14 题组十四 几何综合题答案（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学加练本

题组十四　几何综合题 1.(2024·东营)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC=3. (1)问题发现 如图1,将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE,连接AD,BE,线段AD与BE的数量关系是　　　,AD与BE的位置关系是　　　.  (2)类比探究 将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE,连接AD,BE,线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论是否一致?若AD交CE于点N,请结合图2说明理由. (3)迁移应用 如图3,将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE,当点D落到AB边上时,连接BE,求线段BE的长. 2.(2023·淄博)在数学综合与实践活动课上,小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动. (1)操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案,如图1.试判断:△ACF的形状为　　　　　　.  (2)深入探究 小红在保持矩形ABCD不动的条件下,将矩形CEFG绕点C旋转,若AB=2,AD=4. 探究一:当点F恰好落在AD的延长线上时,设CG与DF相交于点M,如图2.求△CMF的面积. 探究二:连接AE,取AE的中点H,连接DH,如图3.求线段DH长度的最大值和最小值. 3.(2024·湖北)在矩形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A的对应点P落在CD上,点B的对应点为点G,PG交BC于点H. (1)如图1,求证:△DEP∽△CPH; (2)如图2,当点P为CD的中点,AB=2,AD=3时,求GH的长; (3)如图3,连接BG,当点P,H分别为CD,BC的中点时,探究BG与AB的数量关系,并说明理由. 4.(2023·济南)在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E在边BC上,将射线AE绕点A逆时针旋转 90°,交CD延长线于点G,以线段AE, AG为邻边作矩形AEFG. (1)如图1,连接BD,求∠BDC的度数和 的值; (2)如图2,当点F在射线BD上时,求线段BE的长; (3)如图3,当EA=EC时,在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接PA,PC,求PA+PC的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题组十四　几何综合题 1.解:(1) BE=3AD　 AD⊥BE 提示:如图,延长DA交BE于点H. ∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE, ∴CD=AC=1,CE=BC=3,∠ACD=∠ACB=90°, ∴根据勾股定理得AD==,BE==3,∴BE=3AD. ∵CD=AC,CE=BC,∠ACD=∠ACB=90°, ∴∠ADC=∠DAC=45°,∠CBE=∠CEB=45°, ∴∠BHD=180°-∠ADC-∠CBE=180°-45°-45°=90°, ∴AD⊥BE. (2)一致. 理由如下:如图,延长DA交BE于点H. ∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE, ∴CD=AC=1,CE=BC=3,∠ACD=∠BCE,∠DCE=∠ACB=90°, ∴==,∴△ACD∽△BCE, ∴==,∠ADC=∠BEC, ∴BE=3AD. 又∵∠ENH=∠CND,∴∠EHN=∠DCN=90°, ∴AD⊥BE. (3)如图,过点C作CN⊥AB于点N. 根据旋转可知AC=CD,∴AN=ND=AD. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC=3, ∴根据勾股定理得AB==. ∵∠ANC=∠ACB=90°,∠A=∠A,∴△ACN∽△ABC, ∴=,即 =,解得AN=, ∴AD=2AN=, ∴BE=3AD=. 2.解:(1)等腰直角三角形 提示:由矩形的性质可得AC=CF, ∴△ACF是等腰三角形. ∵AB=GF,∠FGC=∠ABC=90°,BC=CG, ∴△ABC≌△FGC(SAS),∴∠BAC=∠GFC. 又∵∠BAC=∠ACD,∴∠ACD=∠GFC. ∵∠GCF+∠GFC=90°,∴∠ACD+∠GCF=90°, ∴∠ACF=90°, ∴△ACF是等腰直角三角形. (2)探究一:∵CD=GF,∠FMG=∠DMC,∠G=∠CDF=90°, ∴△CDM≌△FGM(AAS),∴CM=MF. ∵AC=CF,CD⊥AF,∴AD=DF. ∵AB=CD=2,AD=DF=4, ∴DM=4-CM. 在Rt△CDM中,CM2=CD2+DM2, ∴CM2=22+(4-CM)2, 解得CM=,∴MF=, ∴S△CMF=CD·MF=×2×=. 探究二:如图,连接AC,取AC的中点T,连接HT,DT. ∵HT是△ACE的中位线, ∴HT=CE=1, ∴点H在以点T为圆心,1为半径的圆上. ∵DT=AC=×=, ∴DH的最大值为+1,最小值为-1. 3.(1)证明:如图. ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°, ∴∠1+∠3=90°. ∵点E,F分别在AD,BC上,将四边形ABCD沿EF翻折,使点A的对应点P落在CD上, ∴∠EPH=∠A=90°,∴∠1+∠2=90°, ∴∠3=∠2,∴△DEP∽△CPH. (2)解:∵四边形ABCD是矩形, ∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90°. ∵点P为CD的中点,∴DP=CP=×2=1. 设EP=AE=x,∴ED=3-x. 在Rt△EDP中,EP2=ED2+DP2, 即x2=(3-x)2+1,解得x=, ∴EP=AE=x=,∴ED=AD-AE=. ∵△DEP∽△CPH,∴=, ∴=,解得PH=. ∵PG=AB=2,∴GH=PG-PH=2-=. (3)解:AB=BG.理由如下: 如图,延长AB,PG交于点M,连接AP. ∵点E,F分别在AD,BC上,将四边形ABCD沿EF翻折,使点A的对应点P落在CD上, ∴AP⊥EF,BG⊥EF,∴BG∥AP. ∵AE=EP,∴∠EAP=∠EPA, ∴∠BAP=∠GPA,∴△MAP是等腰三角形, ∴MA=MP. ∵点P为CD的中点,∴设DP=CP=y, ∴AB=PG=CD=2y. ∵点H为BC的中点,∴BH=CH. ∵∠BHM=∠CHP,∠HBM=∠HCP, ∴△MBH≌△PCH(ASA), ∴BM=CP=y,HM=HP,∴MP=MA=MB+AB=3y, ∴HP=PM=y. 在Rt△PCH中,CH==y, ∴BC=2CH=y,∴AD=BC=y. 在Rt△APD中,AP==y. ∵BG∥AP,∴△BMG∽△AMP, ∴==,∴BG=y, ∴==,∴AB=BG. 4.解:(1)∵矩形ABCD中,AB=2,AD=2, ∴∠C=90°,CD=AB=2,BC=AD=2, ∴tan∠BDC==, ∴∠BDC=60°. 由矩形ABCD和矩形AEFG可得∠ABE=∠BAD=∠EAG=∠ADG=90°, ∴∠EAG-∠EAD=∠BAD-∠EAD,即∠DAG=∠BAE, ∴△ADG∽△ABE, ∴==. (2)如图1,过点F作FM⊥CG于点M. 图1 由矩形ABCD和矩形AEFG可得∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°, AE=GF, ∴∠BAE=∠DAG=∠CGF,∠ABE=∠GMF=90°, ∴△ABE≌△GMF(AAS), ∴BE=MF,AB=GM=2. ∵FM⊥CG,∠MDF=∠BDC=60°, ∴tan∠MDF=tan 60°==,∴MF=MD. 设DM=x,则BE=MF=x, ∴DG=GM+MD=2+x. ∵=,∴=,解得x=1, ∴BE=x=. (3)如图2,连接AC. 图2 ∵矩形ABCD中,AD=BC=2,AB=2, ∴∠ACB=30°,AC=2AB=4. ∵EA=EC, ∴∠EAC=∠ACE=30°,∠AEC=120°, ∴∠ACG=∠GAC=90°-30°=60°, ∴△AGC是等边三角形,AG=AC=4, ∴PE=EF=AG=4.将△AEP绕点E顺时针旋转120°,EA与EC重合,得到△CEP', ∴PA=P'C,∠PEP'=120°,EP=EP'=4, ∴PP'=PE=4, ∴当P,C,P'三点共线时,PA+PC的值最小,此时为PA+PC=PP'=4. 学科网（北京）股份有限公司 $$