七年级数学下学期期末压轴题【最后一道】（100题）（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

七年级数学下学期期末压轴题【最后一道】（100题） 【人教版2024】 【选择题篇·30题】 1．（2024春•和平区校级期末）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 2．（2024春•通州区期末）平面直角坐标系xOy中，点B（0，﹣5），C（3，﹣9），E（0，1），BC＝5，点A在x轴正半轴上，线段AB与线段CE交于点D．若△EBD与△ACD面积相等，则点A到直线BC的距离是（　　） A．4 B． C． D．3 3．（2024春•阳新县校级期末）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•云梦县期末）已知不等式组，如果这个不等式组有解，则a的取值范围为（　　） A．1＜a＜2 B． C． D．a＜2 5．（2024春•如皋市期末）已知a，b，c是三个非负数，且满足a+b＝2，3a+b﹣2c＝4，则式子2a﹣b+3c的最大值为（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 6．（2024春•河北区校级期末）已知关于x的方程的解是非负数，且关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．27 B．28 C．35 D．36 7．（2024春•武昌区期末）若关于x，y的方程组的解满足不等式组，则满足条件的m的整数值是（　　） A．2，3 B．2，﹣3 C．﹣2，﹣3 D．﹣2，3 8．（2024春•和平区期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 9．（2024春•湖北期末）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]＝1，[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3等．[x]+1是大于x的最小整数，则方程6x﹣3[x]+9＝0的解是（　　） A． B． C．或x＝﹣3 D．或 10．（2024春•慈溪市期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（　　） ①；②；③3x（100﹣x）＝100；④y+3（100﹣y）＝100． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（2024春•咸安区期末）端午节前夕，某食品加工厂准备把生产的粽子装入A，B两种不同型号的包装盒中，A种包装盒每盒可装8个粽子，B种包装盒每盒可装10个粽子，若将生产的200个粽子全部装入这两种包装盒中（两种包装盒都使用且装满），最少需要两种包装盒共（　　） A．20个 B．21个 C．22个 D．23个 12．（2024春•宜昌期末）下列命题； ①在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，8），B（a，8），其中a≠﹣2，则AB∥x轴； ②若x2＝7，则； ③关于x，y的方程组．无论m为何值4x﹣y＝3恒成立； ④若1≤x＜b的整数解有3个，则b的取值范围为3＜b≤4． 其中是真命题的有（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 13．（2024春•黄埔区期末）如图，点E在BA延长线上，EC与AD交于点F，且∠E＝∠DCE，∠B＝∠D，∠EFA是∠FCB的余角的5倍，点M是线段CB上的一动点，点N是线段MB上一点且满足∠MNF＝∠MFN，FK平分∠EFM．下列结论：①BE∥CD；②AD∥CB；③FN平分∠AFM；④∠D+∠E＝105°；⑤∠KFN＝30°．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（2024春•芜湖期末）已知方程组的解为，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 15．（2024秋•衡东县期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2024春•白云区期末）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元．1角、5角、1元硬币的取法共有（　　） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 17．（2024春•江岸区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，其中O1（﹣2，0），O2（2，0），O3（6，0），…，在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，P1，P2，P3，P4，P5，…，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 18．（2024春•洪山区期末）小明同学在一次数学探究活动中，将小正方形放置在如图所示的平面直角坐标系中，使得小正方形的中心（即正方形对角线的交点）位于原点，各顶点在坐标轴上，若各顶点到原点的距离为1．接下来，按如图方式作新正方形，即从第二个正方形开始，以前一个正方形的一条对角线为边作正方形，则第十个正方形中心O10的坐标为（　　） A．（8，16） B．（8，20） C．（15，46） D．（15，48） 19．（2024春•汉阳区期末）如图，在平面坐标系xOy中，已知A（﹣5，4），B（﹣1，2），将线段AB平移，得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段AB上任一点（x，y）在平移后的对应点为（x+m，y﹣n），其中m≥0，n≥0，若m+n＝6，且平移后三角形BCD的面积最大，则此时，m，n的值为（　　） A．m≥0，n≤6 B．m＝6，n＝0 C．m＝0，n＝6 D．m＝n＝3 20．（2024春•武汉期末）若关于x的不等式组的解集是x＜﹣2，且关于y的方程（a+2）﹣（y+2）＝2（y﹣1）的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 21．（2024春•十堰期末）如图，直线AB经过原点O，点C在y轴上，D为线段AB上的一点，若A（﹣2，m），B（4，n），C（0，3），AB＝9，则CD长度的最小值是（　　） A．2 B．1 C． D． 22．（2024春•荔湾区期末）已知关于x，y的方程组，下列说法中正确的有（　　）个． ①当x＝y时，； ②当x≥2y时，a的最小值为2； ③a取任意实数，5x﹣y的值始终不变； ④不存在实数a，使2x＝3y成立． A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2024春•黄石港区期末）已知关于x，y的方程组①的解x，y比②相应的解x，y正好都小1．则a，b的值分别为（　　） A．2和3 B．﹣2和﹣3 C．6和4 D．﹣6和﹣4 24．（2024春•崇川区期末）在平面直角坐标系中，点A（1﹣m，0），B（1+m，0），其中m＞0，点C（1，﹣1），在线段AB，AC，BC所围成的区域内（包括边界），若横、纵坐标都是整数的点恰有6个，则m的取值范围是（　　） A．2≤m＜3 B．2＜m≤3 C．2＜m＜3 D．3≤m＜4 25．（2024春•惠阳区期末）如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯⋯，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2025的横坐标为（　　） A．1014 B．﹣1014 C．1012 D．﹣1012 26．（2024春•海珠区期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK等于16°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④ 27．（2024春•广州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．6 28．（2024春•武汉期末）已知正方形ABCD，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段GH折叠，使点E落在EF上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段MN折叠，使点G落在GH上点G′，若∠NMA'＝24°，则∠FHG的度数为（　　） A．66° B．48° C．36° D．24° 29．（2024春•河北区期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 30．（2024春•越秀区校级期末）下列说法：①立方根等于它本身的数是1或﹣1或0；②如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行；③在两个连续整数a和b之间，那么a+b＝7；④无理数就是开方开不尽的数；⑤若关于x的不等式组无解，则b﹣a≤﹣1；⑥若关于x的不等式组有解且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内，则；其中正确说法的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【填空题篇·30题】 1．（2024春•黄石期末）如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝　 　 度． 2．（2024春•石首市期末）如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题： （1）任意写出一个实数，使得该值经过一次运行就能输出结果，则该数为 　 　 ； （2）如果要使开始输入的x的值经过两次运行才能输出结果，那么x的整数值为 　 　 ． 3．（2024春•宜城市期末）已知关于x的不等式组有4个整数解，那么实数a的取值范围是 　 　 ． 4．（2024春•硚口区期末）已知关于x，y的方程组，下列四个结论： ①当m＝2时，方程组的解也是方程2x﹣y＝7的解； ②若x+y﹣5m＞1，则m＞﹣7； ③无论m取什么实数，y﹣7x的值始终不变； ④存在实数m使得3x+y＝﹣17． 其中正确的结论是 　 　 .（填写序号） 5．（2024春•青山区期末）关于x、y的二元一次方程：ax+y+2a﹣4＝0（a＞0），则下列四个结论： ①无论a为何值时，该方程都有一组解； ②若a＝1，则方程ax+y+2a﹣4＝0有三组非负整数解； ③若y＝﹣2x，则不等式ax+y+2a﹣4＞0的解集为x＞﹣2； ④若和是方程ax+y+2a﹣4＝0的两组解，则m＞n． 其中正确的结论是 　 　 .（请填写序号） 6．（2024春•武汉期末）如图，∠BCD＝∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∠F＝75°，则∠A＝　 　 ． 7．（2024春•武汉期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论： ①∠EGD2＝∠EFG； ②2∠EFC＝∠EGC+180°； ③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°； ④∠FHD2＝3∠EFB． 上述正确的结论是 　 　 ． 8．（2024春•洪山区期末）我们规定：[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，．的值为 　 　 ． 9．（2024春•黄石港区期末）高斯函数[x]，也称取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.5]＝2，[5]＝5，[﹣2.5]＝﹣3．若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围为 　 　 ． 10．（2024春•恩施州期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（1，1），（2，1），（2，0），（3，0），（3，1）⋯，根据这个规律，第2025个点的坐标为 　 　 ． 11．（2024春•阳新县期末）在平面直角坐标系中，已知A（﹣a，3a+2），B（2a﹣3，a+2），C（2a﹣3，a﹣2）三个点，下列四个命题：①若AB∥x轴，则a＝2；②若AB∥y轴，则a＝﹣1；③若a＝1，则A、B、C三点在同一条直线上；④若a＞1，三角形ABC的面积等于8，则点C的坐标为．其中真命题有 　 　 （填序号）． 12．（2024春•海珠区期末）已知非负数x，y，z满足，设M＝3x﹣2y+z．则M的最大值与最小值的和为　 　 ． 13．（2024春•荔湾区期末）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对（m，n），例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对（2，1）．按照这种方式，数的位置为有序数对 　 　 ． 14．（2024春•洪山区期末）下列说法：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；②若1.77，且，则x≈﹣314；③若关于x的不等式组无解，则a+b≥4；④若关于x的不等式组有解且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内，则a＞5．其中正确说法是 　 　 ．（填正确结论的序号） 15．（2024春•花都区期末）如图，点E，F为长方形ABCD的边AD，BC上的点，连接CE，AF，将三角形EDC沿着CE翻折得到三角形EGC，三角形ABF翻折得到三角形AHF．此时，点H恰好落在线段EG上，且∠AFB＝∠GED．以下结论：①AF∥EQ；②∠EAH+∠HFQ＝90°；③∠EHA＝∠CED；④∠QEC＝∠ECQ，其中结论正确的是 　 　 ．（填入所有正确的序号） 16．（2024春•郯城县期末）对x，y定义一种新的运算G，规定G（x，y），若关于x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是 　 　 ． 17．（2024春•滨海新区期末）如图，AF平分∠BFE，延长EF到点G，作∠BFG 的角平分线，与AB的延长线交于点D，点C是线段AD上异于点B的点，连接CG交DF于点N，使得∠FNG＝∠NFG，连接CE交AF于点M，已知∠ADF+∠AFE＝90°，以下结论：①∠AFD＝90°；②AD∥EF；③∠G+∠ABF＝180°；④∠CMF+∠CNF＝180°，其中正确的有 　 　 （请填写序号） 18．（2024春•河北区期末）在长为4，宽为x（2＜x＜4）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 　 　 ． 19．（2024春•海安市期末）在平面直角坐标系中，点A（m﹣3，m+3），B（m+3，m﹣3），当n≤m≤n+1时，线段AB（含端点）始终与x轴相交，则n的取值范围为 　 　 ． 20．（2024春•海门区期末）在平面直角坐标系中，A（a，5），B（1，4﹣2a），C（1，b），若2a+b＝8，10≤3a+b≤13．则△ABC面积的最大值为 　 　 ． 21．（2024春•厦门期末）如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且DE⊥CD．则下列结论中：①∠AED＝∠ADE；②BD平分∠ABC；③∠OBE+∠OEB＝∠OAD；④∠DBC+2∠BDC＝180°．正确的是 　 　 ． 22．（2024春•通州区期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且m﹣n＝5．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 　 　 ． 23．（2024春•思明区校级期末）已知实数a，b，m，n（m≠n）满足，若关于x的不等式ax+b＞﹣5的解集为，则关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是 　 　 ． 24．（2024春•崇川区校级期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c＝4，2a+b+3c＝5，设s＝5a+4b+7c的最大值是m，最小值是n，则m+n的值为 　 　 ． 25．（2024春•思明区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝110°，则∠BEG的度数为 　 　 ． 26．（2024春•海沧区期末）将一副三角板按图所示叠放，仅转动三角板BEC，在转动过程中保持直角顶点C重合，且点E始终在直线AC的上方，∠ACE＜135°．当这两块三角板有两条边平行时（不考虑重合或共线的情况），∠ACE＝　 　 ． 27．（2024春•海安市期末）在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3﹣2m，1），点N（m﹣3，1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m的取值范围为 　 　 ． 28．（2024春•惠城区期末）如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝26˚，分别以BE、CE为折痕进行折叠压平，如图2，若图2中∠AED＝n°，则∠DEC的度数为 　 　 ． 29．（2024春•芜湖期末）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步：确定的位数．因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，所以是2位数； 第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，93＝729，所以的个位上的数是9； 第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，33＝27，43＝64，而27＜59＜64，由此能确定的十位上的数是3． 综合以上可得． 已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是 　 　 ． 30．（2024春•无为市期末）定义[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．有下列结论：①当时，[1+x]+[1﹣x]的值为1；②[x﹣1]＝[x]﹣1；③x﹣1＜[x]≤x；④是方程3x﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中，正确的有 　 　 ．（填序号） 【解答题篇·40题】 1．（2024春•江岸区期末）如图1，平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足． （1）求点A，B的坐标； （2）将线段AB平移至CD处，点C与点A是对应点，C（x，y），F是线段CD上的点，点F的坐标为（x+1.5，y﹣2），点E是x轴上一动点，点E的坐标为（m，0）． ①当，y＝6，且m＞3时，三角形CFE的面积与三角形BFE的面积相等，求m的值； ②如图2，若点C，D均在第一象限，且满足4x+12＝ny，连接AC，BD，ED，若三角形ACE的面积小于三角形BED的面积，且不小于三角形BED面积的一半，直接写出m的取值范围 　 　 .（用含有n的式子表示） 2．（2024春•武昌区期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． •只要其中任意两个代数式的和大于第三个代数式； •满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式A，B和C构成关于x的不等式满足A+B＞C且解集为x＞2，则称A，B和C构成“和谐不等式”． （1）判断代数式A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2是否构成“和谐不等式”？请说明理由． （2）若A＝2x+m，B＝x，C＝3m+2构成“和谐不等式”，则m＝　 　 ． （3）若A＝ax+a，B＝﹣bx，C＝2b构成“和谐不等式”，求关于x的一元一次不等式组的解集． 3．（2024春•青山区期末）已知点A（a，3b），点B（3a，b），且a，b满足． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）如图1，点C（4，6），连接OC交AB于点E，连接AC，OB．求三角形ACE与三角形OBE的面积差； （3）如图2，点P（m，﹣2m+2）在第二象限，且为直线AB左侧一点，求三角形PAB的面积？ 4．（2024春•江汉区期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点M（a，b），N（c，d），可以得到MN的中点P的坐标为；当d≥0时，将点P向上平移d个单位，得到Q；当d＜0时，将点P向下平移|d|个单位，得到Q，我们称点Q为M关于N的中心平移点．例如：M（1，2），N（2，3），MN的中点P的坐标为（1.5，2.5），M关于N的中心平移点Q的坐标为（1.5，5.5）． （1）已知A（﹣3，1），B（1，3），C（﹣5，﹣5），直接写出A关于B的中心平移点D及A关于C的中心平移点E的坐标； （2）已知F（﹣3，m），G（5，m+2）位于x轴的同侧，F关于G的中心平移点为H，若△OHG的面积比△OHF的面积大6，求m的值； （3）已知R（n，n），S（0，2n）（n≠0），将点S向下平移1个单位得到T，将点S向上平移6个单位得到U，分别过点S与U作x轴的平行线l1与l2．若点V在线段ST上，且V关于R的中心平移点在l1与l2之间（不含l1，l2），直接写出n的取值范围． 5．（2024春•硚口区期末）已知，d为4的算术平方根，点A（a，b），B（a﹣d，b﹣3），C（c，0），且a＞0． （1）直接写出b＝　 　 ，c＝　 　 ，d＝　 　 ； （2）如图1，若点C在直线AB上，求a的值； （3）平移线段AB，点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线NP，MQ交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图2，当1＜t＜2时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标． 6．（2024春•湖北期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（﹣4，﹣2），连接AB，与x轴、y轴分别相交于点G、H，点G（a，0）、点H（0，b）满足． （1）【基础训练】请你直接写出G、H两点的坐标； （2）【能力提升】如图2，点C（m，n）在线段GH上，m、n满足n+m＝﹣1，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴的负半轴于点M，且S△CGM＝S△MOD，求点D的坐标； （3）【拓展延伸】如图3，P为直线AB上一点（异于A，B，G三点），过P点作AB的垂线交x轴于点E，∠PEG和∠BGE的平分线所在的直线相交于Q点．当P在直线AB上运动时，请直接写出∠EQG的度数． 7．（2023春•武穴市期末）如图，A为x轴负半轴上一点，C（0，﹣3），D（﹣4，﹣3）． （1）求△BCD的面积； （2）如图（2），若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，判断∠CPQ与∠AQB有何数量关系，并说明理由； （3）如图（3），若∠ADC＝∠DAC，点B在x轴正半轴上任意运动，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于点E，在B点的运动过程中，的值是否变化？若不变化，求出其值；若变化，说明理由． 8．（2024春•石首市期末）在平面直角坐标系中，已知，A（1，a），B（2a，b），，过点M作直线l1平行于y轴． （1）如果线段BC与x轴有公共点，求b的取值范围； （2）若线段AC通过平移能够与线段BM重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b的值； （3）若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点A　 　 （填写“是”或“不是”）直线l1的“密接点”； ②将△ABC平移到△DEF，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线l1上，点E落在y轴上且纵坐标为2a﹣b，如果△ODE的面积为4，过点A作直线l2平行于x轴，点B是否为直线l2的“密接点”，说明理由． 9．（2024春•十堰期末）在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（﹣a，2a），C（b，0）满足． （1）求点A，B，C的坐标． （2）如图1，过点A作AD∥BC交y轴于点D，∠ADO和∠ACB的角平分线交于点E，求∠E的度数． （3）如图2，点M是y轴负半轴上的一点，连接BM交x轴于点N，是否存在点M，使S△AMN＝S△BCN？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024春•宜昌期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b），其中a，b满足． （1）请直接填空：a＝　 　 ，B点坐标为 　 　 ； （2）点C（x，y）是线段AB上一动点，求x，y之间满足的关系式（含x的式子表示y）； （3）如图2，将直线AB沿x轴向左平移，当平移后的直线DE经过点D（﹣2，0），点D是点A的对应点时，解决如下问题： ①在直线DE上是否存在点P，使得三角形ADP的面积等于18？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； ②已知Q（m，n）是直线DE上一动点，且点Q位于第二象限，若三角形BOQ的面积不大于9，求n的取值范围． 11．（2024春•孝感期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且，AC与y轴相交于点F，过C作CB⊥x轴于点B． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，三角形ABC的面积为 　 　 ； （2）如图2，过B作BD∥AC交y轴于D，若AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数； （3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024春•咸安区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，2），点C坐标C（m，n）满足，连接AC，BC，OC． （1）四边形OACB的面积为 　 　 ； （2）点D是x轴上一个动点，当三角形ADC的面积为10时，求点D的坐标； （3）将线段AC平移至线段PQ（点C的对应点为P，点A的对应点为Q），且点P在线段OB上，当三角形PAC的面积为时，求点Q的坐标． 13．（2024春•云梦县期末）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（a，0），B（2，b），C（4，0），其中a，b满足，AB与y轴交于点D． （1）求a，b的值及点D的坐标； （2）如图2，E是y轴上位于AB上方的一动点， ①连接AE，EB，OB，当△AEB和△OEB的面积相等时，求点E的坐标； ②如图3，过点E作EF∥AB，EM平分∠FEO，AM平分∠BAO，求∠EMA的度数． 14．（2024春•大冶市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，a），B（b，0），C（0，c），且． （1）求四边形ACOB的面积． （2）如图（1）点P从原点出发，沿y轴正半轴以每秒1个单位向点C匀速运动，运动时间为t秒，是否存在S四边形APOB＜2S△ACP，存在，求t的取值范围，若不存在，请说明理由． （3）点P在线段OC上，且AP平分∠CAB，点G在x轴正半轴上运动，且AM平分∠BAG交x轴于点M，过点M作MN⊥AP，交AP于点N，设∠AMN＝α，∠AGB＝β，试探究α与β的数量关系，画图并证明你的结论． 15．（2024春•汉川市期末）在平面直角坐标系中，点A（m，0），B（n，﹣m），且m，n满足|m﹣3|+（n+1）2＝0，AB＝5． （1）则点A的坐标是 　 　 ，点B的坐标是 　 　 ； （2）求三角形AOB的面积； （3）若点P从点A出发在射线AB上运动（点P不与点A点B重合），点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴运动，连接OP，BQ．若某一时刻t，三角形BOQ的面积是三角形BOP的面积的2倍时，求t的值，并写出点Q的坐标． 16．（2024春•曾都区期末）如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图1放置在两条平行线MN，PQ之间，∠BAC＝∠BCA＝45°，∠EDF＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠DEF＝90°，此时点A与点D重合，点A，C，E三点共线． （1）固定三角形DEF的位置不变，将图1中的三角形ABC沿DE方向平移，使得点C正好落在直线MN上，如图2所示，此时∠BCM的度数为 　 　 ； （2）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C逆时针旋转30°，试判断此时AC与DF的位置关系，并说明理由； （3）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C按逆时针方向进行旋转，如图3所示．若边AC与边EF相交于点G，我们发现∠CGF﹣∠ACM的值为定值，请求出这个定值； （4）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C按逆时针方向以每秒10°的速度旋转，至AC与直线MN首次重合时停止运动．设旋转时间为t．试探究t为何值时，线段AB与三角形DEF的一条平行边，直接写出符合条件的t的值． 17．（2024春•广水市期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，∠P＝90°，∠PMN＝45°． （1）若∠PNB＝20°，则∠PMD＝　 　 ； （2）若PN⊥EF，射线NO在∠MNG内交直线CD于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且∠GNO：∠MNO＝3：2，PM∥NO时，求α的度数； （3）小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，射线NO平分∠MNG，点N、M分别在直线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）． 18．（2024春•越秀区期末）如图所示，点A（4，0），点B在y轴的正半轴上，OA＝2OB，点C（m，n）是第一象限内一动点，且三角形ABC的面积为6，线段OC与AB交于点D． （1）求三角形AOB的面积； （2）若三角形AOD与三角形BCD的面积相等，求点C的坐标； （3）将线段BC沿射线BA平移，得到线段AE（点B与点A是对应点），连接OE，设三角形OBC的面积为S1，三角形OAE的面积为S2，S＝S1﹣S2，当4＜S＜7时，求m的取值范围． 19．（2024春•海珠区期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“梦想解”． （1）x＝﹣1是方程2x+3＝1和下列不等式 　 　 的“梦想解”；（填序号） ①，②2（x+3）＜4，③ （2）若关于x，y的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且m为整数，求m的值． （3）若关于x的方程x﹣4＝﹣3n和关于x的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为10，试求n的取值范围． 20．（2024春•天河区期末）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板开展数学活动，其中△ABC和△DEF分别为含45°和含30°的直角三角板，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，且EF＜AB．通过操作发现： （1）如图1，将△DEF沿DF方向移动1cm，得到△D1E1F1，若EF＝1cm，DF＝2cm，DEcm，求四边形EDF1E1的周长； （2）将这副三角板如图2放置，点C与点F重合，并过点D作直线DG平行于边AC所在的直线，求∠EDG的度数； （3）在（2）的条件下，固定△DEF，将△ABC绕点A逆时针以20°/s的速度旋转t（0＜t≤9）秒，求当t为何值时，直线AB与△DEF的任意一条边所在直线垂直． 21．（2024春•白云区期末）如图1，已知A（﹣1，﹣2），D（0，1），将线段AD向右平移到BC，BC交x轴于点M，连接OC，OB，DC，AB，S四边形ABCD＝12． （1）点B的坐标为 　 　 ，点C的坐标为 　 　 ； （2）求△BOC的面积和点M的坐标； （3）如图2，若点P（m，n）为四边形ABCD内的一点，且S△ADP＝4，求m，n之间满足的等量关系并直接写出m的取值范围． 22．（2024春•番禺区期末）某书店用3000元首次购进了甲、乙两种图书，甲种图书每本进价为18元，乙种图书每本进价为15元，书店在销售时甲种图书每本售价为26元，乙种图书每本售价为20元，全部售完后共获利润1200元． （1）求书店购进甲、乙两种图书各多少本？ （2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种图书，购进甲种图书的数量是第一次的2倍，而购进乙种图书的数量比第一次增加了50%．现在甲种图书降价出售，而乙种图书按原售价打九折出售．当两种图书销售完毕时，要使再次获利不少于1560元，求甲种图书每本最低售价应为多少元？ （3）某活动中心计划用300元购买甲、乙两种图书，购买单价是（2）的条件下的最低售价，在300元恰好用完的条件下，有哪些可行的购买方案？哪种方案书店获利较少？ 23．（2024春•潮阳区校级期末）平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b均为整数，且满足，点C在y轴负半轴上且BC＝5，将线段AB平移到DE，其中点A的对应点是点D，点B的对应点是点E． （1）请直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），若点E的坐标为（﹣5，2），点F（m，n）为线段AC上一点，且△BDF的面积大于3，求m的取值范围； （3）如图（2），若DE与y轴的交点G在B点上方，点P为y轴上一动点，请直接写出∠EBO，∠BPD，∠PDA之间的数量关系． 24．（2024春•金平区期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，2），（4，0），现将点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A的对应点C． （1）连接AC，AB，点C的坐标为 　 　 ，三角形ABC的面积为 　 　 ； （2）如图2，点D（3，3），若点P在x轴上，直线DP将四边形ACBD的面积分成3：8两部分，求点P的坐标； （3）点P（1，m）是一动点，若三角形PAB的面积是三角形AOB面积的，求m的值． 25．（2024春•恩平市期末）【阅读材料】： 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：K（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：K（1，2）＝a+2b；K（﹣2，3）＝﹣2a+3b． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足x+y＝8，求2x+3y的范围”，有如下解法： ∵x+y＝8， ∴x＝8﹣y， ∵x，y是非负数， ∴x≥0即8﹣y≥0，∴0≤y≤8， ∵2x+3y＝2（8﹣y）+3y＝16+y，∴16≤16+y≤24，∴16≤2x+3y≤24． 已知：K（1，2）＝7；K（﹣2，3）＝0． 【回答问题】： （1）求出a，b的值； （2）已知x，y均为非负数，x+2y＝10，求4x﹣y的取值范围； （3）（1）的条件下，已知x，y，z都为非负数，K（x，z）＝3+x，，求W＝x﹣3y+4z的最大值和最小值． 26．（2024春•滨海新区期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（m，0），B（n，4），C（5，0），且满足|2m+n|+（m﹣n+6）2＝0，线段AB交y轴于点F． （Ⅰ）求出点A，B的坐标； （Ⅱ）如图2，点D是y轴正半轴上的一点，若DB∥AC，∠BAC＝α，AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AMD（用含α的代数式表示）； （Ⅲ）如图3，坐标轴上是否存在一点P（点C除外），使得三角形ABP的面积和三角形ABC的面积相等？若存在，请宜接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2024春•河东区期末）在平面直角坐标系中，线段AB上有一点C，已知A（a，0），B（1，b），C（0，3），a，b满足|a+3|+（b﹣4）2＝0． （1）如图1，若点P（0，m）在线段OC上，且三角形ABP的面积为3，求点P的坐标； （Ⅱ）如图2，将（Ⅰ）中线段AB水平向左平移一个单位，得到线段A1B1，点C随AB也向左移动了一个单位，对应点为C1，点P（0，m）在y轴上运动，请用含m的代数式表示三角形A1C1P的面积（m≠4），并求出当三角形A1C1P面积等于6时，m的值； （Ⅲ）如图3，在（Ⅰ）的条件下，过点B的直线BD交x轴于D（4，0），过点A作BD的平行线l，点Q是直线l上的动点，且三角形ABQ的面积等于ABD面积的，直接写出点Q的纵坐标的所有可能的取值. 28．（2024春•河北区校级期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点C的坐标为（2，3），连接AB．若a，b满足．平移线段AB，使点A与点C重合，点B对应点为点D． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，点D的坐标为 　 　 ； （2）如图2，延长线段AB至点E（m，n）．连接OE，请利用△BOE，△AOB，△AOE的面积关系，求出m，n满足的关系式； （3）过点D作射线DF∥x轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，连接OP，BP，BP交x轴于点Q，设运动时间为t秒，△POQ的面积为S，若，求t的取值范围． 29．（2024春•甘井子区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点M（x，y），若点N坐标为（x+2a，﹣y﹣2a），其中a为常数，我们称点M与点N是等距平移点． 例如：当a＝0时，如图，点M（3，2）的等距平移点N为（3，﹣2）． （1）①当a＝﹣1时，点M坐标为（4，3），则它的等距平移点N的坐标为 　 　 ； ②若点M坐标为（﹣2，1），它的等距平移点N的坐标为（4，﹣7），则a＝　 　 ； （2）若点M在x轴上，且它的等距平移点N的坐标为（﹣2a+1，﹣9+4a） ①求△OMN的面积； ②若存在一点A（2，t），使△AMN的面积不大于△OMN面积的一半，请直接写出t的取值范围 　 　 ； （3）当时，点M（x，y1）的等距平移点是N（x+2a，y2），若y1﹣y2＝2，且其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值． 30．（2024春•如皋市期末）如图，AC⊥BC，C为垂足，过A点的直线MN∥BC，D为直线BC上方一点（不在直线AC上），连接CD，∠BCD的平分线CE交MN于点E． （1）求证：∠AEC＝∠DCE； （2）若点D在直线MN上，∠ADC＝70°，求∠ACE的度数； （3）当点D在直线MN的上方时，连接AD，若∠DAC的平分线所在的直线与射线CE相交于点P，请探究∠ADC与∠APC之间的数量关系． 31．（2024春•鞍山期末）为庆祝“六一”儿童节，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子，经调查，已知2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元． （1）求每条跳绳和每只毽子的价格各是多少元？ （2）学校预购买跳绳与毽子共50个，其中跳绳不能少于10条，若学校预算经费不能超过600元，请通过计算策划购买方案； （3）商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一：（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二：（买一赠一） 买一条跳绳赠送一只毽子 根据（2）中的购买方案，选用哪一种优惠活动更合适？ 32．（2024春•湛江校级期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m2．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过a m2，在（2）的前提下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 33．（2024春•和县期末）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为20%，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． （1）该店销售记录显示，四月份销售A、B两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出A、B两种品牌的儿童床的数量； （2）根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的70%，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： （3）在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的10%用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 34．（2024春•潮南区期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． （1）求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ （2）若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？ （3）若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 35．（2024春•九龙坡区校级期末）小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、1.5元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并且，当卖出特色文化书签20个和特色中性笔30支时，获得总利润90元． （1）求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？ （2）校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为900，并且投入的总成本不超过1200元，获得的总利润不少于1648元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？ （3）义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了150元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足40≤a≤50，则a的值可能为多少？说明理由． 36．（2024春•思明区校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，c），B（b，3）． （1）若a＝b+3，c是的整数部分，则AB＝　 　 ． （2）将A（a，c），B（b，3）平移后得到C（c﹣m，m﹣c），D（﹣7，2c﹣21），且2b+3m＝6，a＝c，求AD与BC的位置关系． （3）若a＞0，0＜t＜3，设B（﹣2t，3），点P（0，t），连接AP，BP，AB，AB交y轴于点M，且2PM＝OP，S△APM＝S△BOM，若存在a的值，使得S△ABP＞8，求t的取值范围． 37．（2024春•长沙期末）不妨约定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数，且abc≠0）， 若系数满足a+b＝2c，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程4x+2y＝3，其中a＝4，b＝2，c＝3，满足a+b＝2c，且abc≠0，则方程4x+2y＝3是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ①4x+y＝10 　 　 ；② 　 　 ．③x﹣y＝0 　 　 ； （2）若关于x，y的“开心”方程组的解为，求p﹣q的值． （3）关于x，y的“开心”方程组满足n＜k≤m，其中n，m，k为整数，t为常数且t+6≠0，求m的值，并求此“开心方程组”的解． 38．（2024春•开福区校级期末）我们约定：不等式组m＜x＜n，m＜x≤n，m≤x＜n，m≤x≤n的“长度”均为d＝n﹣m，（m＜n），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：﹣2＜x≤2的“长度”d＝2﹣（﹣2）＝4，“整点”为x＝﹣1，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”d＝　 　 ；“整点”为 　 　 ； （2）若不等式组的“长度”d＝2，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 39．（2024春•唐山期末）如图1，以直角三角形AOB的直角顶点O为原点，以OB、OA所在直线为x轴和y行轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），B（b，0）满足，点C为线段AB的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点M（x1，y1），N（x2，y2）为端点的线段中点坐标为 ． （1）点A的坐标为 　 　 ；点B的坐标为 　 　 ；点C的坐标为 　 　 ； （2）若一动点P从点B出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当△OCP的面积不小于△AOB面积的时，请求出t的取值范围； （3）如图2所示，作OD∥AB，点F是线段AB上一点，连接OF，∠AOF＝∠AOD．点E是线段OA上一动点，连接BE交OF于点G，请直接写出的值． 40．（2024春•长沙期末）如图1，点E是直线AB上一点，F是直线CD上一点，AB∥CD． （1）求证：∠P＝∠PEA+∠PFC； （2）如图2，∠PFC＝∠PFQ，FQ与∠AEP的平分线交于点Q，与PE相交于点M，若∠EMF＝120°，求∠P+∠Q的度数； （3）如图3，EQ平分∠AEP，FM平分∠PFD，FN∥EQ，当∠P的大小不变时，下列结论：①∠PFC+∠NFD的度数不变；②∠MFN的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学下学期期末压轴题【最后一道】（100题） 【人教版2024】 【选择题篇·30题】 1．（2024春•和平区校级期末）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 【分析】过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN，则MN∥PQ∥AG∥EH；设设∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，则，∠DBN＝2x，∠ECP＝2y，所以∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y，∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y，由平行的性质可知，∠DEC＝2（x+y），∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣150°＝α，可得x+y36°α，所以∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 【解答】解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH， ∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣180°＝α， ∴x+y36°α， ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 故选：B． 2．（2024春•通州区期末）平面直角坐标系xOy中，点B（0，﹣5），C（3，﹣9），E（0，1），BC＝5，点A在x轴正半轴上，线段AB与线段CE交于点D．若△EBD与△ACD面积相等，则点A到直线BC的距离是（　　） A．4 B． C． D．3 【分析】画出相关图形，根据△EBD与△ACD面积相等，可得S△EBC＝S△ABC．进而可得点A到BC的距离． 【解答】解：作AM⊥BC于点M． ∵△EBD与△ACD面积相等， ∴S△EBD+S△BDC＝S△ACD+S△DBC． 即S△EBC＝S△ABC． ∴6×35•AM． 解得：AM． 故选：B． 3．（2024春•阳新县校级期末）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出a与b的数量关系及正负，再代入即可求得． 【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x， ∴a＜0，且x， ∴， ∴a＝3b，且b＜0， ∴（a+b）x＞b﹣a， 即4bx＞﹣2b， ∴x． 故选：A． 4．（2024春•云梦县期末）已知不等式组，如果这个不等式组有解，则a的取值范围为（　　） A．1＜a＜2 B． C． D．a＜2 【分析】分别解每个不等式求得x的范围，依据不等式组有解得出关于a的不等式组，解不等式组即可得． 【解答】解：解不等式，得：x＞2， ∵不等式组有解， ∴， 解得：1＜a＜2， 故选：A． 5．（2024春•如皋市期末）已知a，b，c是三个非负数，且满足a+b＝2，3a+b﹣2c＝4，则式子2a﹣b+3c的最大值为（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 【分析】根据已知用a表述出b、c，代入所求算式，根据一次函数的思想，求出a的取值，再判断出6a﹣5的最值即可． 【解答】解：∵a+b＝2， ∴b＝2﹣a， 把b＝2﹣a代入3a+b﹣2c＝4得，c＝a﹣1， ∴2a﹣b+3c＝2a﹣（2﹣a）+3（a﹣1）＝6a﹣5， ∵a，b，c是三个非负数， ∴a≥0，2﹣a≥0，a﹣1≥0， ∴1≤a≤2， ∴当a＝2时6a﹣5最大， ∴6×2﹣5＝7， 故选：C． 6．（2024春•河北区校级期末）已知关于x的方程的解是非负数，且关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．27 B．28 C．35 D．36 【分析】根据所给方程的解是非负数，得出关于a的不等式，再由不等式组至多有3个整数解，得出关于a的不等式，进而求出a的取值范围，据此可解决问题． 【解答】解：解方程得， x， 因为此方程的解是非负数， 所以3a﹣4＞0， 解得a． 解不等式得， y， 解不等式4﹣y≤2a﹣3y得， y≤a﹣2， 因为不等式组至多有3个整数解， 所以a﹣2＜6， 解得a＜8． 综上所述，a的取值范围是：， 所以符合条件的所有整数a的和为：2+3+4+5+6+7＝27． 故选：A． 7．（2024春•武昌区期末）若关于x，y的方程组的解满足不等式组，则满足条件的m的整数值是（　　） A．2，3 B．2，﹣3 C．﹣2，﹣3 D．﹣2，3 【分析】解关于x、y的方程组，将求得的方程组的解代入不等式组，得到关于m的不等式组，解得m的取值范围，再求出m的整数值，即可完成解答． 【解答】解：， ②﹣①×2，得7y＝4， 解得y， 把y代入①，得x＝m， 将代入不等式组，得， 即， 解得﹣4＜m， 则m的整数值为﹣3或﹣2． 故选：C． 8．（2024春•和平区期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】根据原方程得出x，y的表达式，整理得kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1），推出当k＝﹣1时，不论a取何值，kx﹣y＝3k+1＝﹣2，从而得解． 【解答】解：∵（a是常数）， ∴y＝﹣a﹣1， x＝a+3， 则kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1）， ∴kx﹣y＝（k+1）a+3k+1， 当k＝﹣1时，不论a取何值，kx﹣y＝3k+1＝﹣2， 故k的值为﹣1， 故选：A． 9．（2024春•湖北期末）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]＝1，[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3等．[x]+1是大于x的最小整数，则方程6x﹣3[x]+9＝0的解是（　　） A． B． C．或x＝﹣3 D．或 【分析】根据题意可判断2x+3是整数，得出x的取值范围为﹣4＜x≤﹣3，进而得出2x+3的取值范围，则答案可解． 【解答】解：由题意得：[x]≤x＜[x]+1， ∵6x﹣3[x]+9＝0， ∴[x]＝2x+3， ∵[x]表示不大于x的最大整数， ∴2x+3是整数， ∴2x+3≤x＜2x+3+1， 解得：﹣4＜x≤﹣3， ∴﹣5＜2x+3≤﹣3， ∵2x+3是整数， ∴2x+3＝﹣4或2x+3＝﹣3， ∴x或x＝﹣3． 故选：C． 10．（2024春•慈溪市期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（　　） ①； ②； ③3x（100﹣x）＝100； ④y+3（100﹣y）＝100． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据100个和尚分100个馒头且大和尚1人分3个馒头、小和尚3人分一个馒头，即可得出关于x，y的二元一次方程组，变形后可得出3x（100﹣x）＝100或y+3（100﹣y）＝100，此题得解． 【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 依题意，得：； ∴y＝100﹣x，或x＝100﹣y． ∴3x（100﹣x）＝100或y+3（100﹣y）＝100． ∴②③④正确． 故选：D． 11．（2024春•咸安区期末）端午节前夕，某食品加工厂准备把生产的粽子装入A，B两种不同型号的包装盒中，A种包装盒每盒可装8个粽子，B种包装盒每盒可装10个粽子，若将生产的200个粽子全部装入这两种包装盒中（两种包装盒都使用且装满），最少需要两种包装盒共（　　） A．20个 B．21个 C．22个 D．23个 【分析】设需要A种包装盒x个，B种包装盒y个，由“将生产的200个粽子全部装入这两种包装盒中（两种包装盒都使用且装满）”，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【解答】解：设需要A种包装盒x个，B种包装盒y个， 由题意得：8x+10y＝200， ∴y＝20﹣0.8x， ∵两种包装盒都使用， ∴x、y均为正整数， ∴或或或， ∴x+y的最小值＝5+16＝21， 故选：B． 12．（2024春•宜昌期末）下列命题； ①在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，8），B（a，8），其中a≠﹣2，则AB∥x轴； ②若x2＝7，则； ③关于x，y的方程组．无论m为何值4x﹣y＝3恒成立； ④若1≤x＜b的整数解有3个，则b的取值范围为3＜b≤4． 其中是真命题的有（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据平面直角坐标系、平方根的概念、二元一次方程组、一元一次不等式组的整数解判断即可． 【解答】解：①在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，8），B（a，8），其中a≠﹣2，则AB∥x轴，是真命题； ②若x2＝7，则x＝±，故本小题命题是假命题； ③关于x，y的方程组， ①+②×2，得4x﹣y＝3恒成立， 则无论m为何值4x﹣y＝3恒成立，本选项命题是真命题； ④若1≤x＜b的整数解有3个，则b的取值范围为3＜b≤4，是真命题； 故选：C． 13．（2024春•黄埔区期末）如图，点E在BA延长线上，EC与AD交于点F，且∠E＝∠DCE，∠B＝∠D，∠EFA是∠FCB的余角的5倍，点M是线段CB上的一动点，点N是线段MB上一点且满足∠MNF＝∠MFN，FK平分∠EFM．下列结论：①BE∥CD；②AD∥CB；③FN平分∠AFM；④∠D+∠E＝105°；⑤∠KFN＝30°．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据∠E＝∠DCE，得出BE∥CD，故结论①正确；根据∠EAD＝∠B，得出AD∥CB，故结论②正确；根据∠AFN＝∠MFN，得出FN平分∠AFM，故结论③正确；∠D+∠E＝∠B+∠E＝180°﹣∠FCB＝180°﹣75°＝105°，故结论④正确；∠KFN＝∠MFK﹣∠MFN∠EFA∠AFM∠AFM∠EFA＝37.5°，故结论⑤错误． 【解答】解：∵∠E＝∠DCE， ∴BE∥CD，故结论①正确； ∴∠EAD＝∠D， ∵∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠B， ∴AD∥CB，故结论②正确； ∴∠AFN＝∠FNM， ∵∠MNF＝∠MFN， ∴∠AFN＝∠MFN， ∴FN平分∠AFM，故结论③正确； ∵AD∥CB， ∴∠EFA＝∠FCB， ∵∠EFA是∠FCB的余角的5倍， ∴∠EFA＝5（90°﹣∠FCB）， ∴∠FCB＝75°＝∠EFA， ∵∠B＝∠D，∠B+∠E+∠FCB＝180°， ∴∠D+∠E＝∠B+∠E＝180°﹣∠FCB＝180°﹣75°＝105°，故结论④正确； ∵FK为∠EFM的平分线， ∴， ∵FN平分∠AFM， ∴， ∴∠KFN＝∠MFK﹣∠MFN∠EFA∠AFM∠AFM∠EFA＝37.5°，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有①②③④， 故选：C． 14．（2024春•芜湖期末）已知方程组的解为，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求解． 【解答】解：变形为， ∵方程组的解为， ∴的解为， 解得：． 故选：D． 15．（2024秋•衡东县期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 16．（2024春•白云区期末）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元．1角、5角、1元硬币的取法共有（　　） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【分析】设取出x枚1角硬币，y枚5角硬币，则取出（15﹣x﹣y）枚1元硬币，根据取出硬币的总金额为7元，可列出关于x，y的二元一次方程，结合0≤x≤10，0≤y≤10，0≤15﹣x﹣y≤10，且x，y，（15﹣x﹣y）均为整数，即可得出共有1种取法． 【解答】解：设取出x枚1角硬币，y枚5角硬币，则取出（15﹣x﹣y）枚1元硬币， 根据题意得：x+5y+10（15﹣x﹣y）＝70， ∴y＝16x． 又∵0≤x≤10，0≤y≤10，0≤15﹣x﹣y≤10，且x，y，（15﹣x﹣y）均为整数， ∴， ∴1角、5角、1元硬币的取法共有1种． 故选：B． 17．（2024春•江岸区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，其中O1（﹣2，0），O2（2，0），O3（6，0），…，在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，P1，P2，P3，P4，P5，…，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据圆心的坐标规律发现 On（4n﹣6，0）（n≥1），然后根据题意可知P2024为半圆O1012上靠近直径右端点的四等分点，且O1012（4042，0），根据规律即可写出 P2024 的坐标． 【解答】解：∵O1（﹣2，0），O2（2，0），O3（6，0），O4（10，0），…， ∴On（4n﹣6，0）（n≥1）， 由题意可知，P2024 为半圆 O1012 上靠近直径右端点的四等分点，O1012（4042，0）， 根据规律，半圆 O1 上靠近直径右端点的四等分点P2， 半圆 O2 上靠近直径右端点的四等分点P4 半圆 O3 上靠近直径右端点的四等分点， 半圆 O4 上靠近直径右端点的四等分点， ∴半圆O1012上靠近直径右端点的四等分点， 故选：C． 18．（2024春•洪山区期末）小明同学在一次数学探究活动中，将小正方形放置在如图所示的平面直角坐标系中，使得小正方形的中心（即正方形对角线的交点）位于原点，各顶点在坐标轴上，若各顶点到原点的距离为1．接下来，按如图方式作新正方形，即从第二个正方形开始，以前一个正方形的一条对角线为边作正方形，则第十个正方形中心O10的坐标为（　　） A．（8，16） B．（8，20） C．（15，46） D．（15，48） 【分析】根据所给图形，求出正方形边长的变化规律，再由第偶数个正方形的左边的边在一条直线上即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第一个正方形的边长为， 第二个正方形的边长为2， 第三个正方形的边长为， …， 所以第n个正方形的边长为（n为正整数）． 观察所给图形可知， 第偶数个正方形的左边在一条直线上． 当n＝10时， ， 所以， 即第十个正方形中心O10的横坐标为15． 又因为，， 所以2+4+8+16+16＝46， 即第十个正方形中心O10的纵坐标为46， 所以点O10的坐标为（15，46）． 故选：C． 19．（2024春•汉阳区期末）如图，在平面坐标系xOy中，已知A（﹣5，4），B（﹣1，2），将线段AB平移，得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段AB上任一点（x，y）在平移后的对应点为（x+m，y﹣n），其中m≥0，n≥0，若m+n＝6，且平移后三角形BCD的面积最大，则此时，m，n的值为（　　） A．m≥0，n≤6 B．m＝6，n＝0 C．m＝0，n＝6 D．m＝n＝3 【分析】利用图象法判断即可． 【解答】解：观察图象可知，当m＝0，n＝6时，△BCD的面积最大． 故选：C． 20．（2024春•武汉期末）若关于x的不等式组的解集是x＜﹣2，且关于y的方程（a+2）﹣（y+2）＝2（y﹣1）的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先通过不等式组的解确定a的范围，再根据方程的解求a的取值范围即可得出答案． 【解答】解：由不等式得：x＜﹣2， 由4xa＜x﹣1得：xa， ∵不等式组的解集是x＜﹣2， ∴2， 解得a， 解方程得y， 由题意知0， 解得a＞﹣2， 则符合条件的整数a的值之和为﹣1+0+1+2+3＝5， 故选：C． 21．（2024春•十堰期末）如图，直线AB经过原点O，点C在y轴上，D为线段AB上的一点，若A（﹣2，m），B（4，n），C（0，3），AB＝9，则CD长度的最小值是（　　） A．2 B．1 C． D． 【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，结合点A、B、C的坐标易得AE＝2，BF＝4，OC＝3，进而可解得S△ABC＝S△OAC+S△OBC＝9，结合垂线段最短可知当CD⊥AB时，CD取最小值，结合三角形面积公式解得CD的值，即可获得答案． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F， ∵A（﹣2，m），B（4，n），C（0，3），AB＝9， ∴AE＝2，BF＝4，OC＝3， ∴， ∵垂线段最短， ∴当CD⊥AB时，如图所示，CD取最小值， 此时可有， 即，解得CD＝2， ∴CD长度的最小值是2． 故选：A． 22．（2024春•荔湾区期末）已知关于x，y的方程组，下列说法中正确的有（　　）个． ①当x＝y时，； ②当x≥2y时，a的最小值为2； ③a取任意实数，5x﹣y的值始终不变； ④不存在实数a，使2x＝3y成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二元一次方程组的解法求出方程组的解，再根据每个结论的题设列出方程或不等式进行解答即可． 【解答】解：， ①+②得，3x＝a+8， 解得x， 把x代入①得，y＝2a+1， 解得y， 所以方程组的解为， ①当x＝y时，即，解得a，因此①正确； ②当x≥2y时，即2，解得a≤2，所以a的最大值为2，因此②不正确； ③5x﹣y＝515，是定值，因此③正确； ④当2x＝3y时，即23，解得a，因此④不正确． 综上所述，正确的结论有①③，共2个， 故选：B． 23．（2024春•黄石港区期末）已知关于x，y的方程组①的解x，y比②相应的解x，y正好都小1．则a，b的值分别为（　　） A．2和3 B．﹣2和﹣3 C．6和4 D．﹣6和﹣4 【分析】设的解为，根据题意可以列出关于p与q的方程组，从而可求出答案． 【解答】解：设的解为， ∴的解为， ∴， 解得：， ∴是的解，是的解， ∴， 解得：． 故选：C． 24．（2024春•崇川区期末）在平面直角坐标系中，点A（1﹣m，0），B（1+m，0），其中m＞0，点C（1，﹣1），在线段AB，AC，BC所围成的区域内（包括边界），若横、纵坐标都是整数的点恰有6个，则m的取值范围是（　　） A．2≤m＜3 B．2＜m≤3 C．2＜m＜3 D．3≤m＜4 【分析】根据题意画出图形，结合图形列出关于m的不等式，解之确定m的范围． 【解答】解：如图所示， 除C（1，﹣1）外，所有整数点都位于AB上， 整数点除了（1，0）和（1，﹣1）外，还剩4个点， 只有在直线x＝1两边，才能使得在线段AB、AC、BC所围成的区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点恰有6个， 即﹣2＜1﹣m≤﹣1， 解得：2≤m＜3． 故选：A． 25．（2024春•惠阳区期末）如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯⋯，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2025的横坐标为（　　） A．1014 B．﹣1014 C．1012 D．﹣1012 【分析】根据题意可以发现规律，图中的各三角形都是等腰直角三角形，总结得出规律：A4n+1（2n+2，0），A4n+2（1，﹣2n﹣1），A4n+3（﹣2n，0），A4n+4（2，2n+2）；根据2023＝4×505+3，然后按照规律即可求解． 【解答】解：∵图中的各三角形都是等腰直角三角形，斜边长分别为2，4，6，… ∴A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），A4（2，2），A5（4，0），A6（1，﹣3），A7（﹣2，0），A8（2，4），A9（6，0），A10（1，﹣5），A11（﹣4，0），A12（2，6），..． 总结得出规律：A4n+1（2n+2，0），A4n+2（1，﹣2n﹣1），A4n+3（﹣2n，0），A4n+4（2，2n+2）， ∵2025＝4×506+1， ∴点A2023在x轴负半轴上，横坐标为2×506+2＝1014． 故选：A． 26．（2024春•海珠区期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK等于16°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④ 【分析】根据平行线的判定定理得到AD//BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK＝∠CKG，等量代换得到∠AGK＝∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确；设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2，得到∠AGK＝∠1+∠2根据角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠B， ∴AD//BC，故①正确； ∵AD//BC， ∴∠AGK＝∠CKG， ∵∠CKG＝∠CGK， ∴∠AGK＝∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； ∵∠FGA的余角比∠DGH大16°， ∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°， ∵∠FGA＝∠DGH， ∴90°﹣2∠FGA＝16°， ∴∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确； 设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2， ∴∠AGK＝∠1+∠2， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK＝∠AGK＝∠1+∠2， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM＝∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK， ∴37°+∠1＝∠2+∠1+∠2， ∴∠2＝18.5°， ∴∠MGK＝18.5°，故④错误， 故选：A． 27．（2024春•广州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．6 【分析】根据题意和表格中的数据，可以先求出p的值，然后可以表示出第一列第三个数，再根据一列的三个数之和等于第二排的三个数之和，可以列出关于m的方程，从而可以求得m的值． 【解答】解：由题意可得， 4+p+m＝2+7+m， 解得p＝5， 设第一列第三个数为x， 则4+5+m＝2+5+x， 解得x＝m+2， ∵第一列的三个数之和等于第二排的三个数之和， ∴4+m+2＝5+7， 解得m＝6， 故选：D． 28．（2024春•武汉期末）已知正方形ABCD，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段GH折叠，使点E落在EF上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段MN折叠，使点G落在GH上点G′，若∠NMA'＝24°，则∠FHG的度数为（　　） A．66° B．48° C．36° D．24° 【分析】根据折叠的性质可得：∠NMA'＝∠AMN＝24°，GH⊥MN，然后根据垂直定义可得∠GPM＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：∠DGH＝66°，再根据正方形的性质可得AD∥BC，从而利用平行线的性质可得∠DGH＝∠FHG＝66°，即可解答． 【解答】解：由折叠得：∠NMA'＝∠AMN＝24°，GH⊥MN， ∴∠GPM＝90°， ∴∠DGH＝90°﹣∠AMN＝66°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DGH＝∠FHG＝66°， 故选：A． 29．（2024春•河北区期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可． 【解答】解：解方程组得：， ∵x≥y， ∴a+1a﹣2， 解得：a， 解不等式组得s≤1， ∵关于s的不等式组恰好有4个整数解（﹣2，﹣1，0，1）， ∴﹣32， 解得：﹣2≤a＜1， ∵a， ∴a＜1， ∴所有符合条件的整数a有﹣1，0，共有2个， 故选：C． 30．（2024春•越秀区校级期末）下列说法：①立方根等于它本身的数是1或﹣1或0；②如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行；③在两个连续整数a和b之间，那么a+b＝7；④无理数就是开方开不尽的数；⑤若关于x的不等式组无解，则b﹣a≤﹣1；⑥若关于x的不等式组有解且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内，则；其中正确说法的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据立方根的定义、平行线公理推论、无理数的估算、无理数的定义，解不等式组逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解：∵，，， ∴立方根等于它本身的数是1或﹣1或0，故①正确，符合题意； 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行，故②错误，不符合题意； ∵9＜10＜16， ∴，即， ∴a＝3，b＝4， ∴a+b＝7，故③正确，符合题意； 初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，故④错误，不符合题意； ∵关于x的不等式组无解， ∴a+1＞b+2， 解得：b﹣a＜﹣1，故⑤错误，不符合题意； ∵关于x的不等式组有解， ∴3a+2≥a+1，a+1≤x≤3a+2， 解得：， ∵每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内， ∴当3a+2≤﹣1时，解得：a≤﹣1，此时无解； 当a+1＞3时，解得：a＞2，故⑥错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：B． 【填空题篇·30题】 1．（2024春•黄石期末）如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝　28　 度． 【分析】分别过E、G作AB的平行线EM和GN，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠GCD分别表示出∠BEC和∠BGC，从而可找到∠BEC和∠BGC的关系，结合条件可求得∠BGC． 【解答】解：如图，分别过E、G作AB的平行线EM和GN， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥CD∥GN， ∵BE是∠ABG的平分线，CF是∠GCD的平分线， ∴∠BEM＝∠ABE∠ABG，∠MEF＝∠DCF∠GCD，∠BGN＝∠ABG，∠GCD+∠CGN＝180°， ∴∠BEC＝∠BGM+∠MEF（∠ABG+∠GCD）， ∠BGC＝∠BGN﹣∠CGN＝∠ABG﹣（180°﹣∠GCD）＝∠ABG+∠GCD﹣180°， ∴∠BGC＝2∠BEC﹣180°， ∵3∠BEC﹣5∠BGC＝172°， ∴3∠BEC＝5∠BGC+172°， ∴∠BGC（5∠BGC+172°）﹣180°， ∴3∠BGC＝10∠BGC+344°﹣540°， ∴∠BGC＝28°． 故答案为：28． 2．（2024春•石首市期末）如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题： （1）任意写出一个实数，使得该值经过一次运行就能输出结果，则该数为 　3（答案不唯一）　 ； （2）如果要使开始输入的x的值经过两次运行才能输出结果，那么x的整数值为 　1或2　 ． 【分析】（1）根据输入的数值经过一次运行就能输出结果，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其内的任意一值，即可得出结论； （2）根据输入的数值经过两次运行才能输出结果，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再取其内的所有整数，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：4x+1＞12， 解得：x， ∴x的值可以为3． 故答案为：3（答案不唯一）； （2）根据题意得：， 解得：， ∵x为整数， ∴x＝1或2， ∴x的整数值为1或2． 故答案为：1或2． 3．（2024春•宜城市期末）已知关于x的不等式组有4个整数解，那么实数a的取值范围是 　5≤a＜6　 ． 【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，确定出a的范围即可． 【解答】解：不等式组整理得：， ∵不等式组有4个整数解， ∴整数解为1，2，3，4， ∴4≤a﹣1＜5， ∴5≤a＜6． 故答案为：5≤a＜6． 4．（2024春•硚口区期末）已知关于x，y的方程组，下列四个结论： ①当m＝2时，方程组的解也是方程2x﹣y＝7的解； ②若x+y﹣5m＞1，则m＞﹣7； ③无论m取什么实数，y﹣7x的值始终不变； ④存在实数m使得3x+y＝﹣17． 其中正确的结论是 　①③④　 .（填写序号） 【分析】先解含有字母参数m的方程组，求出x，y，再把代入方程2x﹣y＝7，通过计算，判断左右两边是否相等，然后根据二元一次方程的解的定义进行判断①的正误；把，代入x+y﹣5m＞1，解不等式，判断②的正误；把，代入y﹣7x，通过计算判断③的正误；把，代入3x+y＝﹣17得到关于m的方程，解方程从而判断④的正误，综合以上正误，得到答案即可． 【解答】解：， ①+②得：， 把代入②得：， 当m＝2时，x，， 把代入方程2x﹣y＝7，左边＝2×3﹣（﹣1）＝6+1＝7，右边＝7，左＝右， ∴是方程2x﹣y＝7的解，即m＝2时，方程组的解也是方程2x﹣y＝7的解， 故①正确； ∵x+y﹣5m＞1， ∴， 4m﹣5m﹣6＞1， ﹣m＞7， m＜﹣7， 故②错误； ∵，， ∴y﹣7x ＝﹣22， ∴无论m取什么实数，y﹣7x的值始终不变， 故③正确； 把，代入3x+y＝﹣17得： ， ， 5m﹣2＝﹣17， 5m＝﹣15， m＝﹣3， ∴存在实数m＝﹣3时，使得3x+y＝﹣17， 故④正确，综上可知正确的结论是：①③④， 故答案为：①③④． 5．（2024春•青山区期末）关于x、y的二元一次方程：ax+y+2a﹣4＝0（a＞0），则下列四个结论： ①无论a为何值时，该方程都有一组解； ②若a＝1，则方程ax+y+2a﹣4＝0有三组非负整数解； ③若y＝﹣2x，则不等式ax+y+2a﹣4＞0的解集为x＞﹣2； ④若和是方程ax+y+2a﹣4＝0的两组解，则m＞n． 其中正确的结论是 　①②④　 .（请填写序号） 【分析】将x＝﹣2，y＝4代入方程即可判断①； 当 a＝1 时，方程为x+y﹣2＝0，方程的非负整数解即可判断②； 把y＝﹣2x 代入方程即可判断③； x＝c，y＝m 和x＝c+1，y＝n是方程 ax+y+2a﹣4＝0 的两组解代入解得即可判断④． 【解答】解：将x＝﹣2，y＝4代入方程，可得a×（﹣2）+4+2a﹣4＝0，所以无论a为何值时，该方程都有一组解x＝﹣2 y＝4，故①正确； ②当 a＝1 时，方程为x+y﹣2＝0，方程的非负整数解为，，故②正确； ③当 y＝﹣2x 时，﹣2x+ax+2a﹣4＞0，当a＞2时，解得x2，当a＜2时，x2，故③不正确； ④若x＝c y＝m 和x＝c+1和y＝n是方程 ax+y+2a﹣4＝0 的两组解，则， 即两式相减得，m﹣n＝a， 因为a＞0， 所以m﹣n＞0，即m＞n，故④正确． 故答案为：①②④． 6．（2024春•武汉期末）如图，∠BCD＝∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∠F＝75°，则∠A＝　150°　 ． 【分析】由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD＝180°，结合∠BCD＝∠BDC及角平分线可得∠EDC＝90°，由∠F＝15°，可得∠FGD＝15°，进而可得∠FBD+∠EDB＝15°，进而可得∠ABD+∠ADB＝30°，再利用三角形内角和可得结论． 【解答】解：如图，设BF，DE交于点G， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∵DE平分∠ADB，∠BCD＝∠BDC， ∴∠BDE∠ADB， ∴∠EDB+∠BDC（∠ADC+∠BCD）＝90°，即∠EDC＝90°， ∴∠FGD＝90°﹣∠F＝15°， ∴∠FGD＝∠EDB+∠FBD＝15°， ∵∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F， ∴∠ABD＝2∠FBD，∠ADB＝2∠EDB， ∴∠ABD+∠ADB＝2（∠FBD+∠EDB）＝30°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＝150°． 故答案为：150°． 7．（2024春•武汉期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论： ①∠EGD2＝∠EFG； ②2∠EFC＝∠EGC+180°； ③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°； ④∠FHD2＝3∠EFB． 上述正确的结论是 　②③④　 ． 【分析】由折叠性质得到∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF，根据平行线性质得到∠DEF＝∠GEF＝∠EFG，再由三角形外角性质确定∠DGF＝∠GEF+∠GFE，设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则 α+4β＝180°，只有当α＝β＝36°时结论①才成立；由ED1∥FC1，得到∠EGC＝∠GFC1，结合折叠性质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知∠GEF＝∠EFG＝26°，设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB，结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案． 【解答】解：由折叠性质得∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF， ∴∠EGD2+∠D2GF+∠D1GF＝180°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG，则∠DEF＝∠GEF＝∠EFG， ∵∠D1GF是△EGF一个外角， ∴∠D1GF＝∠GEF+∠GFE， 设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则α+4β＝180°， 当∠EGD2＝∠EFG时，α＝β＝36°， 但题中并未明确∠EGD2、∠EFG的度数，故①错误； ∵ED1∥FC1， ∴∠EGC＝∠GFC1， 由折叠性质可知∠EFC＝∠EFC1，则2∠EFC＝∠BFC+∠GFC1＝∠EGC+180°，故②正确； 由折叠性质得∠EFC1＝∠EFC，∠GFC2＝∠GFC1． 由①的证明过程可知，∠GEF＝∠EFG＝26°， 设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1， ∴∠EFC＝∠EFC1＝26°+（26°+α）＝α+52°， ∵∠EFG+∠EFC＝180°， ∴26°+α+52°＝180°， 解得α＝102°，即∠EFC2＝102°，故③正确； 由①知∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB， ∵∠FHD2是△HGF的一个外角， ∴∠FHD2＝∠FGH+∠EFB＝3∠EFB，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 8．（2024春•洪山区期末）我们规定：[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，．的值为 　203　 ． 【分析】根据[x]的意义，原式＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13进行计算即可． 【解答】解：∵[]＝1，[]＝2，[]＝3，[]＝4，[]＝5，[]＝6，[]＝7， ∴原式＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13 ＝3+10+21+36+55+78 ＝203． 故答案为：203． 9．（2024春•黄石港区期末）高斯函数[x]，也称取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.5]＝2，[5]＝5，[﹣2.5]＝﹣3．若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围为 　2≤a＜3　 ． 【分析】首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围； 【解答】解：解不等式组得：﹣1≤x＜[a]， 由不等式组整数解恰有3个得，[a]＝2， ∴2≤a＜3， 故答案为：2≤a＜3． 10．（2024春•恩施州期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（1，1），（2，1），（2，0），（3，0），（3，1）⋯，根据这个规律，第2025个点的坐标为 　（1，44）　 ． 【分析】由第1个点的坐标为（1，0），第9个点的坐标为（1，2），第25个点的坐标为（1，4），得第（2n﹣1）2个点的横坐标为1（n为正整数），由2025＝（2×22+1）2可得第2025个点的横坐标为1，又由图可得当点的横坐标为1，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于，据此即可求解． 【解答】解：由图可得，第1个点的坐标为（1，0），第9个点的坐标为（1，2），第25个点的坐标为（1，4）， ∴第（2n﹣1）2个点的横坐标为1（n为正整数）， ∵2025＝（2×22+1）2， ∴第2025个点的横坐标为1， 又当点的横坐标为1，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于， ∵， ∴第2025个点的纵坐标为， ∴第2025个点的坐标为（1，44）， 故答案为：（1，44）． 11．（2024春•阳新县期末）在平面直角坐标系中，已知A（﹣a，3a+2），B（2a﹣3，a+2），C（2a﹣3，a﹣2）三个点，下列四个命题：①若AB∥x轴，则a＝2；②若AB∥y轴，则a＝﹣1；③若a＝1，则A、B、C三点在同一条直线上；④若a＞1，三角形ABC的面积等于8，则点C的坐标为．其中真命题有 　③④　 （填序号）． 【分析】①根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出a的值，再判断即可；②根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同求出a的值，再判断即可；③根据a＝1，求出A，B，C三点坐标即可判断；④根据B、C横坐标相同，可判断BC∥y轴，得出BC＝4，再表示出点A到BC的距离，再根据三角形ABC的面积等于8列出关系式求出a的值即可求出点C的坐标． 【解答】解：①∵AB∥x轴， ∴3a+2＝a+2， ∴a＝0，故①错误； ②∵AB∥y轴， ∴﹣a＝2a﹣3， ∴a＝1，故②错误； ③∵a＝1， ∴A（﹣1，5），B（﹣1，3），C（﹣1，﹣1）， ∵A、B、C三点的横坐标相同， ∴A、B、C三点在同一条直线上，故③正确； ④∵B（2a﹣3，a+2），C（2a﹣3，a﹣2） ∴BC∥y轴， ∴BC＝4， ∵A（﹣a，3a+2），a＞1， ∴点A到BC的距离为2a﹣3﹣（﹣a）＝3a﹣3， ∵△ABC的面积等于8， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，故④正确； 综上分析可知，真命题为③④． 故答案为：③④． 12．（2024春•海珠区期末）已知非负数x，y，z满足，设M＝3x﹣2y+z．则M的最大值与最小值的和为　﹣6　 ． 【分析】首先设k，求得x＝﹣2k+3，y＝3k﹣2，z＝4k﹣5，又由x，y，z均为非负实数，即可求得k的取值范围，则可求得M的取值范围． 【解答】解：设k， 则x＝﹣2k+3，y＝3k﹣2，z＝4k﹣5， ∵x，y，z均为非负实数， ∴， 解得， 于是M＝3x﹣2y+z＝3（﹣2k+3）﹣2（3k﹣2）+（4k﹣5）＝﹣8k+8， ∴﹣88≤﹣8k+8≤﹣88， 即﹣4≤M≤﹣2． ∴M的最大值是﹣2，最小值是﹣4， ∴M的最大值与最小值的和为﹣6， 故答案为：﹣6． 13．（2024春•荔湾区期末）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对（m，n），例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对（2，1）．按照这种方式，数的位置为有序数对 　（9，7）　 ． 【分析】由数表可以看出：偶数行第一个数是所在行数，平方后依次减少1，奇数行第一个数是上行数平方加1再开方，平方后依次增加1，奇数列第一个数是所在列数，平方后依次减少1，偶数列第一个数是所在上列数平方加1再开方，平方后依次增加1；由此规律得出答案即可． 【解答】解：∵偶数行第一个数是所在行数，平方后依次减少1，到第行数加1列为止；奇数列第一个数是所在列数，平方后依次减少1， ∵89， ∴第9行的第一个数是，65+7﹣1＝71，位置为有序数对是（9，7）． 故答案为：（9，7）． 14．（2024春•洪山区期末）下列说法：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；②若1.77，且，则x≈﹣314；③若关于x的不等式组无解，则a+b≥4；④若关于x的不等式组有解且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内，则a＞5．其中正确说法是 　②④　 ．（填正确结论的序号） 【分析】①根据“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”判断即可； ②根据“算术平方根的平方等于被开方数”计算即可； ③当2a﹣3＞5﹣2b时不等式组无解； ④根据题意，得或，求它们的解集即可． 【解答】解：①在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行， ∴①不正确，不符合题意； ②∵1.77， ∴3.14≈1.772， ∵17.7， ∴﹣x≈17.72＝（1.77×10）2＝1.772×102， ∴x≈﹣314， ∴②正确，符合题意； ③若不等式组无解，则2a﹣3＞5﹣2b，解得a+b＞4， ∴③不正确，不符合题意； ④不等式组的解集为（a+1）≤x（4a+5）， ∵原不等式组有解，且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内， ∴或， 解得第一个不等式组的解集为a＞5，第二个不等式组无解， ∴当a＞5时，原不等式组有解且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内， ∴④正确，符合题意． 综上，②④正确． 故答案为：②④． 15．（2024春•花都区期末）如图，点E，F为长方形ABCD的边AD，BC上的点，连接CE，AF，将三角形EDC沿着CE翻折得到三角形EGC，三角形ABF翻折得到三角形AHF．此时，点H恰好落在线段EG上，且∠AFB＝∠GED．以下结论：①AF∥EQ；②∠EAH+∠HFQ＝90°；③∠EHA＝∠CED；④∠QEC＝∠ECQ，其中结论正确的是 　①②④　 ．（填入所有正确的序号） 【分析】由∠AFB＝∠GED及平行线的性质即可判定①；由折叠的性质即可判定②；由折叠性质及三角形①的结论即可判定③；由折叠性质及平行线性质即可判定④，最后可确定答案． 【解答】解：在长方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠GED＝∠EQF； ∵∠AFB＝∠GED， ∴∠AFB＝∠EQF， ∴AF∥EQ； 故①正确； 由折叠知，∠BAF＝∠HAF，∠AFH＝∠AFB，∠AHF＝∠B＝90°， ∴∠HAF+∠AFH＝90°； 由长方形性质得∠BAE＝90°， 则∠EAH＝90°﹣2∠HAF， ∵∠HFQ＝180°﹣2∠AFH， ∴∠EAH+∠HFQ ＝90°﹣2∠HAF+180°﹣2∠AFH ＝270°﹣2（∠HAF+∠AFH） ＝270°﹣2×90° ＝90°； 故②正确； ∵AF∥EQ， ∴∠EHA＝∠HAF，∠DEQ＝∠EAF＝∠EAH+∠HAF， 由折叠知，∠CED＝∠CEQ， ∴∠EAH+∠EHA＝2∠CED， 当∠EAH＝∠EHA＝30°时，∠EHA＝∠CED， 否则∠EHA≠∠CED； 故③错误； ∵AD∥BC，∠CED＝∠CEQ， ∴∠QCE＝∠CED＝∠CEQ， 故④正确； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 16．（2024春•郯城县期末）对x，y定义一种新的运算G，规定G（x，y），若关于x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是 　6≤m＜7或0≤m＜1　 ． 【分析】由得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值范围． 【解答】解：由题意可知，当x≥1时，则， 解x﹣1＞1，得x＞2， 解x+2≤m，得x≤m﹣2， ∵不等式组恰好有2个整数解， ∴4≤m﹣2＜5， 解得6≤m＜7， 当x＜﹣2时，则， 解1﹣x＞1，得x＜0， 解﹣2﹣x≤m，得x≥﹣m﹣2， ∵不等式组恰好有2个整数解， ∴﹣3＜﹣m﹣2≤﹣2， 解得0≤m＜1， 综上，m的取值范围是6≤m＜7或0≤m＜1． 故答案为：6≤m＜7或0≤m＜1． 17．（2024春•滨海新区期末）如图，AF平分∠BFE，延长EF到点G，作∠BFG 的角平分线，与AB的延长线交于点D，点C是线段AD上异于点B的点，连接CG交DF于点N，使得∠FNG＝∠NFG，连接CE交AF于点M，已知∠ADF+∠AFE＝90°，以下结论：①∠AFD＝90°；②AD∥EF；③∠G+∠ABF＝180°；④∠CMF+∠CNF＝180°，其中正确的有 　①②③　 （请填写序号） 【分析】由角平分线的定义得∠AFB∠BFE，∠BFD∠BFG，可得∠AFB+∠DFB＝90°，可判断①正确；由∠ADF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFG＝90°，得∠BDF＝∠DFG，可判断②正确；由AD//EG得∠ABF＝∠BFG＝∠BFD+∠DEG，由∠BFN＝∠NFG，∠NFG＝∠FNG得∠NGF+∠BFG＝180°，从而可判断③正确；无法判断∠CMF+∠CNF＝180°，从而可判断④错误． 【解答】解：AF平分∠BFE，DF平分∠BFG， ∴∠AFB∠BFE，∠BFD∠BFG， ∵∠EFB+∠GFB＝180°， ∴∠AFB+∠BFD（∠BFE+∠BFG）180°＝90°， ∴∠AFD＝90°，故①正确； ∵∠AFD＝90°， ∴∠AFE+∠DFG＝90°， 又∵∠ADF+∠AFE＝90°， ∴∠ADF＝∠DFG， ∴AD∥EG，故②正确； ∵AD∥EG， ∴∠ABF＝∠BFG， ∵FD平分∠BFG， ∴∠BFD＝∠NFG， 又∵∠FNG＝∠NFG， ∴∠BFD＝∠FNG， ∵∠NFG+∠FGN+∠FNG＝180°， ∴∠BFN+∠GFN+∠FGN＝180°， ∴∠BFG+∠FGN＝180°， ∴∠ABF+∠FGN＝180°，故③正确； ∵∠ECG不是直角， ∴无法得到∠CMF+∠CNF＝180°，故④错误；综上，正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 18．（2024春•河北区期末）在长为4，宽为x（2＜x＜4）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 　或3　 ． 【分析】先求出第一次操作后的两边分别为x和（4﹣x），第二次操作后的两边长分别为4﹣x和2x﹣4，再根据2x﹣4和4﹣x的大小分两种情况，根据剩下的纸片恰为正方形，列出方程求解即可． 【解答】解：第一次操作后的两边分别为x和（4﹣x）， 第二次操作后的两边长分别为4﹣x和[x﹣（4﹣x）]即4﹣x和2x﹣4， 当2x﹣4＞4﹣x，即时，第三次操作后一边长为4﹣x，另一条边长为2x﹣4﹣（4﹣x）即3x﹣8， ∴4﹣x＝3x﹣8， ∴x＝3， 当2x﹣4＜4﹣x，即时，第三次操作后一边长为2x﹣4，另一条边长为4﹣x﹣（2x﹣4）即8﹣3x， ∴2x﹣4＝8﹣3x， ∴， 则x的值为或3， 故答案为：或3． 19．（2024春•海安市期末）在平面直角坐标系中，点A（m﹣3，m+3），B（m+3，m﹣3），当n≤m≤n+1时，线段AB（含端点）始终与x轴相交，则n的取值范围为 　﹣3≤n≤2　 ． 【分析】根据题意列出不等式组，解得﹣3≤m≤3，依据条件n≤m≤n+1，列出，解出不等式组解集即可． 【解答】解：∵线段AB（含端点）始终与x轴相交， ∴， 解得﹣3≤m≤3， ∵n≤m≤n+1， ∴， ∴﹣3≤n≤2． 故答案为：﹣3≤n≤2． 20．（2024春•海门区期末）在平面直角坐标系中，A（a，5），B（1，4﹣2a），C（1，b），若2a+b＝8，10≤3a+b≤13．则△ABC面积的最大值为 　8　 ． 【分析】观察三个点的坐标可知BC＝6，再由2a+b＝10，并且13≤3a+b≤13可得3≤a≤5，可得BC边上高的最大值，再根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解：∵B（1，4﹣2a），C（1，b），2a+b＝8， ∴BC＝b﹣4+2a＝4， ∵10≤3a+b≤13， ∴2≤a≤5， ∴BC边上高的最大值是5﹣1＝4， ∴△ABC面积的最大值为4×4÷2＝4． 故答案为：8． 21．（2024春•厦门期末）如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且DE⊥CD．则下列结论中：①∠AED＝∠ADE；②BD平分∠ABC；③∠OBE+∠OEB＝∠OAD；④∠DBC+2∠BDC＝180°．正确的是 　①④　 ． 【分析】根据BD∥AE，可得∠AED＝∠BDE，设∠AED＝∠BDE＝x，结合DE平分∠ADB，可得∠AED＝∠ADE＝x，即可判断①； 根据AD∥BC，得出∠DBC＝∠ADB＝2x，要使BD平分∠ABC，则∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，即AB＝AD，即可判断②； 根据三角形外角的定义可得∠OBE+∠OEB＝∠DOB，∠DOB＝∠OAD+∠ODA＞∠OAD，即可判断③； 根据AD∥BC，得出∠DBC＝∠ADB＝2x，结合DE⊥CD，得出∠BDC＝90°﹣x，即可得∠DBC+2∠BDC＝2x+2（90°﹣x）＝180°，即可判断④． 【解答】解：∵BD∥AE， ∴∠AED＝∠BDE， 设∠AED＝∠BDE＝x， ∵DE平分∠ADB， ∴∠ADE＝∠BDE＝x， ∴∠AED＝∠ADE＝x，故①正确，符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝2x， 要使BD平分∠ABC， 则∠ABD＝∠DBC＝∠ADB， 即AB＝AD， 题干中没有条件可证， 故②不符合题意； ∵∠OBE+∠OEB＝∠DOB，∠DOB＝∠OAD+∠ODA＞∠OAD， ∴∠OBE+∠OEB＞∠OAD， 故③错误，不符合题意； ∵AD∵BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝2x， ∵DE⊥CD， ∴∠EDC＝90°， ∴∠BDC＝90°﹣x， ∴∠DBC+2∠BDC＝2x+2（90°﹣x）＝180°， 故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 22．（2024春•通州区期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且m﹣n＝5．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 　3　 ． 【分析】先解二元一次方程组求出方程组的解为，根据关于x，y的方程组的解满足得出m﹣1，3n+2，根据m﹣n＝5求出m＝5+n，求出4+n，求出方程组的解为，根据a，b均为正整数得出2﹣2n＞0且7+3n＞0，求出不等式组的解集，再求出整数n即可． 【解答】解：解方程组得：， ∵关于x，y的方程组的解满足， ∴m﹣1，3n+2， ∵m﹣n＝5， ∴m＝5+n， ∴m﹣1＝4+n， 解方程组得：， ∵a，b均为正整数， ∴2﹣2n＞0且7+3n＞0， 解得：n＜1， ∵n为整数， ∴n为﹣2，﹣1，0， 所以符合题意的n的个数是3． 故答案为：3． 23．（2024春•思明区校级期末）已知实数a，b，m，n（m≠n）满足，若关于x的不等式ax+b＞﹣5的解集为，则关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是 　m＞﹣4　 ． 【分析】根据非负数的性质即可求出a、b的值，利用实数的运算即可求得c的值，将a、b的值代入不等式得不等式的解集，即可求得﹣4m＝n解答即可． 【解答】解：∵|a﹣n+m|， ∴a＝n﹣m，b＝2n﹣2a﹣5＝2m﹣5， a、b的值代入不等式ax+b＞﹣5， （n﹣m）x＞﹣2m， ∵ax+b＞﹣5的解集为x， ∴n﹣m＜0， ∴n＜m， x， ∴n＝﹣4m， ∴﹣4m＜m， ∴m＞0， ∴mx﹣n＞0， ∴m＞﹣4． 故答案为：m＞﹣4． 24．（2024春•崇川区校级期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c＝4，2a+b+3c＝5，设s＝5a+4b+7c的最大值是m，最小值是n，则m+n的值为 　26　 ． 【分析】联立，把a看作常数，解得，则5a+4b+7c＝﹣2a+14，根据a≥0，b≥0，c≥0，解得a≤1，则0≤a≤1，当a＝0时，m＝14；当a＝1时，n＝12，即m＝14，n＝12，故m+n可求． 【解答】解：联立， 把a看作常数，解得， ∴5a+4b+7c＝5a+42a+14， ∵a≥0，b≥0，c≥0， ∴， 解得a≤1， ∴0≤a≤1， 当a＝0时，m＝14； 当a＝1时，n＝12， ∴m+n＝26． 故答案为：26． 25．（2024春•思明区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝110°，则∠BEG的度数为 　35°　 ． 【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH，在△AEF中，70°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°，故∠GEH﹣∠FEB＝35°，即可等量代换求解． 【解答】解：∵∠FBE＝∠FEB，∠AFE＝∠FBE+∠FEB， ∴∠AFE＝2∠FEB， ∵∠FEH的角平分线为EG， ∴∠GEH＝∠FEG， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， 而∠D＝∠ABC， ∴∠D+∠BAD＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠DEH＝110°， ∴∠CEH＝∠FAE＝70°， ∵∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH， ∴70°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°， ∴∠GEH﹣∠FEB＝35°， ∴∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝∠GEH﹣∠FEB＝35°． 故答案为：35°． 26．（2024春•海沧区期末）将一副三角板按图所示叠放，仅转动三角板BEC，在转动过程中保持直角顶点C重合，且点E始终在直线AC的上方，∠ACE＜135°．当这两块三角板有两条边平行时（不考虑重合或共线的情况），∠ACE＝　45°或30°或120°　 ． 【分析】分类讨论BE∥AC，BC∥AD，AD∥CE三种情况，利用平行线的性质定理解答即可． 【解答】解：当BE∥AC时， ∠ACE＝∠E＝45°， 当BC∥AD时，∠BCD＝∠D＝30°， ∵∠ACE+∠ECD＝90°，∠BCD+∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD＝30°， 当AD∥CE时， ∠DCE＝∠D＝30°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°+30°＝120°． ∴综上所述，∠ACE为45°或30°或120°． 故答案为：45°或30°或120°． 27．（2024春•海安市期末）在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3﹣2m，1），点N（m﹣3，1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m的取值范围为 　m　 ． 【分析】根据题意画出图形，结合题意列出关于m的不等式，解之确定m的范围． 【解答】解：依题意有：m﹣3＞3﹣2m， 解得m， ∵点P是一个整数点，除此以外，所有的整数点都位于MN上， 又∵△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个， ∴MN线段上有4﹣1＝3（个）整数点． 当M、N是整数点时，MN＝2， 当M、N不是整数点时，MN＜4， 即2m﹣6＜4， ∴m， 当m时，3﹣2m， 当m时，m﹣3， 3﹣2m＝﹣2时，m， m﹣3＝1时，m． 故m的取值范围为m． 故答案为：m． 28．（2024春•惠城区期末）如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝26˚，分别以BE、CE为折痕进行折叠压平，如图2，若图2中∠AED＝n°，则∠DEC的度数为 　（26n）　 ． 【分析】求∠CED的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出∠CED大小即可． 【解答】解：∵∠ABE＝26°， ∴∠BEA'＝∠BEA＝64°， 又∵∠CED'＝∠CED， ∴∠DEC∠DED'， ∴∠DEC（180°﹣∠A'EA+∠AED） （180°﹣128°+n°） ＝（26n）°． 故答案为：26n． 29．（2024春•芜湖期末）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步：确定的位数．因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，所以是2位数； 第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，93＝729，所以的个位上的数是9； 第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，33＝27，43＝64，而27＜59＜64，由此能确定的十位上的数是3． 综合以上可得． 已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是 　47　 ． 【分析】根据题目提供的方法，类推确定103823的立方根即可． 【解答】解：第1步：由103＝1000，1003＝1000000，确定是两位数． 第2步：由103823的个位上的数是3，73＝343，能确定的个位上的数是7． 第3步：如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125，由此确定的十位上的数是4． 因此，103823的立方根是47． 故答案为：47． 30．（2024春•无为市期末）定义[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．有下列结论：①当时，[1+x]+[1﹣x]的值为1；②[x﹣1]＝[x]﹣1；③x﹣1＜[x]≤x；④是方程3x﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中，正确的有 　②③①　 ．（填序号） 【分析】当时，，可判断①的正误；设[x]＝n，则n≤x＜n+1，n﹣1≤x﹣1＜n，[x﹣1]＝n﹣1，可得[x﹣1]＝[x]﹣1，可判断②的正误；由题意知，x的整数部分为[x]，则小数部分为x﹣[x]，由0≤x﹣[x]＜1，可求x﹣1＜[x]≤x，可判断③的正误；由3x﹣2[x]+1＝0，可得，x的整数部分为，则小数部分为，且，可求﹣3＜x≤﹣1，然后分情况求解，进而可判断④的正误． 【解答】解：当时，，①正确，故符合要求； 设[x]＝n，则n≤x＜n+1， ∴n﹣1≤x﹣1＜n， ∴[x﹣1]＝n﹣1， ∴[x﹣1]＝[x]﹣1，②正确，故符合要求； 由题意知，x的整数部分为[x]，则小数部分为x﹣[x]， ∴0≤x﹣[x]＜1， 解得，x﹣1＜[x]≤x，③正确，故符合要求； ∵3x﹣2[x]+1＝0， ∴， ∴x的整数部分为，则小数部分为，且， 解得，﹣3＜x≤﹣1， 当﹣3＜x＜﹣2时，[x]＝﹣3， ∴3x﹣2×（﹣3）+1＝0， 解得，； 当﹣2≤x＜﹣1时，[x]＝﹣2， ∴3x﹣2×（﹣2）+1＝0， 解得，； 当x＝﹣1时，[x]＝﹣1， ∴3x﹣2×（﹣1）+1＝0， 解得，x＝﹣1； 综上所述，或或x＝﹣1是3x﹣2[x]+1＝0的解，④错误，故不符合要求； 故答案为：①②③． 【解答题篇·40题】 1．（2024春•江岸区期末）如图1，平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足． （1）求点A，B的坐标； （2）将线段AB平移至CD处，点C与点A是对应点，C（x，y），F是线段CD上的点，点F的坐标为（x+1.5，y﹣2），点E是x轴上一动点，点E的坐标为（m，0）． ①当，y＝6，且m＞3时，三角形CFE的面积与三角形BFE的面积相等，求m的值； ②如图2，若点C，D均在第一象限，且满足4x+12＝ny，连接AC，BD，ED，若三角形ACE的面积小于三角形BED的面积，且不小于三角形BED面积的一半，直接写出m的取值范围 　或m≤﹣n﹣6　 .（用含有n的式子表示） 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负数的性质即可求解； （2）利用构造法（割补法），将三角形BEF和三角形CEF的面积表示出来，建立关于m的方程即可求解； （3）先利用S△BDT＝S△BTK+S△DTK得到k＝n，根据E和AK之间的位置关系分类讨论，将△AEC和△BED的面积表示出来，再利用S△BED≤S△AEC＜S△BED建立不等式求解即可． 【解答】解：（1）∵|a+3|≥0，， 又∵， ∴， ∴a+3＝b+4＝0， ∴a＝﹣3，b＝﹣4， ∴A（﹣3，0），B（0，﹣4）； （2）①连接DC，DF， 延长CD与x轴交于点H， 过点C、D、F分别作CP⊥x轴于点P，作DQ⊥x轴于点Q，作FR⊥x轴于点R， 令BF与x轴交于点G， 由题可得，F（6，4），则， ∴，， 则S△OBF＝S△OGB+S△OGF， ∴， ∴， ∴0G＝3， ∴G（3，0）， 又∵S△OCD＝S△OCH﹣S△ODH＝S△OCP+S梯形CPQD﹣S△ODQ， ∴， ∴， ∴0H＝9， ∴H（9，0） ∵S△BEF＝S△BEG+S△EFG4EG＝4（m﹣3）， S△CEF＝S△ECH﹣S△CFHEH•CPEH•FR＝EH＝|m﹣9|， ∵S△BEF＝S△CEF， ∴4（m﹣3）＝|m﹣9|， 解得：m＝1（舍）或， ②∵点C，D均在第一象限，且满足4x+12＝ny， ∴y， ∴S△ACE， 如图，过D作DT⊥x轴，BT∥x轴，DT和BT交于点T，设BD交x轴于点T，设K（k，0）， ∵S△BDT＝S△BTK+S△DTK， ∴， 整理得ky＝4x+12， ∴k（4x+12）•n， ∴k＝n， 即K（n，0）， ∴S△BED＝S△BEK+S△DEK|n﹣m|•y， 1°，当E在AK之间时，S△BED＝S△BEK+S△DEK（n﹣m）•y， ∵S△BED≤S△AEC＜S△BED， ∴n﹣m≤2（m+3）＜2（n﹣m）， 解得； 2°，当E在A左边时，S△ACE•y，S△BED（n﹣m）•y， ∵S△BED≤S△AEC＜S△BED， ∴n﹣m≤2（﹣3﹣m）＜2（n﹣m）， ∴m≤﹣n+6， 3°，当E在K右侧时，S△AEC＞S△BED， ∴不符合题意； 综上，或m≤﹣n﹣6． 故答案为：或m≤﹣n﹣6． 2．（2024春•武昌区期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． •只要其中任意两个代数式的和大于第三个代数式； •满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式A，B和C构成关于x的不等式满足A+B＞C且解集为x＞2，则称A，B和C构成“和谐不等式”． （1）判断代数式A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2是否构成“和谐不等式”？请说明理由． （2）若A＝2x+m，B＝x，C＝3m+2构成“和谐不等式”，则m＝　﹣1或2　 ． （3）若A＝ax+a，B＝﹣bx，C＝2b构成“和谐不等式”，求关于x的一元一次不等式组的解集． 【分析】（1）由x﹣4+x+2＞2，即2x﹣2＞2的解集为x＞2即可得出答案； （2）根据“和谐不等式”得定义分类讨论即可； （3）分ax+a﹣bx＞2b、ax+a+2b＞﹣bx、当﹣bx+2b＞ax+a三种情况，依据新定义得出a、b之间的数量关系及a、b的正负情况，再代入方程组消掉a或b，进一步求解即可． 【解答】解：（1）A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2可以构成“和谐不等式”， ∵x﹣4+x+2＞2，即2x﹣2＞2的解集为x＞2， ∴A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2可以构成“和谐不等式”， （2）∵A＝2x+m，B＝x，C＝3m+2构成“和谐不等式”， ①当2x+m+x＞3m+2时，则x， ∴x＞2 ∴2， ∴m＝2． ②当2x+m+3m+2＞x时，则x＞﹣4m﹣2， ∵x＞2， ∴﹣4m﹣2＝2， ∴m＝﹣1． ③x+3m+2＞2x+m时，则x＜2m+2，此时与定义不符，舍去． 综上，m的值为﹣1或2． 故答案为：﹣1或2． （3）①当ax+a﹣bx＞2b时，则（a﹣b）x＞2b﹣a， ∵x＞2， ∴， 解得：， 代入得：﹣2＜x． ②当ax+a+2b＞﹣bx时，则（a+b）x＞﹣a﹣2b， ∵x＞2， ∴， 解得：， 代入得：， ∴无解． ③当﹣bx+2b＞ax+a时，则（a+b）x＜2b﹣a， ∵x＞2， ∴， 解得：a＝0， ∴不成立． 综上：﹣2＜x． 3．（2024春•青山区期末）已知点A（a，3b），点B（3a，b），且a，b满足． （1）a＝　1　 ，b＝　2　 ； （2）如图1，点C（4，6），连接OC交AB于点E，连接AC，OB．求三角形ACE与三角形OBE的面积差； （3）如图2，点P（m，﹣2m+2）在第二象限，且为直线AB左侧一点，求三角形PAB的面积？ 【分析】（1）由非负性的性质可得关于a，b的二元一次方程组，解之即可； （2）延长CA交y轴于点D（0，6），作BF⊥y轴于F（0，2），根据S△ACE﹣S△OBE＝S△OCD﹣S四边形OBAD代入计算即可； （3）作AD∥y轴，BD∥x轴交AD于点D（1，2），连接PD，作PQ⊥AD于Q（1，﹣2m+2），由S△ABP＝S△ABD+S△ADP﹣S△PBD可得结论； 【解答】解：（1）∵， 0，|a+3b﹣7|≥0， ∴0，|a+3b﹣7|＝0， 即， 解得， 故答案为：1；2； （2）如图1，延长CA交y轴于点D（0，6），作BF⊥y轴于F（0，2）， ∴BF＝3，CD＝4，OF＝2，OD＝6，DF＝4，AD＝1， ∴S△ACE﹣S△OBE ＝（S△ACE+S四边形AEOD）﹣（S△OBE+S四边形AEOD） ＝S△OCD﹣S四边形OBAD 4×6﹣[（1+3）×43×2] ＝1； （3）如图2，作AD∥y轴，BD∥x轴交AD于点D（1，2），连接PD，作PQ⊥AD于Q（1，﹣2m+2）， ∴AD＝4，BD＝2，PQ＝1﹣m， 由 ∴S△ABP＝S△ABD+S△ADP﹣S△PBD 2×44×（1﹣m）2×（﹣2m+2﹣2） ＝4+2﹣2m+2m ＝6． ∴△PAB的面积为6． 4．（2024春•江汉区期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点M（a，b），N（c，d），可以得到MN的中点P的坐标为；当d≥0时，将点P向上平移d个单位，得到Q；当d＜0时，将点P向下平移|d|个单位，得到Q，我们称点Q为M关于N的中心平移点．例如：M（1，2），N（2，3），MN的中点P的坐标为（1.5，2.5），M关于N的中心平移点Q的坐标为（1.5，5.5）． （1）已知A（﹣3，1），B（1，3），C（﹣5，﹣5），直接写出A关于B的中心平移点D及A关于C的中心平移点E的坐标； （2）已知F（﹣3，m），G（5，m+2）位于x轴的同侧，F关于G的中心平移点为H，若△OHG的面积比△OHF的面积大6，求m的值； （3）已知R（n，n），S（0，2n）（n≠0），将点S向下平移1个单位得到T，将点S向上平移6个单位得到U，分别过点S与U作x轴的平行线l1与l2．若点V在线段ST上，且V关于R的中心平移点在l1与l2之间（不含l1，l2），直接写出n的取值范围． 【分析】（1）根据中心平移点的定义，即可求解； （2）取FG的中点P，连接PH，OP，则PH＝|m+2|，可得FG的中点坐标为（1，m+1），根据点P为FG的中点，可得S△HPG+S△OPG＝S△HPF+S△OPF，然后根据△OHG的面积比△OHF的面积大6，可得S△OPH＝3，即可求解； （3）根据题意可得点T（0，2n﹣1），U（0，2n+6），设点V的坐标为（0，y），可得2n﹣1＜y＜2n，从而得到V关于R的中心平移点的坐标为，进而得到，再由V关于R的中心平移点在l1与l2之间（不含l1，l2），可得，即可求解． 【解答】解：（1）∵点A（﹣3，1）和B（1，3）的中点坐标为（﹣1，2）， ∴A关于B的中心平移点D的坐标为（﹣1，5）， ∵点A（﹣3，1）和C（﹣5，﹣5）， ∴AC的中点坐标为（﹣4，﹣2）， ∴A关于C的中心平移点E的坐标为（﹣4，﹣7）； （2）如图，取FG的中点P，连接PH，OP，则PH＝|m+2|， ∵F（﹣3，m），G（5，m+2）， ∴FG的中点坐标为， 即（1，m+1）， ∵点P为FG的中点， ∴S△HPG＝S△HPF，S△OPG＝S△OPF， ∴S△HPG+S△OPG＝S△HPF+S△OPF， ∵△OHG的面积比△OHF的面积大6， ∴S△OHG﹣S△OHF＝2S△OPH＝6， ∴S△OPH＝3， ∴， 解得m＝﹣8或4； （3）∵S（0，2n）（n≠0），将点S向下平移1个单位得到T，将点S向上平移6个单位得到U， ∴点T（0，2n﹣1），U（0，2n+6）， 设点V的坐标为（0，y）， ∵点V在线段ST上， ∴2n﹣1＜y＜2n， ∵R（n，n）， ∴V关于R的中心平移点的坐标为， ∴， 即， ∵V关于R的中心平移点在l1与l2之间（不含l1，l2）， ∴， 解得1＜n＜12． 5．（2023春•硚口区期末）已知，d为4的算术平方根，点A（a，b），B（a﹣d，b﹣3），C（c，0），且a＞0． （1）直接写出b＝　5　 ，c＝　﹣3　 ，d＝　2　 ； （2）如图1，若点C在直线AB上，求a的值； （3）平移线段AB，点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线NP，MQ交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图2，当1＜t＜2时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标． 【分析】（1）由算术平方根、绝对值的非负性知b﹣5＝0，b﹣c﹣8＝0，解得b＝5，c＝﹣3，． （2）过A作AK⊥x轴，连接BK，则K（a，0），S△ABK+S△BCK＝S△ACK，求得． （3）根据题意，沿y轴负方向平移2个单位，得M（0，3），N（﹣2，0）， ①MP＝3t，NQ＝2t，，，于是，可证S△MPD＝S△NQD； ②t＝2 时，P（0，﹣3），Q（2，0），MQ∥NP，点D不存在．当0＜t≤1，如图，点D在三角形MON内部，此 时S△MND＜S△Moy＝3，不符合题意；当1＜t＜2时，如图，点D在第四象限，设D（m，n），由①得S△MPD＝S△NQD，得3m＝﹣2n，连接OD，则S△MON+S△MOD+S△NOD＝S△MND，解得；当 t＞2时，如图，点D在第二象限，S△MPD＝S△NQD，得﹣3m＝2n，连接OD，则S△DON+S△MOD﹣S△MON＝S△MMD，解得． 【解答】解：（1）由 知， b﹣5＝0，b﹣c﹣8＝0， 解得b＝5，c＝﹣3， ∴． （2）如图，过A作AK⊥x轴，连接BK． 由（1）得A（a，5），B（a﹣2，2），C（﹣3，0）， ∴K（a，0）， ∴AK＝5，CK＝a+3， ∵S△ABK+S△BCK＝S△ACK， ∴， 解得． （3）根据题意，平移后点A（a，5）的对应点M在y轴的正半轴上，点B（a﹣2，2）的对应点N在x轴的负半轴， 沿y轴负方向平移2个单位， ∴M（0，3），N（﹣2，0）， ①S△MPD＝S△NQD，理由如下： 由题意得MP＝3t，NQ＝2t， ∴OP＝3t﹣3，OQ＝2t﹣2， ， ， ∴S△MOQ＝S△NOP， ∴S△MOQ+S四边形OPDQ＝S△NOP+S四边形OPDQ， 即S△MPD＝S△NQD． ②当t＝2时，P（0，﹣3），Q（2，0），PQ可以看作由MN向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到， 此时MQ∥NP，点D不存在， 当0＜t≤1，如图，点D在三角形MON内部，此时S△MND＜S△MON＝3，不符合题意； 当1＜t＜2时，如图，点D在第四象限， 设D（m，n），由①得S△MPD＝S△NQD， ∴， ∴3m＝﹣2n， 连接OD， ∵S△MON+S△MOD+S△NOD＝S△MND， ∴， ∴3m﹣2n＝14， ∴，， ∴； 当t＞2时，如图，点D在第二象限， ∵S△MPD＝S△NQD， ∴， ∴﹣3m＝2n， 连接OD， ∵S△DON+S△MOD﹣S△MON＝S△MND， ∴， ∴2n﹣3m＝26， ∴，， ∴D， 综上，点D的坐标为或． 6．（2024春•湖北期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（﹣4，﹣2），连接AB，与x轴、y轴分别相交于点G、H，点G（a，0）、点H（0，b）满足． （1）【基础训练】请你直接写出G、H两点的坐标； （2）【能力提升】如图2，点C（m，n）在线段GH上，m、n满足n+m＝﹣1，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴的负半轴于点M，且S△CGM＝S△MOD，求点D的坐标； （3）【拓展延伸】如图3，P为直线AB上一点（异于A，B，G三点），过P点作AB的垂线交x轴于点E，∠PEG和∠BGE的平分线所在的直线相交于Q点．当P在直线AB上运动时，请直接写出∠EQG的度数． 【分析】（1），（a+2）2≥0且b﹣2≥0，得出a＝﹣2，b＝2，G（﹣2，0），H（0，2）； （2），得出，； （3）分点P在点G上方和点P在点G下方两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）∵，（a+2）2≥0且b﹣2≥0， ∴（a+2）2＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣2，b＝2， ∴G（﹣2，0），H（0，2）； （2）连接CO，过点C分别作CE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F， ∵S△CGM＝S△MOD， ∴S△GOH＝S△CDH， ∴， ∵S△GOH＝S△GCO+S△HCO， ∴， ∴n﹣m＝2， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）分别过点P，Q作l1∥x轴，l2∥x轴，依题意设∠1＝∠2＝t，则∠6＝∠1＝t， ∴∠3＝2t，∠4＝180°﹣90°﹣2t＝90°﹣2t， ①如图1，当点P在点G上方时，易得∠4＝∠5＝90°﹣2t， ∵GQ平分∠BGE， ∴∠AGQ＝45°+t， ∴∠EQG＝180°﹣∠6﹣∠QGE＝180°﹣t﹣（135°﹣t）＝45°； ②如图2，当点P在点G下方时，易得∠4＝∠GEP＝90°﹣2t， 又∵EQ平分∠GEP， ∴∠5＝∠GEQ＝45°﹣t， ∴∠EQG＝180°﹣∠6﹣∠5＝180°﹣t﹣（45°﹣t）＝135°， 综上所述，∠EQG＝45°或135°． 7．（2023春•武穴市期末）如图，A为x轴负半轴上一点，C（0，﹣3），D（﹣4，﹣3）． （1）求△BCD的面积； （2）如图（2），若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，判断∠CPQ与∠AQB有何数量关系，并说明理由； （3）如图（3），若∠ADC＝∠DAC，点B在x轴正半轴上任意运动，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于点E，在B点的运动过程中，的值是否变化？若不变化，求出其值；若变化，说明理由． 【分析】（1）根据点的坐标求得CD＝4，即可求出面积； （2）根据BQ平分∠CBA，以及三角形内角和定理便可求出∠AQB+∠CPQ＝180°； （3）设∠ADC＝∠DAC＝α，∠ECA＝β，依据角平分线和平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），D（﹣4，﹣3）， ∴CD＝4，CD∥x轴， ∴； （2）∠AQB+∠CPQ＝180°，理由如下： 如图2， ∵BQ平分∠CBA， ∴∠ABQ＝∠CBQ， ∵AC⊥BC， ∴∠CBQ+∠CQP＝90°， 又∵∠ABQ+∠OPB＝90°，∠OPB＝∠CPQ， ∴∠ABQ+∠CPQ＝90°， ∴∠CQP＝∠CPQ， 又∵∠AQB+∠CQP＝180°， ∴∠AQB+∠CPQ＝180°； （3）在B点的运动过程中，的值不发生变化，理由如下： 设∠ADC＝∠DAC＝α，∠ECA＝β，如图3， ∴∠E＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝180°﹣（180﹣∠DAC）﹣∠ECA ＝∠DAC﹣∠ECA＝α﹣β， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACE＝2β， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠DAC+∠ADC＝180°， ∴∠BAC+2α＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣2α， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣2β＝2α﹣2β＝2∠E， ∴． 8．（2024春•石首市期末）在平面直角坐标系中，已知，A（1，a），B（2a，b），，过点M作直线l1平行于y轴． （1）如果线段BC与x轴有公共点，求b的取值范围； （2）若线段AC通过平移能够与线段BM重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b的值； （3）若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点A　是　 （填写“是”或“不是”）直线l1的“密接点”； ②将△ABC平移到△DEF，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线l1上，点E落在y轴上且纵坐标为2a﹣b，如果△ODE的面积为4，过点A作直线l2平行于x轴，点B是否为直线l2的“密接点”，说明理由． 【分析】（1）根据线段BC与x轴有公共点，得到点B在x轴下方，点C在x轴上方，据此列不等式求解即可； （2）根据线段AC通过平移能够与线段BM重合，得到，据此列式求解即可； （3）①根据“密接点”的定义求解；②根据平移变换的定值分别求出a，b的值，可得结论． 【解答】解：（1）如果线段BC与x轴有公共点，则点B在x轴下方， ∴b≤0， 点C在x轴上方， ∴b+1≥0，即b≥﹣1， ∴﹣1≤b≤0； （2）∵线段AC通过平移能够与线段BM重合， ∴，即， 解得； （3）①∵点A到直线l1的距离为 ∴点A是直线l1的“密接点” 故答案为：是； ②点B不是l2的“密接点”，理由如下： ∵点F刚好落在直线l1上， ∴△ABC向右平移的距离为1， ∴点E的横坐标为2a+1，点D的横坐标为2， 由题意可得：2a+1＝0，解得， 点E的纵坐标为：2a﹣b＝﹣1﹣b， ∵△ODE的面积为4， ∴， 解得b＝﹣5或b＝3， 当，b＝3时，，B（﹣1，3），此时点B到l2的距离为，则点B不是l2的“密接点”； 当，b＝﹣5时，，B（﹣1，﹣5），此时点B到l2的距离为，则点B不是l2的“密接点”； 综上，点B不是l2的“密接点”． 9．（2024春•十堰期末）在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（﹣a，2a），C（b，0）满足． （1）求点A，B，C的坐标． （2）如图1，过点A作AD∥BC交y轴于点D，∠ADO和∠ACB的角平分线交于点E，求∠E的度数． （3）如图2，点M是y轴负半轴上的一点，连接BM交x轴于点N，是否存在点M，使S△AMN＝S△BCN？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据非负数的性质得到，解方程组即可得到答案； （2）过点E作EF∥AD，由平行线的性质得到∠ACB＝∠CAD，则∠ACB+∠ODA＝90°；再由角平分线的定义得到，证明AD∥BC∥EF，得到∠CEF＝∠BCE，∠DEF＝∠ADE，则； （3）连接OB，设m（0，m），N（n，0），则OM＝﹣m，ON＝﹣n，根据S△BOM＝S△BON+S△MON，推出mn＝4n﹣2m；根据S△AMN＝S△BCN，得到mn﹣2m＝20+4n，据此可得m＝﹣5，则M（0，﹣5）． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴﹣a＝﹣2，2a＝4， ∴A（2，0），B（﹣2，4），C（﹣5，0）； （2）如图1，过点E作EF∥AD， ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD， ∵∠OAD+∠ODA＝90°， ∴∠ACB+∠ODA＝90°； ∵∠ADO和∠ACB的角平分线交于点E， ∴， ∵EF∥AD，AD∥BC， ∴AD∥BC∥EF， ∴∠CEF＝∠BCE，∠DEF＝∠ADE， ∴； （3）存在；理由如下： 如图2，连接OB，设M（0，m），N（n，0）， ∴OM＝﹣m，ON＝﹣n， ∵S△BOM＝S△BON+S△MON， ∴， ∴， ∴， ∴mn＝4n﹣2m； ∵S△AMN＝S△BCN， ∴， ∴mn﹣2m＝20+4n， ∴4n﹣2m﹣2m＝20+4n， ∴m＝﹣5， ∴M（0，﹣5）． 10．（2024春•宜昌期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b），其中a，b满足． （1）请直接填空：a＝　4　 ，B点坐标为 　（0，6）　 ； （2）点C（x，y）是线段AB上一动点，求x，y之间满足的关系式（含x的式子表示y）； （3）如图2，将直线AB沿x轴向左平移，当平移后的直线DE经过点D（﹣2，0），点D是点A的对应点时，解决如下问题： ①在直线DE上是否存在点P，使得三角形ADP的面积等于18？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； ②已知Q（m，n）是直线DE上一动点，且点Q位于第二象限，若三角形BOQ的面积不大于9，求n的取值范围． 【分析】（1）由．得a＝4，b＝6，故B（0，6）． （2）由△OAB面积＝△AOC面积+△BOC面积得6×46x4y，故yx+6． （3）①设P纵坐标为a，由△ADP面积a×DE＝18，得a＝6．当P在第二象限时，点A向左平移6个长度单位到点D，故P（﹣6，6）．当P在第三象限时，点B向下平移6个长度单位，再向右平移4个长度单位，故P（2，﹣6）． ②过P作PM⊥x轴，连BD．设△BOQ的面积＝9，得69，故m＝±3．当Q位于第二象限时，即m＝﹣3时，△ADP面积＝△BPD面积＝梯形PMOB面积﹣△PMD面积﹣△BDO面积，得6n（n+6）×31×n2×6，故n．当Q'位于第四象限时，即m＝3时，由△ADQ'面积＝△BDQ'面积＝梯形DHGB面积+△BCQ'面积﹣△DHG面积，得6×（﹣n）（﹣n+6﹣n）×2（6﹣n）×3（﹣n）×5，故n，因此n． 【解答】解：（1）∵． ∴a＝4，b＝6， ∴B（0，6）． 故答案为：4，（0，6）． （2）∵△OAB面积＝△AOC面积+△BOC面积， ∴6×46x4y， ∴yx+6． （3）①设P纵坐标为a， ∴△ADP面积a×DE＝18， ∴a×6＝18， ∴a＝6． 当P在第二象限时， 点A向左平移6个长度单位到点D， ∴P（﹣6，6）． 当P在第三象限时， 点B向下平移6个长度单位，再向右平移4个长度单位， ∴P（2，﹣6）． 综上所述，P（﹣6，6）或（2，﹣6）． ②过P作PM⊥x轴，连BD． 设△BOQ的面积＝9， ∴69， ∴m＝±3． 当Q位于第二象限时，即m＝﹣3时， ∵AB∥ED， ∴△ADP面积＝△BPD面积＝梯形PMOB面积﹣△PMD面积﹣△BDO面积， ∴6n（n+6）×31×n2×6， ∴n． 当Q'位于第四象限时，即m＝3时， ∵△ADQ'面积＝△BDQ'面积＝梯形DHGB面积+△BCQ'面积﹣△DHG面积， ∴6×（﹣n）（﹣n+6﹣n）×2（6﹣n）×3（﹣n）×5， ∴n， ∴n． 11．（2024春•孝感期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且，AC与y轴相交于点F，过C作CB⊥x轴于点B． （1）填空：a＝　﹣2　 ，b＝　2　 ，三角形ABC的面积为 　4　 ； （2）如图2，过B作BD∥AC交y轴于D，若AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数； （3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点C的坐标，再依据三角形的面积公式求解即可； （2）过E作OM∥AC，根据平行线的判定和性质求解即可； （3）分两种情况，当点P在y轴正半轴时和点P在y轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴a+b＝0，a﹣b+4＝0，解得：a＝﹣2，b＝2， ∴A（﹣2，0），C（2，2）， ∴AB＝4，BC＝2， ∴三角形ABC的面积为； 故答案为：﹣2，2，4； （2）如图，过点O作OM∥AC，则∠AOM＝∠CAB， ∵OM∥AC，BD∥AC， ∴OM∥BD， ∴∠DOM＝∠ODB， ∴∠AOD＝∠AOM+∠DOM＝∠CAB+∠ODB， 同理∠AED＝∠CAE+∠BDE． ∵x轴⊥y轴， ∴∠AOD＝90°， ∴∠CAB+∠ODB＝90°， ∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB， ∴∠C A B＝2∠C A E，∠ODB＝2∠BDE， ∴2∠CAE+2∠BDE＝90°，即∠CAE+∠BDE＝45°， ∴∠AED＝45°； （3）连接OC，过点C作CN⊥y轴于N， ∵A（﹣2，0），C（2，2），CB⊥x轴， ∴OA＝2，CN＝2，BC＝2， ∵S三角形AOF+S三角形COF＝S三角形AOC， ∴， 即， 解得：OF＝1， ∴F（0，1）， ∵S三角形ACP＝S三角形ABC，S三角形ABC＝4， ∴S三角形ACP＝4，即S三角形APF+S三角形CPF＝4， ∴，即， 解得：PF＝2， 又∵F（0，1）， 当点P在y轴正半轴时，点P的坐标为（0，3）； 当点P在y轴负半轴时，点P的坐标为（0，﹣1）； ∴点P的坐标为（0，3）或（0，﹣1）． 12．（2024春•咸安区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，2），点C坐标C（m，n）满足，连接AC，BC，OC． （1）四边形OACB的面积为 　11　 ； （2）点D是x轴上一个动点，当三角形ADC的面积为10时，求点D的坐标； （3）将线段AC平移至线段PQ（点C的对应点为P，点A的对应点为Q），且点P在线段OB上，当三角形PAC的面积为时，求点Q的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质可得m﹣3＝0，n﹣4＝0，进而可得点C的坐标为（3，4）．利用割补法求四边形OACB的面积即可． （2）设点D的坐标为（m，0），根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． （3）设点P的坐标为（0，a），0≤a≤2，根据题意可列方程为，可得a＝1，则点P的坐标为（0，1），即线段AC是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段PQ，结合平移的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵， ∴m﹣3＝0，n﹣4＝0， 解得m＝3，n＝4， ∴点C的坐标为（3，4）． ∴四边形OACB的面积为S△AOC+S△BOC8+3＝11． 故答案为：11． （2）设点D的坐标为（m，0）， ∵三角形ADC的面积为10， ∴， 解得m＝9或﹣1， ∴点D的坐标为（9，0）或（﹣1，0）． （3）如图， ∵点P在线段OB上， ∴设点P的坐标为（0，a），0≤a≤2， ∴三角形PAC的面积为S四边形OACB﹣S△PBC﹣S△AOP， 解得a＝1， ∴点P的坐标为（0，1）， ∴线段AC是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段PQ， ∴点A的对应点Q的坐标为（1，﹣3）． 13．（2024春•云梦县期末）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（a，0），B（2，b），C（4，0），其中a，b满足，AB与y轴交于点D． （1）求a，b的值及点D的坐标； （2）如图2，E是y轴上位于AB上方的一动点， ①连接AE，EB，OB，当△AEB和△OEB的面积相等时，求点E的坐标； ②如图3，过点E作EF∥AB，EM平分∠FEO，AM平分∠BAO，求∠EMA的度数． 【分析】（1）连接OB，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，由非负性可求a，b，c的值，再由S△ABO＝S△ADO+S△BDO列出等式，即可求解； （2）①过点B作BH⊥OE，由S△AEB＝S△OEB可得S△AED＝S△BOD，从而得出，求得，可得，得出点E的坐标为E（0，3）； ②过点M作MN∥AC，交y轴于点N，则∠NMA＝∠OAM，∠ENM＝∠DOC＝90°，由EF∥AB可得∠FEO＝∠BDO，再由∠BDO+∠ODA＝∠BAO+∠AOD+∠ODA＝180°得出∠BDO＝∠BAO+∠AOD＝∠BAO+90°，从而可得∠FEO＝∠BAO+90°，再由EM平分∠FEO可得，再由AM平分∠BAO可得，从而得出∠EMA＝∠EMN+∠NMA＝45°． 【解答】解：（1）连接OB，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，如图1， 依题可得， 解得， ∴A（﹣2，0），B（2，3）， ∵S△ABO＝S△ADO+S△BDO， ∴， 即， ∴， ∴点D的坐标为； （2）①过点B作BH⊥OE，交OE于点H，如图2， ∵S△AEB＝S△OEB， ∴S△AED＝S△BOD， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为E（0，3）； ②过点M作MN∥AC，交y轴于点N，如图3， 则∠NMA＝∠OAM，∠ENM＝∠DOC＝90°， ∵EF∥AB， ∴∠FEO＝∠BDO， ∵∠BDO+∠ODA＝∠BAO+∠AOD+∠ODA＝180°， ∴∠BDO＝∠BAO+∠AOD＝∠BAO+90°， ∴∠FEO＝∠BAO+90°， ∵EM平分∠FEO， ∴， ∴， ∵AM平分∠BAO， ∴， ∴∠EMA＝∠EMN+∠NMA＝45°． 14．（2024春•大冶市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，a），B（b，0），C（0，c），且． （1）求四边形ACOB的面积． （2）如图（1）点P从原点出发，沿y轴正半轴以每秒1个单位向点C匀速运动，运动时间为t秒，是否存在S四边形APOB＜2S△ACP，存在，求t的取值范围，若不存在，请说明理由． （3）点P在线段OC上，且AP平分∠CAB，点G在x轴正半轴上运动，且AM平分∠BAG交x轴于点M，过点M作MN⊥AP，交AP于点N，设∠AMN＝α，∠AGB＝β，试探究α与β的数量关系，画图并证明你的结论． 【分析】（1）根据非负数的性质先求解a，b，c的值，再利用梯形的面积公式计算即可； （2）求解S△ACP4（4﹣t）＝8﹣2t，S四边形APOB＝12﹣8+2t＝4+2t，再建立不等式求解即可； （3）①当点G在B的右侧时，设∠AMN＝α，∠AGB＝β，设∠GAM＝∠BAM＝x°，∠CAP＝∠PAB＝y°，再利用三角形的内角和定理与平行线的性质可得结论； ②设A∠MN＝α，∠AGB＝β，设∠GAM＝∠BAM＝x°，∠PAG＝y°，当点G在B的左侧时，∠CAP＝∠BAP＝2x°+y°，再利用三角形的内角和定理与平行线的性质可得结论． 【解答】（1）解：∵， ∴а﹣4＝0，b﹣2＝0，c﹣4＝0， 解得：a＝4，b＝2，c＝4， 点A（4，4），B（2，0），C（0，4）， ∴S四边形ACOB（4+2）×4＝12， ∴四边形ACOB的面积为12； （2）解：由题意可得：OP＝t，CP＝4﹣t， ∴S△ACP4（4﹣t）＝8﹣2t，S四边形APOB＝12﹣8+2t＝4+2t， ∵S四边形АPOВ＜2S△АСP， ∴4+2t＜2（8﹣2t）， 解得：t＜2， ∴0≤t＜2； （3）解：当点G在B的右侧时，如图， 设∠AMN＝α，∠AGB＝β， ∵AM平分∠BAG， ∴设∠GAM＝∠BAM＝x°， ∵AP平分∠CAB， ∴∠CAP＝∠PAB＝y°， ∵MN⊥AP， ∴α＝90°﹣x°﹣y°， ∴2α＝180°﹣（2x°+2y°）， ∵A（4，4），C（0，4）， ∴AC∥x轴， ∴β＝180°﹣∠CAG＝180°﹣（2x°+2y° ）， ∴β＝2α； ②如图， 设∠AMN＝α，∠AGB＝β， ∵AM平分∠BAG， ∴设∠GAM＝∠BAM＝x°，∠PAG＝y°， 当点G在B的左侧时， ∵AP平分∠CAB， ∴∠CAP＝∠BAP＝2x°+y°， ∵MN⊥AP， ∴α＝90°﹣x°﹣y°， ∴2α＝180°﹣（2x°+2y°）， ∵A（4，4），C（0，4）， ∴AC∥x轴， ∴β＝∠CAG﹣2x°+2y°， ∴2α＝180°﹣β； 综上：当点G在B的右侧时，β＝2α；当点G在B的左侧时，β＝180﹣2α． 15．（2024春•汉川市期末）在平面直角坐标系中，点A（m，0），B（n，﹣m），且m，n满足|m﹣3|+（n+1）2＝0，AB＝5． （1）则点A的坐标是 　（3，0）　 ，点B的坐标是 　（﹣1，﹣3）　 ； （2）求三角形AOB的面积； （3）若点P从点A出发在射线AB上运动（点P不与点A点B重合），点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴运动，连接OP，BQ．若某一时刻t，三角形BOQ的面积是三角形BOP的面积的2倍时，求t的值，并写出点Q的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质：两个非负数的和为零，每一个非负数都为零求解即可； （2）结合图形，根据三角形面积公式计算即可； （3）过点O作OF⊥AB于F，利用△OAB的面积可求出OF的长，分点P在线段AB上和AB延长线上两 种情况，根据点P、点Q的速度用t表示出OQ、BP的长，根据S△BOQ＝2S△BOP列方程求出t值即可得答案． 【解答】解：（1）|m﹣3|+（n+1）2＝0， ∴m﹣3＝0，n+1＝0， ∴m＝3，n＝﹣1． ∴A（3，0），B（﹣1，﹣3）； 故答案为：（3，0），（﹣1，﹣3）； （2）过点B作BH⊥OA交x轴于点H，如图， ∵A（3，0），B（﹣1，﹣3）， ∴OA＝3，BH＝3， ∴S△AOBOA•BH3×3； （3）如图，过点O作OF⊥AB于F， ∵S△AOB，AB＝5， ∴AB•OF5OF， 解得OF， 当点P在线段AB上时， ∵点P的速度为每秒3个单位，点Q的速度为每秒2个单位， ∴OQ＝2t，BP＝5﹣3t， ∵B（﹣1，﹣3）， ∴S△BOQ，S△BOPBP•OFt， ∵S△BOQ＝2S△BOP， ∴3t＝2， 解得t， ∴2t， ∵点Q在x轴负半轴上， ∴点Q坐标为（，0）； 如图，当点P在AB延长线上时， ∵点P的速度为每秒3个单位，点Q的速度为每秒2个单位， ∴OQ＝2t，BP＝3t﹣5， ∴S△BOQ3OQ＝3t，S△BOPt， ∵S△BOQ＝2S△BOP， ∴3t＝2×（t）， 解得t， ∴2t， ∵点Q在x轴负半轴上， ∴点Q坐标为（，0）， 综上所述：存在某一时刻t，使△BOQ的面积是△BOP的面积的2倍，t值为或，点Q坐标为（，0）或（，0）． 16．（2024春•曾都区期末）如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图1放置在两条平行线MN，PQ之间，∠BAC＝∠BCA＝45°，∠EDF＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠DEF＝90°，此时点A与点D重合，点A，C，E三点共线． （1）固定三角形DEF的位置不变，将图1中的三角形ABC沿DE方向平移，使得点C正好落在直线MN上，如图2所示，此时∠BCM的度数为 　15°　 ； （2）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C逆时针旋转30°，试判断此时AC与DF的位置关系，并说明理由； （3）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C按逆时针方向进行旋转，如图3所示．若边AC与边EF相交于点G，我们发现∠CGF﹣∠ACM的值为定值，请求出这个定值； （4）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C按逆时针方向以每秒10°的速度旋转，至AC与直线MN首次重合时停止运动．设旋转时间为t．试探究t为何值时，线段AB与三角形DEF的一条平行边，直接写出符合条件的t的值． 【分析】（1）利用平行线的性质计算即可； （2）画出图形，先判定AC⊥MN，再利用MN∥PQ，得出AC⊥DF； （3）过点G作 GK∥MN，利用拐点的方法求解即可； （4）分别讨论当AB∥DF时，当AB∥EF时，当AB∥DE时三种情况，利用平行线的性质与判定解答即可． 【解答】解：（1）∵MN∥PQ， ∴∠MCD＝∠EDF＝60°， ∵∠BCA＝45°， ∴∠BCM＝∠MCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°， 故答案为：15°； （2）AC⊥DF，理由如下： 由旋转得∠DCA＝30°， ∵∠MCD＝60°， ∴∠MCA＝∠MCD+∠DCA＝60°+30°＝90°， ∴AC⊥MN， ∵MN∥PQ， ∴AC⊥DF； （3）如图，过点G作GK∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥GK， ∴∠ACM＝∠CGK，∠DFG＝∠KGF， ∴∠CGF﹣∠ACM＝（∠CGK+∠KGF）﹣∠ACM＝∠DFG＝30°， ∴∠CGF﹣∠ACM的值为定值，定值为30°； （4）t的值为4.5秒或7.5． 当AB∥DF时，如图， ∵AB∥DF， ∴AB∥MN， ∴∠MCB＝∠CBA＝90°， ∵∠MCD＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ACD＝45°+30°＝75°， 即旋转角等于75°， ∵旋转速度是每秒10°， ∴t＝75÷10＝7.5（秒）； 当AB∥EF时，设AC交EF于G，如图， ∵AB∥EF， ∴∠EGC＝∠A＝45°， ∴∠ACE＝45°， 即旋转角等于45°， ∵旋转速度是每秒10°， ∴t＝45÷10＝4.5（秒）； 当AB∥DE时，即BC⊥DE时，旋转角等于45°+90°＝135°， 又因为最大旋转角为120°，故不存在； 综上，当t的值为4.5秒或7.5秒时，线段AB与△DEF的一条边平行． 17．（2024春•广水市期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，∠P＝90°，∠PMN＝45°． （1）若∠PNB＝20°，则∠PMD＝　70°　 ； （2）若PN⊥EF，射线NO在∠MNG内交直线CD于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且∠GNO：∠MNO＝3：2，PM∥NO时，求α的度数； （3）小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，射线NO平分∠MNG，点N、M分别在直线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）． 【分析】（1）过点P作直线JK∥AB，根据平行公理，则AB∥JK∥CD，再根据平行线的性质，即可解答； （2）延长PN交EF于点K，根据PN⊥PM，PN⊥EF，则EF∥PM，再根据平行公理，得EF∥PM∥NO，根据平行线的性质，则∠GHM＝∠NOM，∠PMN＝∠MNO，再根据∠GNO：∠MNO＝3：2，求出，最后再根据平行线的性质及等量代换，即可解答； （3）分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当点N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质及角平分线的性质，即可作答． 【解答】解：（1）过点P作直线JK∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴AB∥KJ∥CD， ∴∠PNB＝∠NPJ，∠PMD＝∠PM， ∴∠PNB+∠PMD＝∠NPJ+∠JPM＝∠NPK＝90°， ∵∠PNB＝20°， ∴∠PMD＝70°， 故答案为：70°； （2）延长PN交EF于点K，如图， ∵∠P＝90°， ∴PN⊥PM， ∵PN⊥EF， ∴EF∥PM， ∵PM∥NO， ∴EF∥PM∥NO， ∴∠GHM＝∠NOM，∠PMN＝∠MNO， ∵∠PMN＝45°， ∴∠PMN＝∠MNO＝45°， ∵∠GNO：∠MNO＝3：2， ∴， ∵AB∥CD， ∴GNO＝∠NOM，∠GHM＝∠GNO＝67.5°， ∴α＝67.5°； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵PM∥EF， ∴∠EHM＝∠PMD＝α， ∵∠PMN＝45°， ∴∠NMD＝45°+α， ∵AB∥CD， ∴∠ANM＝∠NMD＝45°+α， ∵射线NO平分∠MNG， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵PM∥EF， ∴∠EHD＝∠PMD＝α， ∵∠PMN＝45°， ∴∠NMD＝45°+α， ∵AB∥CD， ∴∠BNM+∠NMD＝180°，∠BNO＝∠MON， ∵射线NO平分∠MNG， ∴， ∴∠MNB＝180°﹣（45°+α）， ∴， 综上所述，或． 18．（2024春•越秀区期末）如图所示，点A（4，0），点B在y轴的正半轴上，OA＝2OB，点C（m，n）是第一象限内一动点，且三角形ABC的面积为6，线段OC与AB交于点D． （1）求三角形AOB的面积； （2）若三角形AOD与三角形BCD的面积相等，求点C的坐标； （3）将线段BC沿射线BA平移，得到线段AE（点B与点A是对应点），连接OE，设三角形OBC的面积为S1，三角形OAE的面积为S2，S＝S1﹣S2，当4＜S＜7时，求m的取值范围． 【分析】（1）求出OA，OB，即可解答； （2）根据△BCD与△AOD面积相等，列出式子，求出m，n，即可解答； （3）根据题意求得，分情况讨论：①当点E在x轴上方时，此时n﹣2＞0，即n＞2； ②当点E在x轴下方时，此时n﹣2＜0，即n＜2；根据题意列式求解即可． 【解答】解：（1）∵点A（4，0）， ∴OA＝4， 又∵OA＝2OB， ∴OB＝2， ∴三角形AOB的面积为2×4÷2＝4； （2）∵△BCD与△AOD面积相等， ∴S△BCD+S△BOD＝S△BOD+S△AOD＝S△AOB＝4， ∴， ∴m＝4， 同理S△AOC＝S△AOD+S△ACD＝S△ABC＝6， ∴， ∴n＝3， ∴点C的坐标为（4，3）； （3）∵A（4，0），B（0，2），C（m，n）， ∴E（m+4，n﹣2）， ∵点C在第一象限， ∴， ∴， ∵S△OBC+S△OAC＝S△OAB+S△ABC， ∴m+2n＝4+6＝10， 即， ①当点E在x轴上方时，此时n﹣2＞0，即n＞2，如图， ∴， 又∵， ∴， ∴S＝S1﹣S2＝m﹣（6﹣m）＝2m﹣6， ∵4＜S＜7， ∴4＜2m﹣6＜7， ∴5＜m＜6.5， 又∵n＞2， ∴， ∴m＜6， ∴5＜m＜6； ②当点E在x轴下方时，此时n﹣2＜0，即n＜2，如图， 又∵点E（m，n）在第一象限， ∴n＞0， ∴0＜5﹣1m＜2， 解得6＜m＜10， ∴， 又∵， ∴S△OAE＝m﹣6， ∴S＝S1﹣S2＝m﹣（m﹣6）＝6，符合4＜S＜7， ∴6＜m＜10， 综上所述，5＜m＜6或6＜m＜10，即5＜m＜10且m≠6． 19．（2024春•海珠区期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“梦想解”． （1）x＝﹣1是方程2x+3＝1和下列不等式 　③　 的“梦想解”；（填序号） ①，②2（x+3）＜4，③ （2）若关于x，y的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且m为整数，求m的值． （3）若关于x的方程x﹣4＝﹣3n和关于x的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为10，试求n的取值范围． 【分析】（1）求出不等式组的解集，即可判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出﹣5＜2m+7＜1，解不等式组即可； （3）解方程x﹣4＝﹣3n得：x＝4﹣3n，解不等式组有得：n+1≤x＜5，所有整数“梦想解”的和为10，即可得出整数“梦想解”为1，2，3，4，根据“梦想解”的定义得出1≤4﹣3n≤4，即可得出0≤n≤1． 【解答】解：（1）解①得：x＞2，故方程2x+3＝1不是①的“梦想解”； 解②得：x＜﹣1，故方程2x+3＝1不是②“梦想解”； 解③得：x＜7，故方程2x+3＝1是③的“梦想解”； 故答案为：③ （2）解方程组 得：， ∴x﹣y＝2m+7， ∵解是不等式组的“梦想解”， ∴﹣5＜2m+7＜1， ∴﹣6＜m＜﹣3， ∵m为整数， ∴m为﹣5或﹣4； （3）解方程x﹣4＝﹣3n得：x＝4﹣3n， 解不等式组得：n﹣1≤x＜5， ∴4﹣3n≥n﹣1， ∴n， ∴x＝4﹣3n， ∵所有整数“梦想解”的和为10， ∴整数“梦想解”为1，2，3，4， ∵关于x的方程x﹣4＝﹣3n和关于x的不等式组有“梦想解”， ∴1＜4﹣3n≤4， 解得0≤n＜1． 20．（2024春•天河区期末）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板开展数学活动，其中△ABC和△DEF分别为含45°和含30°的直角三角板，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，且EF＜AB．通过操作发现： （1）如图1，将△DEF沿DF方向移动1cm，得到△D1E1F1，若EF＝1cm，DF＝2cm，DEcm，求四边形EDF1E1的周长； （2）将这副三角板如图2放置，点C与点F重合，并过点D作直线DG平行于边AC所在的直线，求∠EDG的度数； （3）在（2）的条件下，固定△DEF，将△ABC绕点A逆时针以20°/s的速度旋转t（0＜t≤9）秒，求当t为何值时，直线AB与△DEF的任意一条边所在直线垂直． 【分析】（1）由平移得：EE1＝FF1＝1，E1F1＝EF＝1，根据四边形EDF1E1的周长为DE+DF1+E1F1+EE1，即可求得答案； （2）利用平行线的性质和角的和差关系即可求得答案； （3）分三种情况：当AB⊥EF时，当AB⊥DE时，当AB⊥DF时， 【解答】解：（1）由题意得：EE1＝FF1＝1，E1F1＝EF＝1， ∴四边形EDF1E1的周长为DE+DF1+E1F1+EE12+1+1+15（cm）； （2）∵AC∥DG， ∴∠CDG＝∠ACB＝45°， ∴∠EDG＝∠CDG﹣∠CDE＝45°﹣30°＝15°； （3）当AB⊥EF时，设直线AB、EF交于点H，如图，过点H作HK∥AB， ∵∠AFD＝45°，∠DFE＝60°， ∴∠AFE＝∠AFD+∠DFE＝45°+60°＝105°， ∵HK∥AB， ∴∠KHF＝∠AFE＝105°，∠FAH＝∠KHA， ∴∠KHA＝105°﹣90°＝15°， ∴∠FAH＝15°， ∵∠HAC＝45°， ∴∠CAF＝∠HAC+∠FAH＝45°+15°＝60°， ∴20t＝60， 解得：t＝3； 当AB⊥DE时，设直线AB、DE交于点H，如图， ∵AB⊥DE， ∴∠AHE＝90°， ∴∠AHE+∠E＝90°+90°＝180°， ∴AB∥EF， ∴∠BAF＝∠AFE＝105°， ∴∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝45°+105°＝150°， ∴20t＝150， 解得：t＝7.5； 当AB⊥DF时，设直线AB、DF交于点H，如图， 则∠BHF＝90°， ∴∠B＝∠BHF， ∴BC∥DF， ∴20t＝180， 解得：t＝9； 综上所述，t＝3或7.5或9． 21．（2024春•白云区期末）如图1，已知A（﹣1，﹣2），D（0，1），将线段AD向右平移到BC，BC交x轴于点M，连接OC，OB，DC，AB，S四边形ABCD＝12． （1）点B的坐标为 　（3，﹣2）　 ，点C的坐标为 　（4，1）　 ； （2）求△BOC的面积和点M的坐标； （3）如图2，若点P（m，n）为四边形ABCD内的一点，且S△ADP＝4，求m，n之间满足的等量关系并直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据平移的性质得到点D到AB的距离为3，CD＝AB，DC∥AB，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得到3AB＝12，则AB＝4，据此可得答案； （2）设AB与y轴交于F，先证明AB⊥y轴，CD⊥y轴，得到CD＝4，BF＝3，OD＝1，OF＝2，DF＝3，再据S△BOC＝S梯形BCDF﹣S△COD﹣S△BOF进行求解即可； （3）过点P作HG∥y轴分别交AB、CD于G、H，则DH＝m，AG＝m﹣（﹣1）＝m+1，PH＝1﹣n，PG＝n﹣（﹣2）＝n+2，根据S△ADP＝S梯形AGHD﹣S△DHP﹣S△APG，S△BOC＝S△COM+S△BOM，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵将线段AD向右平移到BC，A（﹣1，﹣2），D（0，1）， ∴点D到AB的距离为3，CD＝AB，DC∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S四边形ABCD＝12， ∴3AB＝12， ∴AB＝4， ∴B（3，﹣2），C（4，1）， 故答案为：（3，﹣2），（4，1）； （2）如图所示，设AB与y轴交于F， ∵将线段AD向右平移到BC， ∴AB⊥y轴，CD⊥y轴， ∵B（3，﹣2），C（ 4，1）， ∴CD＝4，BF＝3，OD＝1，OF＝2，DF＝3， ∴S△BOC＝S梯形BCDF﹣S△COD﹣S△BOF31×42×3＝5.5， ∵S△BOC＝S△COM+S△BOM， ∴OM•yCOM•（﹣yB）＝5.5， ∴OM+OM＝5.5， ∴OM， ∴M（，0）； （3）如图所示，过点P作HG∥y轴分别交AB，CD于G，H， ∵A（﹣1，﹣2），D（0，1），P（m，n）， ∴DH＝m，AG＝m﹣（﹣1）＝m+1，PH＝1﹣n，PG＝n﹣（﹣2）＝n+2， ∴S△ADP＝S梯形AGHD﹣S△DHP﹣S△APG3m（1﹣n）（m+1）（n+2）mn， ∴mn4， ∴3m﹣n＝7， 当n＝1时，m； 当n＝﹣2时，m； ∵点P为四边形ABCD内部一点， ∴m． 22．（2024春•番禺区期末）某书店用3000元首次购进了甲、乙两种图书，甲种图书每本进价为18元，乙种图书每本进价为15元，书店在销售时甲种图书每本售价为26元，乙种图书每本售价为20元，全部售完后共获利润1200元． （1）求书店购进甲、乙两种图书各多少本？ （2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种图书，购进甲种图书的数量是第一次的2倍，而购进乙种图书的数量比第一次增加了50%．现在甲种图书降价出售，而乙种图书按原售价打九折出售．当两种图书销售完毕时，要使再次获利不少于1560元，求甲种图书每本最低售价应为多少元？ （3）某活动中心计划用300元购买甲、乙两种图书，购买单价是（2）的条件下的最低售价，在300元恰好用完的条件下，有哪些可行的购买方案？哪种方案书店获利较少？ 【分析】（1）设书店购进x本甲种图书，y本乙种图书，利用总价＝单价×数量结合总利润＝每本书的销售利润×购进数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲种图书每本售价为m元，利用总利润＝每本书的销售利润×购进数量，结合总利润不少于1560元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）设购进a本甲种图书，b本乙种图书，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案书店获得的利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设书店购进x本甲种图书，y本乙种图书， 根据题意得：， 解得：． 答：书店购进100本甲种图书，80本乙种图书； （2）设甲种图书每本售价为m元， 根据题意得：（m﹣18）×100×2+（20×0.9﹣15）×80×（1+50%）≥1560， 解得：m≥24， ∴m的最小值为24． 答：甲种图书每本最低售价应为24元； （3）设购进a本甲种图书，b本乙种图书， 根据题意得：24a+20×0.9b＝300， ∴a． 又∵a，b均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种可行的购买方案， 方案1：购进11本甲种图书，2本乙种图书； 方案2：购进8本甲种图书，6本乙种图书； 方案3：购进5本甲种图书，10本乙种图书； 方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书． 方案1书店可获利（24﹣18）×11+（20×0.9﹣15）×2＝72（元）； 方案2书店可获利（24﹣18）×8+（20×0.9﹣15）×6＝66（元）； 方案3书店可获利（24﹣18）×5+（20×0.9﹣15）×10＝60（元）； 方案4书店可获利（24﹣18）×2+（20×0.9﹣15）×14＝54（元）． ∵72＞66＞60＞54， ∴方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书，书店获利最少． 23．（2024春•潮阳区校级期末）平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b均为整数，且满足，点C在y轴负半轴上且BC＝5，将线段AB平移到DE，其中点A的对应点是点D，点B的对应点是点E． （1）请直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），若点E的坐标为（﹣5，2），点F（m，n）为线段AC上一点，且△BDF的面积大于3，求m的取值范围； （3）如图（2），若DE与y轴的交点G在B点上方，点P为y轴上一动点，请直接写出∠EBO，∠BPD，∠PDA之间的数量关系． 【分析】（1）由非负性可求a，b的值，利用线段BC的长可求点C坐标； （2）由平移得出D（﹣1，0），求出，根据F（m，n），结合S△AOC＝S△OCF+S△OAF，得出，求出，根据S△BDF＝S△BOD+S△BOF+S△DOF，结合△BDF面积大于3，得出，求出m的范围即可； （3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴b＝2， ∴a＝4， ∴A（4，0），B（0，2）， ∴OB＝2， ∵BC＝5， ∴OC＝5﹣2＝3， ∴点C坐标为 （0，﹣3）； （2）如图，连接OF， ∵将线段AB平移到DE，点E的坐标为 （﹣5，2），B（0，2）， ∴线段AB向左平移5个单位， ∵A（4，0）， ∴D（﹣1，0）， ∴OB＝2，OD＝1，OA＝4，OC＝3， ∴， ∵F（m，n）， ∴S△AOC＝S△OCF+S△OAF， ∴， 解得， ∵S△BDF＝S△BOD+S△BOF+S△DOF， ∵△BDF的面积大于3， ∴， 解得， ∵F为线段AC上一点， ∴m≤4， ∴； （3）如图，当点P在点B的下方时，延长EB交PD于F， 将线段AB平移到DE， ∴AB∥DE，AD∥BE， ∴∠ADP＝∠BFD， ∴∠PFB＝180°﹣∠BFD＝180°﹣∠PDA， ∵∠EBO＝∠BPD+∠BFP，∠EBO＝∠BPD+180°﹣∠PDA， ∴∠EBO+∠PDA﹣∠BPD＝180°； 如图，当点P在B的上方、AD的延长线与y轴的交点下方时，延长DP交BE于点F， ∵将线段AB平移到DE， ∴AD∥BE， ∴∠PDA+∠BFD＝180°， ∴∠BFP＝180°﹣∠PDA， ∵∠EBO＝∠BFP+∠BPF， ∴∠EBO＝180°﹣∠PDA+180°﹣∠BPD， ∴∠EBO+∠PDA+∠BPD＝360°； 如图，当点P在AD的延长线与y轴的交点T上方时， ∵∠EBO＝∠BEG+∠EGB， 又∵BE∥AD， ∴∠BEG＝∠GDT， 由对顶角相等得∠EGB＝∠TGD， ∵∠PTD＝∠TGD+∠TDG， ∴∠PTD＝∠EBO， ∵∠PDA＝∠PTD+∠TPD， ∴∠PDA＝∠EBO+∠BPD， 综上所述，当点P在点B的下方时，∠EBO+∠PDA﹣∠BPD＝180°；当点P在B与AD的延长线与y轴的交点之间时，∠EBO+∠PDA+∠BPD＝360°；当点P在AD的延长线与y轴的交点T上方时，∠PDA＝∠EBO+∠BPD． 24．（2024春•金平区期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，2），（4，0），现将点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A的对应点C． （1）连接AC，AB，点C的坐标为 　（﹣2，0）　 ，三角形ABC的面积为 　6　 ； （2）如图2，点D（3，3），若点P在x轴上，直线DP将四边形ACBD的面积分成3：8两部分，求点P的坐标； （3）点P（1，m）是一动点，若三角形PAB的面积是三角形AOB面积的，求m的值． 【分析】（1）根据点的坐标和平移方式，得到点C坐标，进而得到BC＝6，即可求出三角形ABC的面积； （2）过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，根据各点坐标，得出S△AFD＝S△BED，从而求出四边形ACBD的面积＝S△AOC+S正方形OEDF＝11，设P点坐标（x，0），则BP＝4﹣x，再分两种情况讨论，利用三角形面积公式列方程求解即可； （3）由题意可知，S△PAB＝5，点P在直线x＝1上运动，分两种情况讨论：当点P在第四象限时；当点P在第一象限时，表示出各个线段的长，再利用割补法分别表示出三角形PAB的面积，求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵A（0，2），点C由点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位得到， ∴点C的坐标为（0﹣2，2﹣2）， 即（﹣2，0）， ∵B（4，0）， ∴BC＝4﹣（﹣2）＝6， ∴三角形ABC的面积为BC•OA6×2＝6， 故答案为：（﹣2，0），6； （2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F， ∵D（3，3），A（0，2），B（4，0），C（﹣2，0）， ∴OA＝OC＝2，DE＝DF＝3，OB＝4，OE＝OF＝3， ∴AF＝BE＝1， ∴S△AFD＝S△BED， ∴四边形ACBD的面积＝S△AOC+S四边形AOED+S△BED＝S△AOC+S四边形AOED+S△AFD＝S△AOC+S正方形OEDFOC•OА+DЕ•DF2×2+3×3＝11， 设P点坐标（x，0）， 则BP＝4﹣x， ∵直线DP将四边形ACBD的面积分成3：8两部分， ①当S四边形ACPD：S△BDP＝3：8时， 此时S△BDP＝8， ∴BP•DE（4﹣x）×3＝8， 解得：x， ∴P点坐标为（，0）； ②S四边形ACPD：S△BDP＝8：3时， 此时S△BDP＝3， ∴BP•DE（4﹣x）×3＝3， 解得：x＝2， ∴P点坐标为（2，0）； 综上可知，直线DP将四边形AcBD的面积分成3：8 两部分，点P的坐标为（，0）或（2，0）； （3）∵OA＝2，OB＝4， ∴S△AOBOB•OA4×2＝4， ∴三角形PAB的面积是三角形AOB面积的， ∴S△PABS△AOB＝5， ∵点P（1，m）是一动点， ∴点P在直线x＝1上运动， ①如图，当点P在第四象限时，过点B作直线l∥y轴，过点A作AE⊥于点E，过点P作FG∥x轴交y轴于点E，交直线l于点G， ∵AE＝OB＝FG＝4，BE＝OA＝2，PF＝1，PG＝3，OF＝BG＝﹣m，AF＝2﹣m， ∴S△PAB＝4（2﹣m）2×41×（2﹣m）3×（﹣m）＝5， 解得：m＝﹣1； ②当点P在第一象限时， 同理可得：S△PNB＝4m1×（m﹣2）3m＝5， 解得：m＝4， 综上可知，三角形PAB的面积是三角形AOB面积的，m的值为﹣1或4． 25．（2024春•恩平市期末）【阅读材料】： 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：K（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：K（1，2）＝a+2b；K（﹣2，3）＝﹣2a+3b． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足x+y＝8，求2x+3y的范围”，有如下解法： ∵x+y＝8， ∴x＝8﹣y， ∵x，y是非负数， ∴x≥0即8﹣y≥0，∴0≤y≤8， ∵2x+3y＝2（8﹣y）+3y＝16+y，∴16≤16+y≤24，∴16≤2x+3y≤24． 已知：K（1，2）＝7；K（﹣2，3）＝0． 【回答问题】： （1）求出a，b的值； （2）已知x，y均为非负数，x+2y＝10，求4x﹣y的取值范围； （3）（1）的条件下，已知x，y，z都为非负数，K（x，z）＝3+x，，求W＝x﹣3y+4z的最大值和最小值． 【分析】（1）根据K（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），K（1，2）＝7；K（﹣2，3）＝0，得，解此方程组可得a，b的值； （2）由x+2y＝10得x＝10﹣2y，根据x，y均为非负数得x≥0，y≥0，则10﹣2y≥0，进而得0≤y≤5，而4x﹣y＝4（10﹣2y）﹣y＝40﹣9y，然后根据0≤y≤5，利用不等式的性质得﹣5≤40﹣9y≤40，由此即可得出4x﹣y的取值范围； （3）依题意得a＝3，b＝2，由K（x，z）＝3+x，K（x，1/2y）＝4﹣3x，得3x+2z＝3+x，3x+y＝4﹣3x，即z＝1.5﹣x，y＝4﹣6x，根据x，y，z都为非负数得x≥0，y≥0，z≥0，则，解此不等式组得，而W＝x﹣3y+4z＝x﹣3（4﹣6x）+4（1.5﹣x）＝15x﹣6，然后根据，利用不等式的性质得﹣6≤15x﹣6≤4，由此可得W的最大值和最小值． 【解答】解：（1）∵K（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），K（1，2）＝7；K（﹣2，3）＝0， ∴，解得：； （2）∵x+2y＝10， ∴x＝10﹣2y， ∵x，y均为非负数， ∴x≥0，y≥0， ∴10﹣2y≥0，即y≤5， ∴0≤y≤5， ∵x＝10﹣2y， ∴4x﹣y＝4（10﹣2y）﹣y＝40﹣9y， ∵0≤y≤5， ∴﹣45≥﹣9y≤0， ∴40﹣45≤40﹣9y≤40， 即﹣5≤40﹣9y≤40， ∴﹣5≤4x﹣y≤40； （3）∵在（1）的条件下， ∴a＝3，b＝2， ∵K（x，z）＝3+x，K（x，1/2y）＝4﹣3x， ∴3x+2z＝3+x，3x+y＝4﹣3x， ∴z＝1.5﹣x，y＝4﹣6x， ∵x，y，z都为非负数， ∴x≥0，y≥0，z≥0， ∴1.5﹣x≥0，4﹣6x≥0，解得：x≤2/3， ∴， ∵z＝1.5﹣x，y＝4﹣6x， ∴W＝x﹣3y+4z＝x﹣3（4﹣6x）+4（1.5﹣x）＝15x﹣6， ∵， ∴0≤15x≤10， ∴﹣6≤15x﹣6≤4， 即﹣6≤W≤4， ∴W的最大值为4，最小值为﹣6． 26．（2024春•滨海新区期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（m，0），B（n，4），C（5，0），且满足|2m+n|+（m﹣n+6）2＝0，线段AB交y轴于点F． （Ⅰ）求出点A，B的坐标； （Ⅱ）如图2，点D是y轴正半轴上的一点，若DB∥AC，∠BAC＝α，AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AMD（用含α的代数式表示）； （Ⅲ）如图3，坐标轴上是否存在一点P（点C除外），使得三角形ABP的面积和三角形ABC的面积相等？若存在，请宜接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性得出关于m，n的二元一次方程组，解方程组δ求出m，n即可得到点A、B的坐标； （2）作MN∥AC，可得MN∥AC∥DB，利用平行线的性质求出∠DMN＝∠BDM＝45°，∠AMN＝∠MAC＝α，然后根据∠AMD＝∠AMN+∠DMN计算即可； （3）连接OB，由S△AOF+S△BOF＝S△AOB，可得F（0，），求出S△ABC＝14，然后分情况讨论：①当点P在y轴上时，②当点P在x轴上时，分别根据△ABP面积和△ABC面积相等列方程求解，即可得出P点的坐标． 【解答】解（1）：∵|2m+n|+（m﹣n+6）2＝0， ∴， 解得， ∴A（﹣2，0），B（4，4）； （2）∵DB∥AC， ∴DB⊥y轴，即∠BDO＝90°， ∵AM、DM别平分∠CAB，∠ODB， ∴∠MACa，∠BDM＝45°， 如图，作MN∥AC， ∴MN∥AC∥DB， ∴∠DMN＝∠BDM＝45°，∠AMN＝∠MACa， ∴∠AMD＝∠AMN+∠DMNa+45°； （3）坐标轴上存在一点P（点C除外），使得三角形ABP的面积和三角形ABC的面积相等；理由如下： 根据题意，得AO＝2，DO＝DB＝4，OC＝5， ∴AC＝5+2＝7， ∴S△ABC7×4＝14； ①当点P在y轴上时， 如图，连接OB，根据题意，得AO＝2，DO＝DB＝4， 设F（0，h）， ∵S△AOF+S△BOF＝S△AOB， ∴2×hh×42×4， 解得h， ∴F（0，）； 设P（0，p），则PF＝|p|， ∵△ABP面积和△ABC面积相等， ∴S△ABP•|p|×[4﹣（﹣2）]＝14， 解得：p＝6或， ∴点P坐标为（0，6）或（0，）； ②当点P在x轴上时，设P（e，0），则AP＝|e﹣（﹣2）|＝|e+2|， ∵△ABP面积和△ABC面积相等， ∴S△ABP•|e+2|×4＝14， 解得：e＝5（不合题意，舍去）或﹣9， ∴点P坐标为（﹣9，0）， 综上，P点的坐标为（0，6）或（0，）或（﹣9，0）． 27．（2024春•河东区期末）在平面直角坐标系中，线段AB上有一点C，已知A（a，0），B（1，b），C（0，3），a，b满足|a+3|+（b﹣4）2＝0． （1）如图1，若点P（0，m）在线段OC上，且三角形ABP的面积为3，求点P的坐标； （Ⅱ）如图2，将（Ⅰ）中线段AB水平向左平移一个单位，得到线段A1B1，点C随AB也向左移动了一个单位，对应点为C1，点P（0，m）在y轴上运动，请用含m的代数式表示三角形A1C1P的面积（m≠4），并求出当三角形A1C1P面积等于6时，m的值； （Ⅲ）如图3，在（Ⅰ）的条件下，过点B的直线BD交x轴于D（4，0），过点A作BD的平行线l，点Q是直线l上的动点，且三角形ABQ的面积等于ABD面积的，直接写出点Q的纵坐标的所有可能的取值. 【分析】（1）过B作BH⊥y轴于H，由|a+3|+（b﹣4）2＝0，可得a＝﹣3，b＝4，A（﹣3，0），B（1，4），根据三角形ABP的面积为3，得（3﹣m）×3（3﹣m）×1＝3，m，故P（0，）； （2）当m＜4时，B1P＝4﹣m，可得三角形A1C1P的面积为（4﹣m）×4（4﹣m）×1m+6；当三角形A1C1P面积等于6时，m+6＝6，m＝0，故P（0，0）；当m＞4时，同理可得三角形A1C1P的面积为（m﹣4）×4（m﹣4）×1m﹣6；当三角形A1C1P面积等于6时，m﹣6＝6，m＝8，故P（0，8）； （3）作B（1，4）关于x轴的对称点B'（1，﹣4），连接BB'交x轴于M，过Q作QT⊥x轴于T，连接B'D，求出△ABD面积为7×4＝14，三角形ABQ的面积等于，由A（﹣3，0），B（1，4），可得△ABM是等腰直角三角形，故△AB'M是等腰直角三角形，AB'＝4，△AB'D的面积为14，知三角形ABQ的面积等于AB'D面积的，可得AQAB'，从而AT＝QT，即可得Q（，）；同理可得Q'（，）． 【解答】解：（1）过B作BH⊥y轴于H，如图， ∵|a+3|+（b﹣4）2＝0， ∴a+3＝0，b﹣4＝0， ∴a＝﹣3，b＝4， ∴A（﹣3，0），B（1，4）， ∵C（0，3）， ∴OA＝OC＝3，BH＝CH＝1， ∴∠ACO＝∠BCH＝45°， ∴C在线段AB上， ∵点P（0，m）在线段OC上， ∴PC＝3﹣m， ∵三角形ABP的面积为3， ∴（3﹣m）×3（3﹣m）×1＝3， 解得m， ∴P（0，）； （2）当m＜4时，如图： 根据题意可得：A1（﹣4，0），B1（0，4），C1（﹣1，3）， ∴B1P＝4﹣m， ∴三角形A1C1P的面积为（4﹣m）×4（4﹣m）×1m+6； 当三角形A1C1P面积等于6时，m+6＝6， 解得m＝0， ∴P（0，0）； 当m＞4时，如图： ∴B1P＝m﹣4， ∴三角形A1C1P的面积为（m﹣4）×4（m﹣4）×1m﹣6； 当三角形A1C1P面积等于6时，m﹣6＝6， 解得m＝8， ∴P（0，8）； 综上所述，当m＜4时，三角形A1C1P的面积为m+6，若三角形A1C1P面积等于6，P的坐标为（0，0）；当m＞4时，三角形A1C1P的面积为m﹣6，若三角形A1C1P面积等于6，P的坐标为（0，8）； （3）作B（1，4）关于x轴的对称点B'（1，﹣4），连接BB'交x轴于M，过Q作QT⊥x轴于T，连接B'D，如图： ∵A（﹣3，0），B（1，4），D（4，0）， ∴AD＝7，BM＝4， ∴△ABD面积为7×4＝14， ∵三角形ABQ的面积等于ABD面积的， ∴三角形ABQ的面积等于， ∵A（﹣3，0），B（1，4）， ∴AM＝BM＝4， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴∠BAM＝45°， ∵B，B'关于x轴对称， ∴∠B'AM＝45°，BM＝B'M＝4， ∴△AB'M是等腰直角三角形，AB'＝4，△AB'D的面积为14， ∴三角形ABQ的面积等于AB'D面积的， ∵直线l∥BD， ∴AQAB'， ∵∠B'AM＝45°，∠ATQ＝90°， ∴△ATQ是等腰直角三角形， ∴AT＝QT， ∴OT＝OA﹣AT＝3， ∴Q（，）； 同理可得Q'（，）， ∴点Q的纵坐标可能的取值为或． 28．（2024春•河北区校级期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点C的坐标为（2，3），连接AB．若a，b满足．平移线段AB，使点A与点C重合，点B对应点为点D． （1）填空：a＝　4　 ，b＝　﹣2　 ，点D的坐标为 　（﹣2，1）　 ； （2）如图2，延长线段AB至点E（m，n）．连接OE，请利用△BOE，△AOB，△AOE的面积关系，求出m，n满足的关系式； （3）过点D作射线DF∥x轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，连接OP，BP，BP交x轴于点Q，设运动时间为t秒，△POQ的面积为S，若，求t的取值范围． 【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b的值，进而根据平移的性质得出从A到C的平移方式是，先左平移2个单位，再向上平移3个单位，即可得出D点坐标； （2）延长线段AB至点E（m，n），则E在第三象限，则m＜0，n＜0，过点E作EF⊥y轴于点F，得到AO＝4，BO＝2，OF＝﹣n，EF＝﹣m，进而分别表示出三个三角形的面积，根据S△AOE＝S△AOB+S△BOE即可求解； （3）根据S△BOP＝S△OQP+S△OQB得出，进而根据得出表达式，解不等式，即可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴a﹣4＝0，b+2＝0， 解得：a＝4，b＝﹣2， ∴A（4，0），B（0，﹣2）， ∵平移线段AB，使点A与点C重合，点B对应点为点D、点C的坐标为（2，3）， ∴AB∥CD，AB＝CD， 从A到C的平移方式是：先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 将B（0，﹣2）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到D（0﹣2，﹣2+3），即D（﹣2，1）， 故答案为：4，﹣2，（﹣2，1）； （2）如图2，延长线段AB至点E（m，n），则E在第三象限，则m＜0，n＜0，过点E作EF⊥y轴于点F， ∵A（4，0），B（0，﹣2），E（m，n）， ∴AO＝4，BO＝2，OF＝﹣n，EF＝﹣m， ∴， ， ， ∵S△AOE＝S△AOB+S△BOE， ∴﹣2n＝4﹣m， 即m＝2n+4； （3）如图3所示： ∵D（﹣2，1）， 依题意得：PD＝2t，则P（﹣2+2t，1），OF＝1， ∴B（0，﹣2）， ∴OB＝2， ∵S△BOP＝S△OQP+S△OQB， ∴， ∴， ∴， ∴s， ∴，即﹣2+2t≤﹣1或﹣2+2t≥1， 解得：或． 29．（2024春•甘井子区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点M（x，y），若点N坐标为（x+2a，﹣y﹣2a），其中a为常数，我们称点M与点N是等距平移点． 例如：当a＝0时，如图，点M（3，2）的等距平移点N为（3，﹣2）． （1）①当a＝﹣1时，点M坐标为（4，3），则它的等距平移点N的坐标为 　（2，﹣1）　 ； ②若点M坐标为（﹣2，1），它的等距平移点N的坐标为（4，﹣7），则a＝　3　 ； （2）若点M在x轴上，且它的等距平移点N的坐标为（﹣2a+1，﹣9+4a） ①求△OMN的面积； ②若存在一点A（2，t），使△AMN的面积不大于△OMN面积的一半，请直接写出t的取值范围 　t，且t≠﹣7　 ； （3）当时，点M（x，y1）的等距平移点是N（x+2a，y2），若y1﹣y2＝2，且其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值． 【分析】（1）①掌握等距平移点的定义计算即可． ②掌握等距平移点的定义计算即可． （2）①由等距平移点的定义得0﹣2a＝﹣9+4a，再计算即可． ②由△AMN的面积不大于△OMN面积的一半，再计算即可． （3）由等距平移点的定义得﹣y1﹣2a＝y2，又y1﹣y2＝2，故y1＝1﹣a，y2＝﹣1﹣a，由一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，再分类计算即可． 【解答】解：（1）①∵a＝﹣1，M（4，3）， ∴4+2×（﹣1）＝2，﹣3﹣2×（﹣1）＝﹣1， ∴N（2，﹣1）． ②∵M（﹣2，1），N（4，﹣7）， ∴﹣2+2a＝4， ∴a＝3． 故答案为：N（2，﹣1），3． （2）①设M（x，0）， ∵N（﹣2a+1，﹣9+4a）， ∴0﹣2a＝﹣9+4a， ∴a． ∴x+2a＝﹣2a+1， ∴x＝﹣5， ∴M（﹣5，0）， ∴△OMN面积5×3． ②∵△AMN的面积不大于△OMN面积的一半， ∴[﹣2﹣（﹣5）]， ∴t，且t≠﹣7． （3）∵M（x，y1）的等距平移点是N（x+2a，y2）， ∴﹣y1﹣2a＝y2， 又y1﹣y2＝2， ∴y1＝1﹣a，y2＝﹣1﹣a， ∵一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍， ∴2或2， 当1﹣a＝2（﹣1﹣a）时， a． 当1﹣a＝﹣2（﹣1﹣a）时， a＝﹣3． 当2（1﹣a）＝﹣1﹣a时， a． 当2（1﹣a）＝﹣（﹣1﹣a）时， a＝3， ∵ ∴x≥8.5，或x≤2.5，无解． 综上所述，a或﹣3或． 30．（2024春•如皋市期末）如图，AC⊥BC，C为垂足，过A点的直线MN∥BC，D为直线BC上方一点（不在直线AC上），连接CD，∠BCD的平分线CE交MN于点E． （1）求证：∠AEC＝∠DCE； （2）若点D在直线MN上，∠ADC＝70°，求∠ACE的度数； （3）当点D在直线MN的上方时，连接AD，若∠DAC的平分线所在的直线与射线CE相交于点P，请探究∠ADC与∠APC之间的数量关系． 【分析】（1）由MN∥BC得∠AEC＝∠BCE，由CE平分∠BCD得∠BCE＝∠DCE，由此可得出结论； （2）若点D在直线MN上，则∠FCD＝∠ADC＝70°，∠DAC＝∠ACB＝90°，进而得∠ACD＝20°，∠BCD＝110°，根据CE平分∠BCD得∠ECD＝55°，由此可得∠ACE的度数； （3）分以下两种情况讨论：①当点D在直线AC的右边时，设∠PCB＝α，∠CAM＝β，由角平分线定义得∠PCD＝∠PCD＝α，∠CAD＝2∠CAM＝2β，则∠PCA＝90°﹣α，∠PAC＝180°﹣β，进而得∠ACD＝2α﹣90°，由三角形内角和定理得∠APC+∠PAC+∠PCA＝180°，∠ADC+∠ACD+∠CAD＝180°，即α+β＝∠APC+90°，2（α+β）＝90°﹣∠ADC，由此可得出∠ADC与∠APC之间的数量关系；②当点D在直线AC的左边时，∠PCB＝α，∠CAP＝β，由角平分线定义得∠BCP＝∠DCP＝α，∠BCD＝2∠PCB＝2α，∠DAC＝2∠CAP＝2β，则∠PCA＝90°﹣α，∠ACD＝90°﹣2α，由三角形内角和定理得∠APC+∠PCA+∠CAP＝180°，∠ADC+∠ACD+∠DAC＝180°，即α﹣β＝∠APC﹣90°，∠ADC﹣2（α﹣β）＝90°，由此可得出∠ADC与∠APC之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵MN∥BC， ∴∠AEC＝∠BCE， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴∠AEC＝∠DCE； （2）当点D在MN上时，∠ADC＝70°，有以下两种情况： ①当点D在点A左侧时，如图1所示： ∵MN∥BC，AC⊥BC，∠ADC＝70°， ∴∠FCD＝∠ADC＝70°，∠DAC＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝20°，∠BCD＝180°﹣∠FCD＝110°， ∵CE平分∠BCD， ∴∠ECD∠BCD＝55°， ∴∠ACE＝∠ECD﹣∠ACD＝55°﹣20°＝35°； ②当点D在点A右侧时，如图2所示： ∵MN∥BC，AC⊥BC，∠ADC＝70°， ∴∠BCD＝∠ADC＝70°，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝20°， ∵CE平分∠BCD， ∴∠ECD∠BCD＝35°， ∴∠ACE＝∠ECD+∠ACD＝35°+20°＝55°． 综上所述：∠ACE的度数是35°或55°； （3）∵点D在直线MN的上方， ∴有以下两种情况： ①当点D在直线AC的右边时，如图3所示： 设∠PCB＝α，∠CAM＝β， ∴CE平分∠BCD，AM平分∠DAC， ∴∠PCD＝∠PCD＝α，∠CAD＝2∠CAM＝2β， ∵∠DAC＝∠ACB＝90°， ∴∠PCA＝90°﹣∠PCB＝90°﹣α，∠PAC＝180°﹣∠CAM＝180°﹣β， ∠ACD＝∠PCD﹣∠PCA＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°， ∵∠APC+∠PAC+∠PCA＝180°，∠ADC+∠ACD+∠CAD＝180°， ∴∠APC+180°﹣β+90°﹣α＝180°，∠ADC+2α﹣90°+2β＝180°， ∴α+β＝∠APC+90°，2（α+β）＝90°﹣∠ADC， ∴2（∠APC+90°）＝90°﹣∠ADC， ∴∠ADC+2∠APC＝90°； ②当点D在直线AC的左边时，如图4所示： ∠PCB＝α，∠CAP＝β， ∵CE平分∠BCD，AM平分∠DAC， ∴∠BCP＝∠DCP＝α，∠BCD＝2∠PCB＝2α，∠DAC＝2∠CAP＝2β， ∵∠ACB＝90°， ∴∠PCA＝90°﹣∠PCB＝90°﹣α，∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣2α， ∵∠APC+∠PCA+∠CAP＝180°，∠ADC+∠ACD+∠DAC＝180°， ∴∠APC+90°﹣α+β＝180°，∠ADC+90°﹣2α+2β＝180°， ∴α﹣β＝∠APC﹣90°，∠ADC﹣2（α﹣β）＝90°， ∴∠ADC﹣2（APC﹣90°）＝90°， ∴2∠APC﹣∠ADC＝90°． 综上所述：∠ADC与∠APC之间的数量关系是2∠APC+∠ADC＝90°或2∠APC﹣∠ADC＝90°． 31．（2024春•鞍山期末）为庆祝“六一”儿童节，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子，经调查，已知2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元． （1）求每条跳绳和每只毽子的价格各是多少元？ （2）学校预购买跳绳与毽子共50个，其中跳绳不能少于10条，若学校预算经费不能超过600元，请通过计算策划购买方案； （3）商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一：（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二：（买一赠一） 买一条跳绳赠送一只毽子 根据（2）中的购买方案，选用哪一种优惠活动更合适？ 【分析】（1）设每条跳绳x元，每只毽子y元，根据2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元，列出方程组进行求解即可； （2）设学校购买跳绳m条，根据学校预算经费不能超过600元，列出不等式进行求解即可； （3）分别表示出两种方案所需的费用，进行比较即可． 【解答】解：（1）设每条跳绳x元，每只毽子y元，根据题意得， ， 解得， ∴每条跳绳25元，每只毽子8元； （2）设学校购买跳绳m条， 则25m+8（50﹣m）≤600， 解得， ∵m≥10， ∴m取10或11，购买方案是：购买跳绳10条，毽子40只或跳绳11条，毽子39只； （3）活动一：25×0.9×m+8×0.85（50﹣m）＝15.7m+340， 活动二：25m+8（50﹣m﹣m）＝9m+400， 若15.7m+340＞′9m+400， 解得m＞8， ∴选择优惠活动二更合适． 32．（2024春•湛江校级期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m2．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过a m2，在（2）的前提下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为（60﹣m）个，根据“不超过16.3万元的资金，地下充电桩的数量不少于40个”列不等式组求解即可； （3）由总占地面积不得超过a m2得3m+60﹣m≤a，解得，结合m≥17知17≤m，再依据“仅有两种方案可供选择”，得，解之即可． 【解答】解：（1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， 依题意得，， 解得， 答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元． （2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为（60﹣m）个， 由题意得， 解得17≤m≤20， ∴整数m的值为17，18，19，20． 一共有4种方案，分别为： 方案①新建17个地上充电桩，43个地下充电桩； 方案②新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案③新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案④新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． （3）由题意可得3m+60﹣m≤a，解得， 由（2）知m≥17， ∴17≤m， ∵仅有两种方案可供选择， ∴， 解得96≤a＜98， 因此，a的取值范围为96≤a＜98． 33．（2024春•和县期末）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为20%，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． （1）该店销售记录显示，四月份销售A、B两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出A、B两种品牌的儿童床的数量； （2）根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的70%，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： （3）在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的10%用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 【分析】（1）根据“销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同”列方程求解； （2）根据“购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的70%，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元”列不等式组求解； （3）根据“所捐的钱恰好用完”列方程求正整数解． 【解答】解：A种儿童床的进价为：4200÷（1+0.2）＝3500（元），B儿童床的售价为：4200×（1）＝5250（元）， （1）设该店四月份售出A种品牌的儿童床的数量x张， 则：（4200﹣3500）x＝（5250﹣4200）（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴20﹣x＝8， 答：该店四月份售出A种儿童床12张，B种品牌的儿童床8张； （2）设该店五月份计划购进A种儿童床a张， 则：， 解得：15， ∴a的正整数解为：16，17， ∴有两种进货方案：①进A种儿童床16张，B种儿童床14张， ②进A种儿童床17张，B种儿童床13张； （3）设该店捐赠甲m台，乙款仪器n台， 当按照方案①进货时：0.1×[（4200﹣3500）×16+（5250﹣4200）×14]＝300m+130n， 方程的正整数解为：， 当按照方案②进货时：0.1×[（4200﹣3500）×17+（5250﹣4200）×13]＝300m+130n， 方程无正整数解， ∴该店捐赠甲3台，乙款仪器13台． 34．（2024春•潮南区期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． （1）求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ （2）若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？ （3）若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可； （2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可； （3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解． 【解答】解：（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得：， 解得：， 答：购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元． （2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，根据题意得， 解得：60≤x≤64， ∵x为正整数， ∴x＝60，61，62，63，64， 当x＝60时，， 当x＝61时，，不是整数，不符合题意，舍去， 当x＝62时，， 当x＝63时，，不是整数，不符合题意，舍去， 当x＝64时，， 答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根； （3）∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元， 由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根，则利润为60×3+20×4＝260； 方案②：购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根，则利润为62×3+19×4＝262； 方案③：购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根，则利润为64×3+18×4＝264； ∵260＜262＜264， ∴方案③：购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根，获利最大，最大利润是元． 35．（2024春•九龙坡区校级期末）小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、1.5元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并且，当卖出特色文化书签20个和特色中性笔30支时，获得总利润90元． （1）求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？ （2）校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为900，并且投入的总成本不超过1200元，获得的总利润不少于1648元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？ （3）义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了150元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足40≤a≤50，则a的值可能为多少？说明理由． 【分析】（1）设每个特色文化书签的售价是x元，则每支特色中性笔的售价是（x+1）元，根据“当卖出特色文化书签20个和特色中性笔30支时，获得总利润90元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每个特色文化书签的售价），再将其代入（x+1）中，即可求出每支特色中性笔的售价； （2）设制作y个特色文化书签，则制作（900﹣y）支特色中性笔，根据“投入的总成本不超过1200元，获得的总利润不少于1648元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各制作方案； （3）根据获得的总利润及售出特色文化书签的数量，可得出售出（75a）支特色中性笔，结合a，b均为正整数且40≤a≤50，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每个特色文化书签的售价是x元，则每支特色中性笔的售价是（x+1）元， 根据题意得：20（x﹣1）+30（x+1﹣1.5）＝90， 解得：x＝2.5， ∴x+1＝2.5+1＝3.5． 答：每个特色文化书签的售价是2.5元，每支特色中性笔的售价是3.5元； （2）设制作y个特色文化书签，则制作（900﹣y）支特色中性笔， 根据题意得：， 解得：300≤y≤304， 又∵y为正整数， ∴y可以为300，301，302，303，304， ∴共有5种制作方案， 方案1：制作300个特色文化书签，600支特色中性笔； 方案2：制作301个特色文化书签，599支特色中性笔； 方案3：制作302个特色文化书签，598支特色中性笔； 方案4：制作303个特色文化书签，597支特色中性笔； 方案5：制作304个特色文化书签，596支特色中性笔； （3）∵获得了150元的利润，且售出a个特色文化书签， ∴售出（75a）支特色中性笔． ∵a，（75a）均为正整数，且40≤a≤50， ∴a＝40或44或48． 答：a的值可能为40或44或48． 36．（2024春•思明区校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，c），B（b，3）． （1）若a＝b+3，c是的整数部分，则AB＝　3　 ． （2）将A（a，c），B（b，3）平移后得到C（c﹣m，m﹣c），D（﹣7，2c﹣21），且2b+3m＝6，a＝c，求AD与BC的位置关系． （3）若a＞0，0＜t＜3，设B（﹣2t，3），点P（0，t），连接AP，BP，AB，AB交y轴于点M，且2PM＝OP，S△APM＝S△BOM，若存在a的值，使得S△ABP＞8，求t的取值范围． 【分析】（1）先利用放缩法求出的整数部分，可得A（b+3，3），则AB＝b+3﹣b＝3； （2）根据平移前后坐标列方程组，结合2b+3m＝6，a＝c求出a，b，c，m的值，进而得出A，B，C，D的坐标，结合坐标系可得答案； （3）分点M在线段OP上、点M在线段OP的延长线上两种情况，利用2PM＝OP，S△APM＝S△BOM 列方程用t表示出a，再根据S△ABP＞8列不等式，结合0＜t＜3即可求出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴c＝3， ∵a＝b+3， ∴A（b+3，3）， ∴AB＝b+3﹣b＝3， 故答案为：3； （2）∵将A（a，c），B（b，3）平移后得到C（c﹣m，m﹣c），D（﹣7，2c﹣21）， ∴， ∵a＝c， ∴①可变形为m＝7+b， 将m＝7+b和2b+3m＝6联立得， 解得， 将m＝4代入②， 解得c＝7， ∴a＝c＝7， ∴A（7，7），B（﹣3，3），C（3，﹣3），D（﹣7，﹣7）， ∵A，D关于O点对称，B，C关于O点对称， ∴AD，BC相交于点O， ∵点A到x轴与y轴的距离相等， ∴∠AOM＝45°， ∵点B到x轴与t轴的距离相等， ∴∠BOM＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴AD⊥BC； （3）分两种情况，当点M在线段OP上时，如图2所示： ∵P（0，t），2PM＝OP， ∴OP＝t，， ∵S△APM＝S△BOM ∴，即 解得a＝2t， ∵S△ABP＞8 ∴，即 解得或 ∵0＜t＜3， ∴； 当点M在线段OP的延长线上时，如图3所示： ∵P（0，t），2PM＝OP， ∴OP＝t，，， ∵S△APM＝S△BOM， ∴，即， 解得a＝6t， ∵S△ABP＞8， ∴，即， 解得t＞2或t＜﹣2， ∵0＜t＜3， ∴2＜t＜3； 由或2＜t＜3可得t的取值范围为2＜t＜3． 37．（2024春•长沙期末）不妨约定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数，且abc≠0）， 若系数满足a+b＝2c，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程4x+2y＝3，其中a＝4，b＝2，c＝3，满足a+b＝2c，且abc≠0，则方程4x+2y＝3是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ①4x+y＝10 　不是　 ；② 　是　 ．③x﹣y＝0 　不是　 ； （2）若关于x，y的“开心”方程组的解为，求p﹣q的值． （3）关于x，y的“开心”方程组满足n＜k≤m，其中n，m，k为整数，t为常数且t+6≠0，求m的值，并求此“开心方程组”的解． 【分析】（1）根据“开心”方程的定义求解即可； （2）解方程组得，代入原方程组得，求出p﹣q＝0； （3）根据“开心”方程的定义将方程组整理为，解得，由n＜k≤m求得m＝2，得到代入原方程可求解， 【解答】解：（1）对于方程4x+y＝10，a＝4，b＝1，c＝10， ∵a+b＝5≠2×10＝2c， ∴方程4x+y＝10不是开心方程； 对于方程，， ∵ ∴方程是开心方程； 对于方程x﹣y＝0，c＝0，所以，方程x﹣y＝0不是开心方程； 故答案为：不是；是；不是； （2）由题意可知：， 解得：， 将代回原方程组得：， 由①+②得：， ∵， ∴p﹣q＝0； （3）由题可知：， 化简可得：． 解得， ∵n＜k≤m， ∴2﹣3m＜2m﹣2≤m， 解得， ∵m为整数， ∴m＝1或2 根据新定义，所以舍去1，则m＝2， ∴， 代入原方程得：， 消去y化简可得2（t+6）x＝t+6； ∵t≠﹣6， 所以：“开心方程组”的解为． 38．（2024春•开福区校级期末）我们约定：不等式组m＜x＜n，m＜x≤n，m≤x＜n，m≤x≤n的“长度”均为d＝n﹣m，（m＜n），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：﹣2＜x≤2的“长度”d＝2﹣（﹣2）＝4，“整点”为x＝﹣1，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”d＝　2　 ；“整点”为 　﹣1，0　 ； （2）若不等式组的“长度”d＝2，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求得不等式的解，然后根据约定求得d和“整点”． （2）求得不等式的解集，根据约定即可求解． （3）求得不等式的解集，根据约定即可求解． 【解答】解：（1）解不等式组，得﹣1.5＜x≤0.5， ∴不等式组的“长度”d＝0.5﹣（﹣1.5）＝2， 整点”为x＝﹣1，0． 故答案为：2；﹣1，0； （2）解不等式得（2a﹣1）x＜8， 当2a﹣1＝0时，x可以是任意实数， 当2a﹣1＞0时，即a， 则不等式解为：x， ∵x的最大值为3， ∴3， 解得：， 当2a﹣1＜0时，即a， 则不等式解为：x， ∵x的最小值为1，1， 解得a， ∴a； 综上所述：a的取值范围为a； （3）存在；理由如下： 解不等式组， 当a≤1＜3时，不等式的解集为1≤x≤3， ∴d＝2，不符合d； 当a≤1时，不等式的解集为1， ∵d， ∴， 解得：a＝1， 当1时，不等式的解集为a＜x＜3， ∴3﹣a， 解得a，当a时，，不符合1， 当或a＞3，方程组无解， 综上所述，a＝1， ∴不等式组为， 解得：m﹣1＜y≤2m+1， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴m﹣1＜y≤1+2m， ∴d＝1+2m﹣m+1＝m+2， ∵有4个“整点”， ∴3＜m+2＜5，此时1＜m＜3，则0＜m﹣1＜2， 当1＜m＜2时，即0＜m﹣1＜1，要使有4个“整点”，则4≤2m+1＜5， 解得m＜2； 当2≤m＜3时，即1≤m﹣1＜2，有4个“整点”，则5≤2m+1＜6， 解得2≤m； 故m的取值范围是m． 39．（2024春•唐山期末）如图1，以直角三角形AOB的直角顶点O为原点，以OB、OA所在直线为x轴和y行轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），B（b，0）满足，点C为线段AB的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点M（x1，y1），N（x2，y2）为端点的线段中点坐标为 ． （1）点A的坐标为 　（0，4）　 ；点B的坐标为 　（﹣2，0）　 ；点C的坐标为 　（﹣1，2）　 ； （2）若一动点P从点B出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当△OCP的面积不小于△AOB面积的时，请求出t的取值范围； （3）如图2所示，作OD∥AB，点F是线段AB上一点，连接OF，∠AOF＝∠AOD．点E是线段OA上一动点，连接BE交OF于点G，请直接写出的值． 【分析】（1）根据非负数的性质得到b＝﹣2，a＝4，求得点A（0，4），点B（﹣2，0），根据中点坐标公式即可得到结论； （2）由题意得P（﹣2+2t，0），当0＜t≤1时，S△COP，求得CP＝t，OP＝4﹣t，OQ＝2t，AQ＝8﹣2t，得到S△DOPOP•yD（4﹣t）×4＝8﹣2t，S△DOQOQ•xD2t×2＝2t，根据题意列不等式即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到∠BAO＝∠AOD，求得∠AOF＝∠BAO，得到∠OEB＝∠BAO+∠ABE＝∠AOD+∠ABE，如图，过G点作AB的平行线，交x轴于P，则∠ABE＝∠PGB，PG∥OD，根据平行线的性质得到∠PGO＝∠GOD＝∠AOD+∠AOF，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵， ∴b＝﹣2，a＝4， ∴点A（0，4），点B（﹣2，0）， ∵点C为线段AB的中点． ∴点C（﹣1，2）， 故答案为：（0，4）；（﹣2，0）；（﹣1，2）； （2）由题意得P（﹣2+2t，0），S△AOB4， ∴当0＜t≤1时，S△COP， ∵点Q在线段AO上， 即 CP＝t，OP＝4﹣t，OQ＝2t，AQ＝8﹣2t， ∴S△DOPOP•yD（4﹣t）×4＝8﹣2t，S△DOQOQ•xD2t×2＝2t， ∵△OCP的面积不小于△AOB面积的， ∴2﹣2t4， ∴t； （3）的值不变，其值为，理由如下：如图2中， ∵∠AOF+∠BOF＝90°， ∵OD∥AB， ∴∠BAO＝∠AOD， ∵∠AOF＝∠AOD， ∴∠AOF＝∠BAO， ∴∠OEB＝∠BAO+∠ABE＝∠AOD+∠ABE， 如图，过G点作AB的平行线，交x轴于P，则∠ABE＝∠PGB，PG∥OD， ∴∠PGO＝∠GOD＝∠AOD+∠AOF， ∴∠OGB＝∠OGP+∠PGB＝∠DOF+∠ABE＝∠AOD+∠AOF+∠ABE， ∴． 40．（2024春•长沙期末）如图1，点E是直线AB上一点，F是直线CD上一点，AB∥CD． （1）求证：∠P＝∠PEA+∠PFC； （2）如图2，∠PFC＝∠PFQ，FQ与∠AEP的平分线交于点Q，与PE相交于点M，若∠EMF＝120°，求∠P+∠Q的度数； （3）如图3，EQ平分∠AEP，FM平分∠PFD，FN∥EQ，当∠P的大小不变时，下列结论：①∠PFC+∠NFD的度数不变；②∠MFN的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由． 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ，进而得∠1＝∠PEA，∠2＝∠PFC，则∠1+∠2＝∠PEA+∠PFC，由此可得出结论； （2）设∠AEQ＝α，∠PFC＝∠PFQ＝β，则∠CFQ＝2β，根据EQ平分∠AEP得∠AEQ＝∠PEQ＝α，∠AEP＝2α， 由（1）的结论得∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝α+2β，∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+β，∠EMF＝∠AEP+∠CFQ＝2α+2β，则∠P+∠Q＝3α+3β，120°＝2α+2β，由此可得∠P+∠Q的度数； （3）连接EF，设∠AEQ＝∠PEQ＝α，设∠MFN＝β，则∠AEP＝2α，根据AB∥CD，FN∥EQ得∠AEQ＝∠NFD＝α，则∠DFM＝a+β，根据FM平分∠PFD得∠PFD＝2（a+β），则∠PFC＝180°﹣2（a+β），由（1）的结论得∠P＝∠AEP+∠PFC，则β＝90°∠P，即∠MFN＝90°∠P，然后根据∠P的大小不变得∠MFN的大小不变，由此可得出答案． 【解答】（1）证明：过点P作PQ∥AB，如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PQ， ∴∠1＝∠PEA，∠2＝∠PFC， ∴∠1+∠2＝∠PEA+∠PFC， ∴∠EPF＝∠PEA+∠PFC； （2）解：如图2所示： 设∠AEQ＝α，∠PFC＝∠PFQ＝β， 则∠CFQ＝2β， ∵EQ平分∠AEP， ∴∠AEQ＝∠PEQ＝α，∠AEP＝2α， 由（1）的结论得：∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝α+2β，∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+β， ∴∠EMF＝∠AEP+∠CFQ＝2α+2β， ∵∠EMF＝120°， ∴∠P+∠Q＝3α+3β，120°＝2α+2β， ∴α+β＝60°， ∴∠P+∠Q＝180°； （3）解：结论②∠MFN的度数不变正确，理由如下：． 连接EF，如图3所示： ∵EQ平分∠AEP， ∴设∠AEQ＝∠PEQ＝α，设∠MFN＝β， ∴∠AEP＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠DFE①， ∵FN∥EQ， ∴∠QEF＝∠NFE②， ①﹣②得：∠AEF﹣∠QEF＝∠DFE﹣∠NFE， 即∠AEQ＝∠NFD＝α， ∴∠DFM＝∠NFD+∠MFN＝a+β， ∵FM平分∠PFD， ∴∠PFD＝2∠DFM＝2（a+β）， ∴∠PFC＝180°﹣∠PFD＝180°﹣2（a+β）， 由（1）的结论得：∠P＝∠AEP+∠PFC＝2α+180°﹣2（a+β）， ∴β＝90°∠P， 即∠MFN＝90°∠P， ∵∠P的大小不变， ∴∠MFN的大小不变． 故结论②正确； ∵∠PFC＝180°﹣2（α+β），β＝90°﹣1/2∠P， ∴∠PFC＝180°﹣2α﹣180°+∠P＝∠P﹣2α， 又∵∠NFD＝α， ∴∠PFC+∠NFD＝∠P﹣2α+α＝∠P﹣α， ∴∠PFC+∠NFD的度数随∠AEQ的度数的变化而变化， 故结论①不正确． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$