专题01 整式的乘除（考题猜想，十一大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版2024）

专题01 整式的乘除（十一大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 同底数幂的乘除法运算 · 题型二 幂的乘方与积的乘方（高频） · 题型三 零指数幂和负整数的指数幂 · 题型四 科学计数法-表示较小的数 · 题型五 整式的乘法（高频） · 题型六 整式乘法的应用（重点） · 题型七 整式除法运算（高频） · 题型八 平方差及几何意义（易错） · 题型九 完全平方及几何意义 · 题型十 整式的混合运算 · 题型十一 整式的化简求值 【题型1】同底数幂的乘除法运算 1．计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，则（　　） A． B．1 C． D． 4．已知，则的值为 ． 5．已知，则 ． 【题型2】幂的乘方与积的乘方 6．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．计算： ． 9．若，，则 ． 【题型3】零指数幂和负整数的指数幂 10．计算：（   ） A．0 B．1 C． D． 11．若，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 12．计算 ． 13．计算： ． 14．计算：． 15．计算：． 16．计算：． 【题型4】科学计数法-表示较小的数 17．新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 18．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只在左右，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 19．某种细胞的直径大约是米．用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 20．“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生．”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，杨絮、柳絮除了带给人们春天的讯息外，也会让人们不堪其扰．据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 21．如图所示是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（   ）    A． B． C． D． 【题型5】整式的乘法 22．已知的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 23．计算： ． 24．计算： ． 25．计算： (1)； (2)． 26．计算： 【题型6】整式乘法的应用 27．用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（    ） A． B． C． D． 28．如图，有，两类正方形卡片和类长方形卡片若干张．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片张，类卡片 张，类卡片 张．    29．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 30．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积； (2)若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 31．如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【题型7】整式除法运算 32．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 33．计算： ． 34． ． 35．一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为 ． 36．已知一个矩形的面积为，若一边长为，则另一边长为 ． 37．计算：． 38． 计算：． 39．计算：． 【题型8】平方差及几何意义 40．四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（    ） A． B． C． D． 41．如图，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形，由此可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 42．综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 43．乘法公式的探究及应用 (1)如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)当，时，则____________； (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【题型9】完全平方及几何意义 44．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释．那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（    ） A． B． C． D． 45．将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)填空：①若，则 ； ②若，则 ． (3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 46．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是 ． (2)观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决问题：若，求的值． 47．如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________ (2)利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，则的值为___________； ②已知，求的值； (3)两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和． 48．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 【教材还原】 观察图①，用含字母的等式表示图中图形面积的运算：_______； 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_______； （2）根据图②所得的公式，若，，则_______． 【解决问题】 如图③，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 【题型10】整式的混合运算 49．计算 (1) (2)． 50．计算： (1)； (2)． 51．计算： (1)； (2)． 52．计算： 【题型11】整式的化简求值 53．先化简，再求值：，其中． 54．先化简，再求值：，其中． 55．先化简，再求值：，其中． 56．先化简，再求值：，其中，． $$专题01 整式的乘除（十一大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 同底数幂的乘除法运算 · 题型二 幂的乘方与积的乘方（高频） · 题型三 零指数幂和负整数的指数幂 · 题型四 科学计数法-表示较小的数 · 题型五 整式的乘法（高频） · 题型六 整式乘法的应用（重点） · 题型七 整式除法运算（高频） · 题型八 平方差及几何意义（易错） · 题型九 完全平方及几何意义 · 题型十 整式的混合运算 · 题型十一 整式的化简求值 【题型1】同底数幂的乘除法运算 1．计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．将原式变形为，得到，即可求解． 【详解】解： ， ， 故选：C． 3．已知 ，则（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由可得，，再由即可求解．本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键是由得出，的值． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故选：D． 4．已知，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法， 根据可得出，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 5．已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法等知识点，灵活运用幂的乘方的逆用法则是解题的关键． 由，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 【题型2】幂的乘方与积的乘方 6．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方．根据积的乘方运算法则求解即可． 【详解】 故选：A 7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则，有理数的大小比较方法是解题的关键．先根据幂的乘方逆运算，将a，b，c变形为，，，然后再指数相同，底数越大值就越大进行比较即可． 【详解】解：，，， 且， ， ． 故选：D． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握是解题的关键． 直接运用幂的乘方、积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 9．若，，则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，，结合同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴原式． 故答案为：16． 【题型3】零指数幂和负整数的指数幂 10．计算：（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了零指数幂，根据进行解答即可． 【详解】解： 故选：B 11．若，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，有理数大小的比较，掌握两个幂的性质是关键；先计算出零指数幂与负整数指数幂，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：B． 12．计算 ． 【答案】10 【分析】本题考查负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂、零指数幂法则进行解题即可． 【详解】解：原式， 故答案为：10． 13．计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，有理数的加减混合运算．利用负整数指数幂，零指数幂计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 14．计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后再计算加减法即可． 【详解】解： ． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、负指数幂、绝对值和有理数的加减运算，掌握“任何不等于0的数的0次幂都等于1”、“当是正整数时，”是解题关键． 根据零指数幂与负指数幂的公式进行计算即可． 【详解】解： ． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂．先根据乘方的意义，零指数幂和负整数指数幂的意义计算，再算加减． 【详解】解： ． 【题型4】科学计数法-表示较小的数 17．新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：， 故选：C． 18．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只在左右，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故A正确． 故选：A． 19．某种细胞的直径大约是米．用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：D． 20．“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生．”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，杨絮、柳絮除了带给人们春天的讯息外，也会让人们不堪其扰．据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确． 故选：C． 21．如图所示是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选C． 【题型5】整式的乘法 22．已知的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式； 根据多项式乘以多项式的运算法则对展开，然后根据结果中不含x的一次项可知一次项系数为0，进而可求出a的值． 【详解】解：， ∵的计算结果中不含x的一次项， ∴， ∴， 故选：C． 23．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多单项式乘多项式，由单项式与多项式相乘的运算法则即可计算． 【详解】解：， 故答案为：． 24．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘多项式．根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则． （1）先利用单项式乘单项式的法则进行运算，再计算积的乘方，最后合并同类项即可； （2）根据单项式乘以多项式，多项式除以单项式的运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 26．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的计算法则去计算，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【题型6】整式乘法的应用 27．用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算：利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解： ； ∵ ∴ 故选：B． 28．如图，有，两类正方形卡片和类长方形卡片若干张．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片张，类卡片 张，类卡片 张．    【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算与几何的综合题，将拼图问题巧妙转化为整式的乘法运算（面积问题）是解题的关键． 首先分别计算大长方形和三类卡片的面积，再进一步根据大长方形的面积应等于三类卡片的面积之和进行分析，即可得出所需三类卡片的数量． 【详解】解：长为，宽为的长方形面积为， 类卡片面积为，类卡片面积为，类卡片面积为， 则可知需要类卡片张，类卡片张，类卡片张， 故答案为：；． 29．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 【答案】(1)，； (2)420平方米，930平方米； (3)88500元 【分析】本题考查整式乘法的应用． （1）根据长方形面积公式即可求解； （2）代入（1）中的式子计算即可； （3）根据每平方米的费用乘以面积计算即可． 【详解】（1）解：（平方米） （平方米） （2）当米，米时 （平方米） （平方米） （3）（元） 30．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积； (2)若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)该小区绿化的总面积平方米； (2)完成绿化共需要元． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的关键． （1）绿化的总面积矩形面积个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案； （2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为元/平方米，即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意得： ， 答：该小区绿化的总面积平方米； （2）解：当，时， ， ∴（元） 答：完成绿化共需要元． 31．如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【答案】(1)（平方米） (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积； （2）根据题意求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：原式 ， 代数式的值与的取值无关， ，， ， （平方米）， 绿化面积的值为． 【题型7】整式除法运算 32．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，进行计算即可 本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除． 【详解】解： 故选：A 33．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式除以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 34． ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则． 根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 【详解】解： ， 故答案为：． 35．一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是多项式除以单项式的应用，本题利用长方形的面积除以宽即可得到长方形的长． 【详解】解：长方形的长为：； 故答案为： 36．已知一个矩形的面积为，若一边长为，则另一边长为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵长方形的面积为，一边长为， ∴另一边长为：． 故答案为：． 37．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据单项式与单项式的除法、积的乘方，再算括号，后算除法． 【详解】解：原式      ． 38．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 39．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键； 根据整式混合运算法则，先计算括号内的然后计算括号即可解答． 【详解】解：原式= ． 【题型8】平方差及几何意义 40．四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平行四边形和正方形面积公式表示出阴影部分的面积． 根据平行四边形面积公式求出第一个图形的面积，根据正方形面积公式求出第二个图形阴影的面积．即可求出答案． 【详解】解：由第二个图形看出，第一个图形的高为， 面积是， 第二个图形阴影的面积是， ∵两个图形的阴影部分的面积相等， ∴， 故选：A． 41．如图，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形，由此可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是平方差公式的几何推导，解题关键是正确理解题意． 分别表示出两个图形的阴影部分的面积，通过面积相等得到等式，即可得出选项． 【详解】解 ：由图①得：阴影部分面积， 由图②得：阴影部分面积， 即有． 故选：． 42．综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）求出图、阴影部分面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：图阴影部分面积为，图阴影部分面积为， 则述操作可以得到一个公式：， 故答案为：； （2）解：由（）得： ； （3）解：原式 ． 43．乘法公式的探究及应用 (1)如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)当，时，则____________； (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1)D (2)2 (3)①2；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算； ②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； （2）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：2； （3）解：① ； ② . 【题型9】完全平方及几何意义 44．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释．那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式用代数式表示图乙中，空白正方形的面积即可． 【详解】解：图2中，空白正方形的边长为，因此面积为，还可以表示为：， 所以，此等式是， 故选：C． 45．将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)填空：①若，则 ； ②若，则 ． (3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（）利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）①利用完全平方公式的变形运算计算即可；②利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）由体题意可得，，，即得，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算，完全平方公式与几何图形，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意可得，，， ∵长方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积和为． 46．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是 ． (2)观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决问题：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题考查了矩形的拼图，正方形的性质和判定，分割法求图形的面积，公式的应用，熟练掌握图形的性质和特点，明确两幅图中空白区域面积的计算方法及它们面积相等是解题的关键. （1）图2的阴影部分的正方形的边长等于小长方形长减去宽； （2）图2大正方形边长为，面积为，阴影小正方形的边长为，面积， 4个长方形的面积和为，大正方形面积等于小正方形面积加4个小长方形面积； （3）根据（2）中结论有，把代入计算即得． 【详解】（1）解：图2的阴影部分的正方形的边长； 故答案为：； （2）解：∵图2整体上是边长为的正方形， ∴面积为， ∵中间阴影小正方形的边长为， ∴面积， ∵空白4个长方形的面积和为， ∴有； （3）解：∵， ∴， 即， ∴． 47．如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________ (2)利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，则的值为___________； ②已知，求的值； (3)两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2)，13 (3)8 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答． （2）①直接把数值代入进行计算，即可作答． ②根据，然后代入数值化简计算，即可作答． （3）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积 则； 故答案为：； （2）解：①与（1）同理得， ∵， ∴， ∴ ∴； ②∵ ∴ ， 故答案为：，13； （3）解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 48．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 【教材还原】 观察图①，用含字母的等式表示图中图形面积的运算：_______； 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_______； （2）根据图②所得的公式，若，，则_______． 【解决问题】 如图③，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 【答案】教材还原：；类比探究：（1）；（2）5；解决问题：种草区域的面积为23 【分析】本题考查了完全平方公式和几何图形的关系，利用图形得出完全平方公式的变式，据此解决问题； 教材还原：用不同的方式求面积即可得出； 类比探究：（1）根据阴影部分面积等于大正方形面积减去两个白色长方形面积即可求解； （2）根据图②所得的公式求解即可； 解决问题：根据类比探究得出的公式求解即可． 【详解】解：教材还原：图①等号左边大正方形的面积为，等号右边三部分面积和为， 用含字母的等式表示图中图形面积的运算为：； 故答案为： 类比探究：（1）阴影部分由两个正方形组成，面积和为，也可以看作大正方形减去两个白色长方形面积，面积和为， 用等式表示图中阴影部分图形的面积和为， 故答案为：； （2）把，代入得，， 解得，， 故答案为：； 解决问题：∵于点，，，该校计划在和区域内种花，经测量种花区域的面积为， ∴，即， ∵，即， 根据可得，， 解得，， 在和的区域内种草，种草区域的面积为， 所以种草区域的面积为23． 【题型10】整式的混合运算 49．计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得解； （2）先根据单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 50．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式利用单项式乘多项式，以多项式除以单项式法则计算即可； （2）原式利用完全平方公式，以及多项式乘多项计算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 51．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可； （2）先计算乘方和除法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 52．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式根据完全平方公式和平方差公式将括号展开后再合并即可得到结果． 【详解】解： 【题型11】整式的化简求值 53．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式化简中括号内的算式，根据多项式除单项式的运算法则将原式化简，再将x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 54．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，求代数的值，先根据平方差公式、多项式乘以多项式法则，合并同类项法则以及多项式除以单项式法则化简，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 55．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 56．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式混合运算，先根据平方差公式和完全平方公式以及整式除法运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． $$