精品解析：江苏省灌云县第一中学2024-2025学年高二下学期阶段考试数学试卷

灌云县第一中学高二年级下学期阶段考试 数学试卷 一．选择题（8小题，每小题5分，共计40分） 1. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 的值为（ ） A. 64 B. 63 C. 62 D. 61 4. 八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 44种 D. 48种 5. 今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 日 6. 四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（ ） A. 56 B. 72 C. 36 D. 48 8. 曲线与曲线在处的切线平行，则的增区间为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（3小题，每小题6分，共计18分） 9. 已知双曲线过点和，则下列说法正确的是（ ） A. 实轴长为2 B. 焦距为4 C. 渐近线方程 D. 离心率为 10. 下列给出命题正确的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D. 两个不重合的平面的法向量分别是，，则 11. 定义“圆排列”：从个不同元素中选个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列方法数计为．圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以．现有个女生个男生共名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（ ） A. 共有种排法 B. 若两名女生相邻，则有种排法 C. 若男生甲位置固定，则有种排法 D. 若两名女生不相邻，共有种排法 三．填空题（3小题，每小题5分，共计15分） 12. 将两个2，两个3，一个4排成一行，则不同的排法种数为___________．（用数字作答） 13. 如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为__________. 14. 的展开式中的系数为，则的值为___________． 四．解答题（5小题，15题13分，16、17题，每题15分，18、19题，每题17分，共计77） 15. 设. （1）求的值； （2）求的值； （3）求值； 16. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. （1）求实数的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中系数最大的项. 18. 在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上点． （1）点到平面的距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 19. 已知数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灌云县第一中学高二年级下学期阶段考试 数学试卷 一．选择题（8小题，每小题5分，共计40分） 1. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式通项直接求解即可. 【详解】展开式通项为， 令，则， 即的展开式中含项的系数为. 故选：D. 2. 如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算转化即得. 【详解】由图可得，. 故选：A. 3. 的值为（ ） A. 64 B. 63 C. 62 D. 61 【答案】B 【解析】 分析】利用组合数公式进行求解即可. 【详解】， . 故选：B. 4. 八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 44种 D. 48种 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数及分步计数原理即可求解.. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①“土”包括“缶(fǒu)、埙(xūn)“2种乐器，在其中选出1种有2种选法， “丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器，在其中选出1种有4种选法， “竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器，在其中选出1种有3种选法， 测在三类乐器中各选1种乐器，有种选法； ②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，有种情况， 则有种不同的分配方法； 故选：A. 5. 今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 日 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理可得除以的余数，进而得到结论. 【详解】 ， ，能被整除， 又，再过天后是星期一. 故选：A. 6. 四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再根据点到面的距离的向量公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以点P到平面的距离即该四棱锥的高为. 故选：A. 7. 灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（ ） A. 56 B. 72 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①指导老师和站在两端，全排列即可；②中间5人分2种情况讨论：相邻且与相邻、相邻且不与相邻，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空，最后再由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①指导老师和站在两端，有种情况， ②中间5人分2种情况讨论： 若相邻且与相邻，有种安排方法， 若相邻且不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有安排方法，则有种不同的安排方法. 故选：B. 8. 曲线与曲线在处的切线平行，则的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两曲线的切线平行，列出方程求出的值，令，进而可得的增区间. 【详解】易知，， 因为曲线与曲线在处的切线平行， 所以，即，解得， 此时， 令解得，或， 则的增区间为，. 故选：A. 二．多选题（3小题，每小题6分，共计18分） 9. 已知双曲线过点和，则下列说法正确的是（ ） A. 实轴长为2 B. 焦距为4 C. 渐近线方程为 D. 离心率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将点和代入双曲线方程求出，再结合双曲线的实轴、焦距、渐近线以及离心率的定义判断即可. 【详解】因为双曲线过点和， 则，则， 对于A、实轴长为，故A正确； 对于B、焦距为，故B正确； 对于C、渐近线方程为，故C正确； 对于D、离心率为，故D错误. 故选：ABC 10. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D. 两个不重合的平面的法向量分别是，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据基底定义可知A错误；举特例判断B；根据向量与立体几何中的垂直与平行的关系可证得CD正确. 【详解】对于A，为空间的一组基底，不共线， ，，，共面， 不能作为空间的一组基底，A错误； 对于B，四点共面，如图，若，O为BC中点， 此时，只需即可，B错误； 对于C，，，或，C正确； 对于D，，，，D正确. 故选：CD. 11. 定义“圆排列”：从个不同元素中选个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列方法数计为．圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以．现有个女生个男生共名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（ ） A 共有种排法 B. 若两名女生相邻，则有种排法 C. 若男生甲位置固定，则有种排法 D. 若两名女生不相邻，共有种排法 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆排列定义，结合捆绑法、插空法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，根据圆排列公式可知名学生围坐成一圈，共有种排法，A正确； 对于B，将两名女生看作一个整体，有种排列方式；与名男生一起围成圆圈，则共有种排法，B正确； 对于C，若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，C错误； 对于D，先将名男生围坐成一圈，再在个空位中任选个，安排两名女生，则共有种排法，D正确. 故选：ABD. 三．填空题（3小题，每小题5分，共计15分） 12. 将两个2，两个3，一个4排成一行，则不同的排法种数为___________．（用数字作答） 【答案】30 【解析】 【分析】先给两个2找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排4即可. 【详解】由题意将两个2，两个3，一个4排成一行，可分两步进行； 第一步选2个空给两个1有种选法， 第二步选剩下的3个空给两个3有种选法， 最后剩一个空排4即可， 根据分步乘法计数原理有种排法， 故答案为：30 13. 如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 所以，点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 的展开式中的系数为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式通项公式直接构造方程求解即可. 【详解】展开式通项为：， 令，则；令，则； 展开式中的系数为，解得：. 故答案为：. 四．解答题（5小题，15题13分，16、17题，每题15分，18、19题，每题17分，共计77） 15. 设. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值； 【答案】（1）-1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令可求的值； （2）可得，再结合（1）可求的值； （3）由，结合（1）（2）可得答案. 【小问1详解】 令，则①； 【小问2详解】 ，则 ，则②； 得，③ 【小问3详解】 得，④ ④-③化简 16. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【小问1详解】 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 17. 已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. （1）求实数的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）2 （2）13440 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意依次列方程求得即可； （2）写出展开式通项，令，解得，回代即可； （3）利用不等式法求最大项即可. 【小问1详解】 因为二项式系数最大的项为第6项，所以，解得， 所以展开式为， 而展开式中第二项系数为20，从而，解得； 【小问2详解】 由（1）可知，展开式为， 令，解得，故所求为； 【小问3详解】 设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，即， 解得，所以， 所以展开式中系数最大的项为，经检验符合题意. 18. 在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． （1）点到平面的距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点在靠近的三等分点处 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. 【小问1详解】 过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. 【小问2详解】 因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． 【小问3详解】 设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得（舍去）或， 故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得（舍）或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处． 19. 已知数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设数列通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，，取值见解析. 【解析】 【分析】（1）利用的关系求得递推公式，变形可得为常数列，然后可得通项； （2）由，根据裂项相消法可得； （3）根据等差中项列式整理可得，由和都为正整数可解. 【小问1详解】 由①，当时，， 当时，②， ①-②得，即， 所以，所以， 当时，，上式也成立， 所以数列为常数列，， 所以. 【小问2详解】 由，， 则， 所以的前项和为 . 【小问3详解】 由（1）知. 要使成等差数列，则， 即，整理得，  因为，为正整数，所以只能取2，3，5. 当时，； 当时，； 当时，. 故存在正整数，使得成等差数列. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于将分裂为，然后根据裂项相消法即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $