第十一章 不等式与不等式组章末培优测试卷（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

第十一章 不等式与不等式组章末测试卷 能力提升培优测 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：不等式与不等式组（人教版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）用适当的符号表示“x的3倍加上5不大于x的2倍减去4”，下列表示正确的是（　　） A．3（x+5）≤2（x﹣4） B．3（x+5）＜2（x﹣4） C．3x+5≤2x﹣4 D．3x+5＜2x﹣4 2．（3分）已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）已知关于x的不等式（n﹣1）x＞2﹣2n的解集为x＜﹣2，则n的取值范围是（　　） A．n＞1 B．n＜1 C．n≥1 D．n≠1 5．（3分）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 7．（3分）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么x的取值范围是（　　） A．23＜x≤47 B．11＜x≤23 C．7＜x≤11 D．3＜x≤7 8．（3分）已知三个实数a，b，c满足a+3b+c＝0，5a﹣3b+c＜0，则以下结论错误的是（　　） A．2a＜3b B．3a+c＜0 C．9b+2c＜0 D．9b+2c＞0 9．（3分）为丰富复学复课后学生的课间生活，某校筹集资金6000元，投资建设1500元一个的乒乓球场地、1200元一个的羽毛球场地和1000元一个的跳绳场地，已知建乒乓球场地不超过2个，则学校的建设方案有（　　）种． A．4 B．5 C．6 D．7 10．（3分）已知关于x的不等式组，有下列四个结论： ①若不等式组的解集是1＜x≤3，则a＝7； ②当a＝3时，不等式组无解； ③若不等式组的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13； ④若不等式组有解，则a＞3． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）用不等号填空，若a＞b，则 　 　 （填“＞”或“＜”）． 12．（3分）若关于x，y的方程组的解满足不等式x+2y＞0，则k的取值范围是　 　 ． 13．（3分）若关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜1，则（a﹣2）（b+1）＝　 　 ． 14．（3分）某商品进价为180元，标价为360元，商场要求以利润不低于20%的售价打折出售，则售货员出售该商品时，最低可以打　 　 折． 15．（3分）对于任意有理数a，用[a]表示不超过a的最大整数，则下列说法正确的是 　 　 ．（写出所有正确结论的序号） ①[﹣3.6]＝﹣4； ②若a为整数，则[a]＝a； ③[a]+[﹣a]＝0； ④若0＜a＜1，且，则[5a]＝3． 16．（3分）已知关于x、y的方程组．①当k＝0时，方程组的解也是3x﹣y＝k+5的解；②若2x+y≥8，则k≥﹣1；③若y≥0，则x≥3；④无论k取何值，x、y的值都不可能互为相反数．以上结论正确的是　 　 ．（只填序号） 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解不等式（组），并把解集表示在数轴上． （1）． （2）． 18．（8分）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： （1）①若A﹣B＞0，则A 　 　 B； ②若A﹣B＝0，则A 　 　 B； ③若A﹣B＜0，则A 　 　 B． （2）请比较4+3a2﹣2b+b2与2a2﹣2b+1的大小． 19．（8分）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求代数式m2﹣2m+2025的值． 20．（8分）已知方程组的解满足x为正数，y为非负数． （1）求m的取值范围； （2）若不等式（2m﹣1）x﹣2m＜﹣1的解为x＞1．求m的整数值． 21．（8分）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：2x+4＝2的解为的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝﹣1在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x+4＝2是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①4x﹣5＝x+7，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组的“子方程”是 　 　 （填序号）； （2）者关于x的方程2x﹣k＝4是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； （3）若方程4x+4＝0是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 22．（10分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． （1）学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ （2）甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 23．（10分）教室护眼灯是目前性价比较高的LED灯，不仅节能，而且寿命长，同时也更加环保，更有效的保护学生的视力．某校计划从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共200只，这两种护眼灯商场的进价、售价如表所示： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型号护眼灯 60 80 乙型号护眼灯 75 100 （1）若学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共用去17000元，求学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯各多少只？ （2）若学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯，问学校从商场购进甲种型号护眼灯至少多少只？ （3）在（2）的条件下，该商场销售给学校这200只护眼灯后能否实现盈利不低于4250元的目标？若能，请你给出相应的采购方案；若不能，说明理由． 24．（12分）小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知﹣x+y＝2，且x＜3，y≥0，设w＝x+y﹣2，那么w的取值范围是什么？ （1）小明的做法：由﹣x+y＝2得y＝2+x，则w＝x+y﹣2＝x+2+x﹣2＝2x， 由x＜3，y≥0，得关于x的一元一次不等式组 　 　 ， 解该不等式组得到x的取值范围为 　 　 ， 则w的取值范围是 　 　 .（直接填写答案，不用写过程） （2）已知a﹣b＝n（n是大于0的常数），且a＞1，b≤1，求2a+b的最大值．（用含n的代数式表示）； （3）若3x＝6y+12＝2z，且x＞0，y≥﹣4，z≤9，设m＝2x﹣2y﹣z，且m为整数，求m所有可能的值的和． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 不等式与不等式组章末测试卷 能力提升培优测 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：不等式与不等式组（人教版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）用适当的符号表示“x的3倍加上5不大于x的2倍减去4”，下列表示正确的是（　　） A．3（x+5）≤2（x﹣4） B．3（x+5）＜2（x﹣4） C．3x+5≤2x﹣4 D．3x+5＜2x﹣4 【分析】根据“x的3倍加上5不大于x的2倍减去4”列不等式即可． 【解答】解：用不等式表示为3x+5≤2x﹣4， 故选：C． 2．（3分）已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据一元一次不等式的定义可得m+4≠0且|m|﹣3＝1，由此即可得解． 【解答】解：∵（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式， ∴m+4≠0且|m|﹣3＝1， ∴m≠﹣4且m＝±4， ∴m＝4， 故选：B． 3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：不等式组整理得：， 解得：x≥3， 数轴上表示，如图所示： ． 故选：C． 4．（3分）已知关于x的不等式（n﹣1）x＞2﹣2n的解集为x＜﹣2，则n的取值范围是（　　） A．n＞1 B．n＜1 C．n≥1 D．n≠1 【分析】先整理一元一次不等式，再根据其解集x＜﹣2即可确定n的取值范围． 【解答】解：（n﹣1）x＞2﹣2n， （n﹣1）x＞2（1﹣n）， ∵关于x的不等式（n﹣1）x＞2﹣2n的解集为x＜﹣2， ∴n﹣1＜0， 解得n＜1， 故选：B． 5．（3分）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 6．（3分）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 【分析】已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可． 【解答】解：根据题意，原不等式组化为， 解①得：x， 解②得：x， ∵关于x的不等式组有且只有一个整数解， ∴12， 解得：20＜m≤23． 故选：B． 7．（3分）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么x的取值范围是（　　） A．23＜x≤47 B．11＜x≤23 C．7＜x≤11 D．3＜x≤7 【分析】根据程序操作运行了两次就停止，可列出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：23＜x≤47， ∴x的取值范围为23＜x≤47． 故选：A． 8．（3分）已知三个实数a，b，c满足a+3b+c＝0，5a﹣3b+c＜0，则以下结论错误的是（　　） A．2a＜3b B．3a+c＜0 C．9b+2c＜0 D．9b+2c＞0 【分析】由a+3b+c＝0可得﹣3b＝a+c，将其代入5a﹣3b+c＜0中计算判断3a+c与0的大小关系；再由a+3b+c＝0可得c＝﹣a﹣3b，将其代入5a﹣3b+c＜0中计算即可判断2a与3b的大小关系；再由a+3b+c＝0可得a＝﹣3b﹣c，将其代入5a﹣3b+c＜0中计算判断9b+2c与0的大小关系；从而得出答案． 【解答】解：∵a+3b+c＝0， ∴﹣3b＝a+c， ∵5a﹣3b+c＜0， ∴5a+a+c+c＜0， 整理得：6a+2c＜0， 即3a+c＜0，则B不符合题意， ∵a+3b+c＝0， ∴c＝﹣a﹣3b， ∵5a﹣3b+c＜0， ∴5a﹣3b﹣a﹣3b＜0， 整理得：4a＜6b， 即2a＜3b，则A不符合题意， ∵a+3b+c＝0， ∴a＝﹣3b﹣c， ∵5a﹣3b+c＜0， ∴5（﹣3b﹣c）﹣3b+c＜0， 整理得：﹣18b﹣4c＜0， 即9b+2c＞0，则C符合题意，D不符合题意， 故选：C． 9．（3分）为丰富复学复课后学生的课间生活，某校筹集资金6000元，投资建设1500元一个的乒乓球场地、1200元一个的羽毛球场地和1000元一个的跳绳场地，已知建乒乓球场地不超过2个，则学校的建设方案有（　　）种． A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】当建设1个乒乓球场地时，设建设a个羽毛球场地，b个跳绳场地，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过6000元，可列出关于a，b的二元一次不等式，结合a，b均为正整数，可得出此时学校有5种建设方案；当建设2个乒乓球场地时，设建设c个羽毛球场地，d个跳绳场地，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过6000元，可列出关于c，d的二元一次不等式，结合c，d均为正整数，可得出此时学校有1种建设方案，再将两种情况下的建设方案相加，即可得出结论． 【解答】解：当建设1个乒乓球场地时，设建设a个羽毛球场地，b个跳绳场地， 根据题意得：1500×1+1200a+1000b≤6000， ∴b≤6﹣1.2a， 又∵a，b均为正整数， ∴或或或或， ∴此时学校有5种建设方案； 当建设2个乒乓球场地时，设建设c个羽毛球场地，d个跳绳场地， 根据题意得：1500×2+1200c+1000d≤6000， ∴d＝3﹣1.2c， 又∵c，d均为正整数， ∴， ∴此时学校有1种建设方案． 综上所述，学校共有5+1＝6（种）建设方案． 故选：C． 10．（3分）已知关于x的不等式组，有下列四个结论： ①若不等式组的解集是1＜x≤3，则a＝7； ②当a＝3时，不等式组无解； ③若不等式组的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13； ④若不等式组有解，则a＞3． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围， 【解答】解：， 解不等式①，得x＞1， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， ①若它的解集是1＜x≤3，则， 解得：a＝7，故①符合题意； ②当a＝3时，，不等式无解，故②符合题意； ③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4， ∴， 解得：9≤a＜11，故③不符合题意； ④若它有解，则， 解得：a＞3，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有①②④，共3个， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）用不等号填空，若a＞b，则 　＜　 （填“＞”或“＜”）． 【分析】根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵a＞b， ∴ab， ∴a+1b+1， 故答案为：＜． 12．（3分）若关于x，y的方程组的解满足不等式x+2y＞0，则k的取值范围是　k＜3　 ． 【分析】直接把两等式相减，得到x+2y＝﹣3k+9，再由x+2y＞0得出关于k的不等式，解不等式即可． 【解答】解：， ①﹣②，得：x+2y＝﹣3k+9， ∵x+2y＞0， ∴﹣3k+9＞0， 解得k＜3， 故答案为：k＜3． 13．（3分）若关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜1，则（a﹣2）（b+1）＝　12　 ． 【分析】先用a、b表示出每个不等式的解集，然后根据﹣2＜x＜1即可得到关于a和b的方程，求得a和b的值，代入即可求解． 【解答】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式的解集为﹣2＜x＜1， ∴，， 解得a＝﹣1，b＝﹣5， ∴（a﹣2）（b+1） ＝（﹣1﹣2）×（﹣5+1） ＝﹣3×（﹣4） ＝12， 由上可得，（a﹣2）（b+1）＝12， 故答案为：12． 14．（3分）某商品进价为180元，标价为360元，商场要求以利润不低于20%的售价打折出售，则售货员出售该商品时，最低可以打　6　 折． 【分析】设售货员最低可以打x折出售此商品，由题意得，解不等式即可求解． 【解答】解：进价为180元，标价为360元，商场要求以利润不低于20%的售价打折出售，设最低可以打x折， 由题意得，， 解得x≥6， ∴最低可以打6折， 故答案为：6． 15．（3分）对于任意有理数a，用[a]表示不超过a的最大整数，则下列说法正确的是 　①②④　 ．（写出所有正确结论的序号） ①[﹣3.6]＝﹣4； ②若a为整数，则[a]＝a； ③[a]+[﹣a]＝0； ④若0＜a＜1，且，则[5a]＝3． 【分析】根据定义逐项判断即可． 【解答】解：根据定义，[﹣3.6]表示不超过﹣3.6的最大整数，即﹣4，则①正确， 若a为整数，不超过a的最大整数就是a本身，即[a]＝a，则②正确， 当a＝1.5时，[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，那么[1.5]+[﹣1.5]＝1﹣2＝﹣1≠0，则③错误， 由0＜a＜1得a，a，…，a这九个数都在0.1～1.9之间，由于，那么这9个数中有6个数得整数部分是1，3个数的整数部分是0，因此，解得0.6≤a＜0.7，那么3≤5a＜3.5，因此[5a]＝3，则④正确， 综上，说法正确的是①②④， 故答案为：①②④． 16．（3分）已知关于x、y的方程组．①当k＝0时，方程组的解也是3x﹣y＝k+5的解；②若2x+y≥8，则k≥﹣1；③若y≥0，则x≥3；④无论k取何值，x、y的值都不可能互为相反数．以上结论正确的是　①④　 ．（只填序号） 【分析】将k＝0代入原方程组得，解得，经检验得是3x﹣y＝k+5的解，故①正确；方程组，两方程相加得2x+y＝5﹣3k，根据2x+y＝8，得到5﹣3k＝8，解得k＝﹣1，故②错误；再解方程组，可得x＝2﹣3k，y＝3k+1，再结合不等式与相反数的定义可判断③，④． 【解答】解：将k＝0代入原方程组得， ∴， 解得， 将与k＝0代入方程3x﹣y＝k+5左右两边， 左边＝6﹣1＝5，右边＝0+5＝5， ∴当k＝0时，方程组的解也是3x﹣y＝k+5的解，故①符合题意； 方程组， ①+②得2x+y＝5﹣3k， 若2x+y＝8，则5﹣3k＝8，解得k＝﹣1， 所以若2x+y≥8，则k≥﹣1． 故②不符合题意； 方程组， ∴②﹣①得：3y＝9k+3， ∴y＝3k+1， ∴x＝3k+1+1﹣6k＝2﹣3k， ∵y≥0， ∴3k+1≥0， ∴﹣3k≤1， ∴2﹣3k≤3， ∴x≤3； 故③不符合题意； ∵x＝2﹣3k，y＝3k+1， ∴x+y＝3， ∴无论k取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故④符合题意． 故答案为：①④． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解不等式（组），并把解集表示在数轴上． （1）． （2）． 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）， 2（x+1）﹣3（3x﹣1）≤12， 2x+2﹣9x+3≤12， 2x﹣9x≤12﹣2﹣3， ﹣7x≤7， x≥﹣1， 数轴表示如下所示： ； （2）， 由①得：x＜10， 由②得：x＜﹣6， ∴不等式组的解集为x＜﹣6， 数轴表示如下所示： ． 18．（8分）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： （1）①若A﹣B＞0，则A 　＞　 B； ②若A﹣B＝0，则A 　＝　 B； ③若A﹣B＜0，则A 　＜　 B． （2）请比较4+3a2﹣2b+b2与2a2﹣2b+1的大小． 【分析】（1）由不等式和等式的性质，即可得到答案； （2）由（1）的结论，即可比较大小． 【解答】解：（1）①若A﹣B＞0，则A＞B， 故答案为＞； ②若A﹣B＝0，则A＝B， 故答案为：＝； ③若A﹣B＜0，则A＜B， 故答案为：＜． （2）4+3a2﹣2b+b2﹣（2a2﹣2b+1） ＝4+3a2﹣2b+b2﹣2a2+2b﹣1 ＝a2+b2+3＞0， ∴4+3a2﹣2b+b2＞2a2﹣2b+1． 19．（8分）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求代数式m2﹣2m+2025的值． 【分析】先按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得x＞﹣4，从而可得：该不等式的最小整数解为：﹣3，然后根据题意可得：把x＝﹣3代入中求出m的值，最后把m的值代入式子中，进行计算即可解答． 【解答】解：． 解不等式①，得x≥﹣3， 解不等式②，得x＜2， ∴该不等式组的最小整数解为：﹣3， 由题意得：把x＝﹣3代入得： （﹣3）+3m＝5， 解得m＝2， 当m＝2时，m2﹣2m+2025＝22﹣2×2+2025＝2025， ∴m2﹣2m+2025的值为2025． 20．（8分）已知方程组的解满足x为正数，y为非负数． （1）求m的取值范围； （2）若不等式（2m﹣1）x﹣2m＜﹣1的解为x＞1．求m的整数值． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，再解关于m的不等式组即可； （2）根据不等式的性质可知，2m﹣1＜0，然后求解作答即可． 【解答】解：（1）， 由①+②得：2x＝4+2m， 则x＝2+m， 将x＝2+m代入①得：2+m+y＝6﹣m， 则y＝4﹣2m， ∵x为正数，y为非负数， ∴， 故不等式组的解集为：﹣2＜m≤2； （2）∵（2m﹣1）x﹣2m＜﹣1 ∴（2m﹣1）x＜2m﹣1， ∵不等式的解为x＞1， ∴2m﹣1＜0， ∴， ∴， ∴m的整数值为﹣1，0． 21．（8分）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：2x+4＝2的解为的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝﹣1在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x+4＝2是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①4x﹣5＝x+7，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组的“子方程”是 　①②　 （填序号）； （2）者关于x的方程2x﹣k＝4是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； （3）若方程4x+4＝0是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【解答】解：（1）解方程4x﹣5＝x+7得：x＝4， 解方程得：， 解方程2x+3（x+2）＝21得：x＝3， 解不等式组得：3＜x≤5， 所以不等式组 的“子方程”是①②． 故答案为：①②； （2）解不等式5x﹣7＞11﹣x，得：x＞3， 解不等式2x≥3x﹣6，得：x≤6， 则不等式组的解集为3＜x≤6， 解方程2x﹣k＝4，得， 由题意，得， ∴6＜k+4≤12， 解得：2＜k≤8； （3）解方程4x+4＝0，得：x＝﹣1， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴x＝﹣1在范围内， ∴， 解得：m≤6． 22．（10分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． （1）学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ （2）甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 【分析】（1）设购买x套甲型号“文房四宝”，则购买（100﹣x）套乙型号“文房四宝”，根据总费用不超过5870元且购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案； （2）分别求出选择各方案所需费用（优惠前），求出优惠后的费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买x套甲型号“文房四宝”，则购买（100﹣x）套乙型号“文房四宝”， 根据题意得：， 解得：25＜x≤29， 又∵x为正整数， ∴x可以为26，27，28，29， ∴共有4种购买方案， 方案1：购买26套甲型号“文房四宝”，74套乙型号“文房四宝”； 方案2：购买27套甲型号“文房四宝”，73套乙型号“文房四宝”； 方案3：购买28套甲型号“文房四宝”，72套乙型号“文房四宝”； 方案4：购买29套甲型号“文房四宝”，71套乙型号“文房四宝”； （2）选择方案1按原价购买所需费用为80×26+50×74＝5780（元）， ∵3000+（5780﹣3000）×90%＝5502（元），4420+（5780﹣4420）×80%＝5508（元），5502＜5508， ∴按方案1购买时选择甲商场合算； 选择方案2按原价购买所需费用为80×27+50×73＝5810（元）， ∵3000+（5810﹣3000）×90%＝5529（元），4420+（5810﹣4420）×80%＝5532（元），5529＜5532， ∴按方案2购买时选择甲商场合算； 选择方案3按原价购买所需费用为80×28+50×72＝5840（元）， ∵3000+（5840﹣3000）×90%＝5556（元），4420+（5840﹣4420）×80%＝5556（元），5556＝5556， ∴按方案3购买时选择甲、乙两商场所需费用相同； 选择方案4按原价购买所需费用为80×29+50×71＝5870（元）， ∵3000+（5870﹣3000）×90%＝5583（元），4420+（5870﹣4420）×80%＝5580（元），5580＜5583， ∴按方案4购买时选择乙商场合算． 答：当按方案1、2购买时，选择甲商场合算；当按方案3购买时，选择甲、乙两商场所需费用相同；当按方案4购买时，选择乙商场合算． 23．（10分）教室护眼灯是目前性价比较高的LED灯，不仅节能，而且寿命长，同时也更加环保，更有效的保护学生的视力．某校计划从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共200只，这两种护眼灯商场的进价、售价如表所示： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型号护眼灯 60 80 乙型号护眼灯 75 100 （1）若学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共用去17000元，求学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯各多少只？ （2）若学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯，问学校从商场购进甲种型号护眼灯至少多少只？ （3）在（2）的条件下，该商场销售给学校这200只护眼灯后能否实现盈利不低于4250元的目标？若能，请你给出相应的采购方案；若不能，说明理由． 【分析】（1）设学校从商场购进甲种型号护眼灯x只，根据学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共用去17000元得：80x+100（200﹣x）＝17000，即可解得答案； （2）设甲型号护眼灯进m只，根据学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯得80m+100（200﹣m）≤16800，解出m的范围即可知学校从商场购进甲种型号护眼灯至少160只； （3）设甲型号护眼灯进m只，由盈利不低于4250元有（80﹣60）m+（100﹣75）（200﹣m）≥4250，解得：m≤150，由（2）知学校从商场购进甲种型号护眼灯至少160只，故该商场销售给学校这200只护眼灯后不能实现盈利不低于4250元的目标． 【解答】解：（1）设学校从商场购进甲种型号护眼灯x只，则乙种型号护眼灯购进（200﹣x）只， 根据题意得：80x+100（200﹣x）＝17000， 解得：x＝150， ∴200﹣x＝200﹣150＝50， 答：学校从商场购进甲种型号护眼灯150只，乙种型号护眼灯50只； （2）设甲型号护眼灯进m只，则乙种型号护眼灯进（200﹣m）只， ∵学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯， ∴80m+100（200﹣m）≤16800， 解得：m≥160， 答：学校从商场购进甲种型号护眼灯至少160只； （3）设甲型号护眼灯进m只，则乙种型号护眼灯进（200﹣m）只， ∵盈利不低于4250元， ∴（80﹣60）m+（100﹣75）（200﹣m）≥4250， 解得：m≤150， 即学校从商场购进甲种型号护眼灯至多150只，商场才可以盈利不低于4250元， 由（2）知学校从商场购进甲种型号护眼灯至少160只， ∴该商场销售给学校这200只护眼灯后不能实现盈利不低于4250元的目标． 24．（12分）小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知﹣x+y＝2，且x＜3，y≥0，设w＝x+y﹣2，那么w的取值范围是什么？ （1）小明的做法：由﹣x+y＝2得y＝2+x，则w＝x+y﹣2＝x+2+x﹣2＝2x， 由x＜3，y≥0，得关于x的一元一次不等式组 　　 ， 解该不等式组得到x的取值范围为 　﹣2≤x＜3　 ， 则w的取值范围是 　﹣4≤w＜6　 .（直接填写答案，不用写过程） （2）已知a﹣b＝n（n是大于0的常数），且a＞1，b≤1，求2a+b的最大值．（用含n的代数式表示）； （3）若3x＝6y+12＝2z，且x＞0，y≥﹣4，z≤9，设m＝2x﹣2y﹣z，且m为整数，求m所有可能的值的和． 【分析】（1）根据所给材料的过程进行解题即可； （2）由题意可得关于a的一元一次不等式组，解得1＜a≤n+1，设t＝2a+b＝3a﹣n，求出3﹣n＜t≤2n+3，即可求t的最大值； （3）由题意分别求出x＝2y+4，z＝3y+6，则关于y的不等式组为，解得﹣2＜y≤1，可得m＝﹣y+2，求出1≤m＜4，可知m＝1，2，3，则m所有可能的值的和为6． 【解答】解：（1）小明的做法：由﹣x+y＝2得y＝2+x，则w＝x+y﹣2＝x+2+x﹣2＝2x， 由x＜3，y≥0，得关于x的一元一次不等式组， 解该不等式组得到x的取值范围为﹣2≤x＜3，则w的取值范围是﹣4≤w＜6； 故答案为：，﹣2≤x＜3，﹣4≤w＜6； （2）∵a﹣b＝n， ∴b＝a﹣n， ∵a＞1，b≤1， ∴关于a的一元一次不等式组， 解得1＜a≤n+1， 设t＝2a+b＝2a+a﹣n＝3a﹣n， ∴3﹣n＜t≤2n+3， ∴2a+b的最大值为2n+3； （3）∵3x＝6y+12，∴x＝2y+4， ∵6y+12＝2z，∴z＝3y+6， ∴关于y的一元一次不等式为， 解得﹣2＜y≤1， ∵m＝2x﹣2y﹣z＝2（2y+4）﹣2y﹣（3y+6）＝﹣y+2， ∴1≤m＜4， ∵m为正数， ∴m＝1，2，3， ∴m所有可能的值的和为6． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$