猜押05 基础几何证明（北京专用）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍

猜押05 基础几何证明 猜押考点 3年北京真题 考情分析 押题依据 菱形 2022年第21题 2022-2024年北京中考数学基础几何证明题注重基础知识的考查，同时强调学生的几何直观、逻辑推理和模型应用能力。考生需在备考过程中注重基础知识的巩固和综合能力的提升，以应对几何证明题的挑战。 预测2025年基础几何证明题难度适中可能有所下降但更注重逻辑严密性。考生需确保基础题型满分，为压轴题争取时间。 矩形 2023年第20题 平行四边形 2024年第20题 题型一 三角形相关几何证明 1．（2025·北京东城·一模）如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 2．（2025·北京顺义·一模）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 3．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 4．（2025·北京通州·一模）以为斜边在它的同侧分别作和，其中，交于点． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2，在上取一点，使得，连接，过点作，分别交、于点、点． ①依据题意补全图形； ②求证：是的中点． 5．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求和的长． 题型二 平行四边形形相关几何证明 6．（2025·北京朝阳·一模）如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的长． 7．（2025·北京西城·一模）如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若点F是的中点，，，求的长． 8．（2025·北京丰台·一模）如图，在四边形中，，为中点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 9．（2025·北京·一模）如图，已知四边形中，，平分交于点F，交延长线于点E，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)作交于G，连接交于点．若，，，求的长． 10．如图，在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 题型三 矩形相关几何证明 11．（2025·北京顺义·一模）如图，在矩形中，点，分别在边，上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 12．（2024·北京·模拟预测）如图，在中，垂直平分．延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 13．（2024·北京·三模）如图，矩形，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，G为中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 14．（2024·北京海淀·二模）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 15．（2024·北京顺义·二模）如图，在平行四边形中，，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求AC的长． 题型四 菱形相关几何证明 16．（2025·北京大兴·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至点E，使，连接交于点F，M是中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 17．（2025·北京·模拟预测）如图，在菱形中，、交于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 18．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 19．（2024·北京·模拟预测）如图，菱形中，相交于点O，过点B作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当， ，求的值． 20．如图，菱形中、相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 题型五 正方形相关几何证明 21．（2023·北京·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，过E作EF⊥AD于F． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）连接BF交AE于点O，连接DO，若CD=2，CE=1，求OD的长． 22．（2024·北京·中考模拟）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F，连结BF.   (1)求证：FB=FD； (2)如图2，连结CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连结AH交BF于点N. ①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论； ②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值. 23．（2025·北京大兴·一模）已知正方形，点E是边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作射线，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交于点M，连接． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段的数量关系，并证明． 24．如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)求的长度． 25．（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押05 基础几何证明 猜押考点 3年北京真题 考情分析 押题依据 菱形 2022年第21题 2022-2024年北京中考数学基础几何证明题注重基础知识的考查，同时强调学生的几何直观、逻辑推理和模型应用能力。考生需在备考过程中注重基础知识的巩固和综合能力的提升，以应对几何证明题的挑战。 预测2025年基础几何证明题难度适中可能有所下降但更注重逻辑严密性。考生需确保基础题型满分，为压轴题争取时间。 矩形 2023年第20题 平行四边形 2024年第20题 题型一 三角形相关几何证明 1．（2025·北京东城·一模）如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键， （1）根据题意补全图形即可； （2）证明即可得到结论； （3）延长到点G，使，连接．证明．得到．证明．得到，根据直角三角形的性质即可得到结论， 【详解】（1）解：补全图形如图． （2）证明：在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）．证明如下： 如图，延长到点G，使，连接． ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴ 在中，，F为的中点， ∴． ∴． 2．（2025·北京顺义·一模）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（1）先得出，结合，，故，再整理得的度数， （2）延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N．结合，得证是的中位线，平分．由角平分线的性质得，，运用三角形内角和得出，再根据等角对等边，则，然后证明，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴，． ∴是的中位线，平分． ∴，． ∴． ∵平分，，， ∴，． 在中，． ∴． 在中，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析； (2)． 【分析】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解； （2）利用②的方法来求解． 【详解】（1）解：①连接，，如下图 为边上一点，点与点关于直线对称， ，，， ． 在中，， ，， ． ， ， ， ． ② 证明：过点作交于, ∴. ∵ ∴, ． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴， ， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴， ， ， ， ， ． （2） 证明：同②的方法． 【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 4．（2025·北京通州·一模）以为斜边在它的同侧分别作和，其中，交于点． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2，在上取一点，使得，连接，过点作，分别交、于点、点． ①依据题意补全图形； ②求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）过点作于点，由角平分线的性质得到，由得到，即可证明结论； （2）①按照题意补全图形；②连接、．证明，得到，由及得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点作于点， 平分， ， ， ， ， ， ． （2）①依据题意补全图形； ②证明：如图3，连接、． ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 是的中点． 【点睛】此题考查了角平分线的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和全等三角形的判定是关键． 5．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形； （2）解，得出，解，得出，然后菱形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：，平分， ，． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． （2）解：，，， 在中，， ． ， 在中，，， ． 四边形是菱形， ． 题型二 平行四边形形相关几何证明 6．（2025·北京朝阳·一模）如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，解直角三角形． （1）证明是的中位线，得，，再由得，即可得，即可得出结论； （2）根据角平分线定义求出，由平行四边形的性质得，即可得，，，根据等腰三角形的性质求出，再根据正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵延长至点E，使， 为中点， 为中点， ∴是的中位线， ，， ∵延长至点F，使， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，． 7．（2025·北京西城·一模）如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若点F是的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 （1）先说明，再结合即可证明结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即；再结合平行四边形的性质可得，再根据可设，则，即，然后求出k的即可。 【详解】（1）证明：，于点E， ． ． ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵在中，，点F是的中点， ． , ． ∵在中， ∴． ∵在中，，， ∴设，则，． ． 8．（2025·北京丰台·一模）如图，在四边形中，，为中点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形判定及直角三角形相关知识，解题关键是利用直角三角形斜边中线定理证边相等以判定平行四边形，借助三角函数与勾股定理求边长． （1）由，是中点，根据直角三角形斜边中线定理得 ，再结合 ，从而得出 ，从而满足平行四边形判定条件解答即可． （2）由（1）知四边形是平行四边形，可得．在中，已知，利用正切函数的定义求出的长，再根据勾股定理求出$BD$的长，最后由，求出答案． 【详解】（1）∵，为中点， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴四边形为平行四边形； （2）∵四边形为平行四边形，， ∴． 在中，，， 则， 解得． ∵， 把，代入可得 ． ∴． 9．（2025·北京·一模）如图，已知四边形中，，平分交于点F，交延长线于点E，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)作交于G，连接交于点．若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质，等边对等角的性质，判断，由此即可得出结论； （2）先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，再证明，得到，设，则， 得到，则，再由勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴四边形是平行四边形，     ∵， ∴四边形是菱形， ∴⊥，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的判断与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键． 10．如图，在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或,（舍去）， 即， 由（1）得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型三 矩形相关几何证明 11．（2025·北京顺义·一模）如图，在矩形中，点，分别在边，上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查矩形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，关键是掌握平行四边形的判定，应用勾股定理解三角形． （1）利用矩形性质可得，，进而可得，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （2）过点E作于点H，构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴，即． ∴四边形是平行四边形． （2）解：如下图，过点作于点，则． ∵四边形是矩形， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∵在中，， ∴ 12．（2024·北京·模拟预测）如图，在中，垂直平分．延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，三角函数定义等知识．掌握矩形的判定与性质和三角函数的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义及等腰三角形三线合一性质得，，继而得到，结合即可得证． （2）由矩形的性质得到，进而由锐角三角函数定义求出，然后根据勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵ 垂直平分， ∴，， ∵， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 四边形是矩形； （2）解：如图连接， ∵ 四边形是矩形， ∴，    ∵ ，， ∴， ∵，， ∴，      根据勾股定理得， ∴． 13．（2024·北京·三模）如图，矩形，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，G为中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为是矩形，所以，结合，证明四边形是平行四边形，即可作答． （2）根据勾股定理得出，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵，四边形是矩形， ∴ ∵，G为中点， ∴ 14．（2024·北京海淀·二模）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，由锐角三角函数求边长，熟练掌握各判定及性质定理是解题的关键： （1）利用四边形是平行四边形，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形； （2）根据三角函数得到，求出，再由矩形的性质求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 15．（2024·北京顺义·二模）如图，在平行四边形中，，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据，即可由矩形的判定定理得出结论． （2）解，求得再由矩形的性质得然后在，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ，且． 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形； （2）解：连接， 在中， 四边形是矩形 在中， 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定与性质与矩形的判定与性质是解题的关键． 题型四 菱形相关几何证明 16．（2025·北京大兴·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至点E，使，连接交于点F，M是中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）由菱形的性质得，，得为中位线，得；再证明，从而可得结论； （2）由菱形的性质得，由得，设，则，由勾股定理得，，设斜边上的高为h，根据等积关系得，由可求的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴为的中点， 又M是中点， ∴为中位线， ∴； 在中，， ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 设斜边上的高为h，则有： ， ∴， ∴， ∴． 17．（2025·北京·模拟预测）如图，在菱形中，、交于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本体考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据菱形的性质，得出，，即可证明结论； （2）根据菱形和平行四边形的性质，以及正切值，设，则，再利用勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形， ，，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 设，则， ， ，， ， 在中，， ， ， ． 18．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 19．（2024·北京·模拟预测）如图，菱形中，相交于点O，过点B作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当， ，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定、矩形的性质、锐角三角函数等知识点，掌握菱形和矩形的性质成为解题的关键． （1）先根据菱形的性质以及已知条件证明四边形是平行四边形，再结合，即可证明结论； （2）由菱形的性质可得、，解直角三角形可得，进而得到，，再根据矩形的性质可得，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． （2）解：如图：∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴，， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 20．如图，菱形中、相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)18 【分析】（1）根据菱形的性质可得、，则可得，根据即可证明； （2）由可得，则，在中，根据勾股定理可求得的长，进而可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ． 题型五 正方形相关几何证明 21．（2023·北京·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，过E作EF⊥AD于F． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）连接BF交AE于点O，连接DO，若CD=2，CE=1，求OD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）OD的长为． 【分析】（1）先根据矩形的判定可得出四边形ABEF是矩形，再根据角平分线的性质可得，然后根据正方形的判定即可得证； （2）如图（见解析），过点O作于点G，先根据正方形的性质得出点O为AE的中点，再根据中位线定理可得的长，从而可得DG的长，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）四边形ABCD是矩形 四边形ABEF是矩形 又平分 （角平分线的性质） 矩形ABEF是正方形 即四边形ABEF是正方形； （2）如图，过点O作于点G，则 同（1）可得：四边形CDFE是矩形 由（1）可知，四边形ABEF是正方形 ，点O是对角线AE的中点 OG是的中位线 ，点G是AF的中点 在中， 故OD的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、中位线定理等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键． 22．（2024·北京·中考模拟）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F，连结BF.   (1)求证：FB=FD； (2)如图2，连结CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连结AH交BF于点N. ①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论； ②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）①AH⊥BF，见解析；②. 【分析】（1）证明△FAD≌△FAB（SAS）即可解决问题． （2）①首先证明四边形ABCD是正方形，再证明∠BAH=∠CBF即可解决问题． ②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．理由三角形的三边关系解决问题即可． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵BA=BC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠ACB=45°， ∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD， ∴∠BAD=90°，BA=AD， ∴∠FAD=∠FAB=45°， ∵AF=AF， ∴△FAD≌△FAB（SAS）， ∴BF=DF． （2）①解：结论：AH⊥BF． 理由：如图2中，连接CD． ∵∠ABC+∠BAD=180°， ∴AD∥BC， ∵AD=AB=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形， ∵BA=CD，∠ABH=∠DCE，BH=CE， ∴△ABH≌△DCE（SAS）， ∴∠BAH=∠CDE， ∵∠FCD=∠FCB=45°，CF=CF，CD=CB， ∴△CFD≌△CFB（SAS）， ∴∠CDF=∠CBF， ∴∠BAH=∠CBF， ∵∠CBF+∠ABF=90°， ∴∠BAH+∠ABF=90°， ∴∠ANB=90°， ∴AH⊥BF． ②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC． ∵∠ANB=90°，AO=OB， ∴ON=AB=1， 在Rt△OBC中，OC=， ∵CN≥OC-ON， ∴CN≥-1， ∴CN的最小值为-1． 23．（2025·北京大兴·一模）已知正方形，点E是边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作射线，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交于点M，连接． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，构造全等三角形，作出辅助线是解题关键． （1）延长交的延长线于点P，根据平行线的性质得出，确定，再由各角之间的等量代换即可得出结果； （2）过点A作且，连接，根据全等三角形的判定和性质得出， ，确定，继续利用全等三角形的判定和性质证明，结合图形利用勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点P，如图所示： ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）过点A作且，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 由（1）得， ∴， ∵将射线绕点A逆时针旋转得到射线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 24．如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质得出，结合即可得证； （2）由得出，，由正方形的性质得出，，从而，即，推出，即可得证； （3）求出和的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25．（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)15 (2)①；②，见解析 【分析】（1）利用正方形性质得到，利用等边三角形性质得到，进而得到，利用对称的性质得到，再利用计算求解，即可解题； （2）①利用正方形性质得到，，利用对称的性质得到，，进而得到，设，分别利用等腰三角形性质得到，，再根据计算求解，即可解题； ②过点作交于点，连接，理由直角三角形性质和正方形性质证明，进而得到，再理由勾股定理求解，即可解题， 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， 点C关于直线的对称点为F， ， ， 故答案为：． （2）解：①四边形是正方形， ，， 点C关于直线的对称点为F， ，， ， 设， ， ， ； ②解：数量关系为：， 理由如下： 过点作交于点，连接， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$