新定义函数综合题-2025年中考数学中考必考知识点专题特训

新定义函数综合题

2025年中考数学中考必考知识点专题特训

 

 

1．在平面直角坐标系中，对于点和正方形，给出如下定义：若点关于轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的2倍，则称点是正方形的“最佳距离点”．

已知：点．

(1)当时，

①点的坐标是___________；

②在三个点中，___________是正方形的“最佳距离点”；

(2)当时，点（其中）是正方形的“最佳距离点”，直接写出的取值范围；

(3)点，若线段上存在正方形的“最佳距离点”，直接写出的取值范围．

2．定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，．

(1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式；

(2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式；

(3)二次函数过点，，，则的解析式为______；

如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标；

如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标．

3．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于两点、，平面直角坐标系中存在一点，使得

，则称为线段的“奇妙点”．例如：如图1，，为线段的“奇妙点”．

  

(1)已知点，点．下列是线段的“奇妙点”的有 ；

①；②；③；④

(2)如图2，已知直线上有两点、，若x轴上存在线段的“奇妙点”，求m的取值范围；

(3)如图3，二次函数与x轴交于、B两点，直线与抛物线交于、两点，连接，已知点为直线上方一点，点为线段的“奇妙点”，连接，点是线段上一点且，连接，求的最大值．

4．若抛物线与顶点不同，且都经过对方顶点，则称与是一对“孪生抛物线”，它们顶点的连线称为它们的“纽带线”．例如：抛物线与抛物线是一对“孪生抛物线”，它们的“纽带线”是直线l：．请根据上述定义解答下列问题：

(1)已知抛物线，下列是它的“孪生抛物线”的是________；（填写序号即可）

①；②；③

(2)若一对“孪生抛物线”与的顶点分别为，，如图，它们的“纽带线”与抛物线交于，两点．与双曲线交于，两点．已知，是线段的三等分点．求，的值；

(3)已知抛物线：与抛物线：是一对“孪生抛物线”，将它们的“纽带线”与轴、轴围成的三角形面积记作，请求出的取值范围．

5．定义：如图，在平面直角坐标系中，点P 是第一象限内任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B．若矩形的周长与面积的数值相等，则称点 P是平面直角坐标系中的“美好点”．

【尝试初探】

（1）判断：点______ “美好点”， ______ “美好点”；（选填“是”或“不是”）

【深入探究】

（2）我们从函数的角度研究“美好点”，已知点是“美好点”．求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

【拓展延伸】

（3）对于任意一个“美好点”，代数式是否为定值?如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．

6．在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为和谐点，例如，图1中的P，Q两点即为和谐点．

已知点．

(1)在点，，中，点A的和谐点是 　 　；

(2)若点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，请求出直线的解析式；

(3)已知点，点，连接，点M为线段上一点．经过点且垂直于x轴的直线记作直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为和谐点，请直接写出n的取值范围．

7．我们知道：，由此我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k、b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数．

(1)已知函数．

①若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ；

②若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ．

(2)如图，一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与一次函数的图像相交于两点，

①求该一次函数的表达式．

②一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与y轴相交于点C，求的面积．

③在一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象是否存在点P，使得，若存在，请直接写