§1.4　基本不等式 课件——2026届高三数学一轮复习

2025一轮复习 §1.4　基本不等式 01 落实主干知识 基本不等式： 当且仅当a=b时，等号成立. 当且仅当a=b时，等号成立. 重要不等式： 注意：（1）不同点： （2）相同点： （3） 联系 ： 当且仅当a=b时，等号成立。 由重要不等式可以推出基本不等式。 两个不等式的适用范围不同。 温故知新 公式 前提条件 等号成立条件 基本不等式 当且仅当a=b时，等号成立 调和平均数 算数 平均数 几何 平均数 平方平均数 ≤≤ ≤ (a>0，b>0) 02 探究核心题型 常见题型 直接法 配凑法 消元法 积xy等于定值P，和x＋y有最小值2 和x＋y等于定值S，积xy有最大值S2 常数代换 2-4 解析 因为x>0,由基本不等式可得2-3x-=2-(3x+)≤2-2=2-4, 当且仅当3x=,即x=时,等号成立,所以2-3x-的最大值是2-4 题型一　直接法 例1 (人教A版必修第一册习题2.2第5题改编)已知x>0,则2-3x-的最大值是 　 .  (2)当0<x<1时，x(1－x)的最大值为　　　.  根据题意及基本不等式可知x(1－x)≤， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号. 题型二　配凑法 例2　(1)函数f(x)＝x＋，x∈(－2，＋∞)的最小值为 A.6 B.4 C.5 D.1 √ 因为x∈(－2，＋∞)，则x＋2>0， 则f(x)＝x＋＝(x＋2)＋－2≥2－4＝6－2＝4， 当且仅当即x＝时，等号成立， 故函数f(x)＝x＋，x∈(－2，＋∞)的最小值为4. 2＋1 微拓展 当a=0或b=0时，就是反比例、正比例函数啦！ 定义域 图象 单调性 奇偶性 值域 a>0、b>0 a>0、b<0 a<0、b>0 a<0、b<0 x≠0 奇函数 当a与b同号时，f(x)为对勾函数，利用基本不等式求最低(高)点的横坐标可得单调区间 当a与b异号时，f(x)的单调性与反比例函数的单调性一致 例3　函数f(x)＝的最小值是　　　.  由f(x)＝＝＋， 令＝t(t≥3)，则有f(t)＝t＋， 由对勾函数的性质知，f(t)在[3，＋∞)上单调递增，所以当t＝3时，函数取到最小值f(t)min＝， 即当x＝0时，f(x)min＝. 题型三　常数代换法 √ √ √ 题型四　消元法 例5　(1)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是　　.  ∵5x2y2＋y4＝1， ∴y≠0且x2＝， ∴x2＋y2＝＋y2＝≥2， 当且仅当，即x2＝，y2＝时取等号， ∴x2＋y2的最小值为. (2)(2024·漯河模拟)设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则的最大 值为 A.4 B.2 C.3 D.1 √ 因为正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则z＝x2＋y2－xy， 所以≤＝1， 当且仅当(x>0，y>0)，即x＝y时，等号成立，故的最大值为1. $$