专题03 一元一次不等式和一元一次不等式（组）（考题猜想，七大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

专题03 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （七大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 不等式的定义 · 题型二 不等式的性质（重点） · 题型三 一元一次不等式(组)的定义 · 题型四 解一元一次不等式(组)（高频） · 题型五 不等式组的解集求参数（重点） · 题型六 不等式组与方程组的结合问题（重点） · 题型七 一元一次不等式组的实际应用（高频） 【题型1】不等式的定义 1．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）下列各式是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【题型2】不等式的性质 4．（广东省深圳市蛇口育才教育集团2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京通州·期中）如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·海南海口·期中）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（山西太原市2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【题型3】一元一次不等式(组)的定义 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾．故人不可见，新知万里外．丹心照夙昔，鬓发日已改．我欲从灵均，三湘隔辽海．”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志．端午节是中国传统节日之一，丹东市气象台发布端午节的天气情况，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为t（），则t的变化范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【题型4】解一元一次不等式(组) 13．（2025年安徽省六安市部分学校中考三模数学试卷　）解不等式：． 14．（山西太原市2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷）下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解不等式． 解：去分母，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，合并同类项，得    第三步 两边都除以，得    第四步 所以，原不等式的解集为． 任务： (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是__________； (2)上述求解过程中，从第__________步发生错误，具体错误是__________； (3)直接写出该不等式的解集__________． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： (1)； (2)． 16．（24-25八年级下·广东深圳·期中）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 17．（山西太原市2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷）解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 18．（2025·四川眉山·二模）解不等式组 19．（2025年天津市红桥区九中考数学二模试卷）解不等式． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，0、1、2 21．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 22．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解下列不等式（组）： (1)． (2)． 23．（2025·山东济南·二模）解不等式（组）：，并写出它的整数解． 【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数 24．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）若不等式组的解集为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·福建漳州·期中）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·北京通州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ． 29．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如果一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是 ． 30．（24-25七年级下·四川内江·期中）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 31．（24-25八年级下·江西九江·期中）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【题型6】不等式组与方程组的结合问题 32．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 34．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 35．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 36．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 37．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【题型7】一元一次不等式组的实际应用 38．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．      如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 39．（24-25八年级上·云南迪庆·期末）科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元购买甲种图书的数量和用400元购买乙种图书的数量相同． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 40．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 41．（23-24七年级下·全国·课后作业）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 42．（24-25七年级下·重庆万州·期中）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元． (1)求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 43．（24-25七年级下·福建福州·期中）为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需120元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需210元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过7300元，那么文学类图书最多能买多少本？ 44．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 45．（2025七年级下·全国·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． $$专题03 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （七大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 不等式的定义 · 题型二 不等式的性质（重点） · 题型三 一元一次不等式(组)的定义 · 题型四 解一元一次不等式(组)（高频） · 题型五 不等式组的解集求参数（重点） · 题型六 不等式组与方程组的结合问题（重点） · 题型七 一元一次不等式组的实际应用（高频） 【题型1】不等式的定义 1．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）下列各式是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有A符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键． 根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 【详解】解：根据题意可得：这天气温的变化范围是， 故选：D． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 【题型2】不等式的性质 4．（广东省深圳市蛇口育才教育集团2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质，逐一推导筛选即可得到答案． 【详解】解：A，，，，故此选项错误； B，，，故此选项正确； C， ，，，故此选项错误； D，，，，故此项错误； 故选：B． 5．（24-25七年级下·北京通州·期中）如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原不等式正确，符合题意； B、由可得，原不等式不正确，不符合题意； C、由可得，原不等式不正确，不符合题意； D、由不一定得到，例如，但是，原不等式不正确，不符合题意； 故选：A 6．（24-25七年级下·海南海口·期中）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，即不等号的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）一个负数，不等号的方向改变，熟知性质是解题的关键．根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：A 、 ， ，故A错误； B、 ， ，故B错误； C、 ， ，故C错误； D、 ， ，故D正确； 故选：D． 7．（山西太原市2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，此选项符合题意； 、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 故选：． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵ ∴，故本选项不符合题意； B、∵，∴，故本选项不符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，∴，故本选项符合题意． 故选：D． 9．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，不等式的性质，掌握以上性质是解题的关键． 由图可知，，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由图可知，，则有： A、，原不等式不成立，A不符合题意； B、，原不等式不成立，B不符合题意； C、，原不等式成立，C符合题意，正确； D、，原不等式不成立，D不符合题意． 故选：C． 【题型3】一元一次不等式(组)的定义 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐一判断即可得． 【详解】解：A、中的次数为2，不是一元一次不等式，故本项不符合题意； B、含有2个未知数x、y，不是一元一次不等式，故本项不符合题意； C、是一元一次不等式，故本项符合题意； D、中是分式，不是一元一次不等式，故本项不符合题意； 故选：C． 11．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾．故人不可见，新知万里外．丹心照夙昔，鬓发日已改．我欲从灵均，三湘隔辽海．”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志．端午节是中国传统节日之一，丹东市气象台发布端午节的天气情况，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为t（），则t的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式组，根据题意列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：t的变化范围是， 故选D． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 【题型4】解一元一次不等式(组) 13．（2025年安徽省六安市部分学校中考三模数学试卷　）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，根据解不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得.， 系数化为1，得． 14．（山西太原市2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷）下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解不等式． 解：去分母，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，合并同类项，得    第三步 两边都除以，得    第四步 所以，原不等式的解集为． 任务： (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是__________； (2)上述求解过程中，从第__________步发生错误，具体错误是__________； (3)直接写出该不等式的解集__________． 【答案】(1)不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2)四；两边都除以时，不等号的方向没有改变 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质． （1）根据不等式的性质即可解答； （2）根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可； （3）按照正确的解法求出解集即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是不等式的性质2：在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：根据题意：上述求解过程中，从第四步发生错误，具体错误是在不等式两边同时乘（除以）同一个负数，不等号的方向改变，即两边都除以时，不等号的方向没有改变； （3）解：解不等式， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得， 所以，原不等式的解集为． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再在数轴上表示即可； （2）去分母、去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将不等式的解集表示在数轴上如下： ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 将不等式的解集表示在数轴上如下： ． 16．（24-25八年级下·广东深圳·期中）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可. 【详解】解： ∴ ∴ 解得： 解集在数轴上表示如下： 17．（山西太原市2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷）解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式的性质． 根据不等式的性质分别求解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，写出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，原不等式组的解集为：． 在数轴上，表示如下： 18．（2025·四川眉山·二模）解不等式组 【答案】 【分析】此题考查了解不等式组．求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 所以不等式组的解集为：． 19．（2025年天津市红桥区九中考数学二模试卷）解不等式． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示不等式的解集、解不等式组等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）直接根据移项、合并同类项并运用不等式的性质系数化为1即可解答； （2）直接根据移项、合并同类项并运用不等式的性质系数化为1即可解答； （3）直接将两不等式的解集在数轴上表示出来即可； （4）根据（3）的数轴直接写出解集即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）由（3）的数轴可得：该不等式组的解集为：． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，0、1、2 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的非负整数解为0、1、2． 21．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】．图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组．先解出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 22．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解下列不等式（组）： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次不等式（组）的求解，熟练掌握不等式的求解方法和步骤是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、系数化为1步骤，求解即可； （2）分别求解出不等式组中每个不等式的解集即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得：； （2）解：， 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 23．（2025·山东济南·二模）解不等式（组）：，并写出它的整数解． 【答案】，不等式组的所有整数解为0，1，2，3 【分析】本题考查解一元一次不等式组、求不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集是解答的关键．先求得每个不等式的解集，再求得其公共部分即可得不等式的解集，进而可求解． 【详解】解： 由①得； 由②得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为0，1，2，3． 【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数 24．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）若不等式组的解集为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、不等式组解集的确定方法，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解题的关键． 根据“同大取大”的不等式解集确定方法进行解答即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． 故选：A 25．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查已知不等式组的解集，求字母的取值范围，根据不等式组的解集得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选：C 26．（24-25八年级下·福建漳州·期中）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集求参数．表示出不等式组的解集，由不等式组有3个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：∵不等式组有整数解， ∴， ∵不等式组有3个整数解，即，0，1， ∴， 解得：， 故选：A． 27．（24-25七年级下·北京通州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的问题，不等式组无解，即两个不等式的解集无公共部分，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故选：． 28．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有个整数解即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 故答案为：． 29．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如果一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组，对于端点值的确定是解题关键. 由不等式组的解集为，根据“同大取大”可知. 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为, ∴， 故答案为：. 30．（24-25七年级下·四川内江·期中）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．先分别求出不等式①②的解，再根据不等式组有解进行解答即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵关于x的不等式组有解， ． 解得． 故答案为：． 31．（24-25八年级下·江西九江·期中）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于的不等式组只有一个整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 关于的不等式组只有一个整数解， ， 故答案为：． 【题型6】不等式组与方程组的结合问题 32．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 33．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 34．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 35．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 36．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 37．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 【题型7】一元一次不等式组的实际应用 38．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．      如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)见解析 【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键． （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． （3）解：有3种方案， 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 39．（24-25八年级上·云南迪庆·期末）科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元购买甲种图书的数量和用400元购买乙种图书的数量相同． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书每本为 30元，乙种图书每本为 20元 (2)共有 6 种购买方案 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【详解】（1）设乙种图书每本为 x 元，则甲种图书每本为元， 根据题意得： 解得：， 经检验， 是分式方程的根，且符合题意， ∴（元）， 答：甲种图书每本为 30 元，乙种图书每本为 20 元； （2）设购买甲种图书 a 本，由题意可得： 解得：， ∵a 为整数， ∴a 可取 20，21，22，23，24，25， ∴共有 6 种购买方案． 40．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 41．（23-24七年级下·全国·课后作业）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)A型机器人的单价为4500元；B型机器人的单价为3000元 (2)商场应购买A型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程组即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设型机器人进价为元，购进型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即型机器人进价为 3000 元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人 3 台，型机器人 2 台，总费用为 19500 元． 42．（24-25七年级下·重庆万州·期中）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元． (1)求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)共有3种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球；总费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意，得， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元． 43．（24-25七年级下·福建福州·期中）为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需120元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需210元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过7300元，那么文学类图书最多能买多少本？ 【答案】(1)科技类图书每本15元，文学类图书每本30元 (2)文学类图书最多能买186本 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组． （1）设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据两种购买方案列出方程组求解即可； （2）设文学类图书能买本，根据不等量关系列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元． 依题意，得 解得 答：科技类图书每本15元，文学类图书每本30元． （2）解：设文学类图书能买本． 依题意，得 解得即． 又∵为整数 ∴的最大值为186． 答：文学类图书最多能买186本 44．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 【答案】11或12人 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出，且，分别求出即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 【详解】解：假设学生有x人， 根据题意得出：， 解得：． ∵x是正整数， ∴符合条件的x的值是11或12， 即学生人数为11或12人． 45．（2025七年级下·全国·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． $$