第10讲 成对数据的统计分析（八大重难点）-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第10讲 成对数据的统计分析 一、相关关系 1.变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2.样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：. ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱. 通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 二、回归模型 1.一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，. 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 2.判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 三、独立性检验 1.2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 重难点01相关关系的概念和判断 【解题必备】 （1）画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角,两个变量负相关. （2）样本相关系数:时,正相关；时,负相关. 例1．已知变量和满足关系，变量与负相关，下列结论正确的是（    ） A．与正相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与负相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 例2．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 练习1．（多选）下列关系中，是相关关系的为（    ） A．学生的学习态度与学习成绩之间的关系 B．教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系 C．学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 练习2．如图，两个变量具有相关关系的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 练习3．通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷饮的某种摄入成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：丁认为两者的相关关系是存在的，但不能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 练习4．（多选）下列两个变量之间的关系，是函数关系的有（    ） A．球的体积和它的半径 B．人的身高和体重 C．底面积为定值的长方体的体积和高 D．城镇居民的消费水平和平均工资 重难点02相关系数的比较和计算 【解题必备】 变量之间的样本相关系数具有如下性质 （1）,故变量之间的样本相关系数的取值范围为. （2）越大,变量之间的线性相关程度越强;越接近,变量之间的线性相关程度越弱. （3）当时,两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势,此时称两个变量正相关;当时,一个变量增加,另一个变量有减少的趋势,称两个变量负相关;当时,称两个变量没有线性相关关系. 例3．在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 例4．A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，且回归方程中的，则相关系数 （精确到0.01）. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为； 参考数据：，，，，. 练习1．为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 练习2．（多选）关于样本相关系数r，下列说法正确的是（   ） A． B．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强 C．当时，成对样本数据之间没有任何相关关系 D．当时，成对样本数据正相关 练习3．深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值. (2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：，. 参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强. 练习4．为了对2020年某校月考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理成绩对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 68 72 78 81 85 88 91 93 物理成绩 70 66 81 83 79 80 92 89 用变量与的样本相关系数（精确到0.01）说明物理成绩与数学成绩的线性相关程度的强弱，并说明它们的变化趋势特征. 参考数据：，. 重难点03线性回归方程与样本中心 【解题必备】 ，样本点的中心在线性回归方程上 例5．已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（   ） A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 例6．已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（    ） A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4 练习1．研究表明，健康成年人的血清总胆固醇值（单位：）和年龄（单位：岁）之间满足经验回归方程，且年龄每增加一岁，血清总胆固醇值增加．某单位组织职工体检，随机抽取了六名职工的血清总胆固醇值如下： 年龄岁 25 32 35 41 51 56 血清总胆固醇值 3.01 3.21 3.58 4.68 5.03 5.33 若某个健康职工45岁，估计他的血清总胆固醇值为（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）某产品的广告费用与销售额的统计数据如表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．回归直线必经过样本点（4，34） B．样本数据中，销售额的第70百分位数是36 C． D．据此模型估计广告费用为7万元时销售额为万元 练习3．（多选）某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（   ） A．每公顷产量与耕种深度呈负相关 B．耕种深度的平均数为12 C．每公顷产量的平均数为7.8 D． 练习4．表为2020～2024年某省高三学生的近视人数（单位：万人）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 万人 50 58 67 80 95 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则 . 重难点04求线性回归方程 例7．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 (1)根据表中的数据，计算相关系数； (2)求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值． 参考公式：相关系数 ，． 参考数据：，，． 例8．某机构统计了新驾驶员一年内扣除的驾照分（单位：分）及该年对应的新驾驶员数量（单位：万人），得到如下数据表格： 新驾驶员一年内扣除的驾照分（分） 3 4 5 6 7 新驾驶员数量（万人） 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)求与的相关系数（精确到0.01）. 参考数据：. 参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 练习1．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款/千亿元 5 6 7 8 10 (1)求关于的线性回归方程； (2)用所求回归方程预测该地区2022年（）的人民币储蓄存款． 练习2．小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备､房租､生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 1 2 3 4 5 6 7 销售额（万元） 1.5 1.8 2 2.5 3.2 4 4.6 (1)求样本的相关系数（精确到0.01； (2)用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）. 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为； ③. 练习3．某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图： 参考数据：，，. (1)由图可以看出，这种酶的活性指标值与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明； (2)求关于的线性回归方程，并预测当温度为30℃时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确到0.01） 练习4．季节性流感分布广泛，儿童普遍易感.某区将去年春季该区患季节性流感的小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据： 年龄 2 3 4 5 6 患病人数 22 22 17 14 10 (1)求关于的线性回归方程； (2)计算样本相关系数（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该区去年春季患季节性流感人数与年龄负相关很强？（若，则、相关性很强；若，则、相关性一般；若，则、相关性较弱.） 重难点05残差及相关指数的应用 【解题必备】 线性回归问题应先通过成对样本数据的散点图来分析两变量间的关系是否线性相关,然后再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程,并利用残差图或来分析函数模型的拟合效果,在此基础上,借助经验回归方程对实际问题进行分析. 例9．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，给出下列说法：①相关系数r变大；②相关指数变大；③残差平方和变小；④变量x与变量y的相关性变强．其中正确说法的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例10．在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 6 销售额（万元） 14 16 22 21 24 25 甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型： 模型①；模型②， 两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销售额y（万元） 14 16 22 21 24 25 模型① 估计值 14.7 16.9 19.1 21.3 23.5 25.7 残差 2.9 0.5 模型② 估计值 14.6 16.1 17.8 19.7 21.8 24.1 残差 4.2 1.3 2.2 0.9 计算得到两个模型的残差平方和分别为：，， 若定义：残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据. (1)请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？ (2)在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）. 参考公式：， 参考数据： 练习1．（多选）一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．，分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 练习2．已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义．某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果．相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好．依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（    ） A． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.949 8.491 0.499 B． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.933 4.179 0.436 C． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.997 1.701 0.141 D． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.997 2.899 0.326 练习3．（多选）变量之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线经过点，且相对于点的残差为，则（    ） A． B． C． D．残差和为 练习4．某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 6 8 10 13 13 22 31 42 50 56 58 根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：. (1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型； (2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好） 重难点06非线性回归方程 【解题必备】 非线性经验回归问题的解题步骤 （1）根据原始数据作出散点图；（2）根据散点图选择恰当的拟合函数； （3）作恰当的变换,将其转化成线性经验回归方程求解； （4）在上面的基础上通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程. 例11． ，两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息．小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（    ） A． B． C． D． 例12．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022.    根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，. (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由； (2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程； （ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大? 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 练习1．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数 ． 练习2．经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表． 360 54.5 1360 44 384 — 3 588 32 6430 — 表中． (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型并求出y关于x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及均值． 附：对于一组数据，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 练习3．一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 (1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 2.83 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 练习4．某出版社单册图书的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下： x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 (1)根据以上数据画出散点图（可借助统计软件），并根据散点图判断：与中哪一个适宜作为回归方程模型? (2)根据（1）的判断结果，试建立成本费y关于印刷册数x的回归方程； (3)利用回归方程估计印刷26000册图书的单册成本（结果保留两位小数）． 重难点07独立性检验的理解 【解题必备】 应用独立性检验解决实际问题的步骤 （1）提出零假设与相互独立,并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出列联表,计算的值,并与临界值比较. （3）根据检验规则得出推断结论: 当时,推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过； 当时,没有充分证据推断不成立,可以认为和独立. 例13．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 C．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 例14．（多选）在某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个玩偶．某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占而在未购买者当中，男生女生各占则下列说法中正确的是（    ） 参考公式和数据：，其中 A．若每个盲盒装有A，B，C三种样式玩偶的概率相同．某同学已经有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是 B．未购买过该盲盒的女生人数为70 C．由上述数据可知，可以在犯错误概率不超过的前提下认为“购买该款盲盒与性别有关” D．由上述数据可知，有把握认为“购买该款盲盒与性别有关”． 练习1．在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（   ） ①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系； ②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病； ③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病； ④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①④ 练习2．一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病人中，随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计7天内痊愈病例数，得到如下数据： 7天内未痊愈 7天内痊愈 对照组 30 170 实验组 20 280 根据表格数据，下列结论正确的是（    ） 参考公式及数据：，其中． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 A．在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 B．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 C．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 D．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 练习3．某中草药主要是通过清热解毒、宣肺理气来调理机体的气机和阴阳平衡，从而改善症状，可以达到减轻病情、缓解症状、缩短病程的作用.为了了解该中草药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据： 患流感 未患流感 服用药 3 17 未服用药 9 11 若由此认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过（    ） A． B． C． D． 练习4．（多选）在一次独立性检验中得到如下列联表： 总计 200 800 1000 180 m 总计 380 已知，，根据上面的列联表，若依据小概率值的独立性检验，可以认为这两个分类变量A和B没有关系，则下列选项中m可能取到的为（    ） A．200 B．720 C．100 D．800 重难点08独立性检验的实际应用 例15．为了调查A，B两个地区的观众是否喜欢娱乐节目M，某电视台随机调查了A，B两个地区的2x名观众，已知从A，B两个地区随机调查的人数相同，A地区喜欢娱乐节目M的人数占A地区参与调查的总人数的，B地区喜欢娱乐节目M的人数占B地区参与调查的总人数的，若根据独立性检验认为喜欢娱乐节目M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则所有x构成的集合为 ． 附表：，其中． 0.050 0.010 3.841 6.635 例16．新高考“3+3”模式中，考生除语文、数学、外语3门必考科目外，需从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，某研究机构为了解学生对全文（政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科.经统计，选择全文的男生有5人，选择全文的女生有15人. (1)估计高一年级的男生选择全文的概率； (2)请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择全文与性别有关. 选择全文 不选择全文 总计 男生 女生 总计 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中） 练习1．为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了使该活动的顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的相关关系，现对某年级的学生随机抽取了男、女同学各50名整理得到下列2×2联表： 感兴趣 不感兴趣 总计 男 50 女 50 总计 80 20 100 使得“有但没有的把握认为男女同学对足球感兴趣有差异”的的一个值为 ． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 练习2．某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：    品牌 性别 男性 15 30 女性 30 25 (1)根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 练习3．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 练习4．社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 (1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关； (2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望． 附：，其中 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第10讲 成对数据的统计分析 一、相关关系 1.变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2.样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：. ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱. 通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 二、回归模型 1.一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，. 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 2.判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 三、独立性检验 1.2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 重难点01相关关系的概念和判断 【解题必备】 （1）画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角,两个变量负相关. （2）样本相关系数:时,正相关；时,负相关. 例1．已知变量和满足关系，变量与负相关，下列结论正确的是（    ） A．与正相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与负相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 【答案】A 【详解】因为变量和满足关系，且，所以变量与正相关. 又变量与负相关，所以变量与负相关. 故选：A 例2．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 【答案】D 【详解】根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关； 图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关； 图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关． 故选：D 练习1．（多选）下列关系中，是相关关系的为（    ） A．学生的学习态度与学习成绩之间的关系 B．教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系 C．学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 【答案】AB 【详解】A中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系； B中教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系；C，D都不具备相关关系． 故选：AB 练习2．如图，两个变量具有相关关系的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【答案】B 【详解】具有相关关系的是（1）（4）， （2）是确定关系，（3）不具有相关关系. 故选：B 练习3．通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷饮的某种摄入成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：丁认为两者的相关关系是存在的，但不能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，但相关关系是一种非确定性关系，相关关系不等于因果关系，丁的意见最可能成立. 故选：D. 练习4．（多选）下列两个变量之间的关系，是函数关系的有（    ） A．球的体积和它的半径 B．人的身高和体重 C．底面积为定值的长方体的体积和高 D．城镇居民的消费水平和平均工资 【答案】AC 【详解】球的体积公式为，长方体的体积，都是确定的关系， 因此A、C中两个变量为函数关系，而B、D中的两个变量，不是函数关系而是相关关系. 故选：AC. 重难点02相关系数的比较和计算 【解题必备】 变量之间的样本相关系数具有如下性质 （1）,故变量之间的样本相关系数的取值范围为. （2）越大,变量之间的线性相关程度越强;越接近,变量之间的线性相关程度越弱. （3）当时,两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势,此时称两个变量正相关;当时,一个变量增加,另一个变量有减少的趋势,称两个变量负相关;当时,称两个变量没有线性相关关系. 例3．在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】若样本数据所对应的点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 故选：A. 例4．A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，且回归方程中的，则相关系数 （精确到0.01）. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为； 参考数据：，，，，. 【答案】0.98 【详解】由题设，，， ， 所以. 故答案为：. 练习1．为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 【答案】D 【详解】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：D． 练习2．（多选）关于样本相关系数r，下列说法正确的是（   ） A． B．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强 C．当时，成对样本数据之间没有任何相关关系 D．当时，成对样本数据正相关 【答案】ABD 【详解】由相关系数性质可得，A正确； 由相关系数性质可得当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，B正确； 当时，成对样本数据之间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系，C错误， 由相关系数性质可得当时，成对样本数据正相关，D正确， 故选：ABD. 练习3．深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值. (2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：，. 参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强. 【答案】(1)， (2)，可以用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析 【详解】（1）由题可知，； （2）因为， ， 故； 因为与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. 练习4．为了对2020年某校月考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理成绩对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 68 72 78 81 85 88 91 93 物理成绩 70 66 81 83 79 80 92 89 用变量与的样本相关系数（精确到0.01）说明物理成绩与数学成绩的线性相关程度的强弱，并说明它们的变化趋势特征. 参考数据：，. 【答案】答案见解析 【详解】因为：， ， 所以． 所以，由样本估计总体，可知物理成绩与数学成绩的线性相关程度较强，且呈正相关，它们的变化趋势相同． 重难点03线性回归方程与样本中心 【解题必备】 ，样本点的中心在线性回归方程上 例5．已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（   ） A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 【答案】C 【详解】依题意，， 又线性回归方程为必过点， 所以，解得，所以， 2025年的年份代号为，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元. 故选：C. 例6．已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（    ） A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4 【答案】A 【详解】由和，得． 所以去掉数据与后得到的新数据的平均数，， 由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为， 代入，求得， 故去掉与这两组数据后求得的经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得． 故选：A. 练习1．研究表明，健康成年人的血清总胆固醇值（单位：）和年龄（单位：岁）之间满足经验回归方程，且年龄每增加一岁，血清总胆固醇值增加．某单位组织职工体检，随机抽取了六名职工的血清总胆固醇值如下： 年龄岁 25 32 35 41 51 56 血清总胆固醇值 3.01 3.21 3.58 4.68 5.03 5.33 若某个健康职工45岁，估计他的血清总胆固醇值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，故， 又，， 所以样本点的中心为， 将其坐标代入，解得， 于是经验回归方程为， 估计该职工的血清总胆固醇值为， 故选：A． 练习2．（多选）某产品的广告费用与销售额的统计数据如表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．回归直线必经过样本点（4，34） B．样本数据中，销售额的第70百分位数是36 C． D．据此模型估计广告费用为7万元时销售额为万元 【答案】CD 【详解】 的平均值：； 的平均值：. 回归直线方程 必经过点 ，即 . 代入方程得到：，解得：， 选项A：错误，因为回归直线经过的是 ； 选项B：销售额数据从小到大排列为19， 25， 34， 38， 44，第70百分位数的位置为 ，向上取整到第4个数据38，因此选项B错误; 选项C：正确，计算结果为6.8； 选项D：代入回归方程 ，正确. 故选：CD. 练习3．（多选）某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（   ） A．每公顷产量与耕种深度呈负相关 B．耕种深度的平均数为12 C．每公顷产量的平均数为7.8 D． 【答案】BD 【详解】A：对于，，所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A错误； B：由题意知，，故B正确； C：由题意知，，故C错误； D：将点代入方程， 得，解得，故D正确. 故选：BD 练习4．表为2020～2024年某省高三学生的近视人数（单位：万人）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 万人 50 58 67 80 95 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则 . 【答案】 【详解】由题表可得，， 根据回归直线经过点，所以. 故答案为： 重难点04求线性回归方程 例7．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 (1)根据表中的数据，计算相关系数； (2)求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值． 参考公式：相关系数 ，． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题意得，， ， ，， 相关系数． （2）由（1）知，， ， 所求的线性回归方程是． 当特征量为12时，可预测特征量． 例8．某机构统计了新驾驶员一年内扣除的驾照分（单位：分）及该年对应的新驾驶员数量（单位：万人），得到如下数据表格： 新驾驶员一年内扣除的驾照分（分） 3 4 5 6 7 新驾驶员数量（万人） 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)求与的相关系数（精确到0.01）. 参考数据：. 参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 【答案】(1) (2)0.99 【详解】（1）由， 有， 故关于的线性回归方程为. （2）与的相关系数 . 练习1．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款/千亿元 5 6 7 8 10 (1)求关于的线性回归方程； (2)用所求回归方程预测该地区2022年（）的人民币储蓄存款． 【答案】(1) (2)（千亿元） 【详解】（1）根据题意得：，， ， ， ，， 所以关于的线性回归方程； （2）当时，（千亿元）， 即该地区2022年（）的人民币储蓄存款为12千亿元． 练习2．小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备､房租､生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 1 2 3 4 5 6 7 销售额（万元） 1.5 1.8 2 2.5 3.2 4 4.6 (1)求样本的相关系数（精确到0.01； (2)用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）. 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为； ③. 【答案】(1)0.98 (2)，4.92万元 【详解】（1）由题意，得， 所以， 所以样本的相关系数约为0.98. （2）因为，所以. 又， 所以， 所以回归方程为， 当时，，所以预测第8天的销售额为4.92万元. 练习3．某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图： 参考数据：，，. (1)由图可以看出，这种酶的活性指标值与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明； (2)求关于的线性回归方程，并预测当温度为30℃时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确到0.01） 【答案】(1)理由见解析 (2)，13.22 【详解】（1）由题可知， ， ， 则， 因为非常接近1，所以酶的活性与温度具有较强的线性相关性； （2）由题可知，， ， ， 所以关于的线性回归方程为， 当时，. 故预测当温度为30℃时，这种酶的活性指标值为13.22. 练习4．季节性流感分布广泛，儿童普遍易感.某区将去年春季该区患季节性流感的小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据： 年龄 2 3 4 5 6 患病人数 22 22 17 14 10 (1)求关于的线性回归方程； (2)计算样本相关系数（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该区去年春季患季节性流感人数与年龄负相关很强？（若，则、相关性很强；若，则、相关性一般；若，则、相关性较弱.） 【答案】(1) (2)，是 【详解】（1）由题意可得，， ， . 故关于的线性回归方程为； （2）， 由，可知、负相关. 又因为，所以、相关性很强. 因此，可以认为该区去年春季患季节性流感人数与年龄负相关很强. 重难点05残差及相关指数的应用 【解题必备】 线性回归问题应先通过成对样本数据的散点图来分析两变量间的关系是否线性相关,然后再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程,并利用残差图或来分析函数模型的拟合效果,在此基础上,借助经验回归方程对实际问题进行分析. 例9．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，给出下列说法：①相关系数r变大；②相关指数变大；③残差平方和变小；④变量x与变量y的相关性变强．其中正确说法的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】根据题意，散点图有5个数据中去掉， 可得与的相关性越强，并且是正相关， 所以相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小， 所以四个命题都正确. 故选：D. 例10．在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 6 销售额（万元） 14 16 22 21 24 25 甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型： 模型①；模型②， 两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销售额y（万元） 14 16 22 21 24 25 模型① 估计值 14.7 16.9 19.1 21.3 23.5 25.7 残差 2.9 0.5 模型② 估计值 14.6 16.1 17.8 19.7 21.8 24.1 残差 4.2 1.3 2.2 0.9 计算得到两个模型的残差平方和分别为：，， 若定义：残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据. (1)请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？ (2)在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）. 参考公式：， 参考数据： 【答案】(1)模型①拟合效果更好，3月的销售数据为异常数据 (2)，预测7月份的销售额约为万元 【详解】（1）由题意，， 则模型①拟合效果更好， 其中3月的销售数据为异常数据. （2）剔除3月的销售数据，得到剩余的五组数据， 此时，， ，， 所以， 则， 则模型①新的经验回归方程为，， 当时，， 由此预测7月份的销售额为万元. 练习1．（多选）一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．，分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【详解】对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：，由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确． 故选：ABD 练习2．已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义．某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果．相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好．依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（    ） A． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.949 8.491 0.499 B． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.933 4.179 0.436 C． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.997 1.701 0.141 D． 相关指数 误差平方和 均方根值 0.997 2.899 0.326 【答案】C 【详解】相关指数越接近于1，拟合效果越好，比较相关指数知，可选C，D， 误差平方和及均方根值都越小，拟合效果越好，观察误差平方和和均方根值，知C的拟合效果最好． 故选：C. 练习3．（多选）变量之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线经过点，且相对于点的残差为，则（    ） A． B． C． D．残差和为 【答案】AD 【详解】因为经验回归直线经过点， 所以，， 因为相对于点的残差为， 所以， 所以，，，A正确，B错误，C错误， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以残差和为，D正确. 故选：AD. 练习4．某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 6 8 10 13 13 22 31 42 50 56 58 根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：. (1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型； (2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好） 【答案】(1)模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠. (2)198.6 【详解】（1）由表格中的数据，， 所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数， 即模型②的拟合效果精度更高､更可靠. （2）当万元时，科技升级直接收益的预测值为： （万元） 重难点06非线性回归方程 【解题必备】 非线性经验回归问题的解题步骤 （1）根据原始数据作出散点图；（2）根据散点图选择恰当的拟合函数； （3）作恰当的变换,将其转化成线性经验回归方程求解； （4）在上面的基础上通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程. 例11． ，两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息．小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由统计学知识可知，越大，拟合效果越好， 又小组的决定系数，小组的决定系数， 小组的拟合效果好，则回归方程为， 又，即． 故选：C． 例12．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022.    根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，. (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由； (2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程； （ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大? 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】(1)选择模型②更适宜，理由见解析 (2)（i）；（ii）该公司2028年的年利润最大 【详解】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差； 模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜. （2）（i）设，所以， 所以，， 所以关于的经验回归方程为 （ii）由题设可得， 当取对称轴即，即时，年利润L有最大值， 故该公司2028年的年利润最大. 练习1．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数 ． 【答案】/ 【详解】依题意，， 则，所以. 故答案为： 练习2．经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表． 360 54.5 1360 44 384 — 3 588 32 6430 — 表中． (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型并求出y关于x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及均值． 附：对于一组数据，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】(1)适合， (2)分布列见解析， 【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数图象的周围，所以适宜作为y与x之间的回归方程模型． 令，则， 则， 所以，所以y关于x的回归方程为． （2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的所有可能取值为0，1，2， 设事件“所取两个鱼卵来自第i批”， 所以， 设事件“所取两个鱼卵有个“死卵”，由全概率公式 ， ， ． 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 P 所以． 所以取出“死卵”个数的均值为． 练习3．一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 (1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； (2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 2.83 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】(1)； (2)是理想的 【详解】（1）将的等号左右两边同时取自然对数得， 所以．， 而， 所以， ． 所以，即， 所以． （2）2023年对应的年份代码为7， 当时，，， 所以（1）中求得的回归方程是理想的． 练习4．某出版社单册图书的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下： x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 (1)根据以上数据画出散点图（可借助统计软件），并根据散点图判断：与中哪一个适宜作为回归方程模型? (2)根据（1）的判断结果，试建立成本费y关于印刷册数x的回归方程； (3)利用回归方程估计印刷26000册图书的单册成本（结果保留两位小数）． 【答案】(1)绘图见解析，适宜作为回归方程模型； (2)； (3)成本约为元. 【详解】（1）由表格数据可得如下散点图，    显然，两者之间是某种非线性关系，故适宜作为回归方程模型. （2）令且，则，， ，，则， 所以，故. （3）由（2），将代入回归方程得元. 重难点07独立性检验的理解 【解题必备】 应用独立性检验解决实际问题的步骤 （1）提出零假设与相互独立,并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出列联表,计算的值,并与临界值比较. （3）根据检验规则得出推断结论: 当时,推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过； 当时,没有充分证据推断不成立,可以认为和独立. 例13．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 C．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 【答案】A 【详解】零假设为：爱好跳绳与性别无关. A.∵， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关.选项A正确. B. ∵， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关，但无法判断这个结论犯错误的概率是否超过.选项B错误. C.∵， ∴根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项C错误. D. ∵， ∴在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项D错误. 故选：A. 例14．（多选）在某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个玩偶．某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占而在未购买者当中，男生女生各占则下列说法中正确的是（    ） 参考公式和数据：，其中 A．若每个盲盒装有A，B，C三种样式玩偶的概率相同．某同学已经有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是 B．未购买过该盲盒的女生人数为70 C．由上述数据可知，可以在犯错误概率不超过的前提下认为“购买该款盲盒与性别有关” D．由上述数据可知，有把握认为“购买该款盲盒与性别有关”． 【答案】ABD 【详解】对于选项A，该同学再购买两个这款盲盒，基本事件有：，，，，，，，，，能收集齐这三种样式的基本事件有，，所以恰好能收集齐这三种样式的概率是，故A正确． 对于选项B，购买了该款盲盒的人有60人，由在这些购买者当中，女生占，所以购买了该款盲盒的人中男生有20人，女生40人，有140人没有购买，其中男生70人，女生70人，所以未购买过该盲盒的女生人数为70，故B正确． 对于选项C，由B选项可知，列联表如下： 男生 女生 合计 未购买过该款盲盒 70 70 140 购买过该款盲盒 20 40 60 合计 90 110 200 ，所以在犯错误概率不超过的前提下不能认为“购买该款盲盒与性别有关”，故C不正确． 对于选项D，由C可知，所以有把握认为“购买该款盲盒与性别有关”，故D正确． 故选：ABD 练习1．在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（   ） ①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系； ②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病； ③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病； ④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①④ 【答案】D 【详解】若的观测值满足，则我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系， 而得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有的可能性使推断出现错误， 但不能说明个吸烟的人中约有人患有肺病， 也不能说明每个吸烟的人有的可能性会患肺病. 故①④正确、②③错误. 故选：D 练习2．一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病人中，随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计7天内痊愈病例数，得到如下数据： 7天内未痊愈 7天内痊愈 对照组 30 170 实验组 20 280 根据表格数据，下列结论正确的是（    ） 参考公式及数据：，其中． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 A．在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 B．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 C．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 D．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 【答案】C 【详解】，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有影响， 因此在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故C正确，A错误. ，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有关， 因此在犯错误的概率不大于0.001的前提下，不可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故BD错误. 故选：C. 练习3．某中草药主要是通过清热解毒、宣肺理气来调理机体的气机和阴阳平衡，从而改善症状，可以达到减轻病情、缓解症状、缩短病程的作用.为了了解该中草药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据： 患流感 未患流感 服用药 3 17 未服用药 9 11 若由此认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，， 由临界值表可知，认为“该药物有效”， 则该结论出错的概率不超过0.05． 故选：A. 练习4．（多选）在一次独立性检验中得到如下列联表： 总计 200 800 1000 180 m 总计 380 已知，，根据上面的列联表，若依据小概率值的独立性检验，可以认为这两个分类变量A和B没有关系，则下列选项中m可能取到的为（    ） A．200 B．720 C．100 D．800 【答案】BD 【详解】由题意得， 对于A，当时，， 对于B，当时，， 对于C，当时，， 对于D，当时，， 故只有B，D符合题意，可以认为这两个分类变量A和B没有关系， 故选：BD 重难点08独立性检验的实际应用 例15．为了调查A，B两个地区的观众是否喜欢娱乐节目M，某电视台随机调查了A，B两个地区的2x名观众，已知从A，B两个地区随机调查的人数相同，A地区喜欢娱乐节目M的人数占A地区参与调查的总人数的，B地区喜欢娱乐节目M的人数占B地区参与调查的总人数的，若根据独立性检验认为喜欢娱乐节目M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则所有x构成的集合为 ． 附表：，其中． 0.050 0.010 3.841 6.635 【答案】 【详解】列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 A地区 B地区 合计 ， 由认为喜欢娱乐节目M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05， 得，则，解得，又是5的倍数， 则可以取的值为，所以x构成的集合为. 故答案为： 例16．新高考“3+3”模式中，考生除语文、数学、外语3门必考科目外，需从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，某研究机构为了解学生对全文（政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科.经统计，选择全文的男生有5人，选择全文的女生有15人. (1)估计高一年级的男生选择全文的概率； (2)请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择全文与性别有关. 选择全文 不选择全文 总计 男生 女生 总计 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中） 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）由题意可知抽取的25名男生中，选择全文的有5人， 故高一年级的男生选择全文的概率为：. （2）列联表如下： 选择全文 不选择全文 总计 男生 5 20 25 女生 15 10 25 总计 20 30 50 根据列联表中的数据得，， 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择全文与性别有关. 练习1．为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了使该活动的顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的相关关系，现对某年级的学生随机抽取了男、女同学各50名整理得到下列2×2联表： 感兴趣 不感兴趣 总计 男 50 女 50 总计 80 20 100 使得“有但没有的把握认为男女同学对足球感兴趣有差异”的的一个值为 ． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】35或36或44或45（写出一个即可） 【详解】， 依题意可知，解得或， 故的可能取值为35，36，44，45． 故答案为:35或36或44或45（写出一个即可）. 练习2．某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：    品牌 性别 男性 15 30 女性 30 25 (1)根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)； (2)根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联. 【详解】（1）由表格数据知，女性消费者偏好品牌的概率； （2）列联表如下，    品牌 性别 男性 15 30 45 女性 30 25 55 45 55 100 由题设，， 所以根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联. 练习3．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)分布列见解析， (2)答案见解析 【详解】（1）样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人， 所以随机变量的所有取值为. 则 ， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. （2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 练习4．社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 (1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关； (2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望． 附：，其中 【答案】(1)答案见解析，有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关 (2)分布列见解析， 【详解】（1）根据题意，可得如下的的列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 6 24 30 喜欢阅读纸质书 12 18 30 总计 18 42 60 则， 所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关. （2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名， 所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3； 由超几何分布的分布列可得，, ，； 所以X的分布列为： 0 1 2 3 则期望为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$