清单04 随机变量的分布列、均值与方差（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期人教B版

清单04 随机变量的分布列、均值与方差 清单01 随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 3.离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 4.离散型随机变量的方差 我们称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 5.均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则， 清单02 n次独立重复试验及二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 3.二项分布的期望和方差 若离散型随机变量服从二项分布，即，则， 清单03 超几何分布 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 清单04 正态分布 1.正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2.正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3.三个特殊区间内取值的概率值及原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 【考点题型一】求离散型随机变量的分布列（） 【例1】甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击. (1)求甲获胜的概率； (2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差. 【变式1-1】随机变量的分布列是 1 2 3 P 则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立． (1)求甲同学通过测试的概率； (2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望． 【变式1-4】将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求X的期望及方差. 【考点题型二】均值、方差性质的应用（） 【例2】（多选）设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（   ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A． B． C． D． 【变式2-1】已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.3 则（    ） A．2.4 B．6.4 C．12 D．16 【变式2-2】已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（   ） A． B．5 C．7 D．21 【变式2-3】计算机二级资格证考试包括语言程序设计、数据库程序设计和办公软件高级应用三类科目，每年可以考3次，分别在3月、5月和9月进行，一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立． (1)求李明在一年内领到计算机二级资格证书的概率； (2)求李明在一年内参加考试次数X的分布列及期望； (3)已知每次考试报名费用为200元，求李明一年内参加考试花费的费用Y的期望． 【变式2-4】小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 【考点题型三】二项分布的均值与方差公式应用（） 【例3】已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知随机变量，若，则 . . 【变式3-2】已知随机变量，，且，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式3-3】一批排球中正品有个，次品有个，，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，表示抽到的次品个数，则 ；若，则 . 【变式3-4】为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 【考点题型四】二项分布（） 【例4】某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的概率分布和数学期望. 【变式4-1】某商场迎新游园摸彩球赢积分活动规则如下：已知箱子中装有1个红球3个黄球，每位顾客有放回地依次取出3个球，则摸到一个红球两个黄球的概率为 ；若摸到一个红球得2积分，则顾客获得积分的期望为 ． 【变式4-2】慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示． (1)求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）； (2)已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率； (3)用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望． 【变式4-3】某学校为了了解高三年级的学生参加户外拓展意愿的情况， 随机抽取了 50 位高三学生进行问卷调查，其中参加户外拓展的意愿分 3 种情况，每种情况对应的人数如下表所示: 意愿情况 非常期待 无所谓 不愿意 人数 30 15 5 (1)若从样本中随机抽取 2 位学生，求所抽取的 2 位学生意愿情况不同的概率. (2)用样本估计总体，以频率代替概率. 若从高三年级所有学生中随机抽取 2 位学生，记所抽取的学生意愿情况为非常期待的人数为 ，求 的分布列与数学期望. 【变式4-4】为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图. (1)以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数，求的分布列和方差； (2)用按比例分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中成绩落在的人数，求的数学期望. 【考点题型五】超几何分布（） 【例5】某次测验满分为100分，组和组各有10人参加，成绩如下表： 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀． (1)从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率； (2)从组中随机抽取1名学生，再从组中随机抽取1名学生．用随机变量表示这两人的成绩为优秀的人数，求的分布列和数学期望； 【变式5-1】某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言. (1)求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率； (2)设表示选出的3人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望. 【变式5-2】某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀. (1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； (2)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望. 【变式5-3】某冰糖橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 20 30 40 (1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是特极品的概率； (2)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的一级品的箱数，求的分布列及均值， 【变式5-4】某超市货架上并排放有同种品牌和型号的2个黄色、2个红色和1个蓝色书包，李老师从货架上随机取下个进行挑选． (1)若李老师购买其中的3只书包奖励给班上的3位同学，求不同的安排总数； (2)若，用随机变量表示红色书包的个数，求随机变量的分布列及期望； (3)若，假设李老师取下后又随机放回，求书包还是按照原来颜色顺序排列的概率． 【考点题型六】利用均值与方差进行决策（） 【例6】某科技企业为推广其AI搜索，举行每天登录并使用AI搜索可获得积分的活动，积分在活动结束后可用于抽奖赢话费.经统计参与者最终获得的积分服从正态分布，且. (1)从参与者中随机抽取3人，记积分在内的人数为，求的分布列. (2)该企业为参与者制订了两种抽奖赢话费方案： 方案一，参与者的积分不低于的可抽奖2次，低于的只能抽奖1次，每次抽奖获得50元、20元话费的概率分别为，. 方案二，参与者只能抽奖1次，抽奖获得100元、50元、0元话费的概率分别为，，. 分析参与者采用哪种方案获得话费金额的期望比较大. 【变式6-1】分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． (1)若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； (2)若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； (3)若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 【变式6-2】甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【变式6-3】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 【变式6-4】某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图． 注：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率． (1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为，求的分布列与期望； (2)从产品中随机抽取个，全是合格品的概率不小于，求的最大值； (3)为了提高产品合格率，现提出两种不同的改进方案进行试验．若按方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数的期望是2；若按方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数的期望是4．你会选择哪种改进方案？ 【考点题型七】服从二项分布的概率最值问题（） 【例7】为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【变式7-1】如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-2】抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为，则随机变量X的期望是 ；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 【变式7-3】建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下：①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局；②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止；③若4局后一方未多得2分，比赛也终止.假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立. (1)求比赛局数为的概率； (2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率； (3)将（1）中作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为，求使得最大的的值. 【变式7-4】在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰，某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，，，且3道题目答对与否互不影响. (1)设X表示这20人中晋级的人数，求； (2)记这20人中人晋级的概率为，求取得最大值时k的取值. 【考点题型八】正态曲线及其性质（） 【例8】（多选）若随机变量，则（    ） A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称 C． D．若，则， 【变式8-1】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从如图的正态分布.星期一李明出门有可用，他应该选择 交通工具；星期二李明出门有可用，他应该选择 交通工具； 【变式8-2】（多选）若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 【变式8-3】若随机变量，且，则 ． 【变式8-4】已知随机变量，且，则的最小值为 . 【考点题型九】正态分布的概率计算（） 【例9】（多选）已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取5人，记在区间的人数为X，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（    ） A． B． C． D．对于任意的正数t，恒有 【变式9-3】在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且. (1)若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数； (2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）. 参考数据：若，则. 【变式9-4】“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【考点题型十】多个分布的结合（） 【例10】天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 【变式10-1】已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； (2)求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列． 【变式10-2】为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【变式10-3】已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为. (1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率； (2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为，求的数学期望. 【变式10-4】根据中华人民共和国国家标准（GB 2890-2009），级防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准，某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布. (1)某质检员随机从生产线抽检10件产品，测量出一只产品的滤烟效率为93.0%.他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况.请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据； (2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”. ①求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率； ②该企业生产了1000件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记为这1000件产品中“优质品”的件数，当为多少件时可能性最大（即概率最大）？ 参考数据：，， . 13 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 随机变量的分布列、均值与方差 清单01 随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 3.离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 4.离散型随机变量的方差 我们称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 5.均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则， 清单02 n次独立重复试验及二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 3.二项分布的期望和方差 若离散型随机变量服从二项分布，即，则， 清单03 超几何分布 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 清单04 正态分布 1.正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2.正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3.三个特殊区间内取值的概率值及原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 【考点题型一】求离散型随机变量的分布列（） 【例1】甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击. (1)求甲获胜的概率； (2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，均值为，方差为 【详解】（1）记甲第次射中并获胜为，则彼此互斥， 记事件B表示甲获胜，则 （2）的所有可能的取值为1，2，3， 则 所以的分布列为： X 1 2 3 p 所以的均值为： 所以的方差为： 【变式1-1】随机变量的分布列是 1 2 3 P 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由表可得，故, 故选：C 【变式1-2】已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量X，Y均服从两点分布，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：A. 【变式1-3】体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立． (1)求甲同学通过测试的概率； (2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次， 则. （2）若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次， 所以乙通过测试的概率为， 由题意可知，随机变量的可能取值有0，50，100， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 50 100 故. 【变式1-4】将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求X的期望及方差. 【答案】(1)答案见解析 (2)； 【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：，，，， 所以，， ，， 所以分布列为 （2）， 【考点题型二】均值、方差性质的应用（） 【例2】（多选）设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（   ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由分布列的性质有，可得，故A对； 对于B，由，故B对； 对于C，， ，故C对； 对于D，所以，故D错. 故选：ABC 【变式2-1】已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.3 则（    ） A．2.4 B．6.4 C．12 D．16 【答案】D 【详解】易知，解得， 所以， 可得. 故选：D 【变式2-2】已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（   ） A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【详解】由题意：. 所以. 所以. 故选：D 【变式2-3】计算机二级资格证考试包括语言程序设计、数据库程序设计和办公软件高级应用三类科目，每年可以考3次，分别在3月、5月和9月进行，一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立． (1)求李明在一年内领到计算机二级资格证书的概率； (2)求李明在一年内参加考试次数X的分布列及期望； (3)已知每次考试报名费用为200元，求李明一年内参加考试花费的费用Y的期望． 【答案】(1) (2)答案见详解 (3)304元 【详解】（1）由题，李明在一年内领到计算机二级资格证书分3种情况，第一次领证，第二次领证，第三次领证， 所以概率为. （2）的取值分别是， ，，， 所以李明参加考试次数的分布列为： 1 2 3 . （3）已知每次考试报名费用为200元，考试次数为，则花费的费用， 所以元. 所以李明一年内参加考试花费的费用的期望为元. 【变式2-4】小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件， 小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件， ， 故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为， （2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王）， 则， 由数学期望的性质可知， 对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布， ； ； 则. 【考点题型三】二项分布的均值与方差公式应用（） 【例3】已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 又， 因为，所以，解得. 故选：D 【变式3-1】已知随机变量，若，则 . . 【答案】 【详解】因为且，所以，解得， 则，所以. 故答案为：； 【变式3-2】已知随机变量，，且，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】易得，，由， 得，即，由知， 故，，， 而，， 故． 故选：C． 【变式3-3】一批排球中正品有个，次品有个，，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，表示抽到的次品个数，则 ；若，则 . 【答案】 3 【详解】每次随机取一个是次品的概率为， 由题意知，随机变量， 所以 则方差，又，则， 解得， 故答案为: ；3. 【变式3-4】为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 【答案】(1) (2)期望为，方差为 【详解】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时， 则，，，， 由全概率公式可得， 由条件概率公式可得. 因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为. （2）从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为， 由题意可知，所以，，. 【考点题型四】二项分布（） 【例4】某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的概率分布和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入问题表达不清晰”， 由题意可知，，，，， 由全概率公式得， 故智能客服的回答被采纳的概率为. （2）由题意得，的可能取值为，且， ，， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故X的数学期望为. 【变式4-1】某商场迎新游园摸彩球赢积分活动规则如下：已知箱子中装有1个红球3个黄球，每位顾客有放回地依次取出3个球，则摸到一个红球两个黄球的概率为 ；若摸到一个红球得2积分，则顾客获得积分的期望为 ． 【答案】 【详解】根据题意，一次摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为， 所以每位顾客有放回地依次取出3个球，则摸到一个红球两个黄球的概率为， 设每位顾客有放回地依次取出3个球，摸到红球的个数为，则， 设该顾客获得积分为，则， 所以. 所以顾客获得积分的期望为. 故答案为：； 【点睛】本题考查二项分布及其期望，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得一次摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，进而设每位顾客有放回地依次取出3个球，摸到红球的个数为，该顾客获得积分为，且，再结合二项分布求解. 【变式4-2】慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示． (1)求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）； (2)已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率； (3)用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望． 【答案】(1)，56.7 (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）根据题意可得，解得； 因为前3组的频率依次为0.1，0.2，0.3，， 所以中位数在50和60之间，设中位数为，则，解得， 所以该市群众每天慢跑时长的中位数约为56.7. （2）慢跑时长在分钟内有人， 因为男生数与女生数之比为，所以其中男生6人，女生4人， 记“随机抽取2人进行采访，2人均为男生”为事件， 所以. （3）因为用样本估计总体，所以任取1人时长在的概率为， 随机变量服从二项分布，即，的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列如下表： X 0 1 2 3 P . 【变式4-3】某学校为了了解高三年级的学生参加户外拓展意愿的情况， 随机抽取了 50 位高三学生进行问卷调查，其中参加户外拓展的意愿分 3 种情况，每种情况对应的人数如下表所示: 意愿情况 非常期待 无所谓 不愿意 人数 30 15 5 (1)若从样本中随机抽取 2 位学生，求所抽取的 2 位学生意愿情况不同的概率. (2)用样本估计总体，以频率代替概率. 若从高三年级所有学生中随机抽取 2 位学生，记所抽取的学生意愿情况为非常期待的人数为 ，求 的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【详解】（1）设事件 “选取的2位学生意愿相同”,则, 则所抽取的位学生意愿情况不同的概率 （2）记所抽取的学生意愿情况为非常期待的人数为, 则根据题意，则, 则， ， 则的分布列为 则. 【变式4-4】为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图. (1)以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数，求的分布列和方差； (2)用按比例分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中成绩落在的人数，求的数学期望. 【答案】(1)分布列见解析，， (2) 【详解】（1）由题可得成绩在内的概率为， 所以， 的可能取值为， 又，， ，， 所以的分布列为 . （2）由频率分布直方图性质可得，所有的矩形条的面积之和为， ，解得， 所以成绩在，的两组的频率之比为， 所以抽取的人中，有个成绩在，个在， 由题知的可能取值为， 又，，，， 所以随机变量的分布列为 所以的数学期望为. 【考点题型五】超几何分布（） 【例5】某次测验满分为100分，组和组各有10人参加，成绩如下表： 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀． (1)从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率； (2)从组中随机抽取1名学生，再从组中随机抽取1名学生．用随机变量表示这两人的成绩为优秀的人数，求的分布列和数学期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）记学生成绩为良好的概率为． 组中良好的学生有5人，再从组中良好的学生有7人， 从两组中任取1名学生，该名学生成绩为良好的概率为 （2）根据题意得，A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人，的可能取值为0，1，2 则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 P 因此，的数学期望 【变式5-1】某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言. (1)求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率； (2)设表示选出的3人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）记“选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数”为事件. 若选出的3人中有高一年级1人，有种取法； 若选出的3人中有高一年级2人，有种取法； 所以. （2）由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3. ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【变式5-2】某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀. (1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； (2)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）依题意，得， 解得， 则不低于90分的人数为， 成绩在内的，即优秀的人数为； 故这名学生成绩是优秀的概率为. （2）成纱在内的有人； 成缆在内的有人； 成绩在内的有20人； 故采用等比例分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人， 在内的有5人，在内的有2人， 所以由题意可知，的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故. 【变式5-3】某冰糖橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 20 30 40 (1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是特极品的概率； (2)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的一级品的箱数，求的分布列及均值， 【答案】(1) (2)分布列见解析，均值为 【详解】（1）根据题意可设“从这100箱橙子中任取一箱，取到特极品”为事件，则， 现有放回地随机抽取4箱，若频率作为概率， 设抽到特极品的箱数为，则； 因此恰好有2箱是特极品的概率为 （2）分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中一级品4数，非一级品6箱， 再从中抽取3箱，则一级品的箱数服从超几何分布，且的所有可能取值为0，1，2，3； 可知； ； 所以的分布列为 0 1 2 3 均值为. 【变式5-4】某超市货架上并排放有同种品牌和型号的2个黄色、2个红色和1个蓝色书包，李老师从货架上随机取下个进行挑选． (1)若李老师购买其中的3只书包奖励给班上的3位同学，求不同的安排总数； (2)若，用随机变量表示红色书包的个数，求随机变量的分布列及期望； (3)若，假设李老师取下后又随机放回，求书包还是按照原来颜色顺序排列的概率． 【答案】(1)18 (2)分布列见解析； (3) 【详解】（1）因为书包是同种品牌和型号，只有颜色的差别. 从中选3只，颜色都不同，分给3位同学，不同的安排方法有种； 从中选3只，2只黄色，1只红色，分给3位同学，不同的安排方法有种； 从中选3只，2只红色，1只黄色，分给3位同学，不同的安排方法有种； 从中选3只，2只红色，1只蓝色，分给3位同学，不同的安排方法有种； 从中选3只，2只黄色，1只蓝色，分给3位同学，不同的安排方法有种； 所以不同的安排总数为：种. （2）的值可以为：， 且，，. 所以的分布列为： 0 1 2 所以. （3）设取下一个“黄色书包”为事件，取下一个“红色书包”为事件，取下一个“蓝色书包”为事件，事件为取下两个书包，则. 则，，，，. 所以李老师取下后随机放回，书包还是按照原来颜色顺序排列的概率为： 【考点题型六】利用均值与方差进行决策（） 【例6】某科技企业为推广其AI搜索，举行每天登录并使用AI搜索可获得积分的活动，积分在活动结束后可用于抽奖赢话费.经统计参与者最终获得的积分服从正态分布，且. (1)从参与者中随机抽取3人，记积分在内的人数为，求的分布列. (2)该企业为参与者制订了两种抽奖赢话费方案： 方案一，参与者的积分不低于的可抽奖2次，低于的只能抽奖1次，每次抽奖获得50元、20元话费的概率分别为，. 方案二，参与者只能抽奖1次，抽奖获得100元、50元、0元话费的概率分别为，，. 分析参与者采用哪种方案获得话费金额的期望比较大. 【答案】(1)分布列见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）由，得， 所以. 由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，且， 所以，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）若参与者的积分低于，则采用方案一获得话费金额的期望为（元）. 若参与者的积分不低于，则采用方案一获得话费金额的期望为（元）. 由题知参与者采用方案二获得话费金额的期望为（元）. 所以若参与者的积分低于，采用方案二获得话费金额的期望比较大，若参与者的积分不低于，采用方案一获得话费金额的期望比较大. 【变式6-1】分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． (1)若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； (2)若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； (3)若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 【答案】(1) (2) (3)方案A更优 【详解】（1）设3个节点中处理任务成功的节点个数为，则， 所以．即恰好有2个节点成功处理任务的概率为． （2）由（1）知，60个节点中处理任务成功的节点个数， 若每次处理任务成功的节点数为时概率最大，则， 解得，因为，所以． （3）若采用方案A，则每个任务至少有一个节点处理成功的概率， 所以处理任务成功数， 则处理任务成功的节点数的期望． 所以利润的期望． 若采用方案B：则处理任务成功数，则处理任务成功的节点数的期望， 所以利润的期望． 因为，所以方案A更优． 【变式6-2】甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1) (2)方案一 【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件 于是，与为互斥事件， 由于， 则，即甲最终获胜的概率为. （2）由（1）可知， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取 则的分布列为： 5 则 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取3，0 则的分布列为： 3 0 则 所以 答：方案一始终更优 【变式6-3】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 【答案】(1) (2)分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析 【详解】（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题， 所求概率. （2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 所以，， 设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以， ， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 【变式6-4】某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图． 注：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率． (1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为，求的分布列与期望； (2)从产品中随机抽取个，全是合格品的概率不小于，求的最大值； (3)为了提高产品合格率，现提出两种不同的改进方案进行试验．若按方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数的期望是2；若按方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数的期望是4．你会选择哪种改进方案？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)5 (3)应选择方案A． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为， 即抽取1个产品为合格品的概率为，从产品中随机抽取4个，合格品的个数的所有可能取值为，且， 则，， ，， ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望． （2）从产品中随机抽取个产品，全是合格品的概率为， 依题意得， 又在定义域上单调递减，，，， 所以，故的最大值为． （3）设按方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是， 则随机抽取15个产品，不合格品个数； 设按方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是，则随机抽取25个产品，不合格品个数． 依题意得，，所以． 因为，所以应选择方案． 【考点题型七】服从二项分布的概率最值问题（） 【例7】为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得，因为，所以当时，取得最大值. 故选：C. 【变式7-1】如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C 【变式7-2】抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为，则随机变量X的期望是 ；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 【答案】 或 【详解】（1）由题意可得，得1分的概率为，得3分的概率为， 因的可能取值为2，4，6， 则，，， 则随机变量的期望值． （2）记得1分的次数为，则得3分的次数为， 所得总分为， 拋掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则， 若取最大值，则，， 则，解得， 又，，则或， 当时，； 当时，． 故答案为：；或 【变式7-3】建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下：①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局；②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止；③若4局后一方未多得2分，比赛也终止.假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立. (1)求比赛局数为的概率； (2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率； (3)将（1）中作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为，求使得最大的的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意比赛局数为或， 又比赛局数为的概率， 比赛局数为的概率， （2）记比赛终止时甲队得2分为事件，甲队赢得比赛为事件， 则， ， 所以. （3）依题意， 所以，且， 令，即， 即，解得， 又，所以. 【变式7-4】在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰，某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，，，且3道题目答对与否互不影响. (1)设X表示这20人中晋级的人数，求； (2)记这20人中人晋级的概率为，求取得最大值时k的取值. 【答案】(1) (2)12 【详解】（1）由题意，晋级需要答对2题或3题， 答对2题的概率. 答对3题的概率. 故每人晋级的概率为. 故. （2）由（1）可得，每人晋级的概率均为， 故， 则，， 当时，取得最大值则满足， 即， 故，即， 故，即，解得， 又，故，即取得最大值时k的取值为12. 【考点题型八】正态曲线及其性质（） 【例8】（多选）若随机变量，则（    ） A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称 C． D．若，则， 【答案】ACD 【详解】若，则其密度函数，因此的密度曲线与轴只有一个交点，故A正确； 的密度曲线关于直线对称，故B错误； ，故C正确； ，，故D正确. 故选：ACD. 【变式8-1】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从如图的正态分布.星期一李明出门有可用，他应该选择 交通工具；星期二李明出门有可用，他应该选择 交通工具； 【答案】 自行车 公交车 【详解】由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 根据和的分布密度曲线图可知：，， 可得， 若有可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车； 若有可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车； 故答案为：骑自行车；坐公交车. 【变式8-2】（多选）若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 【答案】BD 【详解】 由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大， 即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高， 则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线， 易知，故A错误； 由原则可知，故B正确； 根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：， ，建立方程， 整理可得， 则，故C错误； 易知，故D正确. 故选：BD 【变式8-3】若随机变量，且，则 ． 【答案】6 【详解】因为随机变量，且， 所以由正态曲线的对称性可知和关于对称， 所以，故． 故答案为：6 【变式8-4】已知随机变量，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为随机变量，所以正态分布的曲线的对称轴为， 又因为，所以，解得， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为． 故答案为：. 【考点题型九】正态分布的概率计算（） 【例9】（多选）已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取5人，记在区间的人数为X，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，,故B正确， 对于C,由，，因此，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 【变式9-1】“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，故A错误； 在的概率为，则， 所以，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，所以，故D错误． 故选：B 【变式9-2】（多选）已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（    ） A． B． C． D．对于任意的正数t，恒有 【答案】AB 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由两个正态分布密度曲线知，则，B正确； 对于C，由两个正态分布密度曲线知，则，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知，表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 【变式9-3】在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且. (1)若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数； (2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）. 参考数据：若，则. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得，， 所以， 所以长度在内的圆钢根数约为. （2）圆钢的长度在区间的概率为 ， 圆钢的长度在区间内的概率为 ， 因此这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率为 . 【变式9-4】“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 【考点题型十】多个分布的结合（） 【例10】天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)7 (2) 【详解】（1）. 因为， 所以估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数为7. （2）学生符合“”这个指标，进行另外4个环节的选拔且能通过的概率为：， 由题意，，所以. 【变式10-1】已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； (2)求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列． 【答案】(1)； (2)分布列见解析 【详解】（1）有放回抽样时，取到黄球的次数X可能的取值为. 每次抽到黄球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， 则期望，方差. （2）不放回抽样时，取到的黄球个数Y可能的取值为. ， 故Y的分布列为： Y 0 1 2 P 【变式10-2】为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【答案】(1)分布列见解析， (2)N至少为145 【详解】（1）由题意，当时，男性员工有4人，女性员工有6人， 服从超几何分布，， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）由题意，男性员工有人，女性员工有人， 则， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在上单调递增，且， 从而在时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍， 则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 【变式10-3】已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为. (1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率； (2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为，求的数学期望. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件“至少分离出2个轻水分子”，由题意知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为， 所以， 故至少分离出2个轻水分子的概率为. （2）因为分离出10个水分子，其中轻水分子有6个，则重水和超重水分子个数共有4个，随机变量的所有可能取值为， 则，，，. 故. 【变式10-4】根据中华人民共和国国家标准（GB 2890-2009），级防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准，某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布. (1)某质检员随机从生产线抽检10件产品，测量出一只产品的滤烟效率为93.0%.他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况.请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据； (2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”. ①求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率； ②该企业生产了1000件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记为这1000件产品中“优质品”的件数，当为多少件时可能性最大（即概率最大）？ 参考数据：，， . 【答案】(1)答案见解析 (2)①；② 【详解】（1）由已知过滤件的滤烟效率服从正态分布，，则， 由原则可知，生产的产品中滤烟效率在以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产. （2）①令为“综合过滤件滤烟效率”，则一件过滤件为“优质品”的概率为 ； ②依题意得，记， 要使可能性最大， 则需， 即，所以，即， 所以， 所以当为978件时可能性最大. 35 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$