专题05 第10章 相交线、平行线与平移全章综合复习（三大考点12种题型+过关训练）-2024-2025学年七年级数学下册期末综合复习（2024沪科版）

专题05 第10章 相交线、平行线与平移全章综合复习 目录 【题型一 点到直线的距离】 2 【题型二 利用对顶角 邻补角的相关性质求解】 3 【题型三 同位角 内错角 同旁内角的概念辨析】 5 【题型四 平行公理及推论的应用】 7 【题型五 平行线的判定】 8 【题型六 利用平行线的性质求角度】 11 【题型七 平行线的判定与性质的综合求解】 12 【题型八 根据平行线的判定与性质证明】 14 【题型九 根据平行线的性质探究角的关系】 17 【题型十 图形的平移】 22 【题型十一 利用平移的性质求解】 24 【题型十二 平移作图】 25 【题型一 点到直线的距离】 例题：（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，即可得解． 【详解】解：由题意可得：表示点到直线的距离是线段的长度， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，则点到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 2．（2025六年级下·山东·专题练习）如图，三角形中，，于点，若，，，，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离的定义是解答本题的关键．根据定义可知点到直线的距离即垂线段的长即可解答． 【详解】解：，， 点到直线的距离是， 故选：A． 【题型二 利用对顶角 邻补角的相关性质求解】 例题：（北京市大兴区2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，直线，相交于点，于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线和对顶角以及邻补角的相关定义，熟练掌握相关的定义是解题的关键．本题首先利用垂线的定义以及角的和差关系求的度数，再利用对顶角相等即可求得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，直线、相交于点，，平分． (1)的对顶角是______，的邻补角是______； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，对顶角的定义，垂线定义理解，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，数形结合． （1）根据邻补角和对顶角定义进行解答即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，根据角平分线定义求出，最后根据角的和差求出结果即可． 【详解】（1）解：的对顶角是；的邻补角是； 故答案为：；； （2）解：， 平分∠， ． 2．（22-23七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，直线与相交于点O，与其邻补角大小之比是． (1)求大小； (2)若，平分，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相交线求角度，涉及到角平分线的运算，邻补角互补求角度，灵活运用所学知识是解题关键． （1）设，则其邻补角为，列方程求解即可； （2）根据，先求出，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵与其邻补角大小之比是， 设，则其邻补角为， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型三 同位角 内错角 同旁内角的概念辨析】 例题：（24-25七年级下·浙江杭州·期中）图中，与是同位角的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角的意义，掌握同位角的意义是正确判断的前提． 根据同位角的意义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、是内错角不是同位角，故此选项不符合题意； B、不是同位角，故此选项不符合题意； C、是同位角，故此选项符合题意； D、不是同位角，故此选项不符合题意． 故选C． 【变式训练】 1．（山西省大同市若干校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）如图，与是一对（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角，根据同位角的概念进行判断．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手． 【详解】解：与是一对同位角， 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线、被直线所截，则图中的内错角是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了内错角的概念，记准在截线两侧，且在两被截线之间的角是内错角．注意分清截线和被截线．根据内错角的概念，在截线两侧，且在两被截线之间的角是内错角． 【详解】解：图中的内错角是 故答案为：． 【题型四 平行公理及推论的应用】 例题：（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【答案】过直线外点有且只有条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定．根据平行的传递性和平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、若，，则，利用了平行的传递性，故此项不符合题意； B、若，则，利用同旁内角互补，两直线平行，故此项不符合题意； C、若，则，不能判断，故此项符合题意； D、若，则，利用了内错角相等，两直线平行，故此项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京·期中）下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角叫对顶角 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质，相交线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质，相交线的性质逐项进行判定即可． 【详解】解：A. 一条直线的平行线有无数条，该选项说法错误，不符合题意； B. 该选项说法正确，符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角，该选项说法错误，不符合题意； D. 过直线上一点能作无数条直线和这条直线相交，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【题型五 平行线的判定】 例题：（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示，下列条件能判定的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； 由，不能判定， 故B不符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点A，B，E在一条直线上．在空格上填写推理的依据． (1)（已知），∴（　　） (2)（已知），（　　）； (3)（已知），∴（　　） 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)同位角相等，两直线平行 (3)同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解． 【详解】（1）解：（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行； （2）解：（已知）， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （3）解：（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理的推论，掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 先根据同旁内角互补，两直线平行得到，再由平行公理的推论即可证明． 【详解】证明：， ， ， ． 【题型六 利用平行线的性质求角度】 例题：（24-25七年级下·安徽淮南·期中）如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，属于基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．先根据平行线的性质求出的度数，再根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴． 故选：D 2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，得到，角平分线得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； 故选A． 【题型七 平行线的判定与性质的综合求解】 例题：（2025·江苏常州·一模）如图，直线，若，则 ． 【答案】40度/ 【分析】构造辅助线，利用平行线的性质理解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】解：作 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1.（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么 【答案】/28度 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；过点F作，由平行线的性质推出，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 故答案为：． 2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图，，，平分，，．求 的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行公理推论求出，再根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】证明：，， ． ． ， ． 又平分，， ． ． ． ， ． 【题型八 根据平行线的判定与性质证明】 例题：（山西省大同市若干校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）完成下面的证明． 如图，点，分别在，上，连接交于点，已知，，．求证：． 证明：∵， ∴（等式的基本性质）． 又， ∴（________）． ∴________（________）． ∵， ∴________（________）． ∴________（________）． 【答案】等量代换；；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；平行于同一条直线的两条直线平行（或如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，首先得出，然后等量代换得到，然后证明出，进而证明即可． 【详解】证明：∵， ∴（等式的基本性质）． 又， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：等量代换；；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；平行于同一条直线的两条直线平行（或如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·江西吉安·期中）如图，点，分别在，上，交于点，交于点、，．试问与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据已知条件根据“同位角相等，两直线平行”说明，可得然后说明最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：，理由如下： ， ， ， ． 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，分别平分和． (1)求证：． 请把下列解题过程补充完整，并在括号内注明理由． 证明：（已知）， ______（______）． 分别平分和（已知）， ，（______）， ． ____________（______）． （______）． (2)若，则的大小为______（度）． 【答案】(1)；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 (2)31 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据解题过程，结合平行线的判定及性质，角平分线的定义即可解答； （2）由平分，得到，再由平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）． 分别平分和（已知）， ，（角平分线的定义）， ． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：31 【题型九 根据平行线的性质探究角的关系】 例题：（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，，，，表示图中三个角的角度． （1），与三者之间的数量关系为 ； （2）若，与两者之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，推出，即可得到答案； （2）由得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ，， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·北京·期中）如图，射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． (1)当时，求证：； (2)用含的式子表示为________（直接写出答案）； (3)当点在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；理解角平分线的定义，能灵活应用平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再结合角平分线的定义，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质，可得，再结合角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据平行线的性质，可得，，再结合角平分线的定义，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴， （3）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 【答案】（）证明见解析；（）；（） 【分析】（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，过点作，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十 图形的平移】 例题：（安徽省淮南市西部地区2024—2025学年下学期七年级期中数学试卷）如图，通过平移上边的吉祥物，可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查生活中的平移现象以及平移的性质，解题的关键是掌握平移前后的图形形状相同大小相同．本题直接根据平移的性质判断即可得出答案． 【详解】解：通过平移吉祥物，可以得到的图形是A选项所对应的图形． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）每年的3月22日至3月28日是“中国水周”，国家节水标志由水滴、手掌和地球三部分变形组成．下列图形中，可以通过平移左侧节水标志得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可． 【详解】解：依题意，A选项图形可以通过平移能与上面的图形重合． 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的车标图案，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了图形的平移，把一个图形沿着某个方向移动一定的距离叫做平移，根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意； C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意． 故选：B． 【题型十一 利用平移的性质求解】 例题：（浙江省杭州市保俶塔教育集团、杭州市紫金港中学、云城中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试题）如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点之间的距离为1，，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，线段的和差等，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，然后利用线段的和差进行计算即可． 【详解】解：根据平移的性质可得， ， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得，，再根据四边形的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∵四边形的周长为， ∴，即， ∴，即， ∴三角形的周长为， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形面积，平移．解决问题的关键是熟练掌握长方形的面积公式，平移性质． 根据平移性质得到绿化区的总长，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：绿化区的面积是， 故答案为：． 【题型十二 平移作图】 例题：（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）画图并填空： (1)画出三角形先向右平移6格，再向下平移2格得到的三角形； (2)线段与线段的关系是___________． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，熟练掌握作平移作图与平移的性质是解题的关键． （1）根据平移方向与距离，作出点A、B、C的对应点、、，依次连接，即可得到三角形； （2）根据平移的性质：对应点连线平行且相等，即可解答． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）由平移的性质得，线段与线段的关系是平行且相等． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东日照·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点的对应点为，点，的对应点分别是，F． (1)过点作的平行线． (2)请画出平移后的． (3)连接，，则这两条线段之间的关系是__________ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】本题考查作图—平移变换，平移的性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据网格的特点作平行线即可； （2）由点和点的位置可确定平移方式为“向右平移格，向下平移格”，即可确定，点平移后的对应点，，最后顺次连接，，三点即可； （3）根据平移的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的平行线； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：根据平移性质，这两条线段之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等 2．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在网格图中，平移使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F． (1)画出平移后的； (2)线段与的关系是_______； (3)求平移前后线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)28 【分析】本题考查作图平移变换，平移得性质，解决本题的关键是掌握平移的不变性． （1）根据平移的性质即可画出平移后的三角形； （2）连接、，可得线段与的关系； （3）用如图所示的长方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可求解 【详解】（1）解：如图即为平移后的； （2）解：线段与的关系是：，． 故答案为：，． （3）解：如图： 线段扫过的面积为： ． 一、单选题 1．（浙江省杭州市保俶塔教育集团、杭州市紫金港中学、云城中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试题）如图，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了内错角的概念，解题的关键是熟练准确掌握内错角的概念． 利用内错角的概念进行求解即可． 【详解】解：根据同位角的概念，与在被截线内部，在截线异侧，满足内错角的概念， ∴与是内错角， 故选：C． 2．（山西省大同市若干校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握：平移的特征：平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小．据此判断即可． 【详解】解：A．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； B．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； C．左边的图案通过平移能得到右边图案，故此选项符合题意； D．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2025年九年级适应测试数学试卷）如图，已知，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质判断求解即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，，然后根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图形平移的性质可得，，， ， ， 故选：A． 5．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）某地为了方便人们绿色出行，推出了共享单车服务．如图1是共享单车的实物图，图2是其示意图，其中，，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等得到即得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·北京·期中）如图，，于点，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂线，根据平行线的性质进行计算即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点M， ， ， 即， ， ， ． 故答案为：130． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，，根据题意求出，即可求出． 【详解】解：∵向右平移得到， ∴点A、B、C的对应点分别为D、E、F， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：3 8．（24-25七年级下·天津·期中）如图，直线，垂足为，直线经过点，，则的大小 （度）． 【答案】 【分析】此题考查了垂线以及对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直的定义得到，根据对顶角的定义得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，根据平行线的性质得出，，再由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线，将一副直角三角板作如图摆放，点G、P、F、N在一条直线上，过点G作，已知，，点G、P分别是三角板的直角顶点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，补角的性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，平行公理，补角的性质，三角板的性质． 根据平行线的判定和性质，补角的性质进行解答，即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴，故①正确； 根据题意得：， ∴，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图所示，是由沿箭头方向平移得到的． (1)，求的度数； (2)若，求，的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质即可得到结论； （2）根据平移的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：是由沿箭头方向平移得到的，， ． （2）解：是由沿箭头方向平移得到的， ． 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）将题目的证明过程和推理依据补充完整． 如图，，，求的度数． 解：∵， （___________） 又， （    ） （___________） _________（    ）， ， ___________． 【答案】，两直线平行，同位角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，根据平行线性质推出，根据平行线判定推出，根据平行线判定推出，求出即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等） 又， （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） ， ． 13．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义求解即可； （2）根据对顶角相等可推得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的性质，通过平行线构造等角是解答本题的关键． （1）通过辅助线构造等角得出和，进而得出结论； （2）由平行线的性质得出，在平角中求出，进而求出 ，再同（1）可求出的大小； （3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出然后角平分线的性质求出，最后通过角的和差关系求得 ，结合（1）即可求出结果． 【详解】（1）解： 如图， 过点作平行于， 则， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ∴由（1）结论同理可得：， ， ； （3）解：根据题意补全图形如下： ∵， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵平分 ， ， ， 由（1）知， ， 故的大小为定值，度数是 ． 15．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用对顶角相等以及，，得，根据内错角相等，两直线平行，即可作答． （2）运用同旁内角互补，两直线平行，得，因为，根据平行线的性质可得，由（1）知，得，根据得． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 第10章 相交线、平行线与平移全章综合复习 目录 【题型一 点到直线的距离】 2 【题型二 利用对顶角 邻补角的相关性质求解】 2 【题型三 同位角 内错角 同旁内角的概念辨析】 3 【题型四 平行公理及推论的应用】 4 【题型五 平行线的判定】 5 【题型六 利用平行线的性质求角度】 6 【题型七 平行线的判定与性质的综合求解】 7 【题型八 根据平行线的判定与性质证明】 7 【题型九 根据平行线的性质探究角的关系】 9 【题型十 图形的平移】 10 【题型十一 利用平移的性质求解】 11 【题型十二 平移作图】 12 【题型一 点到直线的距离】 例题：（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式训练】 1．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，则点到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 2．（2025六年级下·山东·专题练习）如图，三角形中，，于点，若，，，，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【题型二 利用对顶角 邻补角的相关性质求解】 例题：（北京市大兴区2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，直线，相交于点，于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，直线、相交于点，，平分． (1)的对顶角是______，的邻补角是______； (2)若，求的度数． 2．（22-23七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，直线与相交于点O，与其邻补角大小之比是． (1)求大小； (2)若，平分，求． 【题型三 同位角 内错角 同旁内角的概念辨析】 例题：（24-25七年级下·浙江杭州·期中）图中，与是同位角的有（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（山西省大同市若干校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）如图，与是一对（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线、被直线所截，则图中的内错角是 ． 【题型四 平行公理及推论的应用】 例题：（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级下·北京·期中）下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角叫对顶角 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【题型五 平行线的判定】 例题：（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示，下列条件能判定的是(   ) A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点A，B，E在一条直线上．在空格上填写推理的依据． (1)（已知），∴（　　） (2)（已知），（　　）； (3)（已知），∴（　　） 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图，．求证：． 【题型六 利用平行线的性质求角度】 例题：（24-25七年级下·安徽淮南·期中）如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型七 平行线的判定与性质的综合求解】 例题：（2025·江苏常州·一模）如图，直线，若，则 ． 【变式训练】 1.（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么 2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图，，，平分，，．求 的度数． 【题型八 根据平行线的判定与性质证明】 例题：（山西省大同市若干校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）完成下面的证明． 如图，点，分别在，上，连接交于点，已知，，．求证：． 证明：∵， ∴（等式的基本性质）． 又， ∴（________）． ∴________（________）． ∵， ∴________（________）． ∴________（________）． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·江西吉安·期中）如图，点，分别在，上，交于点，交于点、，．试问与平行吗？请说明理由． 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，分别平分和． (1)求证：． 请把下列解题过程补充完整，并在括号内注明理由． 证明：（已知）， ______（______）． 分别平分和（已知）， ，（______）， ． ____________（______）． （______）． (2)若，则的大小为______（度）． 【题型九 根据平行线的性质探究角的关系】 例题：（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，，，，表示图中三个角的角度． （1），与三者之间的数量关系为 ； （2）若，与两者之间的数量关系为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·北京·期中）如图，射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． (1)当时，求证：； (2)用含的式子表示为________（直接写出答案）； (3)当点在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们关系，并说明理由． 2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 【题型十 图形的平移】 例题：（安徽省淮南市西部地区2024—2025学年下学期七年级期中数学试卷）如图，通过平移上边的吉祥物，可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）每年的3月22日至3月28日是“中国水周”，国家节水标志由水滴、手掌和地球三部分变形组成．下列图形中，可以通过平移左侧节水标志得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的车标图案，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【题型十一 利用平移的性质求解】 例题：（浙江省杭州市保俶塔教育集团、杭州市紫金港中学、云城中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试题）如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点之间的距离为1，，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为 ． 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是 ． 【题型十二 平移作图】 例题：（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）画图并填空： (1)画出三角形先向右平移6格，再向下平移2格得到的三角形； (2)线段与线段的关系是___________． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东日照·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点的对应点为，点，的对应点分别是，F． (1)过点作的平行线． (2)请画出平移后的． (3)连接，，则这两条线段之间的关系是__________ 2．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在网格图中，平移使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F． (1)画出平移后的； (2)线段与的关系是_______； (3)求平移前后线段扫过的面积． 一、单选题 1．（浙江省杭州市保俶塔教育集团、杭州市紫金港中学、云城中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试题）如图，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 2．（山西省大同市若干校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A． B． C． D． 3．（新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2025年九年级适应测试数学试卷）如图，已知，则(   ) A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 5．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）某地为了方便人们绿色出行，推出了共享单车服务．如图1是共享单车的实物图，图2是其示意图，其中，，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·北京·期中）如图，，于点，交于点，若，则 ． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为 ． 8．（24-25七年级下·天津·期中）如图，直线，垂足为，直线经过点，，则的大小 （度）． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为 ． 10．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线，将一副直角三角板作如图摆放，点G、P、F、N在一条直线上，过点G作，已知，，点G、P分别是三角板的直角顶点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图所示，是由沿箭头方向平移得到的． (1)，求的度数； (2)若，求，的长． 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）将题目的证明过程和推理依据补充完整． 如图，，，求的度数． 解：∵， （___________） 又， （    ） （___________） _________（    ）， ， ___________． 13．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 14．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 15．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$