07 题组七 圆的综合题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学加练本

1 题组七　圆的综合题 2 1.如图，在☉O中，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，点P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D. (1)求证：DP是☉O的切线； (2)若AC=5，sin∠APC=，求AP的长. 1 3 题序 2 4 3 (1)证明：∵点P是的中点，∴=， ∴∠DAP=∠PAB. ∵OA=OP，∴∠APO=∠PAO， ∴∠DAP=∠APO，∴AD∥OP. ∵PD⊥AD，∴PD⊥OP. ∵OP为☉O的半径，∴DP是☉O的切线. 1 3 题序 2 4 4 (2)解：如图，连接BC交OP于点E. ∵线段AB为☉O的直径， ∴∠ACB=90°. ∵点P是 的中点， ∴OP⊥BC，CE=BE， ∴四边形CDPE是矩形， ∴CD=PE，PD=CE. 1 3 题序 2 4 5 ∵∠APC=∠B， ∴sin∠APC=sin∠ABC==. ∵AC=5，∴AB=13， ∴BC==12，∴PD=CE=BE=6. ∵OE=AC=，OP=， ∴CD=PE=-=4，∴AD=9. 在Rt△APD中， AP===3. 1 3 题序 2 4 6 2.(2024·深圳)如图，在△ABD中，AB=BD，☉O为△ABD的外接圆，BE为☉O的切线，AC为☉O的直径，连接DC并延长交BE于点E. (1)求证：DE⊥BE； (2)若AB=5，BE=5，求☉O的半径. 1 3 题序 2 4 7 (1)证明：如图，连接BO并延长交AD于点H，连接OD. ∵AB=BD，OA=OD，∴BO垂直平分AD， ∴∠BHD=90°. ∵BE为☉O的切线，∴OB⊥BE， ∴∠OBE=90°. ∵AC为☉O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴四边形BEDH为矩形，∴∠E=90°， ∴DE⊥BE. 1 3 题序 2 4 8 (2)解：∵BO垂直平分AD，∴AH=DH=AD. ∵四边形BEDH为矩形，∴DH=BE=5. 在Rt△BDH中，BD=AB=5，DH=5， ∴BH==5. 设☉O的半径为r，则OH=5-r，OD=r. 在Rt△ODH中，(5-r)2+52=r2， 解得r=3， 即☉O的半径为3. 1 3 题序 2 4 9 3.(2024·济南槐荫一模)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，AB与CD交于点E，P是AB延长线上一点，=，∠BCD=∠BCP. (1)求证：CP是☉O的切线； (2)若BP=2，CP=4，求☉O的直径. 1 3 题序 2 4 10 (1)证明：如图，连接OC. ∵=，∴OB⊥CD， ∴∠ECB+∠OBC=90°. ∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC. ∵∠BCD=∠BCP， ∴∠BCP+∠OCB=90°， 即∠PCO=90°，∴OC⊥CP. ∵OC是☉O的半径， ∴CP是☉O的切线. 1 3 题序 2 4 11 (2)解：∵∠BCP=∠BCD=∠A，∠P=∠P， ∴△BCP∽△CAP，∴=. ∵BP=2，CP=4，∴=， ∴AP=8，∴AB=AP-BP=8-2=6， ∴☉O的直径是6. 1 3 题序 2 4 12 4.如图，在☉O中，AB是☉O的直径，C，D是☉O上不同于A，B的两点，连接CD.过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长CE，交AB的延长线于点F，CF是☉O的切线. (1)求证：∠ABD=2∠BAC； (2)当BD=6，sin F=时，求BF的长. 1 3 题序 2 4 13 (1)证明：如图，连接OC. ∵CF是☉O的切线，∴OC⊥CF. ∵CE⊥DE，∴OC∥DE，∴∠3=∠4. ∵OA=OC，∴∠1=∠2， ∴∠3=∠1+∠2=2∠1，∴∠4=2∠1， 即∠ABD=2∠BAC. 1 3 题序 2 4 14 (2)解：如图，连接AD. ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°. ∵DE⊥CF，∴CF∥AD， ∴∠BAD=∠F， ∴sin∠BAD=sin F==，∴AB=BD=10，∴OC=AB=5. ∵OC⊥CF，OC=5，sin F=， ∴sin F===， 解得BF=. 1 3 题序 2 4 15 $$