GCP中，
，
∴△DCP≌△GCP（SSS），
∴∠DCP＝∠GCP，
由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCP＝∠GCP＝20°，
∴∠BCG＝20°+20°+90°＝130°，
∵CG＝CD＝CB，
∴∠CGH（180°﹣130°）＝25°，
∴∠CHB＝∠CGH+∠GCP＝25°+20°＝45°；
（ⅱ）线段CD，GH，BH之间的数量关系为：GH2+BH2＝2CD2，理由如下：
连接BD，如图2所示：
由（ⅰ）得：CP垂直平分DG，
∴HD＝HG，∠GHF＝∠DHF，
设∠BCE＝m°，
由（ⅰ）得：∠BCE＝∠DCP＝∠GCP＝m°，
∴∠BCG＝m°+m°+90°＝2m°+90°，
∵CG＝CD＝CB，
∴∠CGH45°﹣m°，
∴∠CHB＝∠CGH+∠GCP＝45°﹣m°+m°＝45°，
∴∠GHF＝∠CHB＝45°，
∴∠GHD＝∠GHF+∠DHF＝45°+45°＝90°，
∴∠DHB＝90°，
在Rt△BDH中，由勾股定理得：DH2+BH2＝BD2，
∴GH2+BH2＝BD2，
在Rt△BCD中，CB＝CD，
∴BD2＝2CD2，
∴GH2+BH2＝2CD2．
4．综合实践数学活动——折纸，引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
[动手操作]（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①，求∠ENM的度数；
[拓展延伸]（2）如图②，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT，ST'．求证：四边形SATA'是菱形；
[解决问题]（3）如图③，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，点S是边AD上的一动点，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕过点S，交AB边于点T，把纸片展平．请你求出线段AT长度的取值范围．
【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝BN＝AB，可证△ABN是等边三角形，由等边三角形的性质可求解；
（2）由折叠知ST垂直平分AA'，再利用AAS证明△ASO≌△A'TO得SO＝TO，则四边形SATA'是平行四边形，进而证明结论；
（3）当点T与点B重合时，AT的长最大，为10；当点S与点D重合时，AT的长最小，根据勾股定理列方程求出此时AT的长，即可得出AT长的取值范围．
【解答】（1）解：由折叠可得：AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AN＝BN＝AB，
∴△ABN是等边三角形，
又∵EN⊥AB，
∴∠ENB＝30°，
∴∠ENM＝60°；
（2）证明：∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS），
∴SO＝TO，
∴四边形SATA'是平行四边形，
∵AA'⊥ST，
∴四边形SATA'是菱形；
（3）解：如图④，当点T与点B重合时，AT的长最大，
此时AT＝AB＝10，
∴AT长的最大值为10；
如图⑤，当点S与点D重合时，AT的长最小，
设AT＝x，则BT＝10﹣x，
由折叠得，A'T＝AT＝x，
∵∠C＝90°，A'D＝AD＝26，CD＝AB＝10，
∴A'C24，
∵BC＝AD＝26，
∴BA'＝BC﹣A′C＝26﹣24＝2，
∵∠B＝90°，
∴A′T2＝BT2+BA′2
∴x2＝（10﹣x）2+22；
解得x＝5.2，
∴AT长的最小值为5.2，
∴AT长的取值范围是5.2≤AT≤10．
5．综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片ABCD进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】：
如图，在边AD上任意选取一点P，以BP为折痕，折叠纸片，使点A的对应点M落在正方形ABCD内部．
探究一：
根据以上操作，如图1，若点E为折痕BP的中点，连接AE，ME，得到四边形AEMP，你知道当AD，AP满足什么数量关系时，才能使得四边形AEMP为菱形？为什么？
探究二：
如图，延长PM，交边CD于点Q，连接BQ．
①∠PBQ的度数大小会随着P点的位置变化而发生改变吗？请说明理由．
②已知正方形纸片ABCD的边长为10，当CQ＝2时，请计算AP的长．
【分析】探究一：当时，四边形AEMP为菱形，利用正方形和轴对称的性质得出AE＝ME＝PE，再由勾股定理和直角三角形的性质得出AE＝AP，然后利用菱形的判定即可得解；
探究一：①延长PM交边CD于Q点，由Rt△BMQ≌Rt△BCQ得出∠MBQ＝∠CBQ，由翻折得出∠ABP＝∠MBP，然后即可得出∠PBQ＝45°，进而即可得解；
②由△ABP≌△MBP，△BMQ≌△BCQ得出AP＝MP，CQ＝MQ，设AP＝x，然后由勾股定理得出，进而即可得解．
【解答】解：探究一：当时，四边形AEMP为菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵以BP为折痕，折叠纸片，使点A的对应点M落在正方形ABCD内部．
∴△ABP≌△MBP，
∴AP＝MP，AB＝BM，∠BAP＝∠BMP＝90°，
∵E是BP的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP＝MP＝ME，
∴四边形AEMP为菱形；
探究二：①∠PBQ的度数大小不会随着P点的位置变化而发生改变；理由如下：
∵延长PM交边CD于Q点，
∴∠BMQ＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴BM＝BC，∠BCQ＝∠BMQ＝90°，
在Rt△BMQ和Rt△BCQ中，
，
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴∠PBQ的度数大小不会随着P点的位置变化而发生改变；
②∵正方形纸片ABCD的边长为10，
∴AD＝CD＝10，∠ADC＝90°，
∵△ABP≌△MBP，△BMQ≌△BCQ，
∴AP＝MP，CQ＝MQ，
设AP＝x，
∴PD＝10﹣x，PM＝x，
∵CQ＝2，
∴MQ＝2，DQ＝8，
∴PQ＝x+2，
∵∠D＝90°，
∴PQ2＝PD2+DQ2，
∴（x+2）2＝（10﹣x）2+82，
解得，
∴AP长为．
【必考点2 四边形旋转类综合题】
6．【初步探究】
（1）如图1，在△ABC中，BC＝8，∠ABC＝45°，AB＝2，将边AC绕点A逆时针旋转90°得AD，连接BD．小明同学为求BD的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空：
将AB绕点A顺时针旋转90°得AE，连接BE，CE，则BE＝ ，∠EBC＝90°，再利用勾股定理求得CE的长．继续得到△BAD≌△EAC，通过全等三角形的性质发现BD＝CE，则边BD的长为 ．
【变式拓展】
请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题：
（2）在正方形ABCD中，点E为正方形内一点，且满足．
①如图2，若AE＝8，CE＝4，求∠BEC的度数．
②如图3，以BE为边向右按顺时针方向作正方形BEFG．在正方形BEFG绕点B旋转过程中，边EF交对角线BD于点M，边FG与边BC交于点N．△MFN的周长是否为定值？如果是，求出△MFN的周长；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质，则AC＝AD，AE＝AB＝2；根据勾股定理求出BE，EC，再根据全等三角形的判定和性质，即可；
（2）①把△ABE绕点B旋转90得△BFC，根据旋转的性质，等腰三角形的判定，则△BEF是等腰直角三角形，根据勾股定理求出EF，根据勾股定理的逆定理，则△EFC是直角三角形，即可；
②延长FE到点H，使得HE＝GN，连接BH，根据全等三角形的判定和性质，则BH＝BN，∠EBH＝∠NBG，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，则△HBM≌△NBM，MN＝HM，根据三角形的周长，等量代换，即可．
【解答】解：（1）∵AC绕点A逆时针旋转90°得AD，
∴AC＝AD，∠DAC＝90°，
∵AB绕点A顺时针旋转90°得AE，AB＝2，
∴AE＝AB＝2，∠EAB＝90°，
∴BE2，
∵∠EBC＝90°，BC＝8，
∴EC6，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝90°+∠EAD，∠EAC＝∠DAC+∠EAD＝90°+∠EAD，
∴∠EAC＝∠BAD，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE＝6，
故答案为：2；6；
（2）①把△ABE绕点B旋转90°得△BFC，
∴∠EBF＝90°，EB＝FB，AE＝FC＝8，∠AEB＝∠CFB，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵BE＝2，
∴EF4，
∵EC2＝42＝16，CF2＝82＝64，EF2＝48，
∴EC2+EP2＝CF2，
∴△EFC是直角三角形，∠CEF＝90°，
∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝45°+90°＝135°，
∴∠BEC的度数为：135°；
②△MFN周长是定值，
理由如下：延长FE到点H，使得HE＝GN，连接BH，
在△HBE和△BGN中，
，
∴△BEH≌△BNG（SAS），
∴BH＝BN，∠EBH＝∠NBG，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠MBN＝45°，
∴∠EBM+∠GBN＝45°，
∴∠EBM+∠EBH＝∠HBM＝45°，
在△HBM和△NBM中，
，
∴△HBM≌△NBM（SAS），
∴MN＝HM，
∵C△MNE＝MN+MF+FN，
∴C△MNE＝HM+MF+FN＝HE+EM+ME+FN＝NG+EM+MF+FN，
∵四边形BEFG是正方形，EF＝EM+MF，GF＝FN+GN，
∴EF＝FG＝BE＝2，
∴C△MNF＝NG+EM+MF+FN＝2BE＝2×24，
∴△MFN的周长为4．
7．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）直接写出PG与PC的位置和数量关系．
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°．探究PG与PC的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【分析】（1）可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP＝PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），于是两三角形全等，那么HP＝PG，DH＝GF＝BG，那么可得出CH＝CG，于是三角形CHG就是等腰三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CP＝PG＝PH，CP⊥PG；
（2）方法同（1），只不过三角形CHG是个等腰三角形，且顶角为120°，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系；
（3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以CP为底边中线的等腰三角形，那么可延长GP到H，使PH＝PG，连接CH、DH，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是三角形CHG是个等腰三角形，关键是证三角形CDH和CBG全等，已知的只有CD＝CB，我们可通过其他的全等三角形来得出三角形CDH和CBG全等的条件．三角形DHP和FGP中，有一组对顶角，DP＝PF，HP＝PG，那么这两个三角形就全等，可得出DH＝GF＝BG，∠HDP＝∠GFP，根据平行线间的内错角相等可得出∠CDP＝∠EFD，那么∠CDH＝∠EFG＝∠CBG，由此可得出三角形CDH和CBG全等，然后证法同（2）．
【解答】解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；1；理由如下：
延长GP交CD于H，如图1所示：
∵P是DF中点，
∴DP＝FP，
∵点ABE在同一直线上，
∴DC∥GF，
∴∠FDC＝∠GFP，
在△DPH和△GPF中，
，
∴△DPH≌△GPF（ASA），
∴HP＝GP，GF＝DH，
∴CH＝CG，
又∵∠HCG＝90°，
∴RT△HCG中，P为HG中点，
∴PCGH＝PG，PC⊥PG；
∴1；
（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；．
证明：如图2，延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
∴；
（3）在（2）中得到的两个结论不发生变化．PG⊥PC，PGPC．
证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，
连接CH，CG，DH，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP（SAS），
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC＝120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，
即∠HCG＝120°
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴．即PGPC．
8．如图1，把一个含45°的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，连接AF，点M与N分别是AF、EF中点，连接MD，MN．
（1）如图1，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AE．则MD、MN的数量关系是 ；MD、MN的位置关系是 ；
（2）如图2，将图1中直角三角板ECF绕点C顺时针旋转，当点E落在线段AC上时，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将图1中直角三角板ECF绕点C顺时针旋转n°（0＜n＜90），其他条件不变，若AB＝5，EC＝3，直接写出线段MD的最小值．
【分析】（1）先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得：MDAF，再由三角形中位线定理得：MNAE，则MD＝MN；再证明∠DMN＝∠DAB＝90°得MD⊥MN；
（2）由三角形中位线定理可得MN∥AE，MNAE，MD∥CH，MDFH，由等腰直角三角形的性质可得AC＝CH，AC⊥CH，即可求解；
（3）由“SAS”可证△ACD≌△HCF，可得AE＝FH，由三角形中位线定理可得MNAE，MDFH，可得MN＝MD，则MDAE，即当AE有最小值时，MD有最小值，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
在Rt△ADF中，
∵M是AF的中点，
∴DMAF，
∵N是EF的中点，
∴MNAE，
∵△EFC是等腰三角形，
∴CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠FAD，AE＝AF，
∴DM＝MN，
∴∠BAE＝∠FAD，
∵DMAF＝AM，
∴∠FAD＝∠ADM，
∵∠FMD＝∠FAD+∠ADM＝2∠FAD，
∵MN∥AE，
∴∠FMN＝∠EAF，
∵∠BAD＝∠EAF+∠BAE+∠FAD＝∠EAF+2∠FAD＝90°，
∴∠DMN＝∠FMN+∠FMD＝∠EAF+2∠FAD＝90°，
∴DM⊥MN；
故答案为：DM＝MN，DM⊥MN；
（2）结论仍然成立，如图2，延长CF交AD的延长线于H，
∵点E落在线段AC上，
∴∠ECD＝45°，
∴∠FCD＝45°，
∵∠CDH＝90°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴CD＝DH，∠H＝45°，
∴AD＝DH，△ACH是等腰直角三角形，
∴AC＝CH，
∵点M与N分别是AF、EF中点，AD＝DH，
∴MN∥AE，MNAE，MD∥CH，MDFH，
∴MD＝MN，
∵AC⊥CH，
∴MD⊥MN；
（3）如图3，连接AC，AE，延长AD至H，使AD＝DH，连接FH，CH，
∵点M与N分别是AF、EF中点，AD＝DH，
∴MN∥AE，MNAE，MD∥CH，MDFH，
∵AD＝DH＝DC＝5，∠ADC＝∠CDH＝90°，
∴AC＝CHCD＝5，∠ACH＝90°，
∵EC＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠ECF＝∠ACH，
∴∠ACE＝∠FCH，
∴△ACD≌△HCF（SAS），
∴AE＝FH，
∴MD＝MN，
∴MDAE，
∴当AE有最小值时，MD有最小值，
∴当点E在AC上时，AE的最小值为53，
∴MD的最小值为．
9．在正方形ABCD旁，正方形BEFG如图（1）放置，其中A、B、E在同一条直线上．
（1）H是DF中点，求证：2BH＝DF；
（2）如图（2），将正方形BEFG逆旋转α°（45°＜α＜90°），连接CG、CE．
①若AB＝4，BE＝2，则AE2+CG2的值为 ；
②如图（3）若N是CG中点，连接BN，交AE于点M，求证：BM⊥AE．
【分析】（1）连接BD，BF，可得出△DBF是直角三角形，进一步得出结论；
（2）①连接AC，EG，设CE与AG交于点O，可证得△ABG≌△CBE，从而得出∠AGB＝∠CBE，进而得出∠GOE＝90°，根据勾股定理可得出结果；
②延长GB至点P，使得BP＝GB，连接CP交AE于点Q，证明△ABE≌△CBP（SAS），得∠EAB＝∠PCB，然后证明∠AMN＝∠HQC＝90°，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：如图（1），连接BD，BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠C＝90°，
∴∠DBC＝45°，
同理∠EBF＝45°，
∴∠DBF＝90°，
在Rt△BDF中，
∵点H是DF的中点，
∴2BH＝DF；
（2）①解：如图（2），连接AC，EG，设CE与AG交于点O，
∵四边形ABCD和四边形EFGB是矩形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠EBG＝∠ABC＝∠EBG＝90°，
∴∠ABC﹣∠CBG＝∠EBG﹣∠CBG，
∴∠ABG＝∠CBE，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠AGB＝∠CBE，
∵∠AGB+∠OGB＝180°，
∴∠CEB+∠OGB＝180°，
∴∠GOE+∠EBG＝360°﹣（∠CEB+∠OGB）＝180°，
∴∠GOE＝90°，
∴AE2+CG2＝OA2+OE2+OC2+OG2
＝（OA2+OC2）+（OE2+OG2）
＝AC2+EG2
＝2AB2+2BE2
＝2×42+2×22
＝40，
故答案为：40；
②证明：如图（3），延长GB至点P，使得BP＝GB，连接CP交AE于点Q，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BG＝BE，∠GBE＝90°，
∴∠EBP＝90°，
在△ABE和△CBP中，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠EAB＝∠PCB，
∵∠AHB＝∠CHE，
∴∠HQC＝∠ABC＝90°，
∵NB是△CGP的中位线，
∴NB∥CP，
∴∠AMN＝∠HQC＝90°，
∴BM⊥AE．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，以点C为旋转中心，将矩形ABCD沿顺时针方向旋转，得到矩形EFCG，点A，B，D的对应点分别是点E，F，G．
【知识技能】
（1）如图①，当点F落在矩形ABCD的对角线AC上时，求线段AF的长；
【数学理解】
（2）如图②，当点F落在矩形ABCD的对角线BD的延长线上时，求△CDF的面积；
【拓展探索】
（3）如图③，将矩形ABCD旋转一定角度后，连接BF，DG交于点H，连接BG，DF，求BG2+DF2的值．
【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：CB＝CF＝8，即可求出线段AF的长；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，在Rt△BDC中，，由矩形旋转可知：CB＝CF，根据CH⊥BD，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解；
（3）连接BD，GF，根据矩形的性质结合勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：，
由矩形旋转可知：CB＝CF＝8，
∴AF＝AC﹣CF＝10﹣8＝2，
则线段AF的长为2；
（2）如图②，过点C作CH⊥BD于点H，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：，
由矩形旋转可知：CB＝CF，
∵CH⊥BD，
∴，
∵，
∴，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
则△CDF的面积为；
（3）BG2+DF2的值为200，
如图③，连接BD，GF，设BF交CD于点I，
由矩形旋转可知：CB＝CF，CD＝CG，∠BCF＝∠DCG，
∴∠CBF＝∠CFB，∠CDG＝∠CGD，
∴∠CBF＝∠CDG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CBF+∠BIC＝90°＝∠CDG+∠DIH，
∴∠DHI＝90°，
∴BF⊥DG，
在Rt△BGH中，由勾股定理得：BG2＝BH2+HG2，
在Rt△DFH中，由勾股定理得：DF2＝DH2+HF2，
在Rt△BDH中，由勾股定理得：BD2＝BH2+DH2，
在Rt△FGH中，由勾股定理得：GF2＝HF2+HG2，
∴BG2+DF2＝BD2+GF2，
∴BG2+DF2＝102+102＝200，
则BG2+DF2的值为200．
【必考点3 四边形动点类综合题】
11．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P、E都在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，若四边形ABCD为正方形，点P在对角线BD上，PE⊥AP，交边CD于点E，连接AE交BD于点F．请求出∠PAE的度数并直接写出线段BP、PF、DF之间的数量关系．
【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论；
（2）先根据菱形的性质，得出△ABC 和△ACD都 是等边三角形，运用角的运算，得∠BAP＝∠CAE，证明△ABP≌△ACE，则 BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°，即∠CAH+∠ACE＝90°，则∠AHC＝90°，即CE⊥AD；
（3）因为正方形，所以BD平分∠ADC，∠ABP＝∠ADF＝45°，证明△APM≌△EPN，即△APE为等腰直角三角形，然后运用旋转性质得出△ABP≌△ADP故 AP＝AP，∠PAD＝∠BAP，BP＝DP，通过角 的换算，即∠PAF＝∠PAE＝45°，证明△PAF≌△PAE，所以PF＝PF，最后在 Rt△PFD中，P'F2＝BP2+DF2，即可作答．
【解答】解：（1）结论：BP＝CE，CE⊥AD；理由如下：
如图1，连接AC，延长CE交AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∵∠BAC＝∠PAE，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．
故答案为：BP＝CE，CE⊥AD；
（2）（1）中的结论成立．
证明：如图2，连接AC，AC与BD交于点O，
∴△ABC，△ACD为等边三角形，
在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，
又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP，
∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
设CE与AD交于点H，
在△ACH中，∠ACH+∠CAH＝30°+60°＝90°．
∴∠AHC＝90°，
即CE⊥AD；
（3）BP2+DF2＝PF2．理由如下：
如图3.1所示：过点P分别作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是 M、N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD平分∠ADC∠ABP＝∠ADF＝45°，
∴PM＝PN，且PM⊥PN，
又∵PE⊥AP，
∴∠APM＝∠EPN，
∴△APM≌△AEPN，
∴AP＝PE，即△APE为等腰直角三角形，
∴∠PAE＝45°，
把△ABP绕点A逆时针转 90°，AB与AD重合，点P 的对应点是P，如图3.2，
∴△ABP≌△ADP，
∴AP＝AP，∠PAD＝∠BAP，BP＝DP，
∵∠PAE＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAP+∠DAE＝90°﹣∠PAE＝45°，
∴∠PAD+∠DAE＝45°，
即∠PAF＝∠PAE＝45°，
∵AF＝AF，
∴△P′AF≌△PAE，
∴PF＝PF，
∵∠ADP'＝∠ABP＝∠ADF＝45°，
在Rt△PFD中，P'F2＝P'D2+DF2＝BP2+DF2，
∴BP2+DF2＝PF2．
12．如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，E为边BC延长线上一点，且CE＝AF，连接EF，与对角线AC相交于点G．
（I）求证：FG＝EG；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）连接BG，点P，M，N分别是△BGE三条边BE，BG，EG上的动点，若AD＝6，AF＝2，求PM+PN的最小值（直接写出结果即可）．
【分析】（I）过点F作FH⊥AB，与AC相交于点H．证明△FHG≌△ECG，即可得到FG＝EG；
（Ⅱ）取I为BF的中点，连接IG．证出AI＝IG，从而得到得．进一步可证明出结论；
（Ⅲ）先求出BF，BE，EF，BG，作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，过点E作EM⊥BG交BG的延长线于点Q，推出PM+PN的最小值为EQ，再利用面积法求出EQ即可解决问题．
【解答】解：（I）如图，过点F作FH⊥AB，与AC相交于点H．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝90°．
∴FH∥BC，∠FAH＝∠FHA＝45°．
∴∠HFG＝∠E，AF＝HF．
∵CE＝AF，
∴HF＝CE．
在△FHG和△ECG中，
∴△FHG≌△ECG（AAS）．
∴FG＝EG；
（Ⅱ）如图，取I为BF的中点，连接IG．
由（I）知FG＝EG，
∴．
∴∠AIG＝90°．
∴∠IGA＝∠IAG＝45°．
∴AI＝IG．
∴．可得．
∴；
（Ⅲ）．
理由：∵AD＝6，AF＝2，
∴FB＝AB﹣AF＝4，BE＝BC+CE＝8，
由勾股定理，得EF，
由（I）知BG是Rt△EFB斜边EF的中点，
∴GB＝GEEF，
∴∠GBE＝∠GEB，
如图，作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，过点E作EM⊥BG交BG的延长线于点Q，
则PN'＝PN，∠N'EB＝∠NEB＝∠GBE，
∴PM+PN＝PM+PN'≥N'M，EN'∥QB，
∴EQ为两平行线EN'与QB间的距离，
∴PM+PN'≥N'M≥EQ，
∴PM+PN的最小值为EQ，
取BE的中点J，连接GJ，
则GJ∥FB，GHFB＝2，
∴GJ⊥BE，
∵S△GBEBG•EQBE•GJ，
∴EQ，
∴PM+PN的最小值为．
13．四边形ABCD是正方形，点E是射线CB上一动点，过点A作AE⊥AF交直线CD于点F，作∠EAF的平分线AH交直线BC于点H，连接HF．
（1）如图1，若点E在线段CB延长线上，点H在线段CB上．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，连接BD交AH于点K，交AF于点L，请探索BK，KL，DL之间的数量关系并证明．
（2）请直接写出BH，BE和HF之间的数量关系．
【分析】（1）①由四边形ABCD是正方形，得∠1+∠BAF＝90°，由AE⊥AF，得∠2+∠BAF＝90°，故∠1＝∠2；
②在AE上取点G，使AG＝AL，连接BG，KG，证明△ABG≌△ADL（SAS），可得BG＝DL，∠ABG＝∠ADL，根据四边形ABCD是正方形，可得∠GBK＝∠ABD+∠ABG＝90°，故BK2+DL2＝GK2，而AH平分∠EAF，可证△AGK≌△ALK（SAS），GK＝KL，从而BK2+DL2＝KL2；
（2）当E在线段CB延长线上，H在线段CB时，证明△ABE≌△ADF（ASA），有AE＝AF，即可证△EAH≌△FAH（SAS），从而BE+BH＝HF；当E在线段CB延长线上，H在线段CB延长线上时，BE﹣BH＝HF；当E在线段CB上时，证明△ABE≌△ADF（ASA），得AE＝AF，可证△EAH≌△FAH（SAS），EH＝HF，故BH﹣BE＝HF．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，即∠1+∠BAF＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，即∠2+∠BAF＝90°，
∴∠1＝∠2；
②解：BK2+DL2＝KL2，证明如下：
在AE上取点G，使AG＝AL，连接BG，KG，如图：
在△ABG和△ADL中，
，
∴△ABG≌△ADL（SAS），
∴BG＝DL，∠ABG＝∠ADL，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADL＝45°，
∴∠GBK＝∠ABD+∠ABG＝90°，
∴BK2+BG2＝GK2，
∴BK2+DL2＝GK2，
∵AH平分∠EAF，
∴∠GAK＝∠LAK，
∵AG＝AL，AK＝AK，
∴△AGK≌△ALK（SAS），
∴GK＝KL，
∴BK2+DL2＝KL2；
（2）解：当E在线段CB延长线上，H在线段CB上时，如图：
∵∠1＝∠2，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAH＝∠FAH，AH＝AH，
∴△EAH≌△FAH（SAS），
∴EH＝HF，
∴BE+BH＝HF；
当E在线段CB延长线上，H在线段CB延长线上时，如图：
同理可得BE﹣BH＝HF，
当E在线段CB上时，如图：
∵∠BAE＝90°﹣∠DAE＝∠DAF，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAH＝∠FAH，AH＝AH，
∴△EAH≌△FAH（SAS），
∴EH＝HF，
∴BH﹣BE＝HF；
综上所述，当E在线段CB延长线上时，BE+BH＝HF或BE﹣BH＝HF；当E在线段CB上时，BH﹣BE＝HF．
14．【问题初探】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？直接判断：AE BF（填“＝”或“≠”）；
【问题迁移】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
【问题延伸】
（3）如图3，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
【问题拓展】
（4）如图4，在边长为4的正方形ABCD中，F是CD的中点．M是BF上的动点，过点M作EG⊥BF，分别交AD，BC于点G，E．直接写出（EF+BG）2的最小值为 ．
【分析】（1）可证明△ABE≌△BCF，从而得出AE＝BF；（2）作AH∥EG，交BC于H，由（1）知：AH＝BF，可证得四边形AHEG是平行四边形，从而GE＝AH，进而得出结论；
（3）先判断出FEAP，代换即可得到结论；
（4）过点F作FK∥EG，过点G作GK∥EF，根据平行四边形的性质得到GK＝EF，FK＝EG，求得EF+BG＝GK+BG，当B，G，K三点共线时，BG+KG的值最小，由（2）可知EG＝BF，求得FK＝BE，根据正方形的性质得到CFDC＝2，根据勾股定理得到BF2，根据勾股定理得到BK2，于是得到EF+BG的最小值为2．
【解答】（1）解：AE＝BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，
∴∠ABM+∠CBF＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠AMB＝90°，
∴∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF，
故答案为：＝；
（2）解：GE＝BF，
理由：如图2，
作AH∥EG，交BC于H，
∵EG⊥BF，
∴AH⊥BF，
由（1）知：AH＝BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴四边形AHEG是平行四边形，
∴GE＝AH，
∴GE＝BF；
（3）证明：如图3，连接FA，FP，FC
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FEAP，
由（1）知，AP＝MN，
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN；
（4）解：过点F作FK∥EG，过点G作GK∥EF，
∴四边形EFKG是平行四边形，
∴GK＝EF，FK＝EG，
∴EF+BG＝GK+BG，
∵BG+GK≥KK，
∴当B，G，K三点共线时，BG+KG的值最小，
由（2）可知EG＝BF，
∴FK＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CFDC＝2，
∴BF2，
∵BF⊥EG，FK∥EG，
∴FK⊥BF，
∴BK2，
∴EF+BG的最小值为2，
∴（EF+BG）2的最小值为40，
故答案为：40．
15．在正方形ABCD中、点M，E，分别是AB，AD边上一动点（不与A，B，D点重合），连接EM，EM的延长线交CB的延长线于点N．
（1）如图1，当∠AEM＝30°时，若AM＝4，CD＝12，求MN的长；
（2）如图2，过点A作AF⊥EN于点G，连接BG，有BM＝BF，求证：．
（3）如图3，AE＝4，CD＝12，将△AEM沿直线EM折叠，得到△EQM，过点E做EH⊥BC交BC于点H，连接HQ并延长交线段AB于点P，连接EP，当EP最大时，直接写出AP的值．
【分析】（1）先求出BM＝8，再根据直角三角形含30°角的性质可得MN的长；
（2）如图②，过点B作BH⊥BG，交DN于点H，则∠HBG＝90°，证明△ABC≌△NBM（AAS）和△ABG≌△NBG（ASA），再根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（3）如图③，当P与M重合时，AP最大，此时EP最大，先由勾股定理可得BP的长，从而可得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝12，
∴∠NBM＝90°，
∵AM＝4，
∴BM＝AB﹣AM＝12﹣4＝8，
∵AD∥BC，∠AEM＝30°，
∴∠N＝∠AEM＝30°，
∴MN＝2BM＝16；
（2）证明：如图2，过点B作BH⊥BG，交DN于点H，则∠HBG＝90°，
∵AF⊥EN，
∴∠AFB+∠N＝90°，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，
∴∠N＝∠BAF，
又∵BM＝BF，∠ABC＝∠NBM＝90°，
∴△ABF≌△NBM（AAS），
∴AB＝NB，
∵∠NBM＝∠HBG＝90°，
∴∠NBH+∠HBM＝∠ABG+∠HBM＝90°，
∴∠ABG＝∠NBH，
又∵∠N＝∠BAF，
∴△ABG≌△NBH（ASA），
∴NH＝AG，BH＝BG，
∵∠GBH＝90°，
∴△GBH是等腰直角三角形，
∴，
∵NG＝NH+GH，
∴；
（3）解：由折叠得：，∠EQM＝∠A＝90°，
∵EH⊥BC，∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴，AB＝EH＝12，
∴，，
∴当HP最小时，BP最小，AP最大，EP最大，
过点E作EK⊥HP，如图，
∵，
又∵，，
∵K点与Q点重合时，EK＝EQ＝4，HP最小，HP＝12，
此时EQ⊥HP，故点M、H、Q三点共线，M、P互相重合；
如图，
∴，
∴，
∴当EP最大时，AP的值为．
【必考点4 新定义四边形综合题】
16．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．根据上述垂美四边形的定义，回答以下问题．
（1）如图1，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）如图2，探究垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．请解决以下问题：
①求证：△AGB≌△ACE；
②若AC＝2，AB＝5，求线段GE的长度．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）①连接CG，BE，由∠CAG＝∠BAE＝90°知∠GAB＝∠CAE，结合AG＝AC与AB＝AE即可得证；
②由△GAB≌△CAE得出∠ABG＝∠AEC，进而根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【解答】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）①证明：连接CG，BE，如图2所示：
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△AGB和△ACE中，
∵，
∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②解：∵△AGB≌△ACE，
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝2，AB＝5，
∴BC，CG＝2，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝37，
∴GE．
17．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填字号）
（2）如图1，已知四边形ABCD是邻等对补四边形，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于点E，过C作CF，BE于点F；
①证明：BE＝DE；
②若AE＝6，AB﹣CD＝8，求AD的长．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，连接MN，使四边形ABMN是邻等对补四边形，连接BN，求BN的长．
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义即可得解；
（2）①利用一线三垂直证△ABE≅△BCF（AAS），从而得证；
②由题易得BF＝6，设AB＝x，则BE＝x﹣2，在Rt△ABE中利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）根据题意可知∠ANM＝90°；然后分类讨论，画出图形求解即可．
【解答】解：（1）①和③中对角不互补；②④符合邻等对补四边形的定义，
故答案为：②④；
（2）①∵四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝BC，AD＞AB，
∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠D＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥BE，
∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE＝CF，EF＝CD，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵DE＝CF，
∴BE＝DE；
②∵四边形CDEF是矩形，
∴DE＝CF，CD＝EF，
∵△ABE≌△BCF，
∴AE＝BF，CF＝BE，
∵AE＝6，AB﹣CD＝8，
∴BF＝6，
设AB＝x，
∵AB﹣CD＝8，
∴EF＝CD＝x﹣8，
∴BE＝BF+EF＝6+x﹣8＝x﹣2，
在Rt△ABE中，x2＝（x﹣2）2+62，
解得：x＝10，
∴AD＝AE+DE＝AE+CF＝AE+BE＝6+8＝14；
（3）∵四边形ABMN是邻等对补四边形，∠ABC＝90°，
∴∠ANM＝90°；
①如图1：当AB＝AN时，连接AM，则Rt△ABM≌Rt△ANM，
∴BM＝MN，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ABN为等边三角形，
∴；
②如图2：当AB＝BM时，
∴，
∴
过点N作NH⊥CM，
∴∠MNH＝∠C＝30°，
∴，
∴BH＝BM+MH＝2，
∴BN；
③如图3：当AN＝MN时，
设AN＝MN＝x，
∵∠C＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴AN＝MN＝22，
∴CN＝AC﹣AN＝6﹣2，
∵∠MNG＝∠C＝30°，
∴NG3，MG1，CGCN＝33，
∴，
∴BNBG＝3；
综上：BN＝2或或．
18．【定义】
在学习了“中心对称图形——平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形．勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”，并进行了以下问题的探究．
【理解】
（1）如图①，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接CE，DE，EF，CF，若DE＝CF，求证：四边形CDFE为“双直四边形”．
【应用】
（2）如图②，双直四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，对角线AC与BD相交于点O，且∠DAC＝45°，求四边形ABCD的面积．
【拓展】
（3）如图③，双直四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，且AD＝4BC，若AB＝4，求线段AD的长度．
【分析】（1）证明DE⊥CF，由“双直四边形”的定义可得出结论；
（2）由勾股定理求出AC，OA，根据三角形面积可得出答案；
（3）过D作DE⊥BC交BC延长线于点E，由勾股定理证明BC2+AD2＝AB2+CD2，设BC＝x，则AD＝4x，CE＝3x，得出x2+（4x）2＝42+（3x）2+42，求出x＝2，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CDF＝90°，AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴∠ADE＝∠DCF，
∴∠DCO+∠ODC＝∠ADE+∠ODC＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴DE⊥CF，
∴四边形CDFE为“双直四边形”；
（2）解：由题意知AC⊥BD，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC5，
∵，
∴OB，
∴OA，
∵∠DAC＝45°，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴OA＝OD，
∴BD＝OD+OB，
∴四边形ABCD的面积．
（3）解：过D作DE⊥BC交BC延长线于点E，
∵∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE，AB＝DE，
由双直四边形可得AC⊥BD，
∴OA2+OB2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，
∴OA2+OB2+OC2+OD2＝AB2+CD2，
同理可得OA2+OB2+OC2+OD2＝AD2+BC2，
∴BC2+AD2＝AB2+CD2，
设BC＝x，则AD＝4x，CE＝3x，
∴x2+（4x）2＝42+（3x）2+42，
∴x＝2（负值舍），
∴BC＝2，
∴AD＝8．
19．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线DB平分∠ADC．判断四边形ABCD是否是邻等四边形，并证明你的结论；
（2）如图2，在5×6的方格纸中，A、B、C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E．若AB＝4，AD＝2，求四边形EBCD的面积．
【分析】（1）先证明∠ABC＝180°﹣∠A＝90°，∠ADB＝∠CBD，再证明CD＝CB，即可得到结论；
（2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①∠B＝∠C＝90，结合图形再确定满足CB＝CD或AD＝CD的格点D；②∠B＝∠A＝90，结合图形再确定满足AB＝AD的格点D；
（3）过C作CQ⊥AD于Q，设DQ＝x，则CD＝CB＝x+2，利用勾股定理求出x，易证四边形ACBE是平行四边形，可得AE＝BC，进而即可得解．
【解答】解：（1）四边形ABCD是邻等四边形，证明如下：
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝90°，∠ADB＝∠CBD，
∵对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CD＝CB，
∴四边形ABCD为邻等四边形．
（2）如图，D1、D2、D3即为所求；
（3）如图，过C作CQ⊥AD于Q，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCQ是矩形，
∴AQ＝BC，AB＝CQ＝4，AD∥BC，
设DQ＝x，则AQ＝BC＝x+2，
∵∠BCD为邻等角，
∴CD＝CB＝x+2，
在Rt△CDQ中，DQ2+CQ2＝CD2，
即x2+16＝（x+2）2，
解得x＝3，
∴DQ＝3，CD＝CB＝5，
∵BE∥AC，AE∥BC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∴AE＝BC＝5，
∴S四边形EBCD
＝S△ABE+S梯形ABCD
（AD+BC）•AB
4×524．
20．我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．
如图1，∠D＝∠B＝90°且AB＝BC，则四边形ABCD是至善四边形．
（1）下列四边形一定是至善四边形的有 ．
①平行四边形；
②矩形；
③菱形；
④正方形．
（2）如图2，四边形ABCD为至善四边形，AB＝AD，AC＝3，∠BAD＝60°，求BC+CD的长及∠ACD的度数．
（3）如图3，正方形AOBH中，D为AB中点，在OB右边作等边△BOE，F为OE中点，连接AE交OD于点C，交DF于点G，求线段CD与EG的数量关系．
【分析】（1）根据至善四边形的定义及特殊平行四边形的性质进行判断即可；
（2）如图，延长CD至点E，使DE＝BC，根据至善四边形的定义推出∠ABC＝∠ADE，证明△ABC≌△ADE（SAS），得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，证明△ACE为等边三角形，即可得出答案；
（3）延长FB至点M，使得BM＝OF，连接BG，证明△DOF≌△DBM（SAS），得DF＝DM，∠ODF＝∠BDM，推出△DFM是等腰直角三角形，得∠BFG＝45°，证明△DBG为等边三角形，得∠DBG＝60°，BG＝BD，进一步推出△BEG是等腰直角三角形，得BG＝GE，在Rt△ADC中，由∠DAC＝30°和可得结论．
【解答】解：（1）①∵平行四边形的对角相等邻角互补，对边相等，它的对角不一定互补，邻边不一定相等，不符合至善四边形的定义，
故平行四边形不是至善四边形；
②∵矩形四个内角是直角，对边相等，它的对角互补，但邻边不一定相等，不符合至善四边形的定义，
故矩形不是至善四边形；
③∵菱形对角相等邻角互补，四边相等，它的一组邻边相等，但对角不一定互补，不符合至善四边形的定义，
故菱形不是至善四边形；
④∵正方形四个内角是直角，四边相等，它的对角互补且有一组邻边相等，符合至善四边形的定义，
故正方形是至善四边形；
故答案为：④；
（2）四边形ABCD为至善四边形，AB＝AD，∠BAD＝60°，如图2，延长CD至点E，使DE＝BC，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
∵∠BAC+∠CAD＝∠BAD＝60°，
∴∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD＝60°，
∴三角形ACE为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，CE＝AC，
∵AC＝3，
∴CE＝3，
∴BC+CD＝CD+DE＝CE＝3；
（3）正方形AOBH中，D为AB中点，如图3，延长FB至点M，使得BM＝OF，连接BG，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝∠BDO＝90°，，
∵三角形BOE是等边三角形，F为OE中点，
∴BE＝OE＝OB，∠BOE＝∠BEO＝60°，
∴BF⊥OE，即∠BFO＝90°，
∴∠BDO+∠BFO＝180°，
∴∠DBF+∠DOF＝360°﹣（∠BDO+∠BFO）＝180°，
∵∠DBF+∠DBM＝180°，
∴∠DOF＝∠DBM，
在△DOF和△DBM中，
，
∴△DOF≌△DBM（SAS），
∴DF＝DM，∠ODF＝∠BDM，
∵∠ODF+∠FDB＝∠BDO＝90°，
∴∠FDM＝∠BDM+∠FDB＝∠ODF+∠FDB＝90°，
∴三角形DFM是等腰直角三角形，
∴∠BFG＝45°，
∵∠BFO＝90°，
∴∠DFO＝90°﹣∠BFG＝90°﹣45°＝45°，
∵∠BOE＝60°，∠OBA＝∠DFO＝45°，
∴∠BDF＝60°，
∵∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+60°＝150°，OA＝OB＝OE，
∴，
∴∠CAB＝∠BAO﹣∠EAO＝45°﹣15°＝30°，
∴∠DGA＝∠BDF﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CAB＝∠DGA＝30°，
∴DG＝AD＝BD，
∴三角形DBG为等边三角形，
∴∠DBG＝60°，BG＝BD，
∴∠DBG+∠CAB＝60°+30°＝90°，
∴BG⊥AE，
∵∠AEO＝15°，∠BEO＝60°，
∴∠BEG＝∠BEO﹣∠AEO＝45°，
∴三角形BEG是等腰直角三角形，
∴BG＝GE，
∴GE＝AD，
在直角三角形ADC中，∠DAC＝30°，
∴AC＝2CD，
由勾股定理得：，
∴．
【必考点5 一次函数的实际应用题】
21．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（0＜a＜15）出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值．
【分析】（1）根据题意得：y＝（80﹣60）x+（120﹣90）（100﹣x）＝﹣10x+3000；
（2）由商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，得60x+90（100﹣x）≤8400，x≥20，再根据一次函数性质可得答案；
（3）根据题意可得：y＝（80﹣60+a）x+（120﹣90）（100﹣x），分三种情况：①当0＜a＜10时，x＝20，y有最大值，故20（a﹣10）+3000＝3120，②当a＝10时，a﹣10＝0，y＝3000，不符合题意；③当10＜a＜15时，x＝60，y有最大值，故60（a﹣10）+3000＝3120，解方程并检验可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（80﹣60）x+（120﹣90）（100﹣x）＝﹣10x+3000；
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+3000；
（2）∵商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，
∴60x+90（100﹣x）≤8400，
解得x≥20，
在y＝﹣10x+3000中，y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y取最大值﹣10×20+3000＝2800，
∴商场可获得的最大利润是2800元；
（3）根据题意得：
y＝（80﹣60+a）x+（120﹣90）（100﹣x），
即y＝（a﹣10）x+3000，其中20≤x≤60，
①当0＜a＜10时，a﹣10＜0，y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y有最大值，
∴20（a﹣10）+3000＝3120，
解得a＝16（不符合题意，舍去），
∴这种情况不存在；
②当a＝10时，a﹣10＝0，y＝3000，不符合题意；
③当10＜a＜15时，a﹣10＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y有最大值，
∴60（a﹣10）+3000＝3120，
解得a＝12，
综上所述，a的值为12．
22．今年春节假期以来，武汉旅游市场加速回暖，强势复苏，各种旅游纪念品的销量也逐步提升．某礼品店同时购进A，B两款纪念品共500件，已知A、B两款纪念品每件的进价分别为80元和100元，每件的售价分别为120元和150元，设购进A款纪念品x件（x为正整数），该礼品店售完全部A，B两款纪念品获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该礼品店计划最多投入4.6万元购进这两款纪念品，则至少购进多少件A款纪念品？若A，B两款纪念品全部售完，则该礼品店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，该礼品店进行降价促销，B款纪念品的售价降低a元（其中5＜a＜15），A款纪念品的售价不变，且最多购进300套A款纪念品．若保持这两款纪念品的进价不变，该礼品店如何进货使得全部售完A，B两款纪念品获得的利润最大？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出利润与购进A款纪念品数量的函数关系式；
（2）根据题意，可以写出利润与购进A款纪念品数量的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值；
（3）利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）y＝（120﹣80）x+（150﹣100）（500﹣x）
＝﹣10x+25000；
（2）依题意知80x+100（500﹣x）≤46000，
∴x＞200，
由（1）y＝﹣10x+25000，
∵﹣10＜0，
∴y随x增大而减小，
∴当x＝200时，可获最大利润为23000元，
答：至少购进200件A款纪念品，最大利润是23000元．
（3）设降价后的利润为W元，则
W＝（120﹣80）x+（150﹣a﹣100）（500﹣x）＝（a﹣10）x+25000﹣500a，
依题意知：200≤x≤300 当5＜a＜10时，a﹣10＜0，W随x增大而减小，
∴当 x＝200时，W最大，
当 a＝10时，a﹣10＝0，W不变，
当10＜a＜15时，a﹣10＞0，W随x增大而增大，
∴当x＝300时，W最大，
综上所述，当5＜a＜10时，购进A款纪念品200件，B款纪念品300 件，利润最大，当a＝10时，A、B两款纪念品共500件时，利润都一样，当10＜a＜15时，购进A款纪念品300件，B款纪念品200 件，利润最大．
23．某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如表所示：
水果名称
进价（元/千克）
售价（元/千克）
哈密瓜
a
10
苹果
b
销量不超过100千克的部分
销量超过100千克的部分
16
14
已知超市购进20千克哈密瓜和10千克苹果需要260元，购进10千克哈密瓜和20千克苹果需要310元．
（1）求a，b的值；
（2）若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克且不超过60千克，设每天销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计），
①分别求出每天销售哈密瓜的利润y1（单位：元），销售苹果的利润y2（单位：元）与x（单位：千克）的函数关系式，并写出x的取值范围；
②“端午节”当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保证当天销售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值．
【分析】（1）根据信息列二元一次方程得出答案；
（2）分类讨论，分别求出30≤x≤60和60＜x≤80时的函数关系；
（3）求出当x为多少时，y值最大，利用利润率公式得到关于m的不等式，解出m的最大值．
【解答】解：（1）由题可列，
解得．
（2）①据题意，得y1＝（10﹣7）x＝3x（40＜x＜60），
当150﹣x＜100，即50＜x＜60时，y2＝（16﹣12）×（150﹣x）＝﹣4x+600；
当150﹣x＞100，即40＜x＜50时，y2＝（16﹣12）×100+（14﹣12）×（150﹣x﹣100）＝﹣2x+500，
∴；
②根据题意，根据题意，得W＝（10﹣m﹣7）x+（14﹣12）×（150﹣x）＝（1﹣m）x+300，其中40＜x＜60，
∵当1﹣m＜0时，W＝（1﹣m）x+300＜300，不合题意，
∴k＝1﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，当x＝40时，W的取得最小值．
由题意得（1﹣m）×40+300≥320，解得m≤05，
∴m的最大值为0.5．
24．某文具专卖店计划购进A，B两种笔记本共100个，要求B种笔记本数量不低于A种笔记本数量的 ．且不高于A种笔记本数量的 ，已知A，B两种笔记本的进货价分别是10元/个，15元/个，设购进A种笔记本x个．
（1）求该专卖店计划购进这两种笔记本所需总费用y（元）与x之间的函数关系式：
（2）求该专卖店按计划购进这两种笔记本有多少种满足条件的方案？
（3）由于市场行情波动，实际进货时，A笔记本单价上调了2a元/个（a＞0），B笔记本单价下调了3a元/个，此时专卖店购进这两种笔记本所需的最少费用为1215元，求a的值．
【分析】（1）根据总费用＝A，B两种笔记本的费用之和列出函数解析式；
（2）根据“B种笔记本数量不低于A种笔记本数量的 ．且不高于A种笔记本数量的 ”列出不等式组，解不等式组即可；
（3）先根据总费用＝A，B两种笔记本的费用之和列出函数解析式，再分5a﹣5大于0，等于0，小于0三种情况，根据最小值为1215求值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝10x+15（100﹣x）＝﹣5x+1500，
∴该专卖店计划购进这两种笔记本所需总费用y（元）与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+100；
（2）∵B种笔记本数量不低于A种笔记本数量的 ．且不高于A种笔记本数量的 ，
∴，
解得75≤x≤80，
∵x为整数，
∴x可以取75，76，77，78，79，80这6个整数，
∴该公司按计划购买这两种设备有6种方案；
（3）根据题意可得：
y＝（10+2a）x+（15﹣3a）（100﹣x）
＝（5a﹣5）x+1500﹣300a，
①当5a﹣5＜0 时，即a＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y最小，
∴（5a﹣5）×80+1500﹣300a＝1215，
解得：a＝1.15，不符合a＜1（舍去）；
②当5a﹣5＝0时，即a＝1时，y＝1500﹣300a＝1200≠1215，
∴a＝1（舍去）；
③当5a﹣5＞0时，即a＞1 时，y随x的增大而增大，
∴当x＝75 时，y最小，
∴（5a﹣5）×75+1500﹣300a＝1215，
解得：a＝1.2，
综上所述，a＝1.2．
25．受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．
①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量x的取值范围．
【分析】（1）由图已知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可；
（2）①设购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果 （100﹣x）千克，根据实际意义可以确定x的范围，结合付款总金额w（元）与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用；
②根据题意分为40≤x≤50和50＜x≤60两种情况列不等式解题即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝mx，
根据题意得50m＝1500，
解得m＝30，
∴y＝30x；
当x＞50时，设y＝kx+b，
根据题意得，
解得 ，
∴y＝24x+300，
∴y，
（2）①设购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克
∴40≤x≤60，
当40≤x≤50时，
w1＝30x+25（100﹣x）＝5x+2500，
当x＝40时．w小＝2700元；
当50＜x≤60时，
w2＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800，
当x＝60时，w小＝2740元，
∵2740＞2700
∴当x＝40时，总费用最少，最少总费用为2700元此时乙种水果100﹣40＝60（千克），
答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w （元）最少．
②当40≤x≤50时，（41﹣30）x＞（36﹣25）（100﹣x），
解得x＞50，不符合题意；
当50＜x≤60时，41x﹣（24x+300）＞（36﹣25）（100﹣x），解得：x＞50，
∴甲种水果购进量的取值范围为：50＜x≤60．
【必考点6 一次函数与面积问题综合】
26．已知直线AB交x轴于点A（﹣1，0），交y轴于点B（0，3），点C（3，﹣1）．
（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）如图2，点P为直线y＝4上第一象限内一点，且∠PBC＝135°，求P点坐标；
（3）在直线y＝﹣x+5上是否存在点Q，使S△QAC＝2S△BQC．若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解直线的解析式即可；
（2）求解直线BC为yx+3，可得Q（，0），如图，过B作BG⊥BC于G，交直线y＝4于点F，记BC与直线y＝4的交点为E，作BP平分∠EBF，其反向延长线交x轴于H，可得∠PBC＝135°，过H作HI⊥BG于I，作HJ⊥BC于J，可得HI＝HJ，可得，设G（x，0），求解G（﹣4，0），H（，0），可得：HP为：y＝7x+3，再进一步可得答案；
（3）如图，设Q（m，﹣m+5），取AQ的中点N，可得S△ACN＝S△QCN，可得S△QCN＝S△QBC，当 BN∥CQ时满足条件；如图，当BC在CN的上方，即Q在y轴的右侧时，没有满足条件的点Q，如图，在BC上取B′使B′C＝BC，则S△BCQ＝S△B′CQ，显然，此时没有符合条件的点Q，如图，当B′N∥CQ时，S△BCQ＝S△B′CQ，＝S△NCQS△QCA，此时Q符合条件，再进一步利用平行线的性质建立方程求解即可．
【解答】解：（1）设直线AB为y＝kx+b，而直线AB交x轴于点A（﹣1，0），交y轴于点B（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AB为y＝3x+3．
（2）设直线BC为y＝mx+n，与x轴的交点为Q，
∴，
解得：，
∴直线BC为yx+3，
当yx+3＝0，则x，
∴Q（，0），
如图，过B作BG⊥BC于G，交直线y＝4于点F，记BC与直线y＝4的交点为E，作BP平分∠EBF，交EF与点P，其反向延长线交x轴于H，
∴∠FBP＝∠HBC＝∠GBH＝45°，
∴∠PBC＝135°，
过H作HI⊥BG于I，作HJ⊥BC于J，
∴HI＝HJ，
∴，
设G（x，0），
由勾股定理，OG2+OB2+OB2+OQ2＝GQ2
∴x2+32+32+（）2＝（x）2，
解得：x＝﹣4，
∴G（﹣4，0），
∴BG5，BQ，
∴，而GQ＝4，
∴GHGQ，
∴OH＝4，
∴H（，0），
同理可得：HP为：y＝7x+3，
当y＝4时，7x+3＝4，
∴x，
∴P（，4）．
（3）如图，设Q（m，﹣m+5），取AQ的中点N，
∴S△ACN＝S△QCN，
∵S△QAC＝2S△BQC，
∴S△QCN＝S△BQC，
∴当BN∥CQ时满足条件；
∵A（﹣1，0），Q（m，﹣m+5），
∴N（，）．
设直线BN为y＝ex+3，
∴e+3，
∴e，
设直线CQ为y＝k1x+b1，
同理可得k1，
∵BN∥CQ，
∴，
解得：m，经检验符合题意；
∴Q（，）；
如图，当BC在CN的上方，即Q在y轴的右侧时，没有满足条件的点Q，
如图，在BC上取B′使B′C＝BC，
则S△BCQ＝S△B′CQ，
显然，此时没有符合条件的点Q，
如图，当B′N∥CQ时，
S△BCQ＝S△B′CQ＝S△NCQS△QCA，此时Q符合条件，
同理可得Q（m，﹣m+5），C（3，﹣1），B（0，3），
∴N（，），B′（6，﹣5），
设CQ为y＝k2x+b2，
同理可得k2，
设B′N为：y＝k3x+b3，
同理可得k3，
∴，
解得：m＝33，经检验符合题意，
∴Q（33，﹣28），
综上：Q（，）；或Q（33，﹣28）．
27．如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AC交x轴于点C，△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，直线AC上的两点E，F，△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标；
（3）如图3，若OD交AC于点G，在线段AB上是否存在一点H，使△ADC与△AGH的面积相等，若存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在Rt△BCD中，BC＝8﹣x，CD＝x，BD＝10﹣6＝4，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3，即可求解；
（2）证明△EMB≌△BNF（AAS），则EM＝m+8＝BN＝﹣2n﹣6且BM＝2m+6＝FN＝n+8，解得：m＝﹣2，即可求解；
（3）过点C作CH∥OD，则△DGH和△DGC面积相等，而△ADC与△AGH的面积相等，故点H为所求点，即可求解．
【解答】解：（1）直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，6）、（﹣8，0），则AB＝10，
∵△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处，
故设CD＝x＝OC，
则Rt△BCD中，BC＝8﹣x，CD＝x，BD＝10﹣6＝4，
由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
即（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3，
即点C（﹣3，0）；
（2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+6，
过点B作y轴的平行线交过点E和x轴的平行线于点M，交过点F和x轴的平行线于点N，如图2，
设点E、F的坐标分别为：（m，2m+6）、（n，2n+6），
∵△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，则BE＝BF，∠EBF＝90°，
∵∠EBM+∠FBN＝90°，∠FBN+∠BFN＝90°，
∴∠MBE＝∠BFN，
∵∠EMB＝∠BNF＝90°，
∴△EMB≌△BNF（AAS），
∴EM＝m+8＝BN＝﹣2n﹣6且BM＝2m+6＝FN＝n+8，
解得：m＝﹣2，
即点E（﹣2，2）；
（3）∵S△BCDCD•BDBC•yD，
即3×4＝5yD，则yD，
则点D（，）；
由点D的坐标得，直线OD的表达式为：yx，
过点C作CH∥OD，则△DGH和△DGC面积相等，
而△ADC与△AGH的面积相等，
故点H为所求点，
则CH的表达式为：y（x+3），
联立上式和直线AB的表达式得：x+6（x+3），
解得：x＝﹣6，
即点H（﹣6，）．
28．综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：与直线AC：y＝kx﹣4相交于点，与x轴交于点B（4，0），直线AC与x轴交于点C．
（1）直接写出k，b，m的值．
（2）如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线AB，AC于点D，E，连接AP．设点P的坐标为（0，n）．
①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示）
②当DE＝OB时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，线段BC上是否存在点Q，使S△ABQ＝S△APD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把B（4，0）代入，求得b，得直线AB的解析式为，把代入，求得m，得点，将其代入y＝kx﹣4，即可求得k的值；
（2）①将y＝n代入，y＝﹣2x﹣4分别求出x即可求解；
②由两点坐标可得，当DE＝OB时，即，求得n，即可；
（3）由（2）可知点P的坐标为（0，﹣4）或，分两种情况，当点P的坐标为（0，﹣4）时，当点P的坐标为时，再根据，S△ABQ＝S△APD，，求出BQ，再结合点Q在线段BC上，且B（4，0）即可得点点Q的坐标．
【解答】解：（1）把B（4，0）代入yx+b，得4+b＝0，
解得：b＝﹣2，
∴直线AB的解析式为：yx﹣2，
把A（m，）代入yx﹣2，得：m﹣2，
解得：m，即A（，），
把A（，）代入y＝kx﹣4，得k﹣4，
解得：k＝﹣2；
（2）①∵P（0，n），
∴E、D的纵坐标为n，
∴将y＝n代入yx﹣2，得x＝2n+4，即：D（2n+4，n），
将y＝n代入y＝﹣2x﹣4，得x，即：E（，n），
故答案为：（2n+4，n），（，n）；
②由①知D（2n+4，n），E（，n），则DE＝|（2n+4）﹣（）|＝|n+6|，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
当DE＝OB时，即：n+6|＝4，
解得：n＝﹣4或n，
此时，点P的坐标为（0，﹣4）或（0，）；
（3）由（2）可知点P的坐标为（0，﹣4）或（0，），
当点P的坐标为（0，﹣4）时，此时点D（﹣4，﹣4），则DP＝4，
∵S△ABQ＝S△APD，点Q在线段BC上，且B（4，0）
∴S△ABQBQ•|yA|，即：BQ，
解得：BQ，
∴Q（4，0），即Q（，0），
当点P的坐标为时，此时点，则，
，
∵S△ABQ＝S△APD，点Q在线段BC上，且B（4，0），
∴S△ABQBQ•|yA|，即：BQ，
解得：BQ，
∴Q（4，0），即Q（，0）；
综上，点P的坐标为（0，﹣4）时，点Q的坐标为，当点P的坐标为时，点Q的坐标为．
【必考点7 一次函数与角度问题综合】
29．如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若PQ的长为4，求点M的坐标；
②如图2，连接BM，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP＝∠BAC，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；
（2）①用三角形面积公式即可得出结论；
②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°可得当∠MBC＝90°时，利用勾股定理建立方程即可求解．
【解答】解：（1）对于，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，，
解得：x＝﹣6，
∴点B（0，3），A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴点C（6，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为；
（2）①设M（m，0），则点P（m，m+3），Q（m，m+3），
∴PQ＝|m+3﹣（m+3）|＝4，
解得：m＝±4，
∴点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BCA+∠BMC＝90°，
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则，
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，
解得：，
∴，
当点M在y轴的右侧时，
同理可得，
综上所述，点P的坐标为或．
30．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．
（1）直接写出k的值为 ；
（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；
（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式求得k的值；
（2）首先利用待定系数法求得直线l2为；然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M、N的坐标，由两点间的距离公式求得MN，MQ的代数式，由已知条件，列出方程，借助于方程求得t的值；
（3）在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，构造全等三角形△OBP≌△RPQ（AAS）；然后根据全等三角形的性质、坐标与图形性质求得Q（5，1），易得直线BQ的解析式，所以将点N代入该解析式来求m的值即可．
【解答】解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．
解得k＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（2）∵在直线y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），
∵A（4，0），
∴线段AB的中点P的坐标为（2，2），代入，得n＝1，
∴直线l2为，
∵QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，Q（t，0），
∴M（t，﹣t+4），，
∴，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，
∵MN＝2MQ，
∴，分情况讨论：
①当t≥4时，，解得：t＝10．
②当2≤t＜4时，，解得：．
③当t＜2时，，解得：t＝10＞2，舍去．综上所述：或t＝10．
（3）在x轴上取一点P（1，0），连接BP，
作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，
∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，
∴∠BPO＝∠PQR，
∵OA＝OB＝4，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵M（﹣1，0），
∴OP＝OM＝1，
∴BP＝BM，
∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，
∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，
∴PB＝PQ，
∴△OBP≌△RPQ（AAS），
∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，
∴OR＝5，
∴Q（5，1），
∴直线BN的解析式为，
将N（5m，3m+2）代入，得3m+25m+4
解得 ，
∴．
31．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为（0，3）、（﹣3，0）、（0，﹣3），把△ABC沿AC翻折，点B恰好落在x轴的点D处，AC为折痕．
（1）求直线AD的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，有一个动点P（x，y）使得S△PAD＝3，动点P的纵坐标y是否为横坐标x的函数？若是，求出y关于x的函数解析式；若否，请说明理由；
（3）连接AD、CD，点E为边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交∠BCD外角的平分线CF于点F，求证AE＝EF．
【分析】（1）由翻折的性质可得，D（3，0），待定系数法求直线AD的解析式即可；
（2）由题意知，OA＝OD＝3，则∠ADO＝45°，由勾股定理得，，设P到AD的距离为h，依题意得，，可求，即点P在距离AD为的直线l1，l2上运动，如图1，记l1与x轴的交点为M，l2与x轴的交点为N，作DP⊥l1于P，则l1∥AD，l2∥AD，可求，由勾股定理得，，则M（5，0），N（1，0），设直线l1的解析式为y＝﹣x+c；将M（5，0）代入，可求c＝5，则直线l1的解析式为y＝﹣x+5；同理，直线l2的解析式为y＝﹣x+1；
（3）如图2，延长AE交CF的延长线于G，记EF与y轴的交点为J，则∠FEG＝∠AEJ＝90°，证明四边形ABCD是正方形，∠BCO＝∠DCO＝45°，证明BD∥CF，则∠ACG＝∠AOB＝90°，由∠EGF+∠EFG＝90°＝∠EGF+∠EAJ，可得∠EFG＝∠EAJ，如图2，作EH⊥CG于H，EL⊥y轴于L，证明四边形EHCL是正方形，则EL＝EH，∠LEH＝90°＝∠JEG，∠JEL＝∠GEH，证明△JLE≌△GHE（ASA），则EJ＝EG，证明△EFG≌△EAJ（AAS），进而可证AE＝EF．
【解答】（1）解：在平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为（0，3）、（﹣3，0）、（0，﹣3），把△ABC沿AC翻折，点B恰好落在x轴的点D处，
∴D（3，0），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，将点A，点D的坐标代入得：
，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3；
（2）解：动点P的纵坐标y是为横坐标x的函数；理由如下：
由题意知，OA＝OD＝3，
∴∠ADO＝45°，
由勾股定理得，，
设P到AD的距离为h，
依题意得，，
解得，，
∴点P在距离AD为的直线l1，l2上运动，如图1，记l1与x轴的交点为M，l2与x轴的交点为N，作DP⊥l1于P，
∴l1∥AD，l2∥AD，
∴∠PMD＝∠ADO＝45°，，
∴∠PDM＝45°＝∠PMD，
∴，
由勾股定理得，，
∴M（5，0），
同理可得，N（1，0），
设直线l1的解析式为y＝﹣x+c；
将M（5，0）代入得，﹣5+c＝0，
解得，c＝5，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+5；
同理，直线l2的解析式为y＝﹣x+1；
∴动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，y关于x的函数解析式为y＝﹣x+5或y＝﹣x+1；
（3）证明：如图2，延长AE交CF的延长线于G，记EF与y轴的交点为J，
∴∠FEG＝∠AEJ＝90°，
∵OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，∠BCO＝∠DCO＝45°，
∴∠BCD外角为90°，
∴∠DCF＝45°，
∴∠OCF＝90°＝∠AOD，
∴BD∥CF，
∴∠ACG＝∠AOB＝90°，
∵∠EGF+∠EFG＝90°＝∠EGF+∠EAJ，
∴∠EFG＝∠EAJ，
如图2，作EH⊥CG于H，EL⊥y轴于L，
∴四边形EHCL是矩形，
∴∠LEC＝45°＝∠BCO，
∴EL＝CL，
∴四边形EHCL是正方形，
∴EL＝EH，∠LEH＝90°＝∠JEG，
∴∠JEL+∠HEJ＝∠GEH+∠HEJ，即∠JEL＝∠GEH，
又∵EL＝EH，∠JLE＝90°＝∠GHE，
∴△JLE≌△GHE（ASA），
∴EJ＝EG，
∵∠EFG＝∠EAJ，∠FEG＝∠AEJ＝90°，EG＝EJ，
∴△EFG≌△EAJ（AAS），
∴AE＝EF．
32．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（﹣a，a），与y轴交于点B（0，b），且（a﹣2）20．
（1）求直线l2的解析式；
（2）若第二象限有一点P（m，8），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标；
（3）线段OA上是否存在一个点M，使得∠ABO+∠MBO＝45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用非负数的性质求得a＝2，b＝6，可得A（﹣2，2），B（0，6），再运用待定系数法即可求得答案；
（2）作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣6），根据同底等高的三角形面积相等，可知点P在经过点B或B′与OA平行的直线上，运用待定系数法可得BP的解析式为y＝﹣x+6，直线B′P′的解析式为y＝﹣x﹣6，将P（m，8）代入解析式即可求得答案；
（3）先求得直线AB交x轴于点H（﹣3，0），作点H关于y轴的对称点H′（3，0），连接BH′，以BH′为直角边向BH′下方作等腰直角三角形BEH′，使∠BH′E＝90°，过点E作EF⊥x轴等于F，再证得△BH′O≌△H′EF（AAS），可求得E（﹣3，﹣3），运用待定系数法求得直线BE和OA的解析式，联立BE、OA的解析式即可求得点M的坐标．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）20，
∴a﹣2＝0，b﹣6＝0，
∴a＝2，b＝6，
∴A（﹣2，2），B（0，6），
设直线l2的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝2x+6；
（2）作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣6），
∵S△AOP＝S△AOB，
∴点P在经过点B或B′与OA平行的直线上，
∵A（﹣2，2），
∴直线OA的解析式为y＝﹣x，
过点B作OA的平行线BP，则BP的解析式为y＝﹣x+c，
把B（0，6）代入得：c＝6，
∴BP的解析式为y＝﹣x+6，
把P（m，8）代入得：8＝﹣m+6，
解得：m＝﹣2，
∴P（﹣2，8）；
同理可得直线B′P′的解析式为y＝﹣x﹣6，
把P（m，8）代入得：8＝﹣m﹣6，
解得：m＝﹣14，
∴P′（﹣14，8）；
综上所述，当S△AOP＝S△AOB时，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣14，8）；
（3）存在．理由如下：
由（1）知直线AB的解析式为y＝2x+6，
当y＝0时，2x+6＝0，
解得x＝﹣3，
∴直线AB交x轴于点H（﹣3，0），
作点H关于y轴的对称点H′（3，0），连接BH′，以BH′为直角边向BH′下方作等腰直角三角形BEH′，使∠BH′E＝90°，过点E作EF⊥x轴等于F，如图，
∵△BEH′是等腰直角三角形，
∴BH′＝EH′，∠BOH′＝∠EFH′＝90°，∠EBH′＝∠H′BO+∠MBO＝45°，
∴∠ABO+∠MBO＝∠H′BO+∠MBO＝45°，
∵∠H′BO+∠BH′O＝90°，∠EH′F+∠BH′O＝90°，
∴∠H′BO＝∠EH′F，
在△BH′O和△H′EF中，
，
∴△BH′O≌△H′EF（AAS），
∴EF＝OH′＝3，FH′＝OB＝6，
∴OF＝FH′﹣OH′＝6﹣3＝3，
∴E（﹣3，﹣3），
设直线BE的解析式为y＝k1x+b1，则，
解得，
∴直线BE的解析式为y＝3x+6，
同理可得直线OA的解析式为y＝﹣x，
联立得，
解得，
∴M（，）．
33．综合与实践
如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知OA＝4，OB＝3．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求S△ABC：S△OCD的值．
（3）直线CD上是否存在点P使得∠PBC＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）设OC＝a，根据勾股定理OC2+OD2＝CD2可以求出OC长，进而求出三角形的面积比；
（3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可．
【解答】解：（1）由题意得A（﹣4，0），B（0，﹣3），
将A，B两点点坐标代入y＝kx+b得，
，
解得，
∴直线AB的解析式为：．
（2）设OC＝a，则AC＝4﹣a，
由折叠性质知：CD＝CA＝4﹣a．
在Rt△OCD中：OC2+OD2＝CD2，
∴a2+22＝（4﹣a）2，
∴．
∴，
∴S△ABC，．
∴．
（3）P1（﹣3，﹣2），P2（3，6），理由如下：
如图，当点P在第三象限内时，过C作CM⊥PB于M，过M作ME⊥x轴，MF⊥y轴于E，F，
则CM＝MB，∠MEC＝∠MFB＝90°，
又∵∠EMF＝∠CMB＝90°，
∴∠EMC＝∠FMB，
△MCE≌△MBF，
∴ME＝MF，CE＝BF，
∵ME⊥x轴，MF⊥y轴，
∴EMFO为正方形，
∴，
∴），
∴直线BM解析式为：，
∵C、D两点坐标为：，
∴直线CD解析式为：，
联立解得：，
∴P（﹣3，﹣2）．
如图，当点P在第一象限内时，过C作CM⊥PB于M，过M作ME⊥x轴，MF⊥y轴于E，F，
则CM＝MB，∠MEC＝∠MFB＝90°，
又∵∠EMF＝∠CMB＝90°，
∴∠EMC＝∠FMB△MCE≌△MBF，
∴ME＝MF，CE＝BF，
∵ME⊥x轴，MF⊥y轴，
∴EMFO为正方形，
∴，
∴，
∴直线BM解析式为：y＝3x﹣3，
∵C、D两点坐标为：，
∴直线CD解析式为：，
联立解得：，
∴P（3，6），
综上所述，P（﹣3，﹣2）或P（3，6）．
【必考点8 一次函数与平行四边形综合】
34．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝kx+6k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，8）．
（1）求点A的坐标；
（2）P是x轴上一点，已知∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）如图（2），已知AC平分∠BAO，D为AB的中点．
①请直接写出直线CD的解析式；
②点M在直线CD上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）由直线 y＝kx+6k过点B（0，8），得k，故直线AB解析式为yx+8，令y＝0可得A（﹣6，0）；
（2）①当P在点A右侧时，过点A作AD⊥AB，AD＝AB，连接BD，则BD与x轴的交点即为点P．过点D作DE⊥x轴于点E，则∠BOA＝∠AED＝∠BAD＝90°，证明△ABO≌△DAE（AAS），得AE＝OB＝8，DE＝OA＝6，故D（2，﹣6），直线BD解析式为y＝﹣7x+8，即可得P（，0）；②当P在点A左侧时，过点A作AC⊥AB，AC＝AB，连接BC，则BC与x轴的交点即为点P，同理可得C（﹣14，6），直线BC的解析式为yx+8；故P（﹣56，0）；
（3）①过C作CH⊥AB于H，证明△ACH≌△ACO（AAS），可得CH＝CO，AH＝OA＝6，设OC＝t，则BC＝8﹣t，有42+t2＝（8﹣t）2，可得C（0，3），直线CD解析式为yx+3；
②设M（m，m+3），N（n，0），当MN，AB为对角线时，MN，AB的中点重合，，当MA，NB为对角线时，MA，NB的中点重合，，当MB，NA为对角线时，MA，NB的中点重合，，解方程组可得答案．
【解答】解：（1）∵直线 y＝kx+6k过点B（0，8），
∴6k＝8，
解得k，
∴直线AB解析式为yx+8，
令y＝0，则 ，
解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0）；
（2）①当P在点A右侧时，过点A作AD⊥AB，AD＝AB，连接BD，则BD与x轴的交点即为点P．过点D作DE⊥x轴于点E，则∠BOA＝∠AED＝∠BAD＝90°，如图：
∴∠ABO+∠BAO＝∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAE，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴AE＝OB＝8，DE＝OA＝6，
∴D（2，﹣6），
由B（0，8），D（2，﹣6）得直线BD解析式为y＝﹣7x+8，
令y＝0，则﹣7x+8＝0，
∴解得x，
∴P（，0）；
②当P在点A左侧时，过点A作AC⊥AB，AC＝AB，连接BC，则BC与x轴的交点即为点P，
同理可得C（﹣14，6），
由B（0，8），C（﹣14，6）可得直线BC的解析式为yx+8；
令y＝0，则，
∴x＝﹣56，
∴P（﹣56，0），
综上所述，P的坐标为（，0）或（﹣56，0）；
（3）①过C作CH⊥AB于H，如图：
∵A（﹣6，0），B（0，8），D为AB中点，
∴AB10，D（﹣3，4），
∵AC平分∠BAO，
∴∠HAC＝∠OAC，
∵∠AHC＝90°＝∠AOC，AC＝AC，
∴△ACH≌△ACO（AAS），
∴CH＝CO，AH＝OA＝6，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
设OC＝t，则BC＝8﹣t，
∵BH2+CH2＝BC2，
∴42+t2＝（8﹣t）2，
解得t＝3，
∴C（0，3），
设直线CD解析式为y＝kx+b，把C（0，3），D（﹣3，4）代入得：
，
解得，
∴直线CD解析式为yx+3；
②设M（m，m+3），N（n，0），
又A（﹣6，0），B（0，8），
当MN，AB为对角线时，MN，AB的中点重合，
∴，
解得，
∴N（9，0）；
当MA，NB为对角线时，MA，NB的中点重合，
，
解得，
∴N（﹣21，0）；
当MB，NA为对角线时，MB，NA的中点重合，
∴，
解得，
∴N（39，0）；
综上所述，N的坐标为（﹣21，0）或（9，0）或（39，0）．
35．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC＝90°，∠BCO＝45°，
BC，点C的坐标为（﹣12，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）若直线BD交y轴于点D，且OD＝3，在x轴上有一点M，求当MB+MD最小时，M的坐标．
（3）若点P平面内一个动点，是否存在点P，使以B，C，O，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据45°角可以构造等腰直角三角形，再利用勾股定理求出BE和CE，再用线段和差求OE，则B坐标即可求出；
（2）看见MB+MD这种线段和最小值问题，需要联想到轴对称最短路径问题中的“将军饮马模型”，作D关于x轴的对称点D'，再求出直线BD'与x轴交点坐标即为所求；
（3）平行四边形的存在性问题先找定线段，以这个定线段为边和这个定线段为对角线分类讨论画出图形，再利用点的平移求解即可．
【解答】解：（1）过B作BE⊥x轴于点E，
∵∠BCO＝45°，
∴BE＝CE，
∵BC＝8，
∴BE＝CE＝8，
∵C（﹣12，0），
∴OC＝12，
∴OE＝0C﹣CE＝4，
∵点B在第二象限，
∴B（﹣4，8）；
（2）作D关于x轴的对称点D'，
则MB+MD＝MB+MD'≥BD'，
当B、M、D'三点共线时取等号，即此时MB+MD最小，
∵OD＝3，
∴OD'＝3，
∴D'（0，﹣3），
由（1）知B坐标为（﹣4，8），
设直线BD'解析式为y＝kx+b，将B、D两点坐标代入得，
，
解得，
∴直线BD'解析式为yx﹣3，
令y＝0得，x，
∴当MB+MD最小时，M坐标为（，0）．
（3）①以OC为边时，如图所示，会有两个P点，分别是P1和P2满足题意，
∵OC＝12，
∴BP1＝BP2＝12，
∴P1（8，8），P2（﹣16，8）；
②当以OC为对角线时，如图所示，会有一个P点，即P3满足题意，
∵B（﹣4，8），C（﹣12，0），
∴点B向左平移8个单位，向下平移8个单位得到点C，
则点O向左平移8个单位，向下平移8个单位得到点P3，
∴P3（﹣8，﹣8），
综上，P的坐标为（8，8）或（﹣16，8）或（﹣8，﹣8）．
36．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D．（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点，使得O，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，请求出点P的坐标．
【分析】（1）对于直线y＝﹣3x，令x＝0，则y，故点B（0，），同理可得点D（0，3）、（4，0），△BCD的面积BD×OC，此题得解；
（2）证明△EHB≌△RGE（AAS），则RG＝EH，BH＝GE，得等式m＝﹣3nm﹣3，m+3m﹣n，解答即可得到E点坐标；
（3）设F的坐标为（0，a），分别求得DE，EF，利用S△DEF求得点F的坐标为（0，），求出直线EF的表达式为yx；分点P在点Q的上方、点P在点Q的下方两种情况，利用平移的性质分别求解即可．
【解答】解：（1）直线y＝﹣3x，令x＝0，则y，
故点B（0，）；
yx+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，即x+3＝0，
解得：x＝4，
故点D（0，3）、C（4，0），
则BD＝3，OC＝4，
∴△BCD的面积BD×OC4＝11；
（2）由题意，∠ABE＝45°，观察图象可知，点E只能直线在AB的右侧，过点E作BE的垂线交AB于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，
设点E（m，m+3），点R（n，﹣3n），
∵∠ABE＝45°，故ER＝EB，
∵∠REG+∠BEH＝90°，∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠REG＝∠EBH，
∵∠EHB＝∠RGE＝90°，EB＝ER，
∴△EHB≌△RGE（AAS），
∴RG＝EH，BH＝GE，
即m＝﹣3nm﹣3，m+3m﹣n，
解得，
故点E（2，）；
（3）设F的坐标为（0，a），
∵D（0，3），E（2，），
∴DE，EF，
设F的坐标为（0，a），则：
S△DEF（3﹣a）×2，
化简得：（3a）2＝0，
解得：a，
∴点F的坐标为（0，），
设直线EF的表达式为y＝kx，
将点E的坐标代入得：2k，
解得：k，
故直线EF的表达式为yx，
当P在Q上方时，点O向右平移2个单位向上平移个单位得到E，
∴右平移2个单位向上平移个单位得到P（，），
∵P（，）在直线EFyx上，故满足条件，
当P在Q点下方时，P不在直线EF上，不满足条件，
综上，点P的坐标为（，）．
37．综合与探究
如图，已知直线与直线l2：y＝﹣2x+16相交于点C，直线l1，l2分别与x轴于点A，B．
（1）求△ABC的面积．
（2）点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线l1，l2于点M，N．当PM＝2MN时，求m的值．
（3）过点B作x轴的垂线，交直线l1于点D，过点D作x轴的平行线，交直线l2于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别令直线l1、l2的解析式中y＝0，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，联立直线l1、l2的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
（2）分m＜5，m＞5两种情况分别用含有m的代数式表示出PM，PN，MN，根据PM＝2MN列出方程，求出m的值即可；
（3）分别求出点D，E，C的坐标，分CD，EF为对角线，CE，FD为对角线，ED，CF为对角线，分别讨论求解即可，
【解答】解：（1）令直线中y＝0，则，
解得，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0）；
令直线l2：y＝﹣2x+16中y＝0，则﹣2x+16＝0，
解得，x＝8，
∴B（8，0），
∴AB＝8﹣（﹣4）＝12．
联立直线l1、l2的解析式成方程组，，
解得，
∴交点C的坐标为（5，6）
∴．
（2）①当m＜5时，，
∴，
∴，
∵PM＝2MN，
∴，
解得，m＝4；
当5＜m＜8时，，
∴，
∴MN＝PM﹣PNm（﹣2m+16）m，
∵PM＝2MN，
∴m2（m），
解得，m，
当m＞8时，不存在，
综上所述，m的值为4或；
（3）解：∵B（8，0），且DB⊥x轴，点D在上，
∴y＝8，
∴D（8，8），
同理可得：E（4，8），
又C（5，6），
设F（m，n）
①当CD，EF为对角线，CD，EF的交点重合，即对角线的交点，
∴CD的中点坐标为，即，则有：
，
解得，m＝9，n＝6，
所以，点F坐标为（9，6）；
②当CE，FD为对角线时，
∴CE的中点坐标为，即，则有：
，
解得，m＝1，n＝6，
所以，点F坐标为（1，6）；
③当ED，CF为对角线时，
∴ED的中点坐标为，即（6，8），则有：
，
解得，m＝7，n＝10，
所以，点F坐标为（7，10）．
综上所述，存在这样的点F坐标为（9，6）或（1，6）或（7，10）．
38．综合与探究如图，已知直线与直线l2：y＝﹣2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点，
（1）求△ABC的面积；
（2）过点B作x轴垂线交直线l1于点D，过点D作x轴平行线交直线l2于点E，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，
①求线段EF的长；
②点G是第一象限内一点，且以G，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点G的坐标．
【分析】（1）把y＝0代入l1解析式求出x的值便可求出点A的坐标．令x＝0代入l2的解析式求出点B的坐标．然后可求出AB的长，联立方程组可求出交点C的坐标，继而求出三角形ABC的面积；
（2）①由BD⊥x轴，B点坐标为（8，0），得到D点的横坐标为8，把x＝8代入yx得y88，求得D（8，8），根据矩形的判定定理得到四边形BDEF是矩形，根据矩形的性质得到EF＝BD＝8；
②分别求出点D，E，C的坐标，分CD，EF为对角线，CE，FD为对角线，ED，CF为对角线，分别讨论求解即可，
【解答】解：（1）由x0，得x＝﹣4．
∴A点坐标为（﹣4，0），
由﹣2x+16＝0，
得x＝8．
∴B点坐标为（8，0），
∴AB＝8﹣（﹣4）＝12，
由，解得，
∴C点的坐标为（5，6），
∴S△ABCAB•yC12×6＝36；
（2）①∵BD⊥x轴，B点坐标为（8，0），
∴D点的横坐标为8，
把x＝8代入yx得y88，
∴D（8，8），
∵EF⊥x轴，
∴EF∥BD，
∵ED∥BF，
∴四边形BDEF是矩形，
∴EF＝BD＝8；
②∵B（8，0），D（8，8），
设E（a，8），
∵E（a，8）在直线l2：y＝﹣2x+16上，
∴8＝﹣2a+16，
∴a＝4，
∴E（4，8），
∵C（5，6），
设G（m，n）
①当CD，EG为对角线，CD，EG的交点重合，即对角线的交点，
∴CD的中点坐标为（，），即（，7），则有：
，7，
解得，m＝9，n＝6，
所以，点G坐标为（9，6）；
②当CE，GD为对角线时，
∴CE的中点坐标为（，），即（，7），则有：
，7，
解得，m＝1，n＝6，
所以，点G坐标为（1，6）；
③当ED，CG为对角线时，
∴ED的中点坐标为（，），即（6，8），则有：
，8，
解得，m＝7，n＝10，
所以，点G坐标为（7，10）．
综上所述，点G坐标为（9，6）或（1，6）或（7，10）．
【必考点9 一次函数与菱形综合】
39．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数yx+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求得b＝ ；
（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：5，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．
【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x＝0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD＝b，再令x＝6，可得E的坐标，即可得出BE＝4﹣b，根据OD＝BE得出关于b的方程，求得b的值；
（2）由△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：5，可得S梯形AEDO＝6S△ODM，设M（m，m+2），建立方程求解即可得出M的坐标；
（3）分成四边形AMEN是菱形和四边形AMNE是菱形两种情况进行讨论，当四边形AMEN是菱形时，M是AE的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；当四边形OMND是菱形时，AM＝AE，M在直线DE上，设出M的坐标，根据AM＝AE即可求得M的坐标，则根据AN和EM的中点重合，即可求得N的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数yx+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，
∴D（0，b），E（6，4+b），
∴OD＝b，BE＝8﹣（4+b）＝4﹣b，
∵OD＝BE，
∴b＝4﹣b，
解得：b＝2，
故答案为：2；
（2）∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：5，
∴S梯形AEDO＝6S△ODM，
由（1）知：b＝2，代入yx+b，D（0，b），E（6，4+b），
∴yx+2，D（0，2），E（6，6），
∴OD＝2，AE＝6，
设M（m，m+2），
∴（2+6）×6＝62m，
解得：m＝4，
∴M（4，）；
（3）当四边形AMEN是菱形时，如图，
∵四边形AMEN是菱形，
∴MN、AE互相垂直平分，点M与点N关于直线AB：x＝6对称，
∵AE＝6，
∴M的纵坐标是3，
把y＝3代入yx+2，得：x+2＝3，
解得：x，
则M的坐标是（，3），
∴点N的坐标为（，3）；
当四边形AMNE是菱形时，如图，
∴AM＝AE＝6，则设M的横坐标是m，则纵坐标是m+2，
∴（6﹣m）2+（m+2）2＝36，
解得：m或6（舍去）．
则M的坐标是（ ，）．
则EM的中点是（ ，）．
设点N的坐标为（n，s），
则，，
解得：n，s，
∴N（，）．
综上，点N的坐标为（，3）或（，）．
40．如图1，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线yx相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线AC上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形OFQE的面积为2？
（3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点B坐标，再用待定系数法求出k，b；
（2）先设 Q（m，﹣2m+5），然后根据矩形的面积公式求出m的值即可；
（3）设点M坐标为（0，m），点N坐标为（s，t），然后分当AB和MN为对角线时，当AM和BN为菱形对角线时，当AN和BM为菱形对角线时三种情况，由中点坐标公式以及菱形的临边相等求出m，s，t的值即可．
【解答】解：（1）令x＝2，则yx2＝1，
∴点B的坐标为（2，1），
将A，B两点坐标代入到直线 y＝kx+b 中，
得，
解得，
∴点B的坐标为（2，1），k＝﹣2，b＝5；
（2）∵点Q为直线AC上（不与A、C重合）一动点，
∴设 Q（m，﹣2m+5），
∵QE⊥y轴，QF⊥x轴，
∴QE＝|m|，QF＝|﹣2m+5|，
∵四边形QEOF的面积为2，
∴|m（﹣2m+5）|＝2，
解得或2或或，
∴当点Q的坐标为（，4）或（2，1）或或时，四边形OFQE的面积为2；
（3）设点M坐标为（0，m），点N坐标为（s，t），
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，
A（0，5），B（2，1），M（0，m），N（s，t），
∴①当AB和MN为对角线时，
∵AB的中点（1，3）也是MN的中点（，），
∴，
解得，
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，
∴AM＝BM，
∴，
∴（m﹣5）2＝（m﹣1）2+22，
解得m，
经检验，m是原方程的解，
∴t＝6，
∴点N的坐标为（2，）；
②当AM和BN为菱形对角线时，
∵AM的中点（0，）也是BN的中点（，），
∴，
解得，
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，AM和BN为菱形对角线，
∴BM＝AB，
∴，
即（m﹣1）2＝16，
解得m＝﹣3或m＝5，
经检验，m＝﹣3或m＝5是原方程的解，
∴当m＝﹣3时，t＝1；
当m＝5时，t＝9，
∴点N的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，9），
∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+5＝9，
∴点N（﹣2，9）在直线AB上，
此时以A，B，M，N为顶点无法构成菱形，
∴点N（﹣2，9）不符合题意，舍去，
∴点N的坐标为（﹣2，1）；
③当AN和BM为菱形对角线时，
∵AN的中点（，）也是BM的中点（1，），
∴，
解得，
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，AN和BM为菱形对角线，
∴AM＝AB，
∴，
即|m﹣5|＝2，
解得m＝5+2或m＝5﹣2，
经检验，m＝5+2或m＝5﹣2是原方程的解，
∴当m＝5+2时，t＝1﹣2，当m＝5﹣2时，t＝1+2，
∴点N的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）．
综上所述，点N的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（﹣2，1）或（2，）．
41．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，与直线OC相交于点C（﹣2，1），点M直线AB上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）是否存在点M，使△OMB的面积是△OBC面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若点P在y轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求得△OBC的面积，进而求得△OMB，设M（a，a+3），然后根据三角形面积公式列绝对值方程求得a，进而确定点M的坐标；
（3）分AB是菱形的一条边、AB是菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则有：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+3
（2）∵直线AB的解析式为y＝x+3，
∴B（0，3），OB＝3，
∵点C（﹣2，1），
∴，即，
设M（a，a+3），
∴，
解得：a＝﹣1或1，
∴M（1，4）或（﹣1，2）；
（3）存在，
∵直线AB的解析式为y＝x+3，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∴；
①当AB是菱形的一条边时，
当点P1与点B关于x轴对称时，则点Q1是点A关于y轴的对称点（3，0），四边形ABQ1P1是菱形；
当点Q在x轴上方，菱形为ABP2Q2时，则，即点；
同理：当菱形为ABP3Q3时，点；
②当AB是菱形的对角线时，
设点P4（0，s），点Q4（m，n），
∴AB的中点即为P4Q4的中点，且P4A＝P4B（即：），
∴0+m＝﹣3+0，s+n＝3，（﹣3﹣0）2+s2＝（3﹣s）2，
∴m＝﹣3，n＝3，s＝0，
∴Q4（﹣3，3）；
综上，点Q的坐标为，，Q3（﹣3，3），Q4（3，0）．
42．如图，直线yx+3与直线yx+3相交于y轴上一点C，点P是直线yx+3上的一个动点（不与点C重合），过点P作PM⊥x轴交直线yx+3于点M．设点P的横坐标为m．
（1）直接写出点P，M的坐标：P ，M （用含m的式子表示）；
（2）若△POM的面积为，求m的值；
（3）试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形？若存在，求出m的值，并直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）因为PM⊥x轴，所以P和M点横坐标均为m，代入到直线解析式中，即可求解；
（2）由（1）中P，M的坐标，可以表示出PM的长度，即为两点纵坐标相减的绝对值，PM边上的高为|m|，利用△POM的面积，列出方程，即可解决；
（3）要构造以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形，分两类讨论，即分别以OC和OM为对角线构造菱形，画出草图，利用菱形的性质和勾股定理来解决．
【解答】解：（1）∵PM⊥x轴，P的横坐标为m，
∴M的横坐标为m，
令x＝m，则y，
令x＝m，则y，
∴，，
故答案为：（m，），（m，）；
（2）如图1，设PM交x轴于G，连接PO，MO，
则OG＝|m|，
，
∵△POM的面积为为，
∴，
∴，
∴m＝±2，
（3）存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形．
①当以OC为对角线时，如图2，
∵四边形CMON为菱形，则MN垂直平分OC，
∴，
∴m＝2，
，，
②当以OM为对角线时，如图3，
∵四边形CMNO为菱形，
∴CM＝CO＝3，
MN∥OC，MN＝OC＝3，
当M的坐标为（m，）时，N的坐标为（m，），
过点M作MF⊥y轴上于点F，
在Rt△CMF中，由勾股定理得，MF2+CF2＝CM2，
∴，
即，
∴，
∴或，
综上所述，当m＝2或或时，以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形．点N的坐标为或或．
43．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：yx+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，设点P的横坐标为m，当S△PBM＝20成立时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【分析】（1）将点M的坐标代入函数的解析式即可求得a的值，从而确定点M是坐标，再将点M的坐标代入y＝kx﹣2即可求得k值；
（2）首先得到直线的解析式，然后得到点D的坐标，根据△PBM的面积＝S△BDM+S△BDPBD×（xM﹣xP）（3+2）（4﹣xP）＝20，求得xP＝﹣4，代入直线CD的解析式即可求得点P（﹣4，﹣5）；
（3）设点F的坐标为（m，m+3），点N（a，b），根据点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，﹣2）得到BD＝5，然后分①当BD是边时和②当BD是对角线时，则BD的中点，即为NF的中点且BF＝BN，两种情况得到点N的坐标为（2，2）或（﹣2，2）或（﹣5，）．
【解答】解：（1）将点M的坐标代入yx+3并解得：a＝1，
故点M（4，1），
将点M的坐标代入y＝kx﹣2，得4k﹣2＝1，
解得：k，
∴a＝1，k；
（2）由（1）得直线CD的表达式为：yx﹣2，
则点D（0，﹣2），
∴△PBM的面积＝S△BDM+S△BDPBD×|xM﹣xP|（3+2）|4﹣xP|＝20，
解得：xP＝﹣4或xP＝12，
故点P（﹣4，﹣5）或P（12，7）；
（3）设点F的坐标为（m，m+3），点N（a，b），
由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，﹣2），
则BD＝5，
当BD是边时，
当点F在点N的上方时，则BD＝BF，即52＝m2+（m）2，
解得m＝±2，
则点F的坐标为（2，3）或（﹣2，3），
点N在点F的正下方5个单位，
则点N（2，2）或（﹣2，2）；
当点F在点N的下方时，则BD＝DF，不符合题意；
以BD为对角线时，F，N的纵坐标为，F的横坐标为：
x+3，
解得：x＝5，
∴N的坐标为（﹣5，），
综上，点N的坐标为（2，2）或（﹣2，2）或（﹣5，）．
【必考点10 一次函数与正方形综合】
44．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝kx+b经过点B，且与x轴交于点C（﹣6，0）．
（1）求直线BC的表达式；
（2）点E为射线BC上一点，过点E作EF∥x轴交AB于点F，且EF＝7，设点E的横坐标为m．
①求m的值；
②在y轴上取点M，在直线BC上取点N，在平面内取点Q，使得点E，M，N，Q构成的四边形是以EN为对角线的正方形，直接写出此正方形的面积．
【分析】（1）由点B是y＝﹣x+8与y轴的交点，可求得其坐标，再由给定的C点坐标，利用待定系数法可求出直线BC的表达式；
（2）①分别表示出E，F的坐标，再根据EF＝7建立方程，可求得m的值．
②由E，N两点在直线BC上，且点E为定点作为突破口，以EN为对角线分两类讨论，再结合正方形的性质，可解决问题．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+8与y轴交于点B，
∴B（0，8）．
又C（﹣6，0），且y＝kx+b经过B，C两点，
则，解得．
∴直线BC的表达式：yx+8；
（2）①∵点E为射线BC上一点，
∴E（m，m+8），
∵EF∥x轴交AB于点F，
则yF＝yE．
∴m+8＝﹣xF+8，
∴xFm，
∴F（m，m+8），
又∵EF＝7，
∴m﹣m＝7，
解得：m＝﹣3；
②由①知：E（﹣3，4）．
当EN为正方形的对角线，点N在点E的右上方时，如图，
分别过点E，N作y轴垂线，垂足为K，H．
易得△EKM≌△MHN，则HM＝EK＝3，
令MK＝x，则NH＝x，BH＝4﹣3﹣x＝1﹣x．
在Rt△BNH中，．
即，解得x．
则．
所以．
当EN为正方形的对角线，点N在点E的左下方时，如图，
方法同上，令NK＝a，则HM＝a，
又MK＝EH＝3，BH＝4，则BK＝a+7，
所以，解得a＝21．
则MN2＝32+212＝450．
即S正方形QNME＝450．
综上所述：正方形的面积为：或450．
45．如图1，已知直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C（0，﹣1），与直线l1交于点D（2，t）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作PQ∥y轴交l2于点Q，交x轴于点G，使S△PCG＝2S△QCG，求此时P点的坐标；
（3）如图3，点P是直线l1上一动点，点Q是直线l2上一动点，点E是坐标平面内一点，若以点C、P、Q、E为顶点的四边形为正方形，且CQ是正方形的边，若存在，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线l2的解析式；
（2）设P（t，﹣t+5），则Q（t，2t﹣1），G（t，0），根据S△PCG＝2S△QCG，建立方程求解即可得出答案；
（3）设P（m，﹣m+5），Q（n，2n﹣1），分四种情况：当四边形CEPQ是正方形时，如图，过点P作PG∥y轴，过点Q作QG⊥y轴于点F，交PG于点G，可证△QPG≌△CQF（AAS），可得PG＝FQ，GQ＝CF，建立方程组求解即可得出答案；当四边形CQEP是正方形时，如图，过点P作PH⊥y轴于点H，过点Q作QG⊥y轴于点G，可证得△PCH≌△CQG（AAS），得出CH＝QG，PH＝CG，再建立方程组求解即可得出答案；当四边形CQEP是正方形时，如图，过点P作PF⊥y轴于点F，过点Q作QG⊥y轴于点G，可证得△PCF≌△CQG（AAS），得出PF＝CG，CF＝QG，建立方程组求解即可得出答案；当四边形CQPE是正方形时，如图，过点P作PG⊥x轴，过点Q作FG⊥y轴于点F，交PG于G，可证得△CQF≌△QPG（AAS），得出FQ＝PG，CF＝QG，再建立方程组求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x+5经过点D（2，t），
∴t＝﹣2+5＝3，
∴D（2，3），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣1），D（2，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝2x﹣1；
（2）设P（t，﹣t+5），则Q（t，2t﹣1），G（t，0），
∴PG＝|﹣t+5|，GQ＝|2t﹣1|，
∵S△PCG＝2S△QCG，
∴|﹣t+5|×|t|＝2|2t﹣1|×|t|，
解得：t＝﹣1或t，
∴P点的坐标为（﹣1，6）或（，）；
（3）设P（m，﹣m+5），Q（n，2n﹣1），
当四边形CEPQ是正方形时，如图，过点P作PG∥y轴，过点Q作QG⊥y轴于点F，交PG于点G，
则∠G＝∠CFQ＝90°，PG＝﹣m+5﹣（2n﹣1）＝﹣m﹣2n+6，GQ＝n﹣m，FQ＝n，CF＝2n﹣1﹣（﹣1）＝2n，
∵四边形CEPQ是正方形，
∴PQ＝QC，∠CQP＝90°，
∵∠QPG+∠PQG＝90°，∠CQF+∠PQG＝90°，
∴∠QPG＝∠CQF，
在△QPG和△CQF中，
，
∴△QPG≌△CQF（AAS），
∴PG＝FQ，GQ＝CF，
∴，
解得：
∴点Q的坐标为（3，5）；
当四边形CQEP是正方形时，如图，过点P作PH⊥y轴于点H，过点Q作QG⊥y轴于点G，
则∠PHC＝∠CGQ＝90°，CH＝﹣1﹣（﹣m+5）＝m﹣6，PH＝m，QG＝﹣n，CG＝﹣1﹣（2n﹣1）＝﹣2n，
∵四边形CQEP是正方形，
∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°，
∴∠PCH+∠QCG＝90°，
∵∠CQG+∠QCG＝90°，
∴∠PCH＝∠CQG，
在△PCH和△CQG中，
，
∴△PCH≌△CQG（AAS），
∴CH＝QG，PH＝CG，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为（﹣6，﹣13）；
当四边形CQEP是正方形时，如图，过点P作PF⊥y轴于点F，过点Q作QG⊥y轴于点G，
则∠PFC＝∠CGQ＝90°，PF＝m，CG＝2n﹣1﹣（﹣1）＝2n，CF＝﹣1﹣（﹣m+5）＝m﹣6，QG＝n，
∴∠CPF+∠PCF＝90°，
∵∠PCQ＝90°，
∴∠QCG+∠PCF＝90°，
∴∠CPF＝∠QCG，
∵CP＝CQ，
∴△PCF≌△CQG（AAS），
∴PF＝CG，CF＝QG，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为（6，11）；
当四边形CQPE是正方形时，如图，过点P作PG⊥x轴，过点Q作FG⊥y轴于点F，交PG于G，
则∠CFQ＝∠G＝90°，FQ＝n，CF＝2n，PG＝2n﹣1﹣（﹣m+5）＝m+2n﹣6，QG＝m﹣n，
∴∠FCQ+∠CQF＝90°，
∵∠CQP＝90°，CQ＝PQ，
∴∠PQG+∠CQF＝90°，
∴∠FCQ＝∠PQG，
∴△CQF≌△QPG（AAS），
∴FQ＝PG，CF＝QG，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为（，2）；
综上所述，点Q的坐标为（3，5）或（﹣6，﹣13）或（6，11）或（，2）．
46．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝﹣x+3上．
（1）求点A，B的坐标．
（2）若C是x轴的负半轴上一点，且S△PACS△AOB，求直线PC的表达式．
（3）在（2）的条件下，若E是直线AB上一动点，过点E作EQ∥x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴，QN⊥x轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形EMNQ为正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特点直接求解即可；
（2）由题意可得S△PAC（3﹣xC）×2，求出C点坐标，再由待定系数法求函数解析式即可；
（3）设E（t，﹣t+3），则Q（t，﹣t+3），当四边形EMNQ为正方形时，EQ＝EM，则|t|＝|t﹣3|，求出t即可求E点坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则y＝3，
∴A（3，0）；
（2）将点P（1，m）代入y＝﹣x+3，
∴m＝2，
∴P（1，2），
由（1）可得OA＝OB＝3，
∴S△AOB3×3，
∵S△PACS△AOB，
∴S△PAC（3﹣xC）×2，
∴xC，
∴C（，0），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx；
（3）存在点E，使得四边形EMNQ为正方形，理由如下：
设E（t，﹣t+3），则Q（t，﹣t+3），
∴EQ＝|t|，EM＝|t﹣3|，
当四边形EMNQ为正方形时，EQ＝EM，
∴|t|＝|t﹣3|，
解得t或t，
∴E（，）或（，）．
47．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．把△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处，折痕交x轴于点C．直线CE与直线AB相交于点D．
（1）求BE的长：
（2）求直线CE的解析式：
（3）在x轴上存在点P，当BP+DP的值最小时，点P的坐标为 ；
（4）在x轴上方的平面内存在一点M，平面内存在一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）求出OA＝8，OB＝6，由勾股定理求出AB＝10，由折叠的性质可得出答案；
（2）求出C（﹣3，0），由待定系数法可得出答案；
（3）求出D（，），如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接B′D交x轴于一点P，求出直线DB'的解析式，则可得出答案；
（4）分三种情况，由正方形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6，
∴B （0，4），
当y＝0时，x+6＝0，
∴x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB10，
∵把△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处，
∴BE＝AB＝10；
（2）依题意，OE＝BE﹣OB＝10﹣6＝4，
∴E（0，﹣4），
由（1）知△ABC≌△EBC，
∴AC＝CE，
设C（t，0），则AC2＝（t+8）2，CE2＝t2+16，
∴（t+8）2＝t2+16，
解得t＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
设直线CE的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把C（﹣3，0）和 E（0，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0），
∴，解得 ，
∴直线CE的解析式为；
（3）依题意，，
解得，
把 代入y，得，
∴D（，），
如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接B′D交x轴于一点P，
该点P是满足BP+DP的值是最小值，
则BP+DP≥DB'，
∵B（0，6），
∴B'（0，﹣6），
∵D（，），
∴设直线DB'的解析式为y＝k1x+b1（k≠0），
把 B'（0，﹣6）和 代入 y＝k1x+b1，
得出 ，解得 ，
直线BD的解析式为，
令 y＝0，则，
∴，
∴；
故答案为：；
（4）设点M（m，n），
∵点M在x轴上方，
∴yM＝n＞0，
当AB为对角线时，则△ABM是等腰直角三角形，
∴∠AMB＝90°，
∴AM＝BM，
∴AM2+BM2＝AB2，
把AM2＝（m+8）2+n2 BM2＝m2+（n﹣6）2，AB2＝10代入AM2+BM2＝AB2，
整理 ，
解得 n1＝7 n2＝﹣1 （舍去），
∴，
∴M（﹣7，7）．
当AM为对角线时，则△ABM是等腰直角三角形，
∴∠ABM＝90°，
∴AB＝BM，
∴AB2+BM2＝AM2，
把AM2＝（m+8）2+n2，BM2＝m2+（n﹣6）2，AB2＝10 代入AB2+BM2＝AM2，
整理得，
解得 n1＝14，n2＝﹣2 （舍去），
∴，
∴M（﹣6，14），
当AN为对角线时，则△ABM是等腰直角三角形．
∴∠MAB＝90°，
∴AB＝AM，
∴AB2+AM2＝BM2，
把AM2＝（m+8）2+n2，BM2＝m2+（n﹣6）2，AB2＝10 代入AB2+AM2＝BM2，
整理得，
解得 n1＝8，n2＝﹣8 （舍去），
∴∴，
M（﹣14，8）．
综上所述，点M的坐标为 （﹣7，7），（﹣6，14），（﹣14，8）．
【必考点11 一次函数与等腰三角形综合】
48．如图，一次函数的图象交x轴于A点，交y轴于C点，以A，O，C三点为顶点作矩形ABCO，将矩形ABCO绕O点顺时针旋转90°，得到矩形ODEF，直线AC交直线DF于点M．
（1）求直线DF的解析式；
（2）求证：MO是∠AMD的角平分线；
（3）在角平分线MO上，是否存在点N，使得以M，N，A为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由一次函数求出点A、C的坐标，再根据旋转的性质可求出点D、F的坐标，最后根据待定系数法求解即可；
（2）过点O作OP⊥AM于点P，作OQ⊥MD于点Q，证明Rt△AOP≌Rt△FOQ，得到OP＝OQ，即可证明；
（3）联立两个函数解析式，求出点M的坐标，再求出直线MO的解析式为y＝3x，以M，N，A为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况：①过A点作AN1⊥MA交MO于点N1，则△MAN1是以MA为直角边的等腰直角三角形；②过A点作AN2⊥MO交MO于点N2，则△MAN2是以MN2为直角边的等腰直角三角形；根据一次函数的性质，结合勾股定理求解即可．
【解答】（1）解：在中，令y＝0，则，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
令x＝0，则y＝0+1＝1，
∴C（0，1），
∴OA＝2，OC＝1，
由旋转可得：OF＝OA＝2，OD＝OC＝1，
∴D（1，0），F（0，2），
设直线DF的解析式为y＝kx+b，代入D（1，0），F（0，2），
可得：，
解得：，
∴直线DF的解析式为y＝﹣2x+2；
（2）证明：如图1，过点O作OP⊥AM于点P，作OQ⊥MD于点Q，
∴∠APO＝∠FQO＝90°，
由旋转可得：OF＝OA＝2，∠OAP＝∠OFQ，
在Rt△AOP和Rt△FOQ中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△FOQ（AAS），
∴OP＝OQ，
∴MO是∠AMD的角平分线；
（3）解：由旋转可知，AC⊥FD，即∠AMD＝90°，
∵MO是∠AMD的角平分线，
∴∠AMO＝45°，
联立，
解得，
即点，
设直线MO的解析式为y＝k′x，代入点，
得：，
解得：k′＝3，
∴直线MO的解析式为：y＝3x，
∵A（﹣2，0），
∴，
以M，N，A为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况：
①过A点作AN1⊥MA交MO于点N1，则△MAN1是以MA为直角边的等腰直角三角形，
∵，
∴，
由勾股定理可求得MN1，
∵，
∴，
∴，
∵点N1在直线y＝3x的图象上，
∴设N1（n，3n），
∴，
解得或（舍），
∴，
∴；
②过A点作AN2⊥MO交MO于点N2，则△MAN2是以MN2为直角边的等腰直角三角形，如图2，
∵，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴，
∵点N2在直线y＝3x的图象上，
∴设N2（n，3n），
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
综上，N点坐标为或．
49．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝9，OD＝2OC．
（1）求直线l2的解析式；
（2）连接AD，点Q为直线CD上一动点，若有S△QAD＝5S△OAB，求点Q的坐标；
（3）点M为直线l1上一点，点N为y轴上一点，若M，N，C三点构成以MN为直角边的等腰直角三角形，求点M的坐标．
【分析】（1）由直线解析式得B（0，3）．A（6，0）．由AC＝9，OD＝2OC，得D（0，6）．设直线l2的解析式为y＝kx+b，代入计算即可．
（2）设Q（m，2m+6），由S△QAD＝5S△OAB，得．①点Q在CD延长线上时，则，故yQ＝16，再计算2m+6＝16即可．②点Q在DC延长线上时，则，故yQ＝﹣4，再计算2m+6＝﹣4即可．
（3）设点，①当∠CMN＝90°时，如图，作ME⊥OC于点E，作NF⊥EM于点F．由∠CEM＝∠MFN＝90°．得∠ECM＝∠FMN，再证明△CEM≌△FMN，得ME＝NF．列出再计算即可．②当∠CNM＝90°时，如图过点N作EF∥OA，作ME⊥EF于点E，作CF⊥EF于点F．方法同①计算即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3）．
当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0）．
∵AC＝9，
∴OC＝3，
∴C（﹣3，0）．
∵OD＝2OC，
∴OD＝6，
∴D（0，6）．
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴
∴，
∴直线l2的解析式为y＝2x+6；
（2）解：设Q（m，2m+6），
∵S△QAD＝5S△OAB，
∴，
∴
①点Q在CD延长线上时，
则，
∴|yQ|＝16，Q在x轴上方，
∴yQ＝16，
∴2m+6＝16，
∴m＝5，
∴Q（5，16）；
②点Q在DC延长线上时，
则，
∴，Q在x轴下方，
∴yQ＝﹣4，
∴2m+6＝﹣4，
∴m＝﹣5，
∴Q（﹣5，﹣4），
综上所述，点Q的坐标为（5，16）或（﹣5，﹣4）．
（3）设点，
①当∠CMN＝90°时，如图，作ME⊥OC于点E，作NF⊥EM于点F．
∴∠CEM＝∠MFN＝90°．
∵∠CME+∠ECM＝90°，∠CME+∠FMN＝90°，
∴∠ECM＝∠FMN，
又∵CM＝NM
∴△CEM≌△FMN（AAS），
∴ME＝NF．
∴，
解得n＝2或n＝﹣6，
∴M（2，2）或M（﹣6，6）．
②当∠CNM＝90°时，如图过点N作EF∥OA，作ME⊥EF于点E，作CF⊥EF于点F．
同理可证：△CEM≌△FMN，
∴CF＝NE，ME＝NF．
设N（0，a）
∴|n|＝|a|，
解得：n＝4或0或﹣12（舍）
∴M（4，1）或M（0，3）．
综上所述，点M的坐标为（2，2）或（﹣6，6）或（4，1）或（0，3）．
50．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x，y轴于A，B，直线n：y＝kx+2k（k为任意常实数）．
（1）直接写出点A，B坐标和线段AB的长；
（2）第四象限的直线n上存在点P，使∠APB＝45°，且AB＝BP，求直线n的解析式；
（3）如图2，直线y＝﹣2x+2上有一点E，D（0，﹣3），过（4，0）且平行于y轴的直线上有点F，若△DEF为等腰直角三角形，且∠DEF＝90°，直接写出E点坐标．
【分析】（1）直线交x，y轴于A，B，则点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，1），即可求解；
（2）由题易得△ABP为等腰直角三角形，所以可构造一线三垂直全等，过P作PM⊥y轴于点M，证△ABO≌△BPM（AAS），即可求出点P坐标，即可得解．
（3）证明△EGD≌△FHE（AAS），则DG＝|﹣3+2m﹣2|＝EH＝4﹣m且GE＝m＝FH＝|n+2m﹣2|，即可求解．
【解答】解：（1）直线交x，y轴于A，B，则点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，1），
则AB；
（2）方法一：如图，过P作PM⊥y轴于点M，则∠AOB＝∠BMP＝90°，
∵∠APB＝45°，且AB＝BP，
∴∠BAP＝45°，
∴∠ABP＝90°，
∴∠ABO＝∠BPM＝90°﹣∠PBM，
在△ABO和△BPM中，
，
∴△ABO≌△BPM（AAS），
∴OB＝PM，OA＝BM，
由（1）知A（﹣2，0），B（0，1），
∴PM＝OB＝1，OA＝BM＝2，
∴P（1，﹣1），
将P（1，﹣1）代入y＝kx+2k得，k，
∴直线的表达式为：yx；
方法二：∵∠APB＝45°，且AB＝BP，
则△ABP为直角三角形，则PB⊥AB，
而直线AB的表达式为：yx+1，
则直线PB的表达式为：y＝﹣2x+1，
设点P（m，﹣2m+1），
∵AB＝BP，
即12+22＝m2+（﹣2m+1﹣1）2，
解得：m＝1，
即点P（1，﹣1），
将点P的坐标代入y＝kx+2k得：﹣1＝k+2k，
解得：k，
故直线的表达式为：yx；
（3）设点E（m，﹣2m+2），点F（4，n），
过点E作直线HG交y轴于点G，交过点F和y轴的平行线于点H，
∵△DEF为等腰直角三角形，且∠DEF＝90°，则ED＝EF，
∵∠DEG+∠FEH＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠DEG＝∠EFH，
∵∠EGD＝∠FHE＝90°，
∴△EGD≌△FHE（AAS），
则DG＝|﹣3+2m﹣2|＝EH＝4﹣m且GE＝m＝FH＝|n+2m﹣2|，
解得：m＝3或1，
即点E（3，﹣4）或（1，0）．
51．如图，A点坐标为（﹣6，0），直线l1经过点B（0，﹣2）和点C（﹣2，2），交x轴于点D．
（1）求直线l1的函数表达式．
（2）点E为线段CD上的一点，过点E作EF∥x轴交AC于点F，且EF＝4，设点E的横坐标为m．
①求m的值．
②N为x轴上一动点，在点N运动过程中，是否存在以EN为底边的等腰三角形ANE，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设直线l的解析式为 y＝kx+b，用待定系数法可得直线l1的解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）求出E（m，﹣2m﹣2），直线AC的解析式为，可得，故xF＝﹣4m﹣10，根据EF＝4，得m﹣（﹣4m﹣10）＝4，解得m；
（3）求出E（，），AE，根据△ANE是以EN为底边的等腰三角形，可得AN＝AE，从而N的坐标为（﹣6，0）或（﹣6，0）．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为 y＝kx+b，
将点B（0，﹣2）和点C（﹣2，2）代入得：
，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）如图：
∵点E为CD上一点，
∴E（m，﹣2m﹣2），
∵EF/x轴交AC于点F，
∴yF＝yE＝﹣2m﹣2，
设AC所在直线的解析式为y1＝k1x+b1，
将点A（﹣6，0）和点C（﹣2，2）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
∴，
∴xF＝﹣4m﹣10，
∵EF＝4，
∴m﹣（﹣4m﹣10）＝4，
解得：m；
（3）存在以EN为底边的等腰三角形ANE，理由如下：
如图：
由（2）知m，
∴﹣2m﹣2，
∴E（，），
∵A（﹣6，0），
∴AE，
∵△ANE是以EN为底边的等腰三角形，
∴AN＝AE，
∴N的坐标为（﹣6，0）或（﹣6，0）．
52．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l2：y＝3x与直线l1，相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，当MN＝2时，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先求得C（1，3），再运用待定系数法即可求得直线l1的解析式；
（2）设D（m，0），则，N（m，3m），分两种情况：当m＜1时，，当m＞1时，，分别根据MN＝2建立方程求解即可得出答案；
（3）过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0），利用勾股定理可得AC，设E（x，0），则AE＝|x﹣3|，分三种情况：当AE＝AC时，当AC＝CE时，当EA＝EC时，分别求出点E的坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1，
∴C（1，3），
设直线l1的解析式为y＝kx+b，把A（3，0）、C（1，3）代入，得：
，
解得：，
∴直线l1的解析式为；
（2）设D（m，0），则，N（m，3m），
如图2，当m＜1时，，
∵MN＝2，
∴，
解得：，
∴；
当m＞1时，，
∵MN＝2，
∴，
解得：，
∴D；
综上所述，点D的坐标为或；
（3）存在．理由如下：
如图3，过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0），
∴AH＝3﹣1＝2，CH＝3，
在Rt△ACH中，，
设E（x，0），则AE＝|x﹣3|，
当AE＝AC时，，
解得：或，
∴或；
当AC＝CE时，
∵CH⊥x轴，即CE⊥AE，
∴AH＝EH，即AE＝2AH＝4，
∴E（﹣1，0）；
当EC＝EA时，（x﹣1）2+32＝（3﹣x）2，
解得：，
∴，
综上所述，点E的坐标为或或（﹣1，0）或．
【必考点12 一次函数与最值、定值问题综合】
53．我们把关于x的一次函数y＝mx+n（m≠n且m、n都不为0）与一次函数y＝nx+m定义为交换函数．
（1）根据交换函数的定义，一次函数y＝2x﹣3的交换函数是 ；
（2）试说明一次函数y＝mx+n与其交换函数的交点坐标为（1，m+n）；
（3）如图，若点B（1，3）是一次函数y1＝﹣x+m与其交换函数y2＝mx﹣1的交点，y2与y轴交于点A，点P为y1上一动点，当AP取得最小值时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据交换函数的定义可直接求解；
（2）联立方程组，即可求解；
（3）先求出点A，点C，点D的坐标，由面积关系可求AP的长，由两点间距离公式可求解．
【解答】（1）解：根据交换函数的定义，一次函数y＝2x﹣3的交换函数是y＝﹣3x+2，
故答案为：y＝﹣3x+2；
（2）证明：由题意可得：，
∴mx+n＝nx+m，
∴（m﹣n）x＝m﹣n，
∵m≠n，
∴x＝1，
∴y＝m+n，
∴一次函数y＝mx+n与其交换函数的交点坐标为（1，m+n）；
（3）解：如图，设直线y1＝﹣x+m与x轴交于点D，交y轴于点C，连接AD，
∵点B（1，3）是一次函数y1＝﹣x+m与其交换函数y2＝mx﹣1的交点，
∴3＝﹣1+m，
∴m＝4，
∴y2＝4x﹣1，y1＝﹣x+4，
∵直线y1＝﹣x+4与x轴交于点D，交y轴于点C，
∴点C（0，4），点D（4，0），
∴OC＝OD＝4，
∴CD＝4，
∵直线y2＝4x﹣1与y轴交于点A，
∴点A（0，﹣1），
∴OA＝1，
∵点P为y1上一动点，
∴当AP⊥CD时，AP有最小值，
∵S△ACDAC•DOCD•AP，
∴4×（4+1）＝4AP，
∴AP，
设点P（a，﹣a+4），
∴（）2＝a2+（﹣a+4+1）2，
∴2a2﹣10a+25，
∴a，
∴点P（，）．
54．如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点P为线段OB上一个动点，连接AP．
（1）如图1，若点P为线段OB中点，求△PAB的面积．
（2）如图2，经过点P的直线l：y＝kx﹣k+2（k≠﹣2）交x轴于点C，交直线y＝﹣2x+4于点D．当P为线段CD的中点时，求k的值．
（3）如图3，以AP为边在AP的下方作等边三角形APQ，连接OQ．当OQ取最小值时，求点P的坐标．
【分析】（1）求出B（0，4），A（2，0），由点P为线段OB中点，知P（0，2），即可得S△PAB2×2＝2；
（2）求出D（1，2），设C（m，0），P（0，n），由P为CD中点，可得，解得，故P（0，1），C（﹣1，0），把C（﹣1，0）代入y＝kx﹣k+2得：0＝﹣k﹣k+2，即可解得k的值为1；
（3）以OA为边，在x轴下方作等边三角形OAK，连接QK，证明△PAO≌△QAK（SAS），可得∠POA＝∠QKA＝90°，OP＝QK，故Q在过K且与AK垂直的直线上运动，当OQ⊥QK时，OQ最短，此时∠OKQ＝∠QKA﹣∠OKA＝90°﹣60°＝30°，OK＝OA＝2，求得OQOK＝1，QKOQ，从而OP，即得P（0，）．
【解答】解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，
∴B（0，4），
在y＝﹣2x+4中，令y＝0得x＝2，
∴A（2，0），
∵点P为线段OB中点，
∴P（0，2），
∴PB＝OB﹣OP＝4﹣2＝2，
∴S△PAB2×2＝2，
∴△PAB的面积为2；
（2）联立，解得，
∴D（1，2），
设C（m，0），P（0，n），
∵P为CD中点，
∴，
解得，
∴P（0，1），C（﹣1，0），
把C（﹣1，0）代入y＝kx﹣k+2得：0＝﹣k﹣k+2，
解得k＝1，
∴k的值为1；
（3）以OA为边，在x轴下方作等边三角形OAK，连接QK，如图：
∵△APQ，△OAK是等边三角形，
∴PA＝QA，OA＝KA，∠PAQ＝∠OAK，
∴∠PAO＝∠QAK，
∴△PAO≌△QAK（SAS），
∴∠POA＝∠QKA＝90°，OP＝QK，
∴Q在过K且与AK垂直的直线上运动，
当OQ⊥QK时，OQ最短，如图：
此时∠OKQ＝∠QKA﹣∠OKA＝90°﹣60°＝30°，OK＝OA＝2，
∴OQOK＝1，
∴QKOQ，
∴OP，
∴P（0，）．
55．如图1，将底角为30°，腰长为2的等腰△OAB置于平面直角坐标系中，腰OB与x轴重合，底边AB与y轴交于点D．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）如图2，将△OAB沿AB对折，点O落在点C处，判断四边形OBCA的形状并求出点C的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E、F为线段BD上的两动点（不与点B、D重合），且BE＝DF，连接CE、CF，请求出CE+CF的最小值及点E的坐标．
【分析】（1）过点A作A H⊥x轴于点H，如图1，在直角三角形中求得，然后利用勾股定理求得AH，进而推导出A点坐标为，设AB所在直线的解析式为：y＝kx+b，利用待定系数法求得AB解析式即可；
（2）通过推导OA＝OB＝BC＝AC，得出四边形OBCA是菱形；作CM⊥x轴于点M，如图2，进一步推导出．OM＝1，利用四边形OBCA为菱形，得出C点坐标即可；
（3）过点B作BN∥CD，且BN＝CD，连接DN，EN，推导出△EBN≌△FDC（SAS），得到EN＝CF，当C、E、N在同一条直线上时，CE+EN最小，即CE+CF最小．推导出四边形BNDC为矩形，得到CN＝BD．设OD＝x，BD＝2x，利用勾股定理求得．，CE+CF的最小值为．进一步求得点E的横坐标与纵坐标，即可得解．
【解答】解：（1）过点A作A H⊥x轴于点H，如图1，
∵∠AOH＝∠ABO+∠BAO＝30°+30°＝60°，
∴∠OAH＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴，
∴A点坐标为．
又∵B为（﹣2，0）．
设AB所在直线的解析式为：y＝kx+b，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：；
（2）四边形OBCA是菱形；理由如下：
∵△AOB为等腰三角形，
∴OA＝OB，
又∵△CAB由△OAB折叠而成，
∴AC＝OA，BC＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OBCA是菱形；
作CM⊥x轴于点M，如图2，
∵∠CBM＝2∠ABO＝2×30°＝60°，
∴∠BCM＝90°﹣60°＝30°，
∴．
OM＝OB﹣MB＝2﹣1＝1，
∴xC＝﹣1．
∵四边形OBCA为菱形，
∴AC∥OB，
∴，
∴C为；
（3）过点B作BN∥CD，且BN＝CD，连接DN，EN，
∵BE＝DF，∠EBN＝∠FDC，BN＝CD，
∴△EBN≌△FDC（SAS）．
∴EN＝CF，
当C、E、N在同一条直线上时，CE+EN最小，即CE+CF最小．
∵点C、O关于AB对称，
∴∠BCD＝∠BOD＝90°，
∴四边形BNDC为矩形，
∴CN＝BD．
在Rt△BOD中，∠OBD＝30°，
设OD＝x，BD＝2x，
∴（2x）2﹣x2＝22，
解得：．
∴，
∴CE+CF的最小值为．
∴，．
∴点E的坐标为：．
56．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴交于点A、B，直线l关于y轴对称的直线与x轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式：
（2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点D，使得四边形ABCD是以AC为“界线”的“等腰四边形”，且AD＝AB？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M在直线l上，横坐标为，直线ME与x轴正半轴交于点E，与y轴交于点F，当常数m等于多少时，为定值？
【分析】（1）直线l关于y轴对称的直线与x轴交于点C，则直线AB和BC关于y轴对称，即可求解；
（2）由题意得，点D和点B（0，1）关于x轴对称时，符合题设条件，当CD＝4且AD＝AB也符合题意，即可求解；
（3）求出点E、F的坐标分别为：（0，k）、（，0），设A（定值），即可求解．
【解答】解：（1）∵直线l关于y轴对称的直线与x轴交于点C，
则直线AB和BC关于y轴对称，
则直线BC的表达式为：yx+1；
（2）由题意得，点D和点B（0，1）关于x轴对称时，符合题设条件，
即点D（0，﹣1）；
当CD＝4且AD＝AB也符合题意，设点D（x，y），
则（x﹣2）2+y2＝16且（x+2）2+y2＝5，
解得：x，y＝±，
∵四边形ABCD是凸四边形，
∴：x，y，
即点D（，），
综上，D（0，﹣1）或（，）；
（3）点M在直线l上，横坐标为，则点M（，），
设直线ME的表达式为：y＝k（x），
则点F、E的坐标分别为：（0，k）、（，0），
设A（定值），
则8m﹣8k＝A（2k+7），
解得：m．
57．在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，点M是直线AB上一动点，过点M作MN∥x轴交直线y＝﹣2x+9于点N，连接MN，若MN＜6，设点M的横坐标为m，求m的取值范围；
（3）如图2，点P为y轴正半轴上一动点，在线段AB上是否存在点D，使直线PD交x轴负半轴于点Q时，的值是定值？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）联列两个函数解析式，即可求解．
（2）设点M的横坐标为m，结合函数关系式，即可得到点M的坐标为（m，m+6），点N的坐标为，即，结合MN＜6，即可求出m的取值范围．
（3）设点D的坐标为（s，s+6）（﹣6＜s＜0），点P的坐标为（0，t）（t＞0），待定系数法可得，直线DP的解析式为，将y＝0代入上式，可得x的值，即点Q的坐标为，所以，故，故当s＝﹣3时，为定值，此时点D的坐标为（﹣3，3）．
【解答】解：（1）联列两条直线的函数关系式得：
，
解得：，
∴点C的坐标为（1，7）．
（2）设点M的坐标为（m，m+6），
∴点N的坐标为，
∴，
∵MN＜6，
∴，
∴m的取值范围为﹣3＜m＜5．
（3）存在点D．理由如下：
设点D的坐标为（s，s+6）（﹣6＜s＜0），点P的坐标为（0，t）（t＞0），则OP＝t，
设直线DP的解析式为y＝kx+b，代入得：
，
解得：，
∴直线DP的解析式为，
当y＝0时，，
解得：，
∴点Q的坐标为，
∴，
∴，
故当s＝﹣3时，为定值，
此时点D的坐标为（﹣3，3），
故在线段AB上存在点D，使直线PD交x轴负半轴于点Q时，的值是定值，此时点D的坐标为（﹣3，3）．
【必考点13 一次函数新定义问题】
58．定义：对于给定的一次函数y＝kx+b（k≠0），当x＜m时，自变量x对应的函数值不变；当x≥m时，自变量x对应的函数值为原函数值的相反数．我们称这样的函数是一次函数y＝kx+b的m级反联函数．
例如：当m＝1时，一次函数y＝x的1级反联函数为，对应的函数图象如图所示．
（1）若点M（2，t）在一次函数y＝2x﹣1的1级反联函数的图象上，求t的值；
（2）已知一次函数y＝x﹣3．
①当﹣1≤x≤6时，求这个函数的1级反联函数y′的函数值的取值范围；
②当﹣2≤x≤n时，此时这个函数的1级反联函数y′的函数值的取值范围为﹣5≤y′≤2，则n的取值范围为 ；（直接写出答案）
③已知点A（m﹣2，0），点B（m+2，0），在x轴上方作矩形ABCD，使BC＝2．当矩形ABCD与这个函数的m级反联函数的图象有两个交点，且矩形ABCD与这个反联函数的图象所围成的三角形的面积为1时，求此时m的值．
【分析】（1）根据定义写出一次函数y＝2x﹣1的一级反联函数，再将M代入即可求解；
（2）①根据定义写出一次函数y＝x﹣3的一级反联函数，再根据对应的范围和一次函数增减性求y'的范围即可；
②根据定义分两段﹣2≤x＜1，1≤x≤n，再分别代入求出y值求出对应范围即可；
③分别考虑一级反联函数两支图象，将临界点代入，再确定m范围，再根据面积求出m值进行取舍．
【解答】解：（1）由定义可知：一次函数y＝2x﹣1的一级反联函数，
∵点M（2，t）在一级反联函数的图象上，2＞1，
∴把M（2，t）代入y'＝﹣2x+1得t＝﹣2×2+1，
∴t＝﹣3．
（2）①由定义可知：一次函数y＝x﹣3的一级反联函数，
∵﹣1＜1，
∴当x＝﹣1时，y'＝x﹣3＝﹣1﹣3＝﹣4，
∵6＞1，
∴当x＝6时，y'＝﹣x+3＝﹣6+3＝﹣3，
当x＝1时，y'＝x﹣3＝1﹣3＝﹣2；
当x＝1时，y'＝﹣x+3＝﹣1+3＝2，
一次函数y'＝x﹣3，∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当﹣1≤x＜1时，﹣4≤y'＜﹣2，
一次函数y'＝﹣x+3，∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤6时，﹣3≤y'≤2，
综上所述：﹣4≤y'≤2．
②当﹣2≤x＜1时，﹣5≤y'＜﹣2，
当﹣x+3＝﹣5时，x＝8，
当﹣x+3＝﹣2时，x＝5，
∴5≤n≤8；
故答案为：5≤n≤8．
③情况一：当m＞3时，
∵点A（m﹣2，0），四边形ABCD为矩形，
∴把x＝m﹣2代入y'＝x﹣3＝m﹣5，此时点E坐标为（m﹣2，m﹣5），
如图1所示：∵矩形ABCD与这个函数的m级反联函数的图象有两个交点，
∴y'A＜y'E＜y'D，即0＜m﹣5＜2，
∴5＜m＜7，
把y'＝2代入y'＝x﹣3＝2，
∴x＝2，
∴点F坐标为（5，2），
∴DF＝5﹣（m﹣2）＝7﹣m，DE＝2﹣（m﹣5）＝7﹣m，
∴，
∴（舍），，
情况二：当m＜3时，
∵点B（m+2，0），
∴把x＝m+2代入y'＝﹣x+3＝﹣m+1，此时点E坐标为（m+2，﹣m+1），
如图2所示：把x＝m+2代入y'＝﹣x+3＝﹣m+1，
∵矩形ABCD与这个函数的m级反联函数的图象有两个交点，
∴y'B≤y'E＜y'C，即0≤﹣m+1＜2，
∴﹣1＜m≤1．
把y'＝2代入y'＝﹣x+3＝2，
∴x＝1，
∴点F坐标为（1，2）．
∴CF＝（m+2）﹣1＝m+1，CE＝2﹣（﹣m+1）＝m+1，
∴，
∴，（舍）．
综上所述：m的值为或．
59．已知y关于x的一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，我们称一次函数y＝kx+b为“原函数”，一次函数y＝﹣kx﹣b为“原函数”的“相关函数”．“原函数”的图象记为直线l1，它的“相关函数”的图象记为直线l2．
例如：“原函数”y＝x+2的“相关函数”为y＝﹣x﹣2．
（1）直接写出“原函数”的“相关函数”表达式；
（2）请说明：直线l1，直线l2与x轴的交点是同一个点；
（3）若“原函数”的表达式为，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB∥x轴，AB＝2，求点A的坐标；
（4）“原函数”的表达式为y＝mx+2m．
①点C（t，yC）在直线l1上，点D（t﹣2，yD）在直线l2上，若0＜yD＜yC，求t的取值范围；
②若直线l1，直线l2与y轴围成的图形面积为8，点E在直线l1上，过E作EF∥y轴交直线l2于点F，过E作EH∥x轴交直线l2于点H，过F作FG∥x轴交直线l1于点G，连接GH．设点E的横坐标为a（a＞0），四边形EFGH的周长为C，直接写出C关于a的函数表达式．
【分析】（1）直接根据“原函数”写出表达式即可；
（2）求出“原函数”与它的“相关函数”与x轴的交点即可；
（3）令 ，可得直线l1 与直线l2 的交点为 （﹣2，0），设 ，分当a＞﹣2时，点A在点B右侧和当a＜﹣2时，点A在点B的左侧分别求解；
（4）①先由点C在直线l1 上，点D在直线l2，且 0＜yD＜yC得﹣2＜t＜0，再由yc＝mt+2m，yD＝﹣m（t﹣2）﹣2m，且yD＜yC得t＞﹣1，进而可写出t的取值范围；
②先求出“原函数”表达式为 y＝2x+4，它的“相关函数”表达式为 y＝﹣2x﹣4，在证明四边形EFGH 为平行四边形即可．
【解答】解：（1）；
（2）在“原函数”y＝kx+b中，令kx+b＝0，则 ，
∴直线l1 与x轴交点为 ，
在它的“相关函数”y＝﹣kx﹣b中，令﹣kx﹣b＝0，则，
∴直线l2 与x轴交点为 ，
∴直线l1，直线l2 与x轴的交点为同一个点；
（3）∵“原函数”的表达式为 ，
∴它的“相关函数”表达式为 ，
令 ，
∴x＝﹣2，
∴直线l1 与直线l2 的交点为 （﹣2，0），
∵点A在直线l1 上，
∴设 ，如图1，当a＞﹣2时，点A在点B右侧，
∵AB∥x轴，
∴，
∵点B在直线l2 上，
∴，
∴x＝﹣a﹣4，
∵AB＝2，xA﹣xB＝2
∴a﹣（﹣a﹣4）＝2，
∴a＝﹣1，
∴，
当a＜﹣2时，点A在点B的左侧，
∴﹣a﹣4﹣a＝2，
∴a＝﹣3，
∴，
综上所连，点A的坐标为 或 ；
（4）①∵“原函数”为 y＝mx+2m，
∴它的“相关函数”为 y＝﹣mx﹣2m，令 mx+2m＝0，
∴x＝﹣2，
∴直线l1 与直线l2 交点为 （﹣2，0）；
如图2，∵点C在直线l1 上，点D在直线l2，且 0＜yD＜yC，
∴
∴﹣2＜t＜0，
∵yc＝mt+2m，yD＝﹣m（t﹣2）﹣2m，且yD＜yC，
∴﹣m（t﹣2）﹣2m＜mt+2m，
∴2mt＞﹣2m，
∵2m＞0，
∴t＞﹣1，
∴t的取值范围为﹣1＜t＜0．
②如图 3，直线l1与直线l2交点为 Q（﹣2，0），
∴OQ＝2，OM＝ON＝2m，
∴MN＝4m，
∴MN•OQ＝8，
∴4m×2＝8，
∴m＝2，
∴“原函数”表达式为 y＝2x+4，它的“相关函数”表达式为 y＝﹣2x﹣4，
∴E（a，2a+4），EF∥y轴交l2于点F，
∴F（a，﹣2a﹣4），
∴EF＝2a+4﹣（﹣2a﹣4）＝4a+8，
∵EH∥x轴，
∴yE＝yH＝2a+4，
∴2a+4＝﹣2x﹣4，
∴x＝﹣a﹣4，
∴H（﹣a﹣4，2a+4），
∴EH＝a﹣（﹣a﹣4）＝2a+4，
∵FG∥x轴，
∴yG＝yF＝﹣2a﹣4，
∴﹣2a﹣4＝2x+4，
∴x＝﹣a﹣4，
∴G（﹣a﹣4，﹣2a﹣4），
∴FG＝a﹣（﹣a﹣4）＝2a+4，
∴FG＝EH＝2a+4．
又∵FG∥x轴，EH∥x轴，
∴FG∥EH，
∴四边形EFGH 为平行四边形，
∴C＝2（EF+FG）＝2（4a+8+2a+4）＝12a+24．
60．定义：对于一次函数y1＝ax+b，y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1，y2的“友好函数”．
（1）若m＝2，n＝3，试判断函数y＝8x+1是否为函数y1＝x﹣1，y2＝2x+1的“友好函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝﹣x+4p与y2＝x﹣2p﹣4的图象相交于点M．
①若m+n＞1，点M在函数y1、y2的“友好函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠2，函数y1、y2的“友好函数”图象经过点M，是否存在大小确定的m值，对于不等于2的任意实数p，都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）①求出点M的坐标为（3p+2，p﹣2），再求出函数y1y2的“友好函数”y＝（n﹣m）x+4pm﹣2pn﹣4n，根据点M在函数y1y2的“友好函数”图象的上方得到p﹣2＞（n﹣m）（3p+2）+4pm﹣2pn﹣4n，整理后根据m+n＞1即可得到p的取值范围；
②将点M的坐标（3p+2，p﹣2）代入“友好函数”得到p﹣2＝（n+m）（p﹣2），由p≠2得到m+n＝1，n＝1﹣m，将n＝1﹣m代入“友好函数”得到y＝（1﹣2m）x+6pm﹣2p+4m﹣4，把y＝0 代入得到（1﹣2m）x+6pm﹣2p+4m﹣4＝0解得 进一步即可求出定点Q的坐标．
【解答】解：（1）y＝8x+1是函数y1＝x﹣1、y2＝2x+1的“友好函数”，理由：
由函数y1＝x﹣1、y2＝2x+1的“友好函数”为：y＝m（x﹣1）+n（2x+1），
把m＝2，n＝3代入上式，得y＝2（x﹣1）+3（2x+1）＝8x+1，
∴函数y＝8x+1是函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“友好函数”；
（2）①解方程组 得 ，
∵函数y1＝﹣x+4p与y2＝x﹣2p﹣4的图象相交于点M，
∴点M的坐标为（3p+2，p﹣2），
∵y1、y2的“友好函数”为y＝m（﹣x+4p）+n（x﹣2p﹣4），
∴y＝（n﹣m）x+4pm﹣2pn﹣4n，
∵点M在函数 y1、y2的“友好函数”图象的上方，
∴p﹣2＞（n﹣m）（3p+2）+4pm﹣2pn﹣4n，
整理得，p﹣2＞（n+m）（p﹣2）3mp+2≥0，
∴p＜2，
∴p的取值范围为p＜2；
②存在，理由如下：
∵函数y1，y2的“友好函数”图象经过点M．
∴将点M的坐标（3p+2，p﹣2）代入“友好函数”y＝m（﹣x+4p）+n（x﹣2p﹣4）＝（n﹣m）x+4pm﹣2pn﹣4n，
得p﹣2＝（n﹣m）（3p+2）+4pm﹣2pn﹣4n，
∴p﹣2＝（n+m）（p﹣2），
∵p≠2，
∴m+n＝1，n＝1﹣m，
将n＝1﹣m代入，y＝（n﹣m）x+4pm﹣2pn﹣4n＝（1﹣2m）x+6pm﹣2p+4m﹣4，
得（1﹣2m）x+6pm﹣2p+4m﹣4＝0，
解得，
当6m﹣2＝0，
则 ，
∴Q（8，0），
∴对于不等于2的任意实数p，存在“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变．
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八年级数学下学期期末解答压轴题13个必考点（60题）
【人教版】
【必考点1 四边形折叠类综合题】 1
【必考点2 四边形旋转类综合题】 4
【必考点3 四边形动点类综合题】 7
【必考点4 新定义四边形综合题】 9
【必考点5 一次函数的实际应用题】 12
【必考点6 一次函数与面积问题综合】 14
【必考点7 一次函数与角度问题综合】 15
【必考点8 一次函数与平行四边形综合】 18
【必考点9 一次函数与菱形综合】 20
【必考点10 一次函数与正方形综合】 23
【必考点11 一次函数与等腰三角形综合】 25
【必考点12 一次函数与最值、定值问题综合】 27
【必考点13 一次函数新定义问题】 30
【必考点1 四边形折叠类综合题】
1．在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．
（1）如图1，若设∠ABE＝α，则∠DEF＝ （用含α的式子表示）；当点F恰好是BD的中点时，则α＝ 度．
（2）如图2，EF交BD于点M，且BF平分∠DBC．
①求证：△EDM是等腰三角形．
②当AB＝3，BC＝4时，求AE的长．
③若设BE＝a，BM＝b，EM＝c，求证：a2＝b2+bc．
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上（不与端点重合），将△ABE沿BE翻折，得到△FBE，连接DF，CF．
（1）当BF平分∠EBC时，求点F到BC的距离．
（2）求△DEF的周长的最小值，并求出此时ED的长．
（3）若△CDF为直角三角形，求AE的长．
3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AB上任意一点（点E不与点A，点B重合），点F在AD的延长线上，BE＝DF．
（1）求证：CE＝CF；
（2）如图2，作点D关于CF的对称点G，连接BG、CG、DG，DG与CF交于点P，BG与CF交于点H，与CE交于点Q．
（ⅰ）若∠BCE＝20°，求∠CHB的度数；
（ⅱ）用等式表示线段CD，GH，BH之间的数量关系，并说明理由．
4．综合实践数学活动——折纸，引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
[动手操作]（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①，求∠ENM的度数；
[拓展延伸]（2）如图②，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT，ST'．求证：四边形SATA'是菱形；
[解决问题]（3）如图③，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，点S是边AD上的一动点，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕过点S，交AB边于点T，把纸片展平．请你求出线段AT长度的取值范围．
5．综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片ABCD进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】：
如图，在边AD上任意选取一点P，以BP为折痕，折叠纸片，使点A的对应点M落在正方形ABCD内部．
探究一：
根据以上操作，如图1，若点E为折痕BP的中点，连接AE，ME，得到四边形AEMP，你知道当AD，AP满足什么数量关系时，才能使得四边形AEMP为菱形？为什么？
探究二：
如图，延长PM，交边CD于点Q，连接BQ．
①∠PBQ的度数大小会随着P点的位置变化而发生改变吗？请说明理由．
②已知正方形纸片ABCD的边长为10，当CQ＝2时，请计算AP的长．
【必考点2 四边形旋转类综合题】
6．【初步探究】
（1）如图1，在△ABC中，BC＝8，∠ABC＝45°，AB＝2，将边AC绕点A逆时针旋转90°得AD，连接BD．小明同学为求BD的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空：
将AB绕点A顺时针旋转90°得AE，连接BE，CE，则BE＝ ，∠EBC＝90°，再利用勾股定理求得CE的长．继续得到△BAD≌△EAC，通过全等三角形的性质发现BD＝CE，则边BD的长为 ．
【变式拓展】
请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题：
（2）在正方形ABCD中，点E为正方形内一点，且满足．
①如图2，若AE＝8，CE＝4，求∠BEC的度数．
②如图3，以BE为边向右按顺时针方向作正方形BEFG．在正方形BEFG绕点B旋转过程中，边EF交对角线BD于点M，边FG与边BC交于点N．△MFN的周长是否为定值？如果是，求出△MFN的周长；如果不是，请说明理由．
7．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）直接写出PG与PC的位置和数量关系．
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°．探究PG与PC的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
8．如图1，把一个含45°的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，连接AF，点M与N分别是AF、EF中点，连接MD，MN．
（1）如图1，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AE．则MD、MN的数量关系是 ；MD、MN的位置关系是 ；
（2）如图2，将图1中直角三角板ECF绕点C顺时针旋转，当点E落在线段AC上时，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将图1中直角三角板ECF绕点C顺时针旋转n°（0＜n＜90），其他条件不变，若AB＝5，EC＝3，直接写出线段MD的最小值．
9．在正方形ABCD旁，正方形BEFG如图（1）放置，其中A、B、E在同一条直线上．
（1）H是DF中点，求证：2BH＝DF；
（2）如图（2），将正方形BEFG逆旋转α°（45°＜α＜90°），连接CG、CE．
①若AB＝4，BE＝2，则AE2+CG2的值为 ；
②如图（3）若N是CG中点，连接BN，交AE于点M，求证：BM⊥AE．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，以点C为旋转中心，将矩形ABCD沿顺时针方向旋转，得到矩形EFCG，点A，B，D的对应点分别是点E，F，G．
【知识技能】
（1）如图①，当点F落在矩形ABCD的对角线AC上时，求线段AF的长；
【数学理解】
（2）如图②，当点F落在矩形ABCD的对角线BD的延长线上时，求△CDF的面积；
【拓展探索】
（3）如图③，将矩形ABCD旋转一定角度后，连接BF，DG交于点H，连接BG，DF，求BG2+DF2的值．
【必考点3 四边形动点类综合题】
11．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P、E都在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，若四边形ABCD为正方形，点P在对角线BD上，PE⊥AP，交边CD于点E，连接AE交BD于点F．请求出∠PAE的度数并直接写出线段BP、PF、DF之间的数量关系．
12．如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，E为边BC延长线上一点，且CE＝AF，连接EF，与对角线AC相交于点G．
（I）求证：FG＝EG；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）连接BG，点P，M，N分别是△BGE三条边BE，BG，EG上的动点，若AD＝6，AF＝2，求PM+PN的最小值（直接写出结果即可）．
13．四边形ABCD是正方形，点E是射线CB上一动点，过点A作AE⊥AF交直线CD于点F，作∠EAF的平分线AH交直线BC于点H，连接HF．
（1）如图1，若点E在线段CB延长线上，点H在线段CB上．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，连接BD交AH于点K，交AF于点L，请探索BK，KL，DL之间的数量关系并证明．
（2）请直接写出BH，BE和HF之间的数量关系．
14．【问题初探】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？直接判断：AE BF（填“＝”或“≠”）；
【问题迁移】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
【问题延伸】
（3）如图3，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
【问题拓展】
（4）如图4，在边长为4的正方形ABCD中，F是CD的中点．M是BF上的动点，过点M作EG⊥BF，分别交AD，BC于点G，E．直接写出（EF+BG）2的最小值为 ．
15．在正方形ABCD中、点M，E，分别是AB，AD边上一动点（不与A，B，D点重合），连接EM，EM的延长线交CB的延长线于点N．
（1）如图1，当∠AEM＝30°时，若AM＝4，CD＝12，求MN的长；
（2）如图2，过点A作AF⊥EN于点G，连接BG，有BM＝BF，求证：．
（3）如图3，AE＝4，CD＝12，将△AEM沿直线EM折叠，得到△EQM，过点E做EH⊥BC交BC于点H，连接HQ并延长交线段AB于点P，连接EP，当EP最大时，直接写出AP的值．
【必考点4 新定义四边形综合题】
16．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．根据上述垂美四边形的定义，回答以下问题．
（1）如图1，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）如图2，探究垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．请解决以下问题：
①求证：△AGB≌△ACE；
②若AC＝2，AB＝5，求线段GE的长度．
17．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填字号）
（2）如图1，已知四边形ABCD是邻等对补四边形，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于点E，过C作CF，BE于点F；
①证明：BE＝DE；
②若AE＝6，AB﹣CD＝8，求AD的长．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，连接MN，使四边形ABMN是邻等对补四边形，连接BN，求BN的长．
18．【定义】
在学习了“中心对称图形——平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形．勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”，并进行了以下问题的探究．
【理解】
（1）如图①，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接CE，DE，EF，CF，若DE＝CF，求证：四边形CDFE为“双直四边形”．
【应用】
（2）如图②，双直四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，对角线AC与BD相交于点O，且∠DAC＝45°，求四边形ABCD的面积．
【拓展】
（3）如图③，双直四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，且AD＝4BC，若AB＝4，求线段AD的长度．
19．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线DB平分∠ADC．判断四边形ABCD是否是邻等四边形，并证明你的结论；
（2）如图2，在5×6的方格纸中，A、B、C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E．若AB＝4，AD＝2，求四边形EBCD的面积．
20．我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．
如图1，∠D＝∠B＝90°且AB＝BC，则四边形ABCD是至善四边形．
（1）下列四边形一定是至善四边形的有 ．
①平行四边形；
②矩形；
③菱形；
④正方形．
（2）如图2，四边形ABCD为至善四边形，AB＝AD，AC＝3，∠BAD＝60°，求BC+CD的长及∠ACD的度数．
（3）如图3，正方形AOBH中，D为AB中点，在OB右边作等边△BOE，F为OE中点，连接AE交OD于点C，交DF于点G，求线段CD与EG的数量关系．
【必考点5 一次函数的实际应用题】
21．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（0＜a＜15）出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值．
22．今年春节假期以来，武汉旅游市场加速回暖，强势复苏，各种旅游纪念品的销量也逐步提升．某礼品店同时购进A，B两款纪念品共500件，已知A、B两款纪念品每件的进价分别为80元和100元，每件的售价分别为120元和150元，设购进A款纪念品x件（x为正整数），该礼品店售完全部A，B两款纪念品获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该礼品店计划最多投入4.6万元购进这两款纪念品，则至少购进多少件A款纪念品？若A，B两款纪念品全部售完，则该礼品店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，该礼品店进行降价促销，B款纪念品的售价降低a元（其中5＜a＜15），A款纪念品的售价不变，且最多购进300套A款纪念品．若保持这两款纪念品的进价不变，该礼品店如何进货使得全部售完A，B两款纪念品获得的利润最大？
23．某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如表所示：
水果名称
进价（元/千克）
售价（元/千克）
哈密瓜
a
10
苹果
b
销量不超过100千克的部分
销量超过100千克的部分
16
14
已知超市购进20千克哈密瓜和10千克苹果需要260元，购进10千克哈密瓜和20千克苹果需要310元．
（1）求a，b的值；
（2）若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克且不超过60千克，设每天销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计），
①分别求出每天销售哈密瓜的利润y1（单位：元），销售苹果的利润y2（单位：元）与x（单位：千克）的函数关系式，并写出x的取值范围；
②“端午节”当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保证当天销售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值．
24．某文具专卖店计划购进A，B两种笔记本共100个，要求B种笔记本数量不低于A种笔记本数量的 ．且不高于A种笔记本数量的 ，已知A，B两种笔记本的进货价分别是10元/个，15元/个，设购进A种笔记本x个．
（1）求该专卖店计划购进这两种笔记本所需总费用y（元）与x之间的函数关系式：
（2）求该专卖店按计划购进这两种笔记本有多少种满足条件的方案？
（3）由于市场行情波动，实际进货时，A笔记本单价上调了2a元/个（a＞0），B笔记本单价下调了3a元/个，此时专卖店购进这两种笔记本所需的最少费用为1215元，求a的值．
25．受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．
①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量x的取值范围．
【必考点6 一次函数与面积问题综合】
26．已知直线AB交x轴于点A（﹣1，0），交y轴于点B（0，3），点C（3，﹣1）．
（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）如图2，点P为直线y＝4上第一象限内一点，且∠PBC＝135°，求P点坐标；
（3）在直线y＝﹣x+5上是否存在点Q，使S△QAC＝2S△BQC．若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AC交x轴于点C，△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，直线AC上的两点E，F，△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标；
（3）如图3，若OD交AC于点G，在线段AB上是否存在一点H，使△ADC与△AGH的面积相等，若存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由．
28．综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：与直线AC：y＝kx﹣4相交于点，与x轴交于点B（4，0），直线AC与x轴交于点C．
（1）直接写出k，b，m的值．
（2）如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线AB，AC于点D，E，连接AP．设点P的坐标为（0，n）．
①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示）
②当DE＝OB时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，线段BC上是否存在点Q，使S△ABQ＝S△APD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【必考点7 一次函数与角度问题综合】
29．如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若PQ的长为4，求点M的坐标；
②如图2，连接BM，在点M的运动过程中是否存在点P，使∠BMP＝∠BAC，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．
（1）直接写出k的值为 ；
（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；
（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．
31．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为（0，3）、（﹣3，0）、（0，﹣3），把△ABC沿AC翻折，点B恰好落在x轴的点D处，AC为折痕．
（1）求直线AD的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，有一个动点P（x，y）使得S△PAD＝3，动点P的纵坐标y是否为横坐标x的函数？若是，求出y关于x的函数解析式；若否，请说明理由；
（3）连接AD、CD，点E为边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交∠BCD外角的平分线CF于点F，求证AE＝EF．
32．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（﹣a，a），与y轴交于点B（0，b），且（a﹣2）20．
（1）求直线l2的解析式；
（2）若第二象限有一点P（m，8），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标；
（3）线段OA上是否存在一个点M，使得∠ABO+∠MBO＝45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
33．综合与实践
如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知OA＝4，OB＝3．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求S△ABC：S△OCD的值．
（3）直线CD上是否存在点P使得∠PBC＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【必考点8 一次函数与平行四边形综合】
34．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝kx+6k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，8）．
（1）求点A的坐标；
（2）P是x轴上一点，已知∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）如图（2），已知AC平分∠BAO，D为AB的中点．
①请直接写出直线CD的解析式；
②点M在直线CD上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
35．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC＝90°，∠BCO＝45°，
BC，点C的坐标为（﹣12，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）若直线BD交y轴于点D，且OD＝3，在x轴上有一点M，求当MB+MD最小时，M的坐标．
（3）若点P平面内一个动点，是否存在点P，使以B，C，O，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
36．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D．（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点，使得O，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，请求出点P的坐标．
37．综合与探究
如图，已知直线与直线l2：y＝﹣2x+16相交于点C，直线l1，l2分别与x轴于点A，B．
（1）求△ABC的面积．
（2）点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线l1，l2于点M，N．当PM＝2MN时，求m的值．
（3）过点B作x轴的垂线，交直线l1于点D，过点D作x轴的平行线，交直线l2于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
38．综合与探究如图，已知直线与直线l2：y＝﹣2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点，
（1）求△ABC的面积；
（2）过点B作x轴垂线交直线l1于点D，过点D作x轴平行线交直线l2于点E，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，
①求线段EF的长；
②点G是第一象限内一点，且以G，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点G的坐标．
【必考点9 一次函数与菱形综合】
39．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数yx+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求得b＝ ；
（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：5，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．
40．如图1，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线yx相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线AC上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形OFQE的面积为2？
（3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
41．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，与直线OC相交于点C（﹣2，1），点M直线AB上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）是否存在点M，使△OMB的面积是△OBC面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若点P在y轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
42．如图，直线yx+3与直线yx+3相交于y轴上一点C，点P是直线yx+3上的一个动点（不与点C重合），过点P作PM⊥x轴交直线yx+3于点M．设点P的横坐标为m．
（1）直接写出点P，M的坐标：P ，M （用含m的式子表示）；
（2）若△POM的面积为，求m的值；
（3）试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形？若存在，求出m的值，并直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
43．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：yx+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，设点P的横坐标为m，当S△PBM＝20成立时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【必考点10 一次函数与正方形综合】
44．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝kx+b经过点B，且与x轴交于点C（﹣6，0）．
（1）求直线BC的表达式；
（2）点E为射线BC上一点，过点E作EF∥x轴交AB于点F，且EF＝7，设点E的横坐标为m．
①求m的值；
②在y轴上取点M，在直线BC上取点N，在平面内取点Q，使得点E，M，N，Q构成的四边形是以EN为对角线的正方形，直接写出此正方形的面积．
45．如图1，已知直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C（0，﹣1），与直线l1交于点D（2，t）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作PQ∥y轴交l2于点Q，交x轴于点G，使S△PCG＝2S△QCG，求此时P点的坐标；
（3）如图3，点P是直线l1上一动点，点Q是直线l2上一动点，点E是坐标平面内一点，若以点C、P、Q、E为顶点的四边形为正方形，且CQ是正方形的边，若存在，请直接写出点Q的坐标．
46．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝﹣x+3上．
（1）求点A，B的坐标．
（2）若C是x轴的负半轴上一点，且S△PACS△AOB，求直线PC的表达式．
（3）在（2）的条件下，若E是直线AB上一动点，过点E作EQ∥x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴，QN⊥x轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形EMNQ为正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
47．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．把△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处，折痕交x轴于点C．直线CE与直线AB相交于点D．
（1）求BE的长：
（2）求直线CE的解析式：
（3）在x轴上存在点P，当BP+DP的值最小时，点P的坐标为 ；
（4）在x轴上方的平面内存在一点M，平面内存在一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点M的坐标．
【必考点11 一次函数与等腰三角形综合】
48．如图，一次函数的图象交x轴于A点，交y轴于C点，以A，O，C三点为顶点作矩形ABCO，将矩形ABCO绕O点顺时针旋转90°，得到矩形ODEF，直线AC交直线DF于点M．
（1）求直线DF的解析式；
（2）求证：MO是∠AMD的角平分线；
（3）在角平分线MO上，是否存在点N，使得以M，N，A为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
49．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝9，OD＝2OC．
（1）求直线l2的解析式；
（2）连接AD，点Q为直线CD上一动点，若有S△QAD＝5S△OAB，求点Q的坐标；
（3）点M为直线l1上一点，点N为y轴上一点，若M，N，C三点构成以MN为直角边的等腰直角三角形，求点M的坐标．
50．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x，y轴于A，B，直线n：y＝kx+2k（k为任意常实数）．
（1）直接写出点A，B坐标和线段AB的长；
（2）第四象限的直线n上存在点P，使∠APB＝45°，且AB＝BP，求直线n的解析式；
（3）如图2，直线y＝﹣2x+2上有一点E，D（0，﹣3），过（4，0）且平行于y轴的直线上有点F，若△DEF为等腰直角三角形，且∠DEF＝90°，直接写出E点坐标．
51．如图，A点坐标为（﹣6，0），直线l1经过点B（0，﹣2）和点C（﹣2，2），交x轴于点D．
（1）求直线l1的函数表达式．
（2）点E为线段CD上的一点，过点E作EF∥x轴交AC于点F，且EF＝4，设点E的横坐标为m．
①求m的值．
②N为x轴上一动点，在点N运动过程中，是否存在以EN为底边的等腰三角形ANE，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
52．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l2：y＝3x与直线l1，相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，当MN＝2时，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．
【必考点12 一次函数与最值、定值问题综合】
53．我们把关于x的一次函数y＝mx+n（m≠n且m、n都不为0）与一次函数y＝nx+m定义为交换函数．
（1）根据交换函数的定义，一次函数y＝2x﹣3的交换函数是 ；
（2）试说明一次函数y＝mx+n与其交换函数的交点坐标为（1，m+n）；
（3）如图，若点B（1，3）是一次函数y1＝﹣x+m与其交换函数y2＝mx﹣1的交点，y2与y轴交于点A，点P为y1上一动点，当AP取得最小值时，求点P的坐标．
54．如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点P为线段OB上一个动点，连接AP．
（1）如图1，若点P为线段OB中点，求△PAB的面积．
（2）如图2，经过点P的直线l：y＝kx﹣k+2（k≠﹣2）交x轴于点C，交直线y＝﹣2x+4于点D．当P为线段CD的中点时，求k的值．
（3）如图3，以AP为边在AP的下方作等边三角形APQ，连接OQ．当OQ取最小值时，求点P的坐标．
55．如图1，将底角为30°，腰长为2的等腰△OAB置于平面直角坐标系中，腰OB与x轴重合，底边AB与y轴交于点D．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）如图2，将△OAB沿AB对折，点O落在点C处，判断四边形OBCA的形状并求出点C的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E、F为线段BD上的两动点（不与点B、D重合），且BE＝DF，连接CE、CF，请求出CE+CF的最小值及点E的坐标．
56．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴交于点A、B，直线l关于y轴对称的直线与x轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式：
（2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点D，使得四边形ABCD是以AC为“界线”的“等腰四边形”，且AD＝AB？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M在直线l上，横坐标为，直线ME与x轴正半轴交于点E，与y轴交于点F，当常数m等于多少时，为定值？
57．在平面直角坐标系中，直线y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x+9于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，点M是直线AB上一动点，过点M作MN∥x轴交直线y＝﹣2x+9于点N，连接MN，若MN＜6，设点M的横坐标为m，求m的取值范围；
（3）如图2，点P为y轴正半轴上一动点，在线段AB上是否存在点D，使直线PD交x轴负半轴于点Q时，的值是定值？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【必考点13 一次函数新定义问题】
58．定义：对于给定的一次函数y＝kx+b（k≠0），当x＜m时，自变量x对应的函数值不变；当x≥m时，自变量x对应的函数值为原函数值的相反数．我们称这样的函数是一次函数y＝kx+b的m级反联函数．
例如：当m＝1时，一次函数y＝x的1级反联函数为，对应的函数图象如图所示．
（1）若点M（2，t）在一次函数y＝2x﹣1的1级反联函数的图象上，求t的值；
（2）已知一次函数y＝x﹣3．
①当﹣1≤x≤6时，求这个函数的1级反联函数y′的函数值的取值范围；
②当﹣2≤x≤n时，此时这个函数的1级反联函数y′的函数值的取值范围为﹣5≤y′≤2，则n的取值范围为 ；（直接写出答案）
③已知点A（m﹣2，0），点B（m+2，0），在x轴上方作矩形ABCD，使BC＝2．当矩形ABCD与这个函数的m级反联函数的图象有两个交点，且矩形ABCD与这个反联函数的图象所围成的三角形的面积为1时，求此时m的值．
59．已知y关于x的一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，我们称一次函数y＝kx+b为“原函数”，一次函数y＝﹣kx﹣b为“原函数”的“相关函数”．“原函数”的图象记为直线l1，它的“相关函数”的图象记为直线l2．
例如：“原函数”y＝x+2的“相关函数”为y＝﹣x﹣2．
（1）直接写出“原函数”的“相关函数”表达式；
（2）请说明：直线l1，直线l2与x轴的交点是同一个点；
（3）若“原函数”的表达式为，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB∥x轴，AB＝2，求点A的坐标；
（4）“原函数”的表达式为y＝mx+2m．
①点C（t，yC）在直线l1上，点D（t﹣2，yD）在直线l2上，若0＜yD＜yC，求t的取值范围；
②若直线l1，直线l2与y轴围成的图形面积为8，点E在直线l1上，过E作EF∥y轴交直线l2于点F，过E作EH∥x轴交直线l2于点H，过F作FG∥x轴交直线l1于点G，连接GH．设点E的横坐标为a（a＞0），四边形EFGH的周长为C，直接写出C关于a的函数表达式．
60．定义：对于一次函数y1＝ax+b，y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1，y2的“友好函数”．
（1）若m＝2，n＝3，试判断函数y＝8x+1是否为函数y1＝x﹣1，y2＝2x+1的“友好函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝﹣x+4p与y2＝x﹣2p﹣4的图象相交于点M．
①若m+n＞1，点M在函数y1、y2的“友好函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠2，函数y1、y2的“友好函数”图象经过点M，是否存在大小确定的m值，对于不等于2的任意实数p，都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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