必修第一册测试卷-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C B C B C CD AB 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案. 【详解】的定义域为． 对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； 对于B，定义域为，与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数； 对于C，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； 对于D，与的对应关系不同，不是同一函数． 故选：B． 2．D 【分析】利用余弦函数的性质可求得cosx范围，进而确定函数的值域，求得M和m，则M+m的值可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以M+m=-2. 故选：D 3．A 【分析】根据题意，分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，即，此时不等式为，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述，的取值范围为. 故选：A 4．C 【分析】先根据集合的定义和集合中元素的互异性写出集合，然后根据真子集的性质求解. 【详解】依题意，集合中有个元素，则其真子集的个数有个. 故选：C 5．B 【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可. 【详解】因为函数在内恰有两个最小值点，， 所以最小正周期满足 所以， 所以有：， 故选：B 6．C 【分析】变形得到，构造，结合特殊点函数值，同一坐标系内画出三个函数的图象，数形结合得到答案. 【详解】； 构造函数， 其中，， 其中， 同一坐标系内画出三个函数的图象，如下：    因为，结合函数图像可以得到， 即. 故选：C． 7．B 【分析】利用绝对值的定义及正弦函数的图象及性质，作出函数图象,结合函数的图象即可求解. 【详解】由题意可知，，作出函数的图象，如图所示， 由图像可知，当时，是周期函数，当时，是常数函数，故是不周期函数，故A错误； 在区间单调递减，故B正确； 的图象不关于直线对称，故C错误； 的图象不关于点对称，故D错误. 故选: B. 8．C 【分析】根据每段上函数均为增函数且结合临界处函数值的大小可得关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围. 【详解】因为为上的增函数，故：， 解得， 故选：C. 9．CD 【分析】根据自变量分段求解即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 故选：CD 10．AB 【分析】根据对称性，结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】A．由、关于对称可得，则， ，选项正确； B．由知，，所以，图象过，可得， ，，则图象关于点成中心对称，选项正确； C．函数单调递减， ，，即，，选项错误； D．函数在上，则，则值域为，选项错误． 故选：AB 11．AC 【分析】利用换元法将复合函数的最值转化为二次函数的最值，根据最值待定系数，再将与的图象交点个数转化为二次方程根的分布问题求解的范围即可. 【详解】令，因为，则， ， 令，， 则，且的值域即为的值域. 由，则的图象开口向上，且对称轴为， 则在上单调递增， 故，， 解得， 故， 因为函数与函数图象在上有两个不同的交点， 则方程，即在有两个不等的实数根， 令，因为，则， 即关于的方程在有两个不等的实数根， 令，，则图象开口向上，对称轴为， 且， 依题意则有，解得. 综上可得正确的只有A、C. 故选：AC. 12． 【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】，， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13． 【分析】根据对数运算法则，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】，故可得，又，故， 则. 故答案为：. 14．9 【分析】，，不等式恒成立，可得，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：，，恒成立， ， ． 等号成立，当且仅当， ∴m的最大值等于9． 故答案为：9 15．(1)4，4； (2)或0 【分析】（1）根据分段函数解析式直接计算可得； （2）分，，三种情况求解即可. 【详解】（1）由题知， 因为， 所以. （2）当时，由得； 当时，由得； 当时，由得（舍去）. 综上，或. 16．，，或. 【分析】根据集合交集、并集和补集的概念与运算，准确运算，即可求解. 【详解】由集合， 可得，， 由补集的概念与运算，可得或. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义直接求解即可， （2）由可得，然后分和两种情况求解即可 【详解】（1）当时，， 因为 ， 所以 （2）因为，所以， 当时，，得，此时满足， 当时，由，得，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 18．(1) (2) 【分析】（1）根据的最值即可求得,，再利用转速和即可求得； （2）利用正弦函数单调性即可解得时的取值范围，进而求得经过的时间. 【详解】（1）由题意知； 可得， 由于每分钟转1.5圈，所以周期 则. 当时，刚浮出水面，即 又，可得 则与的函数解析式为 （2）盛水筒进入水面时，令 即，由正弦函数单调性可知， 解得 当时， 即此盛水筒第一次进入水面到离开水面至少经过. 19．(1)定义域；单调递增，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得函数的定义域，然后判断出函数在其定义域上为增函数，利用函数单调性的定义可证明结论成立； （2）求出函数在上的值域，求出函数在上的值域，根据题意可得出两个函数值域的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，可得出，，令，则，可得，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 函数在其定义域上为增函数，证明如下： 任取、且，即， 则 ， 因为，则，则， 且，，，， 则， 所以，，所以，， 所以，，所以，函数在其定义域上为增函数. （2）解：， 当时，，则，则， 则， 因为函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）解：因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， 由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以，， 所以，，解得，故实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湘教版高中数学必修第一册测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2．设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则等于（    ） A． B． C． D．-2 3．若关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 5．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A．是周期函数 B．在区间单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 8．已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9．已知函数，若，则x的取值可以是（   ） A．3 B．20 C． D．5 10．函数（，，）的部分图象如图实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域为 11．已知函数，，函数在区间上的最大值为9，最小值为1．函数与函数图象在上有两个不同的交点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．不等式的解集为 . 13．若，，则的值 . 14．若不等式对任意的，恒成立，则m的最大值等于 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 16．已知集合，求． 17．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 18．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为    (1)求与的函数解析式； (2)此盛水筒第一次进入水面到离开水面至少经过多长时间？ 19．已知函数，. (1)求函数的定义域，判断并证明该函数的单调性； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 学科网（北京）股份有限公司 $$