精品解析：四川省南充市高坪区2025年中考第二次诊断性考试数学试题

2025年春季九年级第二次诊断性考试 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分． 1. 估算的值（　　） A. 在2和3之间 B. 在3和4之间 C. 在4和5之间 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据的范围，即可得出答案． 【详解】∵，∴，故在2和3之间．故选A． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 2. 为坚持“五育”并兴，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为100，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次为93，88，86，则小明这学期的体育成绩总分是（ ）. A. 90 B. 93 C. 86 D. 88 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法成为解题的关键． 根据加权平均数的定义列式计算即可. 【详解】解：小明这学期的体育成绩总分是（分）． 故选：D． 3. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查余角定义，角度计算，平行线性质．根据题意即可算出度数，再利用平行性质即可算出本题答案． 【详解】解：如下图所示： ∵，一块含有角的三角板， ∴， ∵两个顶点放在直尺的一组对边上， ∴， ∴， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式以及积的乘方进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长． 【详解】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′， △AQP和△AQP′中， ，∴△AQP≌△AQP′， ∴PQ=QP′ ∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值， ∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长． 在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°， ∴BC=AB=6， ∴PQ+BQ的最小值是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键． 6. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺， 由题意可得． 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 7. 不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 先分别解两个不等式，求出它们的解集，再根据解集是，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解，得， 解，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得 ． 故选：A． 8. 已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据勾股定理可得OB，然后再结合数轴上点的表示及无理数的估算可进行求解． 【详解】解：由题意得：∠OAB=90°，OA＝2，AB＝3， ∴，故①错，②正确； ∵O为数轴原点， ∴点C对应的数是，故③错误； ∵，， ∴5＜AD＜6，故④正确； ∴正确的有②④； 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理、无理数的估算及数轴，熟练掌握勾股定理、无理数的估算及数轴上数的表示是解题的关键． 9. 如果实数、（）分别满足，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 10. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交，于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求；；由“”可证，可得；③通过证明，可得，进而可得结论，根据，，得出，根据，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点O作于K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∴，故④正确 综上，正确的是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分母不变，把分子相加减可得答案． 【详解】解：； 故答案为：1 【点睛】本题考查的是同分母分式的加减运算，熟记运算法则是解本题的关键． 12. 一组数据4，4，5，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解． 【详解】解：∵这组数据的平均数是5， ∴(4＋4＋5＋5＋x＋6＋7)÷7＝5， 解得：x＝4， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7， ∴中位数为5， 故答案是：5． 【点睛】本题考查了算术平均数、中位数的知识：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 13. 如图，点、、、都在上，若，，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据已知可得，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是________． 【答案】（−6，0） 【解析】 【分析】根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的另一个交点． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根分别是1和−3， ∴抛物线y＝（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（−3，0）， ∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝ ∵二次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0）， ∴函数y＝与直线y＝−m的一个交点的横坐标为4， ∴函数y＝与直线y＝−m的另一个交点的横坐标为−6， ∴次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（−6，0）， 故答案为：（−6，0）． 【点睛】此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根． 15. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 _____________ 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定及性质，分类讨论的思想是解题的关键．根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：当时，， ∵将矩形纸片折叠，折痕为， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则，     设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4或． 16. 已知关于的二次函数的图象经过点，，，且，对于以下结论：①；②；③对于自变量的任意一个取值，都有；④在中存在一个实数，使得，其中结论正确的是__________．（只填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题，学会构建二次函数解决最值问题． ①正确．画出函数图象即可判断． ②错误．由，所以，由图象可知，，推出，故，所以，故错误． ③正确．利用函数，根据函数的最值问题即可解决． ④，则，设它的两个根为，，则，求出即可解决问题． 【详解】解：根据题意，可得二次函数图象如图： ①由图象可得， ∴， 故①正确． ②∵ ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②错误． ③∵函数，且， ∴函数有最小值， ∴， 故③正确． ④∵的图象经过点， ∴，即， 令，则，设它的两个根为，， ∵， ∴， ∵， ∴在中存在一个实数，使得， 故④正确． 故答案为①③④． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】-16 【解析】 【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】原式=a2-4- a2+4a-4, =4a-8; 当a=-2时，原式=-8-8=-16. 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 如图，已知：，，点在边上，且． （1）求证：； （2）如果为中点，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合等腰三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴． 19. 为更有针对性地备战中考体考，九年级决定每周五下午第三节课全年级统一安排为“体考分类训练课”，训练课分为四类：A跳绳、B实心球、C立定跳远、D综合训练．每位同学必须选择其中一类课进行训练，且只限一类，不可多选．为更科学地分配训练课的老师人数，年级组事先随机抽取了部分学生了解其参加训练课类型的意愿，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次调查抽取了 名学生，希望参加“C立定跳远”训练课的学生人数所占百分比是 ； （2）请补全条形图； （3）如果九（1）班希望参加“A跳绳”训练课的共有4名同学，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率． 【答案】（1）， （2） 补全条形图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，正确画出树状图是解题的关键． （1）由题意根据D综合训练的人数除以占比求得总人数，根据扇形图求得希望参加“立定跳远”训练课的学生人数所占百分比； （2）由（1）的数据分别求出各类人数，补全条形图即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：希望参加“立定跳远”训练课的学生人数所占百分比为：， 本次调查的学生人数为：（人）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：希望参加“跳绳”训练课的学生人数为：（人）， 希望参加“实心球”训练课的学生人数为：（人）， 希望参加“立定跳远”训练课的学生人数为：（人）； 【小问3详解】 解：画树状图如图， 共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有种， ∴刚好抽到同性别学生的概率． 20. 关于x的一元二次方程有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根满足，求k的值． 【答案】（1）k﹥；（2）k=2 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可； （2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得：k﹥； 故答案为：k﹥. （2）∵k﹥， ∴＜0 又∵ ∴ ， ∴, ∵, ∴2k+1=k2+1， 解得：k1=0,k2=2 又 ∵k﹥ ∴k=2． 故答案为：k=2． 21. 如图，点，都在反比例函数（）的图象上，已知点，且，． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像上的点、反比例函数与几何的综合等知识点，求得反比例函数解析式是解答本题的关键． （1）证明得出，根据，，，得出，即可求得反比例函数解析式； （2）勾股定理求得，，进而根据四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵点，都在反比例函数（）的图象上， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：由（1）可得 ∴ ∴ 又∵ ∴， 又， ∴ ∴四边形的面积 22. 如图，内接于，是的直径，于点，于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的证明，三角形全等的判定与性质． （1）由圆周角定理可得，而可得，因此，即，从而证得是的切线； （2）设，则，设的半径为r，即，根据在中勾股定理可求得，得到．过点C作于点N，证明∴，得到，根据的面积可求得，从而运用勾股定理在中求得的长，即为的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴设，则， 设的半径为r，即， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得， ∴，， 过点C作于点N， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， 即的半径为． 23. 2025年大年初一上映的电影《哪吒之魔童闹海》是首部单一市场票房过10亿美元、首部全球票房超10亿美元的非好莱坞影片，它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．在该电影中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面26，与点G的水平距离是2．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离5，城墙宽，城墙高． （1）求y与x之间的函数关系式（结果写成顶点式）； （2）通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？ （3）为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），若士兵要想射中空中飞行的海妖，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）海妖能成功跳到城墙上 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质是解决此题的关键． （1）由题意找到顶点坐标，然后找到与轴的交点坐标，利用待定系数即可求解； （2）先求出的坐标，然后求出时，抛物线上点的坐标，与进行比较即可得解； （3）求出直线与抛物线的边界值，进而即可得解． 【小问1详解】 解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高， ∴，， 令得，，解得，（舍）或， ∵， ∴海妖能成功跳到城墙上； 【小问3详解】 解：∵，，E为的中点， ∴， ∴， ∴直线表达式为：， 当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根， ∴方程整理得， ∴， ∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或， 又∵抛物线与的交点在点E的左侧， ∴． 24. 在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，连接． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长． （2）如图2，连接交于点，求证：点是的中点． （3）在旋转过程中，图2中的四边形能否形成平行四边形？若能，请求出长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：在的延长线取点F，使，如图所示： ， 由旋转性质可知：，，， ，，， ， 在和中， 点是的中点； （3）能形成平行四边形， 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理， （）由勾股定理的逆定理可得，再证明即可求解， （2）作，交的延长线于点F，利用旋转的性质得出相对应的边角关系，利用证明，即可求解； （3）先证明四边形为矩形，得出，过点作，由面积法求出，进而由勾股定理求出，由此可得． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵，即 ∴， 又由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形能形成平行四边形，如图所示： 当将绕点顺时针旋转度数时，得到，此时四边形能形成平行四边形， 由旋转可知：，，， ∴， ， 由（2）可知：， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴ 又∵ ∴四边形，四边形是平行四边形， 又 四边形为矩形， ，， 过点作， ∵， ∴， ，即 ∴ 在中，由勾股定理得： 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若与的面积之比是，求的值； （3）若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）的面积为定值，的面积为4 【解析】 【分析】本题考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线交点的计算，直线与直线交点的计算，联立方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，代入求解即可； （2）根据与的面积之比是，通过线段比例关系和韦达定理求解的值； （3）通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可． 【小问1详解】 解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：若与的面积之比是， 则， ∵点在同一直线上， 则，即①， 联立直线与抛物线的方程得：， 整理得， ∴，②， 由①②得：，解得：， ∵点在轴左侧， ∴， ∴，即， ∴，即． 【小问3详解】 解：点关于轴的对称点， 直线与轴交于点，则点， 设点的坐标分别为：、， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 将点的坐标代入上式得： ， 整理得：， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 同理可得，的表达式为： ， 联立上述两式得： ， 解得：， ， 则， ， ， ∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值， ∵，到的距离为， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季九年级第二次诊断性考试 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分． 1. 估算的值（　　） A. 在2和3之间 B. 在3和4之间 C. 在4和5之间 D. 无法确定 2. 为坚持“五育”并兴，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为100，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次为93，88，86，则小明这学期的体育成绩总分是（ ）. A. 90 B. 93 C. 86 D. 88 3. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 9. 如果实数、（）分别满足，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2025 10. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交，于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 一组数据4，4，5，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数是_________． 13. 如图，点、、、都在上，若，，则的度数为_______． 14. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是________． 15. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 _____________ 16. 已知关于的二次函数的图象经过点，，，且，对于以下结论：①；②；③对于自变量的任意一个取值，都有；④在中存在一个实数，使得，其中结论正确的是__________．（只填写序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知：，，点在边上，且． （1）求证：； （2）如果为中点，，求的度数． 19. 为更有针对性地备战中考体考，九年级决定每周五下午第三节课全年级统一安排为“体考分类训练课”，训练课分为四类：A跳绳、B实心球、C立定跳远、D综合训练．每位同学必须选择其中一类课进行训练，且只限一类，不可多选．为更科学地分配训练课的老师人数，年级组事先随机抽取了部分学生了解其参加训练课类型的意愿，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次调查抽取了 名学生，希望参加“C立定跳远”训练课的学生人数所占百分比是 ； （2）请补全条形图； （3）如果九（1）班希望参加“A跳绳”训练课的共有4名同学，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率． 20. 关于x的一元二次方程有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根满足，求k的值． 21. 如图，点，都在反比例函数（）的图象上，已知点，且，． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求四边形的面积． 22. 如图，内接于，是的直径，于点，于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 2025年大年初一上映的电影《哪吒之魔童闹海》是首部单一市场票房过10亿美元、首部全球票房超10亿美元的非好莱坞影片，它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．在该电影中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面26，与点G的水平距离是2．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离5，城墙宽，城墙高． （1）求y与x之间的函数关系式（结果写成顶点式）； （2）通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？ （3）为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），若士兵要想射中空中飞行的海妖，求k的取值范围． 24. 在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，连接． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长． （2）如图2，连接交于点，求证：点是的中点． （3）在旋转过程中，图2中的四边形能否形成平行四边形？若能，请求出长；若不能，请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若与的面积之比是，求的值； （3）若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $