09 题组九 二次函数性质探究题答案（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学加练本

题组九　二次函数性质探究题 1.已知抛物线C1:y=x2-2x-3,现将其图象向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线C2,当0≤x≤m(m>0)时,若抛物线C2与直线y=x-1有两个交点,则m的取值范围是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.+1≤m< B.2≤m≤+1 C.-1≤m< D.2≤m< 2.(2023·枣庄)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:①abc<0; ②方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3; ③若(0,y1),(,y2)是抛物线上的两点,那么y1<y2; ④11a+2c>0; ⑤对于任意实数m,都有m(am+b)≥a+b.其中正确结论的个数是(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 3.(2024·济南历下一模)定义:函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”.例如:点(1,3)与点(,2)都是函数y=2x+1图象的“3阶方点”.若y关于x的二次函数y=(x-n)2+n2-6的图象存在“n阶方点”,则n的取值范围是 (　　) A.1≤n≤ B.≤n≤2 C.2≤n≤3 D.1≤n≤3 4.(2024·济南历城一模)阅读材料:已知点P(x0,y0)和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算.例如:求点P(-2,1)到直线y=x+1的距离.其中k=1,b=1,∴点P(-2,1)到直线y=x+1的距离为d====. 根据以上材料,有下列结论: ①点(2,0)到直线y=-2x的距离是; ②直线y=-2x和直线y=-2x+6的距离是; ③抛物线y=x2-4x+3上存在两个点到直线y=-2x的距离是; ④若P是抛物线y=x2-4x+3上的点,则点P到直线y=-2x距离的最小值是. 其中正确结论的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2023·济南)定义:在平面直角坐标系中,对于点P(x1,y1),当点Q(x2,y2)满足2(x1+x2)=y1+y2时,称点Q(x2,y2)是点P(x1,y1)的“倍增点”.已知点P1(1,0),有下列结论: ①点Q1(3,8),Q2(-2,-2)都是点P1的“倍增点”; ②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”,则点A的坐标为(2,4); ③抛物线y=x2-2x-3上存在两个点是点P1的“倍增点”; ④若点B是点P1的“倍增点”,则P1B的最小值是. 其中正确结论的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题组九　二次函数性质探究题 1.A　【解析】 抛物线C2的表达式为y=x2-2x-3+m. ∵当x=0时,y=x-1=-1, ∴将(0,-1)代入y=x2-2x-3+m得-3+m=-1, ∴m=2. 将x=m代入y=x-1和y=x2-2x-3+m中得(m,m-1),(m,m2-2m-3+m), m-1=m2-2m-3+m, 解得m1=1+,m2=1-(舍去). 当直线y=x-1与抛物线相切时, 联立得即x-1=x2-2x-3+m, ∴x2-3x-2+m=0, 则Δ=9-4×1×(-2+m)=0, 解得m=, ∴m的取值范围为+1≤m<.故选A. 2.C　【解析】 ∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-=1,与y轴交于负半轴, ∴a>0,b=-2a<0,c<0, ∴abc>0,故①错误; 由题图可知,抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为-1<x<0. ∵抛物线关于直线x=1对称, ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标的取值范围为2<x<3, ∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3,故②正确; ∵a>0, ∴抛物线上的点离对称轴的距离越远,函数值越大. ∵(0,y1),(,y2)是抛物线上的两点, 且|0-1|>|-1|, ∴y1>y2,故③错误; ∵a>0,b=-2a, ∴11a+2c=5a+2a-2b+2c=5a+2(a-b+c). 由图象知x=-1时,y=a-b+c>0, ∴11a+2c=5a+2(a-b+c)>0,故④正确; ∵a>0,对称轴为直线x=1, ∴当x=1时,函数值最小为a+b+c, ∴对于任意实数m,都有am2+bm+c≥a+b+c, 即am2+bm≥a+b, ∴m(am+b)≥a+b,故⑤正确. 综上所述,正确的有3个.故选C. 3.D　【解析】 由题意得二次函数y=(x-n)2+n2-6的图象的顶点坐标为(n,n2-6). ∵y关于x的二次函数y=(x-n)2+n2-6的图象存在“n阶方点”, ∴二次函数y=(x-n)2+n2-6的图象与以坐标为(-n,-n),(n,-n),(-n,n),(n,n)的正方形有交点. 当二次函数y=(x-n)2+n2-6恰好经过(-n,-n)时, 则5n2+n-6=0, 解得n=1或n=-(舍去); 当二次函数y=(x-n)2+n2-6恰好经过(n,n)时, 则n2-n-6=0, 解得n=3或n=-2(舍去), ∴当1≤n≤3时,二次函数y=(x-n)2+n2-6的图象存在“n阶方点”.故选D. 4.D　【解析】 ∵直线y=-2x, ∴点(2,0)到直线y=-2x的距离是d==,故①正确; 找出直线y=-2x上一点(0,0), ∴点(0,0)到直线y=-2x+6的距离d==,故②正确; ∵设点P(x0,y0)是抛物线y=x2-4x+3的点,到直线y=-2x的距离是, 则=, ∴|-2x0-y0|=5, ∴|-2x0-+4x0-3|=5,即|-+2x0-3|=5, 当-+2x0-3=5时,无解, 当-+2x0-3=-5时,解得x0=1+或x0=1-, ∴抛物线y=x2-4x+3上存在两个点到直线y=-2x的距离是,故③正确; 设直线y=-2x向上平移m个单位长度与抛物线y=x2-4x+3有一个交点,则平移后的直线为y=-2x+m, 令-2x+m=x2-4x+3,则x2-2x+3-m=0, ∴Δ=0,即(-2)2-4(3-m)=0, 解得m=2, ∴平移后的直线为y=-2x+2. 找出直线y=-2x上一点(0,0), ∴点(0,0)到直线y=-2x+2的距离d==, ∴若点P是抛物线y=x2-4x+3上的点,则点P到直线y=-2x距离的最小值是,故④正确.故选D. 5.C　【解析】①∵P1(1,0),Q1(3,8),Q2(-2,-2), ∴2×(1+3)=0+8,2×[1+(-2)]=0+(-2), ∴Q1(3,8),Q2(-2,-2)都是点P1的 “倍增点”,故①正确; ②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”, 设A(m,m+2), 则2(m+1)=0+m+2,解得m=0,∴A(0,2),故②错误; ③若抛物线y=x2-2x-3上存在点C是点P1的 “倍增点”, 设C(n,n2-2n-3),则2(1+n)=0+n2-2n-3, 整理得n2-4n-5=0,解得n1=5,n2=-1, ∴C(5,12)或(-1,0),∴抛物线y=x2-2x-3上存在两个点是点P1的 “倍增点”,故③正确; ④若点B是点P1的 “倍增点”,设B(x,y), 则2(x+1)=y,即y=2x+2,点B在直线y=2x+2上. 如图,一次函数y=2x+2的图象为直线EF,过点P1作P1B⊥EF 于点B,此时P1B的值最小. ∵y=2x+2,令x=0,y=2,令y=0,2x+2=0,解得x=-1, ∴F(0,2),E(-1,0),∴P1E=2,OF=2,EF=. ∵=EF·P1B=OF·P1E, ∴P1B==,故④正确.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$