专题02 第7章 一元一次不等式与不等式组全章综合复习（三大考点9种题型+过关训练）-2024-2025学年七年级数学下册期末综合复习（2024沪科版）

专题02 第7章 一元一次不等式与不等式组全章综合复习 目录 【题型一 不等式及其解集】 2 【题型二 不等式的基本性质】 2 【题型三 一元一次不等式的概念】 2 【题型四 求一元一次不等式的解集】 3 【题型五 一元一次不等式的应用】 3 【题型六 求不等式组的解集】 4 【题型七 由不等式组的解的情况求参数或参数的取值范围】 4 【题型八 不等式组和方程的综合问题】 5 【题型九 一元一次不等式组的应用】 5 【题型一 不等式及其解集】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子：．其中是不等式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式训练】 1．（上海市奉贤区2024-2025学年下学期七年级数学学科期中练习卷）用不等式表示：两数、和的平方不小于它们的积 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【题型二 不等式的基本性质】 例题：（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）如果，，那么 ．（填入“>”、“<”或“=”） 【变式训练】 1．（辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2024--2025学年下学期八年级数学4月月考试卷）已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）利用不等式的性质，填空．若，，则 ． 【题型三 一元一次不等式的概念】 例题：（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有 （填序号）． 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）关于x的不等式是一元一次不等式，则a的值为 ． 【题型四 求一元一次不等式的解集】 例题：（24-25七年级下·北京·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【题型五 一元一次不等式的应用】 例题：（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式 ． 【变式训练】 1．（陕西省汉中市多校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）立体书兼具了传统书的内容和形式，也拥有玩具的趣味和功能．某工厂生产了一款立体书，按标价销售此立体书，每本可获利30元．该工厂原计划按标价销售这款立体书共600本，销售一部分后发现生意火爆，于是将每本立体书提价10元，很快全部销售完，最后发现总利润不低于22000元，求提价前最多销售多少本此款立体书？ 2．（24-25七年级下·北京·期中）用方程组和不等式解决问题 学校计划建设一间活动教室，需要为教室采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买2张五人桌和5张两人桌需花费1700元；购买5张五人桌和2张两人桌需花费2150元． (1)求每张五人桌和两人桌的价格． (2)学校根据教室布局，计划采购14张活动课桌，要求预算不超过3800元，求至少采购几张两人桌？ (3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳43名学生，求所有满足条件的采购方案． 【题型六 求不等式组的解集】 例题：（2025·北京西城·一模）解不等式组：． 【变式训练】 1．（辽宁省本溪市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【题型七 由不等式组的解的情况求参数或参数的取值范围】 例题：（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（江西省景德镇市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷）如果不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）若不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型八 不等式组和方程的综合问题】 例题：（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． (1)求a的取值范围； (2)化简． 【题型九 一元一次不等式组的应用】 例题：（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（2025·山东济南·一模）茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元． (1)求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？ (2)若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 2．（24-25七年级下·重庆万州·期中）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元． (1)求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 一、单选题 1．（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）已知，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某班环保小组需要植树若干棵．若平均每人植树7棵，则树苗还剩9棵；若平均每人植树9棵，则每个人都有机会植树，但有1人植树不到8棵．设环保小组人数为x，根据题意，可列出不等式为（   ） A． B． C． D． 4．（陕西省汉中市多校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）关于x的不等式的正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·北京·一模）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·黑龙江佳木斯·二模）不等式组的解集是 ． 7．（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是 ． 9．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 10．（辽宁省本溪市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了 道题． 三、解答题 11．（辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2024--2025学年下学期八年级数学4月月考试卷）解不等式（组） (1)解不等式： (2)解不等式组： 12．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 13．（24-25八年级下·山东聊城·期中）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃.已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进、两种娃娃共200个，最多能购进多少个种娃娃? 14．（江西省景德镇市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷）对于任意实数，定义一种关于的运算：．例如：． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为满足，求的值； (3)若，求的取值范围． 15．（上海市奉贤区2024-2025学年下学期七年级数学学科期中练习卷）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 第7章 一元一次不等式与不等式组全章综合复习 目录 【题型一 不等式及其解集】 2 【题型二 不等式的基本性质】 3 【题型三 一元一次不等式的概念】 4 【题型四 求一元一次不等式的解集】 5 【题型五 一元一次不等式的应用】 7 【题型六 求不等式组的解集】 9 【题型七 由不等式组的解的情况求参数或参数的取值范围】 10 【题型八 不等式组和方程的综合问题】 12 【题型九 一元一次不等式组的应用】 15 【题型一 不等式及其解集】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子：．其中是不等式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．不等式的概念：用或号表示大小关系的式子，叫做不等式，用号表示不等关系的式子也是不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：①③⑤⑥符合不等式的定义，它们是不等式，共4个， 故选：B． 【变式训练】 1．（上海市奉贤区2024-2025学年下学期七年级数学学科期中练习卷）用不等式表示：两数、和的平方不小于它们的积 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，先列出两数、和的平方为与它们的积为，再根据两数、和的平方不小于它们的积列不等式即可． 【详解】解：根据题意：两数、和的平方不小于它们的积，不等式表示为， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 【题型二 不等式的基本性质】 例题：（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）如果，，那么 ．（填入“>”、“<”或“=”） 【答案】＞ 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质直接求解即可 【详解】解：∵，， ∴＞， 故答案为：＞． 【变式训练】 1．（辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2024--2025学年下学期八年级数学4月月考试卷）已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵ ∴，故本选项不符合题意； B、∵，∴，故本选项不符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，∴，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）利用不等式的性质，填空．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的两边同乘同一个负数，不等号的方向发生改变解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【题型三 一元一次不等式的概念】 例题：（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键； 只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，并且不等式的两边都是整式的不等式叫一元一次不等式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； B．是等式，不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； C．符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； D．，未知数x在分母位置，不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有 （填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ②，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ③有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有④⑤共个． 故答案为：④⑤． 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）关于x的不等式是一元一次不等式，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的概念得出的值即可． 【详解】解：∵不等式是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【题型四 求一元一次不等式的解集】 例题：（24-25七年级下·北京·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 先去括号，再移项合并同类项，即可求解． 【详解】解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 把解集表示在数轴上，如图， 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解不等式，在解不等式的时候，如果两边同时乘以或除以一个负数时，不等符号需要改变． 不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出所求即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 不等式的负整数解为共3个． 故选：C． 2．（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法．根据一元一次不等式的解法即可求出答案． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如图所示． 【题型五 一元一次不等式的应用】 例题：（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，设每次搬运箱货物，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设每次搬运箱货物， 由题意得，， 故答案为：． 【变式训练】 1．（陕西省汉中市多校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）立体书兼具了传统书的内容和形式，也拥有玩具的趣味和功能．某工厂生产了一款立体书，按标价销售此立体书，每本可获利30元．该工厂原计划按标价销售这款立体书共600本，销售一部分后发现生意火爆，于是将每本立体书提价10元，很快全部销售完，最后发现总利润不低于22000元，求提价前最多销售多少本此款立体书？ 【答案】提价前最多销售200本此款立体书 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 设提价前销售m本此款立体书，则提价后销售（）本此款立体书，利用总利润=每本的销售利润×销售数量，结合总利润不少于22000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】解：设提价前销售m本此款立体书，则提价后销售（）本此款立体书， 依题意得：， 解得：． 答：提价前最多销售200本此款立体书． 2．（24-25七年级下·北京·期中）用方程组和不等式解决问题 学校计划建设一间活动教室，需要为教室采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买2张五人桌和5张两人桌需花费1700元；购买5张五人桌和2张两人桌需花费2150元． (1)求每张五人桌和两人桌的价格． (2)学校根据教室布局，计划采购14张活动课桌，要求预算不超过3800元，求至少采购几张两人桌？ (3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳43名学生，求所有满足条件的采购方案． 【答案】(1)每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元 (2)至少采购8张两人桌； (3)共有两种采购方案：采购两人桌8张，则采购五人桌为6个；采购两人桌9张，则采购五人桌为5张 【分析】题目主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理解题意，列出方程组和不等式是解题关键． （1）根据题意设每张五人桌的单价为元，两人桌的单价为元，列出方程组求解即可； （2）设采购两人桌张，则采购五人桌为张，根据题意列出不等式求解即可； （3）结合（2）列出不等式求解即可确定方案． 【详解】（1）解：设每张五人桌的单价为元，两人桌的单价为元． 由题意可得： 解得 答：每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元； （2）解：设采购两人桌张，则采购五人桌为张， 计划采购14张活动课桌，要求预算不超过3800元， 解得， ∴至少采购8张两人桌； （3）根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，， 当时，， ∴共有两种采购方案：采购两人桌8张，则采购五人桌为6个；采购两人桌9张，则采购五人桌为5张． 【题型六 求不等式组的解集】 例题：（2025·北京西城·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的求解，掌握不等式的组的计算方法，取值方法是关键． 根据不等式的性质求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 【变式训练】 1．（辽宁省本溪市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据确定不等式组解集的原则确定出不等式组的解集，再在数轴上表示出这个解集即可求解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴， 在数轴上表示不等式组的解集为：    故选：C． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】；，，0，1 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再根据解集得出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为，，0，1． 【题型七 由不等式组的解的情况求参数或参数的取值范围】 例题：（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的求法，已知不等式解集反过来求m的范围． 先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，由题意不等式的解集为，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出m的范围． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， 根据已知条件，不等式组解集是， 根据“同大取大”原则． 故选：A． 【变式训练】 1．（江西省景德镇市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷）如果不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据不等式组整数解的情况确定字母的取值范围．先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有4个整数解，求出实数a的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴这4个整数解为， ∴． 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）若不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟记解集的口诀“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小，无处找”是解题的关键．先解不等式组，根据“大大小小，无处找”即可作答． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式组无解， ． 故选：A． 【题型八 不等式组和方程的综合问题】 例题：（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解得， ∵、均为非负数， ∴，， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为，最小值为． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键． （1）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是非负数建立关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得； （2）根据（1）的答案可得，，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为， ∵关于、的方程组的解是非负数， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴，， ∴ ． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． (1)求a的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题综合性较强，综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质： （1）用解二元一次方程组的知识把当做已知，表示出、的值，根据x是负数，y是正数建立关于a的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围即可； （2）根据的取值范围及去绝对值符号的法则去掉绝对值符号再计算即可． 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 将代入得：，解得：， ∵x是负数，y是正数． ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ． 【题型九 一元一次不等式组的应用】 例题：（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·山东济南·一模）茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元． (1)求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？ (2)若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元 (2)有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意，弄清关系，根据等量关系和不等关系列出二元一次方程组和不等式组是解题的关键． （1）设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元，根据等量关系“购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元”列方程组，解之即可解答； （2）设恤购买件，奥运会吉祥物购买件，根据不等关系“总费用不低于988元且不高于1000元”列一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可确定购买方案数． 【详解】（1）解：设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元． （2）解：设恤购买件，奥运会吉祥物购买件． 由题意可得：， 解得：， 又 ∵为正整数． ∴， 故共3种方案：分别是：恤购买40件，奥运会吉祥物购买20件，该方案需要的总费用是元； 恤购买41件，奥运会吉祥物购买19件，该方案需要的总费用是元； 恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件，该方案需要的总费用是元； 故共有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元． 2．（24-25七年级下·重庆万州·期中）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元． (1)求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)共有3种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球；总费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意，得， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元． 一、单选题 1．（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）已知，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：A、可得，故A正确，符合题意； B、可得，故B错误，不符合题意； C、，且时，则，故C错误，不符合题意； D、当时，，满足，但是不满足，故D错误，不符合题意， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集与两个不等式解集间的关系是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集确定的取值范围． 【详解】解：由不等式得，由不等式得， ∵不等式组的解集为， ， 解得：， 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某班环保小组需要植树若干棵．若平均每人植树7棵，则树苗还剩9棵；若平均每人植树9棵，则每个人都有机会植树，但有1人植树不到8棵．设环保小组人数为x，根据题意，可列出不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 若设环保小组人数为人，则植树的棵数为棵，根据若每人平均植树 7 棵，还剩 9 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到8棵，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：设环保小组人数为x， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 4．（陕西省汉中市多校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）关于x的不等式的正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了求不等式的整数解．先求出不等式的解集，即可得到答案． 【详解】解： 移项得到， 合并同类项得到， 系数化为1得， ∴关于x的不等式的正整数解为， 故选：A 5．（2025·北京·一模）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题实数与数轴，实数的运算，不等式的性质，根据点在数轴上的位置，判断数的大小，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ， ∴，故选项D正确； 故选D． 二、填空题 6．（2025·黑龙江佳木斯·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练运用解不等式组的方法是正确解决本题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集是， 故答案为：． 7．（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、由数轴得出不等式的解集，解题的关键是得出不等式的解集后和数轴上的解结合得出关于m的方程． 由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于m的方程，解此方程即可得出结论． 【详解】解：由数轴可得不等式的解集为， ∴解不等式得， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键． 分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到的范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解有3个， ∴不等式组的整数解为4、5、6， 则， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．（辽宁省本溪市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了 道题． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设小李答对了x道题，则答错了道题，根据总分答对题目数答错题目数，结合总分不少于38分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设小李答对了x道题，则答错了道题， 根据题意，得 解得： ∵x为整数， ∴的整数 即小李至少答对了8道． 故答案为：8． 三、解答题 11．（辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2024--2025学年下学期八年级数学4月月考试卷）解不等式（组） (1)解不等式： (2)解不等式组： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤． （1）利用解不等式的步骤进行求解即可； （2）利用解不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：， 解不等式得； 解不等式得； ∴该不等式组的解集为． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解方程组和一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准确求解不等式组的解集是解题的关键． （1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可； （2）根据， ，求出，再根据，得出，最后求出即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：， 即的取值范围是：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 13．（24-25八年级下·山东聊城·期中）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃.已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进、两种娃娃共200个，最多能购进多少个种娃娃? 【答案】(1)每个种娃娃的进价是10元，每个种娃娃的进价是8元 (2)最多购进50个种娃娃 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，设每个种娃娃的进价是元，每个种娃娃的进价是元，根据题意列出二元一次方程组即可得到答案； （2）设购进个种娃娃，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【详解】（1）设每个种娃娃的进价是元，每个种娃娃的进价是元， 根据题意得：， 解得：. 每个种娃娃的进价是10元，每个种娃娃的进价是8元； （2）设购进个种娃娃，则购进个种娃娃， 根据题意得：， 解得：. 答：最多购进50个种娃娃． 14．（江西省景德镇市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷）对于任意实数，定义一种关于的运算：．例如：． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为满足，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义列出关于x的不等式，求解即可； （2）根据新定义得到，求出，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可； （3）根据新定义得到，然后得到求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得； （2）根据题意得， 解得 ∵关于的不等式组的解集为满足 ∴， ∴， ∴； （3）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得． 【点睛】此题考查了新定义运算，解不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（上海市奉贤区2024-2025学年下学期七年级数学学科期中练习卷）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3)m的取值范围为 【分析】本题考查了解一元一次方程与一元一次不等式组，理解关联方程的意义并正确求解是解题的关键． （1）分别求出3个方程的解，求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的概念即可判断； （2）求出不等式组的解集，根据关联方程的概念写出一个方程即可； （3）求出不等式组中每个不等式的解集，则方程的解满足每个解集，从而求得m的范围． 【详解】（1）解：解得；解得；解得， 解不等式组得； 则，不是不等式组的解，是不等式组的解， ∴是不等式组的关联方程； 故答案为：③； （2）解：由于不等式组的解集为，此范围的整数有1，2，3； 而方程的解为，则方程是不等式组的关联方程； 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：解关于的不等式组，得； 解得； 由题意得：，解得：； 故m的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$